Theorem rrntotbnd 36150

Description: A set in Euclidean space is totally bounded iff its is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrntotbnd.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrntotbnd.2	⊢ 𝑀 = ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
rrntotbnd	⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Proof of Theorem rrntotbnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) = (dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))
3		rrntotbnd.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
4	1, 2, 3	repwsmet 36148	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋))
5	3	rrnmet 36143	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
6		hashcl 14175	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
7		nn0re 12347	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
8		nn0ge0 12363	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝐼))
9	7, 8	resqrtcld 15228	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
11	7, 8	sqrtge0d 15231	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (√‘(♯‘𝐼)))
12	6, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 0 ≤ (√‘(♯‘𝐼)))
13	10, 12	ge0p1rpd 12907	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ+)
14		1rp 12839	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 1 ∈ ℝ+)
16		metcl 23590	. . . . 5 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∈ ℝ)
17	16	3expb 1120	. . . 4 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∈ ℝ)
18	5, 17	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∈ ℝ)
19	10	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
20	4	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋))
21		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
22		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
23		metcl 23590	. . . . . . 7 ⊢ (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ)
24		metge0 23603	. . . . . . 7 ⊢ (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))
25	23, 24	jca 513	. . . . . 6 ⊢ (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
26	20, 21, 22, 25	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
27	26	simpld 496	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ)
28	19, 27	remulcld 11110	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ∈ ℝ)
29		peano2re 11253	. . . . . 6 ⊢ ((√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ)
30	10, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ)
31	30	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ)
32	31, 27	remulcld 11110	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ∈ ℝ)
33		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
34	1, 2, 3, 33	rrnequiv 36149	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≤ (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∧ (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))))
35	34	simprd 497	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
36	19	lep1d 12011	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (√‘(♯‘𝐼)) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) + 1))
37		lemul1a 11934	. . . 4 ⊢ ((((√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ ∧ ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))) ∧ (√‘(♯‘𝐼)) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) + 1)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
38	19, 31, 26, 36, 37	syl31anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
39	18, 28, 32, 35, 38	letrd 11237	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
40	34	simpld 496	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≤ (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦))
41	18	recnd 11108	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∈ ℂ)
42	41	mulid2d 11098	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (1 · (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦)) = (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦))
43	40, 42	breqtrrd 5124	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≤ (1 · (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦)))
44		eqid 2737	. 2 ⊢ ((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌))
45		rrntotbnd.2	. 2 ⊢ 𝑀 = ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))
46		ax-resscn 11033	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
47	1, 44	cnpwstotbnd 36111	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ ((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Bnd‘𝑌)))
48	46, 47	mpan 688	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ ((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Bnd‘𝑌)))
49	4, 5, 13, 15, 39, 43, 44, 45, 48	equivbnd2 36106	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5096   × cxp 5622   ↾ cres 5626  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341   ↑_m cmap 8690  Fincfn 8808  ℂcc 10974  ℝcr 10975  0cc0 10976  1c1 10977   + caddc 10979   · cmul 10981   ≤ cle 11115  ℕ₀cn0 12338  ℝ⁺crp 12835  ♯chash 14149  √csqrt 15043   ↾_s cress 17038  distcds 17068   ↑_s cpws 17254  Metcmet 20688  ℂ_fldccnfld 20702  TotBndctotbnd 36080  Bndcbnd 36081  ℝⁿcrrn 36139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-inf2 9502  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-isom 6492  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-er 8573  df-ec 8575  df-map 8692  df-pm 8693  df-ixp 8761  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-sup 9303  df-inf 9304  df-oi 9371  df-card 9800  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-5 12144  df-6 12145  df-7 12146  df-8 12147  df-9 12148  df-n0 12339  df-z 12425  df-dec 12543  df-uz 12688  df-q 12794  df-rp 12836  df-xneg 12953  df-xadd 12954  df-xmul 12955  df-ico 13190  df-icc 13191  df-fz 13345  df-fzo 13488  df-fl 13617  df-seq 13827  df-exp 13888  df-hash 14150  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-sum 15497  df-gz 16728  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-hom 17083  df-cco 17084  df-rest 17230  df-topn 17231  df-topgen 17251  df-prds 17255  df-pws 17257  df-psmet 20694  df-xmet 20695  df-met 20696  df-bl 20697  df-mopn 20698  df-cnfld 20703  df-top 22148  df-topon 22165  df-topsp 22187  df-bases 22201  df-xms 23578  df-ms 23579  df-totbnd 36082  df-bnd 36093  df-rrn 36140

This theorem is referenced by:  rrnheibor  36151