Theorem minvecolem7 29825

Description: Lemma for minveco 29826. Since any two minimal points are distance zero away from each other, the minimal point is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
minvecolem7	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem7

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		minveco.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
3		minveco.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
4		minveco.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
5		minveco.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
6		minveco.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
7		minveco.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		minveco.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
9		minveco.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
10		minveco.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
11		minveco.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minvecolem5 29823	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
13	5	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
14	6	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
15	7	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
16		0re 11157	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 0 ∈ ℝ)
18		0le0 12254	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 0 ≤ 0)
20		simplrl 775	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑥 ∈ 𝑌)
21		simplrr 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑤 ∈ 𝑌)
22		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))
23		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))
24	1, 2, 3, 4, 13, 14, 15, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 20, 21, 22, 23	minvecolem2 29817	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0))
25	24	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0)) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0)))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minvecolem6 29824	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
27	26	adantrr 715	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minvecolem6 29824	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
29	28	adantrl 714	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
30	27, 29	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))))
31		4cn 12238	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
32	31	mul01i 11345	. . . . . 6 ⊢ (4 · 0) = 0
33	32	breq2i 5113	. . . . 5 ⊢ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0) ↔ ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0)
34		phnv 29756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
35	5, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmCVec)
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
37	1, 8	imsmet 29633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
39		inss1 4188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
40	39, 6	sselid 3942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
41		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
42	1, 4, 41	sspba 29669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
43	35, 40, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
45		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
46	44, 45	sseldd 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
47		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑤 ∈ 𝑌)
48	44, 47	sseldd 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑤 ∈ 𝑋)
49		metcl 23685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℝ)
50	38, 46, 48, 49	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℝ)
51	50	sqge0d 14042	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))
52	51	biantrud 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
53	50	resqcld 14030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ∈ ℝ)
54		letri3 11240	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥𝐷𝑤)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
55	53, 16, 54	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
56	50	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℂ)
57		sqeq0 14025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥𝐷𝑤) ∈ ℂ → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑤) = 0))
58	56, 57	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑤) = 0))
59		meteq0 23692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝐷𝑤) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
60	38, 46, 48, 59	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((𝑥𝐷𝑤) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
61	58, 60	bitrd 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
62	52, 55, 61	3bitr2d 306	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
63	33, 62	bitrid 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0) ↔ 𝑥 = 𝑤))
64	25, 30, 63	3imtr3d 292	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
65	64	ralrimivva 3197	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑤 ∈ 𝑌 ((∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
66		oveq2 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝐴𝑀𝑥) = (𝐴𝑀𝑤))
67	66	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)))
68	67	breq1d 5115	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
69	68	ralbidv 3174	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
70	69	reu4 3689	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑤 ∈ 𝑌 ((∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤)))
71	12, 65, 70	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  ∃!wreu 3351   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ran crn 5634  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190  2c2 12208  4c4 12210  ↑cexp 13967  Metcmet 20782  MetOpencmopn 20786  NrmCVeccnv 29526  BaseSetcba 29528   −_𝑣 cnsb 29531  norm_CVcnmcv 29532  IndMetcims 29533  SubSpcss 29663  CPreHil_OLDccphlo 29754  CBanccbn 29804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lm 22580  df-haus 22666  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-cfil 24619  df-cau 24620  df-cmet 24621  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543  df-ssp 29664  df-ph 29755  df-cbn 29805

This theorem is referenced by:  minveco  29826