Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrntotbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrntotbnd 35293
 Description: A set in Euclidean space is totally bounded iff its is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrntotbnd.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrntotbnd.2 𝑀 = ((ℝn𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))
Assertion
Ref Expression
rrntotbnd (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Proof of Theorem rrntotbnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . 3 ((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼) = ((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)
2 eqid 2798 . . 3 (dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) = (dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))
3 rrntotbnd.1 . . 3 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
41, 2, 3repwsmet 35291 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋))
53rrnmet 35286 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
6 hashcl 13716 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
7 nn0re 11897 . . . . 5 ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
8 nn0ge0 11913 . . . . 5 ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝐼))
97, 8resqrtcld 14772 . . . 4 ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
106, 9syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
117, 8sqrtge0d 14775 . . . 4 ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (√‘(♯‘𝐼)))
126, 11syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → 0 ≤ (√‘(♯‘𝐼)))
1310, 12ge0p1rpd 12452 . 2 (𝐼 ∈ Fin → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ+)
14 1rp 12384 . . 3 1 ∈ ℝ+
1514a1i 11 . 2 (𝐼 ∈ Fin → 1 ∈ ℝ+)
16 metcl 22949 . . . . 5 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ∈ ℝ)
17163expb 1117 . . . 4 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ∈ ℝ)
185, 17sylan 583 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ∈ ℝ)
1910adantr 484 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
204adantr 484 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋))
21 simprl 770 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥𝑋)
22 simprr 772 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦𝑋)
23 metcl 22949 . . . . . . 7 (((dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ)
24 metge0 22962 . . . . . . 7 (((dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))
2523, 24jca 515 . . . . . 6 (((dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
2620, 21, 22, 25syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
2726simpld 498 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ)
2819, 27remulcld 10663 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ∈ ℝ)
29 peano2re 10805 . . . . . 6 ((√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ)
3010, 29syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ)
3130adantr 484 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ)
3231, 27remulcld 10663 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ∈ ℝ)
33 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
341, 2, 3, 33rrnequiv 35292 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≤ (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ∧ (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))))
3534simprd 499 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
3619lep1d 11563 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘(♯‘𝐼)) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) + 1))
37 lemul1a 11486 . . . 4 ((((√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ ∧ ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))) ∧ (√‘(♯‘𝐼)) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) + 1)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
3819, 31, 26, 36, 37syl31anc 1370 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
3918, 28, 32, 35, 38letrd 10789 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
4034simpld 498 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≤ (𝑥(ℝn𝐼)𝑦))
4118recnd 10661 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ∈ ℂ)
4241mulid2d 10651 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (1 · (𝑥(ℝn𝐼)𝑦)) = (𝑥(ℝn𝐼)𝑦))
4340, 42breqtrrd 5059 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≤ (1 · (𝑥(ℝn𝐼)𝑦)))
44 eqid 2798 . 2 ((dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌))
45 rrntotbnd.2 . 2 𝑀 = ((ℝn𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))
46 ax-resscn 10586 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
471, 44cnpwstotbnd 35254 . . 3 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (((dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ ((dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Bnd‘𝑌)))
4846, 47mpan 689 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (((dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ ((dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Bnd‘𝑌)))
494, 5, 13, 15, 39, 43, 44, 45, 48equivbnd2 35249 1 (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5031   × cxp 5518   ↾ cres 5522  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ↑m cmap 8392  Fincfn 8495  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   ≤ cle 10668  ℕ0cn0 11888  ℝ+crp 12380  ♯chash 13689  √csqrt 14587   ↾s cress 16479  distcds 16569   ↑s cpws 16715  Metcmet 20081  ℂfldccnfld 20095  TotBndctotbnd 35223  Bndcbnd 35224  ℝncrrn 35282 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-ec 8277  df-map 8394  df-pm 8395  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8893  df-inf 8894  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-q 12340  df-rp 12381  df-xneg 12498  df-xadd 12499  df-xmul 12500  df-ico 12735  df-icc 12736  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-gz 16259  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-topgen 16712  df-prds 16716  df-pws 16718  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-cnfld 20096  df-top 21509  df-topon 21526  df-topsp 21548  df-bases 21561  df-xms 22937  df-ms 22938  df-totbnd 35225  df-bnd 35236  df-rrn 35283 This theorem is referenced by:  rrnheibor  35294
 Copyright terms: Public domain W3C validator