Theorem minvecolem7 31494

Description: Lemma for minveco 31495. Since any two minimal points are distance zero away from each other, the minimal point is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
minvecolem7	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem7

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		minveco.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
3		minveco.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
4		minveco.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
5		minveco.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
6		minveco.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
7		minveco.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		minveco.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
9		minveco.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
10		minveco.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
11		minveco.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minvecolem5 31492	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
13	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
14	6	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
15	7	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
16		0re 11317	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 0 ∈ ℝ)
18		0le0 12451	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 0 ≤ 0)
20		simplrl 789	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑥 ∈ 𝑌)
21		simplrr 790	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑤 ∈ 𝑌)
22		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))
23		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))
24	1, 2, 3, 4, 13, 14, 15, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 20, 21, 22, 23	minvecolem2 31486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0))
25	24	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0)) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0)))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minvecolem6 31493	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
27	26	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minvecolem6 31493	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
29	28	adantrl 729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
30	27, 29	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))))
31		4cn 12435	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
32	31	mul01i 11507	. . . . . 6 ⊢ (4 · 0) = 0
33	32	breq2i 5110	. . . . 5 ⊢ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0) ↔ ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0)
34		phnv 31425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
35	5, 34	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmCVec)
36	35	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
37	1, 8	imsmet 31302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
38	36, 37	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
39		inss1 4132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
40	39, 6	sselid 3907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
41		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
42	1, 4, 41	sspba 31338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
43	35, 40, 42	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
44	43	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
45		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
46	44, 45	sseldd 3910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
47		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑤 ∈ 𝑌)
48	44, 47	sseldd 3910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑤 ∈ 𝑋)
49		metcl 24660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℝ)
50	38, 46, 48, 49	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℝ)
51	50	sqge0d 14287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))
52	51	biantrud 541	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
53	50	resqcld 14275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ∈ ℝ)
54		letri3 11402	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥𝐷𝑤)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
55	53, 16, 54	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
56	50	recnd 11344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℂ)
57		sqeq0 14270	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥𝐷𝑤) ∈ ℂ → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑤) = 0))
58	56, 57	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑤) = 0))
59		meteq0 24667	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝐷𝑤) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
60	38, 46, 48, 59	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((𝑥𝐷𝑤) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
61	58, 60	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
62	52, 55, 61	3bitr2d 310	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
63	33, 62	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0) ↔ 𝑥 = 𝑤))
64	25, 30, 63	3imtr3d 296	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
65	64	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑤 ∈ 𝑌 ((∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
66		oveq2 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝐴𝑀𝑥) = (𝐴𝑀𝑤))
67	66	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)))
68	67	breq1d 5112	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
69	68	ralbidv 3185	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
70	69	reu4 3688	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑤 ∈ 𝑌 ((∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤)))
71	12, 65, 70	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∃!wreu 3363   ⊆ wss 3896   ∩ cin 4088   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ran crn 5652  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  infcinf 9440  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207   + caddc 11210   · cmul 11212   < clt 11350   ≤ cle 11351  2c2 12404  4c4 12406  ↑cexp 14211  Metcmet 21673  MetOpencmopn 21677  NrmCVeccnv 31195  BaseSetcba 31197   −_𝑣 cnsb 31200  norm_CVcnmcv 31201  IndMetcims 31202  SubSpcss 31332  CPreHil_OLDccphlo 31423  CBanccbn 31473

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cc 10520  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286  ax-mulf 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fl 13939  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-rest 17602  df-topgen 17623  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-top 23221  df-topon 23238  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lm 23556  df-haus 23642  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-cfil 25585  df-cau 25586  df-cmet 25587  df-grpo 31104  df-gid 31105  df-ginv 31106  df-gdiv 31107  df-ablo 31156  df-vc 31170  df-nv 31203  df-va 31206  df-ba 31207  df-sm 31208  df-0v 31209  df-vs 31210  df-nmcv 31211  df-ims 31212  df-ssp 31333  df-ph 31424  df-cbn 31474

This theorem is used by:  minveco  31495