Theorem minvecolem7 30972

Description: Lemma for minveco 30973. Since any two minimal points are distance zero away from each other, the minimal point is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
minvecolem7	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem7

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		minveco.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
3		minveco.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
4		minveco.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
5		minveco.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
6		minveco.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
7		minveco.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		minveco.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
9		minveco.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
10		minveco.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
11		minveco.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minvecolem5 30970	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
13	5	ad2antrr 732	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
14	6	ad2antrr 732	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
15	7	ad2antrr 732	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
16		0re 11137	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 0 ∈ ℝ)
18		0le0 12273	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 0 ≤ 0)
20		simplrl 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑥 ∈ 𝑌)
21		simplrr 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑤 ∈ 𝑌)
22		simprl 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))
23		simprr 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))
24	1, 2, 3, 4, 13, 14, 15, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 20, 21, 22, 23	minvecolem2 30964	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0))
25	24	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0)) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0)))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minvecolem6 30971	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
27	26	adantrr 723	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minvecolem6 30971	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
29	28	adantrl 722	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
30	27, 29	anbi12d 638	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))))
31		4cn 12257	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
32	31	mul01i 11327	. . . . . 6 ⊢ (4 · 0) = 0
33	32	breq2i 5080	. . . . 5 ⊢ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0) ↔ ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0)
34		phnv 30903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
35	5, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmCVec)
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
37	1, 8	imsmet 30780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
39		inss1 4165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
40	39, 6	sselid 3913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
41		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
42	1, 4, 41	sspba 30816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
43	35, 40, 42	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
45		simprl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
46	44, 45	sseldd 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
47		simprr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑤 ∈ 𝑌)
48	44, 47	sseldd 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑤 ∈ 𝑋)
49		metcl 24315	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℝ)
50	38, 46, 48, 49	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℝ)
51	50	sqge0d 14090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))
52	51	biantrud 536	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
53	50	resqcld 14078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ∈ ℝ)
54		letri3 11222	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥𝐷𝑤)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
55	53, 16, 54	sylancl 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
56	50	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℂ)
57		sqeq0 14073	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥𝐷𝑤) ∈ ℂ → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑤) = 0))
58	56, 57	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑤) = 0))
59		meteq0 24322	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝐷𝑤) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
60	38, 46, 48, 59	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((𝑥𝐷𝑤) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
61	58, 60	bitrd 280	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
62	52, 55, 61	3bitr2d 308	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
63	33, 62	bitrid 284	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0) ↔ 𝑥 = 𝑤))
64	25, 30, 63	3imtr3d 294	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
65	64	ralrimivva 3182	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑤 ∈ 𝑌 ((∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
66		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝐴𝑀𝑥) = (𝐴𝑀𝑤))
67	66	fveq2d 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)))
68	67	breq1d 5082	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
69	68	ralbidv 3162	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
70	69	reu4 3672	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑤 ∈ 𝑌 ((∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤)))
71	12, 65, 70	sylanbrc 589	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  ∃!wreu 3342   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ran crn 5619  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  infcinf 9344  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171  2c2 12227  4c4 12229  ↑cexp 14014  Metcmet 21333  MetOpencmopn 21337  NrmCVeccnv 30673  BaseSetcba 30675   −_𝑣 cnsb 30678  norm_CVcnmcv 30679  IndMetcims 30680  SubSpcss 30810  CPreHil_OLDccphlo 30901  CBanccbn 30951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-rest 17376  df-topgen 17397  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-top 22877  df-topon 22894  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-lm 23212  df-haus 23298  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-cfil 25240  df-cau 25241  df-cmet 25242  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-gdiv 30585  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-vs 30688  df-nmcv 30689  df-ims 30690  df-ssp 30811  df-ph 30902  df-cbn 30952

This theorem is referenced by:  minveco  30973