Theorem minvecolem7 29146

Description: Lemma for minveco 29147. Since any two minimal points are distance zero away from each other, the minimal point is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
minvecolem7	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem7

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		minveco.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
3		minveco.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
4		minveco.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
5		minveco.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
6		minveco.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
7		minveco.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		minveco.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
9		minveco.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
10		minveco.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
11		minveco.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minvecolem5 29144	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
13	5	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
14	6	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
15	7	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
16		0re 10908	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 0 ∈ ℝ)
18		0le0 12004	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 0 ≤ 0)
20		simplrl 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑥 ∈ 𝑌)
21		simplrr 774	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑤 ∈ 𝑌)
22		simprl 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))
23		simprr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))
24	1, 2, 3, 4, 13, 14, 15, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 20, 21, 22, 23	minvecolem2 29138	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0))
25	24	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0)) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0)))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minvecolem6 29145	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
27	26	adantrr 713	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minvecolem6 29145	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
29	28	adantrl 712	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
30	27, 29	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))))
31		4cn 11988	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
32	31	mul01i 11095	. . . . . 6 ⊢ (4 · 0) = 0
33	32	breq2i 5078	. . . . 5 ⊢ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0) ↔ ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0)
34		phnv 29077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
35	5, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmCVec)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
37	1, 8	imsmet 28954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
39		inss1 4159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
40	39, 6	sselid 3915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
41		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
42	1, 4, 41	sspba 28990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
43	35, 40, 42	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
45		simprl 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
46	44, 45	sseldd 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
47		simprr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑤 ∈ 𝑌)
48	44, 47	sseldd 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑤 ∈ 𝑋)
49		metcl 23393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℝ)
50	38, 46, 48, 49	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℝ)
51	50	sqge0d 13894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))
52	51	biantrud 531	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
53	50	resqcld 13893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ∈ ℝ)
54		letri3 10991	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥𝐷𝑤)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
55	53, 16, 54	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
56	50	recnd 10934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℂ)
57		sqeq0 13768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥𝐷𝑤) ∈ ℂ → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑤) = 0))
58	56, 57	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑤) = 0))
59		meteq0 23400	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝐷𝑤) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
60	38, 46, 48, 59	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((𝑥𝐷𝑤) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
61	58, 60	bitrd 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
62	52, 55, 61	3bitr2d 306	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
63	33, 62	syl5bb 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0) ↔ 𝑥 = 𝑤))
64	25, 30, 63	3imtr3d 292	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
65	64	ralrimivva 3114	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑤 ∈ 𝑌 ((∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
66		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝐴𝑀𝑥) = (𝐴𝑀𝑤))
67	66	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)))
68	67	breq1d 5080	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
69	68	ralbidv 3120	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
70	69	reu4 3661	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑤 ∈ 𝑌 ((∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤)))
71	12, 65, 70	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3065   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  infcinf 9130  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941  2c2 11958  4c4 11960  ↑cexp 13710  Metcmet 20496  MetOpencmopn 20500  NrmCVeccnv 28847  BaseSetcba 28849   −_𝑣 cnsb 28852  norm_CVcnmcv 28853  IndMetcims 28854  SubSpcss 28984  CPreHil_OLDccphlo 29075  CBanccbn 29125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-rest 17050  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lm 22288  df-haus 22374  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-cfil 24324  df-cau 24325  df-cmet 24326  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863  df-ims 28864  df-ssp 28985  df-ph 29076  df-cbn 29126

This theorem is referenced by:  minveco  29147