MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem7 28264
Description: Lemma for minveco 28265. Since any two minimal points are distance zero away from each other, the minimal point is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
minvecolem7 (𝜑 → ∃!𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem7
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.x . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 minveco.m . . 3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
3 minveco.n . . 3 𝑁 = (normCV𝑈)
4 minveco.y . . 3 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
5 minveco.u . . 3 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
6 minveco.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
7 minveco.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
8 minveco.d . . 3 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
9 minveco.j . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
10 minveco.r . . 3 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
11 minveco.s . . 3 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem5 28262 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
135ad2antrr 718 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
146ad2antrr 718 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
157ad2antrr 718 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝐴𝑋)
16 0re 10330 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 0 ∈ ℝ)
18 0le0 11421 . . . . . . 7 0 ≤ 0
1918a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 0 ≤ 0)
20 simplrl 796 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑥𝑌)
21 simplrr 797 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑤𝑌)
22 simprl 788 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))
23 simprr 790 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))
241, 2, 3, 4, 13, 14, 15, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 20, 21, 22, 23minvecolem2 28256 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0))
2524ex 402 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0)) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0)))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem6 28263 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
2726adantrr 709 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem6 28263 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑌) → (((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
2928adantrl 708 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
3027, 29anbi12d 625 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0)) ↔ (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))))
31 4cn 11399 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
3231mul01i 10516 . . . . . 6 (4 · 0) = 0
3332breq2i 4851 . . . . 5 (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0) ↔ ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0)
34 phnv 28194 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
355, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
3635adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
371, 8imsmet 28071 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
39 inss1 4028 . . . . . . . . . . . . 13 ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
4039, 6sseldi 3796 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
41 eqid 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
421, 4, 41sspba 28107 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌𝑋)
4335, 40, 42syl2anc 580 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌𝑋)
4443adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑌𝑋)
45 simprl 788 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑥𝑌)
4644, 45sseldd 3799 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑥𝑋)
47 simprr 790 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑤𝑌)
4844, 47sseldd 3799 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑤𝑋)
49 metcl 22465 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑤𝑋) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℝ)
5038, 46, 48, 49syl3anc 1491 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℝ)
5150sqge0d 13292 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))
5251biantrud 528 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
5350resqcld 13291 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ∈ ℝ)
54 letri3 10413 . . . . . . 7 ((((𝑥𝐷𝑤)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
5553, 16, 54sylancl 581 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
5650recnd 10357 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℂ)
57 sqeq0 13181 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐷𝑤) ∈ ℂ → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑤) = 0))
5856, 57syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑤) = 0))
59 meteq0 22472 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑤𝑋) → ((𝑥𝐷𝑤) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
6038, 46, 48, 59syl3anc 1491 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((𝑥𝐷𝑤) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
6158, 60bitrd 271 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
6252, 55, 613bitr2d 299 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
6333, 62syl5bb 275 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0) ↔ 𝑥 = 𝑤))
6425, 30, 633imtr3d 285 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
6564ralrimivva 3152 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑌𝑤𝑌 ((∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
66 oveq2 6886 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (𝐴𝑀𝑥) = (𝐴𝑀𝑤))
6766fveq2d 6415 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)))
6867breq1d 4853 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
6968ralbidv 3167 . . 3 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
7069reu4 3596 . 2 (∃!𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ (∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑥𝑌𝑤𝑌 ((∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤)))
7112, 65, 70sylanbrc 579 1 (𝜑 → ∃!𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  wrex 3090  ∃!wreu 3091  cin 3768  wss 3769   class class class wbr 4843  cmpt 4922  ran crn 5313  cfv 6101  (class class class)co 6878  infcinf 8589  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224   + caddc 10227   · cmul 10229   < clt 10363  cle 10364  2c2 11368  4c4 11370  cexp 13114  Metcmet 20054  MetOpencmopn 20058  NrmCVeccnv 27964  BaseSetcba 27966  𝑣 cnsb 27969  normCVcnmcv 27970  IndMetcims 27971  SubSpcss 28101  CPreHilOLDccphlo 28192  CBanccbn 28243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cc 9545  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-rest 16398  df-topgen 16419  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-fbas 20065  df-fg 20066  df-top 21027  df-topon 21044  df-bases 21079  df-cld 21152  df-ntr 21153  df-cls 21154  df-nei 21231  df-lm 21362  df-haus 21448  df-fil 21978  df-fm 22070  df-flim 22071  df-flf 22072  df-cfil 23381  df-cau 23382  df-cmet 23383  df-grpo 27873  df-gid 27874  df-ginv 27875  df-gdiv 27876  df-ablo 27925  df-vc 27939  df-nv 27972  df-va 27975  df-ba 27976  df-sm 27977  df-0v 27978  df-vs 27979  df-nmcv 27980  df-ims 27981  df-ssp 28102  df-ph 28193  df-cbn 28244
This theorem is referenced by:  minveco  28265
  Copyright terms: Public domain W3C validator