MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem7 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem minvecolem7 30123
Description: Lemma for minveco 30124. Since any two minimal points are distance zero away from each other, the minimal point is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
minveco.m 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
minveco.n 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
minveco.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
minveco.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
minveco.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
minveco.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
minvecolem7 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,π‘Š,𝑦   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)
Proof of Theorem minvecolem7
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.x . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 minveco.m . . 3 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
3 minveco.n . . 3 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
4 minveco.y . . 3 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
5 minveco.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
6 minveco.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
7 minveco.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
8 minveco.d . . 3 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
9 minveco.j . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
10 minveco.r . . 3 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
11 minveco.s . . 3 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem5 30121 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
135ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) ∧ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))) β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
146ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) ∧ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))) β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
157ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) ∧ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
16 0re 11212 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) ∧ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))) β†’ 0 ∈ ℝ)
18 0le0 12309 . . . . . . 7 0 ≀ 0
1918a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) ∧ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))) β†’ 0 ≀ 0)
20 simplrl 775 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) ∧ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ)
21 simplrr 776 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) ∧ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))) β†’ 𝑀 ∈ π‘Œ)
22 simprl 769 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) ∧ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))) β†’ ((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))
23 simprr 771 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) ∧ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))) β†’ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))
241, 2, 3, 4, 13, 14, 15, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 20, 21, 22, 23minvecolem2 30115 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) ∧ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))) β†’ ((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ≀ (4 Β· 0))
2524ex 413 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ ((((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ≀ (4 Β· 0)))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem6 30122 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
2726adantrr 715 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem6 30122 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ (((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑀)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
2928adantrl 714 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ (((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑀)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
3027, 29anbi12d 631 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ ((((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑀)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))))
31 4cn 12293 . . . . . . 7 4 ∈ β„‚
3231mul01i 11400 . . . . . 6 (4 Β· 0) = 0
3332breq2i 5155 . . . . 5 (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ≀ (4 Β· 0) ↔ ((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ≀ 0)
34 phnv 30054 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
355, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
3635adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
371, 8imsmet 29931 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
39 inss1 4227 . . . . . . . . . . . . 13 ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan) βŠ† (SubSpβ€˜π‘ˆ)
4039, 6sselid 3979 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ))
41 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (SubSpβ€˜π‘ˆ) = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
421, 4, 41sspba 29967 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
4335, 40, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
4443adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
45 simprl 769 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ)
4644, 45sseldd 3982 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
47 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝑀 ∈ π‘Œ)
4844, 47sseldd 3982 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
49 metcl 23829 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑀) ∈ ℝ)
5038, 46, 48, 49syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯𝐷𝑀) ∈ ℝ)
5150sqge0d 14098 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ 0 ≀ ((π‘₯𝐷𝑀)↑2))
5251biantrud 532 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ≀ 0 ↔ (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ≀ 0 ∧ 0 ≀ ((π‘₯𝐷𝑀)↑2))))
5350resqcld 14086 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ∈ ℝ)
54 letri3 11295 . . . . . . 7 ((((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) = 0 ↔ (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ≀ 0 ∧ 0 ≀ ((π‘₯𝐷𝑀)↑2))))
5553, 16, 54sylancl 586 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) = 0 ↔ (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ≀ 0 ∧ 0 ≀ ((π‘₯𝐷𝑀)↑2))))
5650recnd 11238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯𝐷𝑀) ∈ β„‚)
57 sqeq0 14081 . . . . . . . 8 ((π‘₯𝐷𝑀) ∈ β„‚ β†’ (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) = 0 ↔ (π‘₯𝐷𝑀) = 0))
5856, 57syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) = 0 ↔ (π‘₯𝐷𝑀) = 0))
59 meteq0 23836 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝐷𝑀) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑀))
6038, 46, 48, 59syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑀) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑀))
6158, 60bitrd 278 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑀))
6252, 55, 613bitr2d 306 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ≀ 0 ↔ π‘₯ = 𝑀))
6333, 62bitrid 282 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ≀ (4 Β· 0) ↔ π‘₯ = 𝑀))
6425, 30, 633imtr3d 292 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑀)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) β†’ π‘₯ = 𝑀))
6564ralrimivva 3200 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘€ ∈ π‘Œ ((βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑀)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) β†’ π‘₯ = 𝑀))
66 oveq2 7413 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝐴𝑀π‘₯) = (𝐴𝑀𝑀))
6766fveq2d 6892 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑀)))
6867breq1d 5157 . . . 4 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ↔ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑀)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
6968ralbidv 3177 . . 3 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑀)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
7069reu4 3726 . 2 (βˆƒ!π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘€ ∈ π‘Œ ((βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑀)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) β†’ π‘₯ = 𝑀)))
7112, 65, 70sylanbrc 583 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆƒ!wreu 3374   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  infcinf 9432  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109   Β· cmul 11111   < clt 11244   ≀ cle 11245  2c2 12263  4c4 12265  β†‘cexp 14023  Metcmet 20922  MetOpencmopn 20926  NrmCVeccnv 29824  BaseSetcba 29826   βˆ’π‘£ cnsb 29829  normCVcnmcv 29830  IndMetcims 29831  SubSpcss 29961  CPreHilOLDccphlo 30052  CBanccbn 30102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lm 22724  df-haus 22810  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-cfil 24763  df-cau 24764  df-cmet 24765  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841  df-ssp 29962  df-ph 30053  df-cbn 30103
This theorem is referenced by:  minveco  30124
  Copyright terms: Public domain W3C validator