MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem7 29825
Description: Lemma for minveco 29826. Since any two minimal points are distance zero away from each other, the minimal point is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
minvecolem7 (𝜑 → ∃!𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem7
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.x . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 minveco.m . . 3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
3 minveco.n . . 3 𝑁 = (normCV𝑈)
4 minveco.y . . 3 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
5 minveco.u . . 3 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
6 minveco.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
7 minveco.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
8 minveco.d . . 3 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
9 minveco.j . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
10 minveco.r . . 3 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
11 minveco.s . . 3 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem5 29823 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
135ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
146ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
157ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝐴𝑋)
16 0re 11157 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 0 ∈ ℝ)
18 0le0 12254 . . . . . . 7 0 ≤ 0
1918a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 0 ≤ 0)
20 simplrl 775 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑥𝑌)
21 simplrr 776 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑤𝑌)
22 simprl 769 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))
23 simprr 771 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))
241, 2, 3, 4, 13, 14, 15, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 20, 21, 22, 23minvecolem2 29817 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0))
2524ex 413 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0)) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0)))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem6 29824 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
2726adantrr 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem6 29824 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑌) → (((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
2928adantrl 714 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
3027, 29anbi12d 631 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0)) ↔ (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))))
31 4cn 12238 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
3231mul01i 11345 . . . . . 6 (4 · 0) = 0
3332breq2i 5113 . . . . 5 (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0) ↔ ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0)
34 phnv 29756 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
355, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
3635adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
371, 8imsmet 29633 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
39 inss1 4188 . . . . . . . . . . . . 13 ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
4039, 6sselid 3942 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
41 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
421, 4, 41sspba 29669 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌𝑋)
4335, 40, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌𝑋)
4443adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑌𝑋)
45 simprl 769 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑥𝑌)
4644, 45sseldd 3945 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑥𝑋)
47 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑤𝑌)
4844, 47sseldd 3945 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑤𝑋)
49 metcl 23685 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑤𝑋) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℝ)
5038, 46, 48, 49syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℝ)
5150sqge0d 14042 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))
5251biantrud 532 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
5350resqcld 14030 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ∈ ℝ)
54 letri3 11240 . . . . . . 7 ((((𝑥𝐷𝑤)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
5553, 16, 54sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
5650recnd 11183 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℂ)
57 sqeq0 14025 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐷𝑤) ∈ ℂ → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑤) = 0))
5856, 57syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑤) = 0))
59 meteq0 23692 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑤𝑋) → ((𝑥𝐷𝑤) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
6038, 46, 48, 59syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((𝑥𝐷𝑤) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
6158, 60bitrd 278 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
6252, 55, 613bitr2d 306 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
6333, 62bitrid 282 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0) ↔ 𝑥 = 𝑤))
6425, 30, 633imtr3d 292 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
6564ralrimivva 3197 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑌𝑤𝑌 ((∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
66 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (𝐴𝑀𝑥) = (𝐴𝑀𝑤))
6766fveq2d 6846 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)))
6867breq1d 5115 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
6968ralbidv 3174 . . 3 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
7069reu4 3689 . 2 (∃!𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ (∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑥𝑌𝑤𝑌 ((∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤)))
7112, 65, 70sylanbrc 583 1 (𝜑 → ∃!𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  ∃!wreu 3351  cin 3909  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  2c2 12208  4c4 12210  cexp 13967  Metcmet 20782  MetOpencmopn 20786  NrmCVeccnv 29526  BaseSetcba 29528  𝑣 cnsb 29531  normCVcnmcv 29532  IndMetcims 29533  SubSpcss 29663  CPreHilOLDccphlo 29754  CBanccbn 29804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lm 22580  df-haus 22666  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-cfil 24619  df-cau 24620  df-cmet 24621  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543  df-ssp 29664  df-ph 29755  df-cbn 29805
This theorem is referenced by:  minveco  29826
  Copyright terms: Public domain W3C validator