Theorem rrntotbnd 36790

Description: A set in Euclidean space is totally bounded iff its is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrntotbnd.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrntotbnd.2	⊢ 𝑀 = ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
rrntotbnd	⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Proof of Theorem rrntotbnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . 3 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)
2		eqid 2732	. . 3 ⊢ (dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) = (dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))
3		rrntotbnd.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
4	1, 2, 3	repwsmet 36788	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋))
5	3	rrnmet 36783	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
6		hashcl 14318	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
7		nn0re 12483	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
8		nn0ge0 12499	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝐼))
9	7, 8	resqrtcld 15366	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
11	7, 8	sqrtge0d 15369	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (√‘(♯‘𝐼)))
12	6, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 0 ≤ (√‘(♯‘𝐼)))
13	10, 12	ge0p1rpd 13048	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ+)
14		1rp 12980	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 1 ∈ ℝ+)
16		metcl 23845	. . . . 5 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∈ ℝ)
17	16	3expb 1120	. . . 4 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∈ ℝ)
18	5, 17	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∈ ℝ)
19	10	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
20	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋))
21		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
22		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
23		metcl 23845	. . . . . . 7 ⊢ (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ)
24		metge0 23858	. . . . . . 7 ⊢ (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))
25	23, 24	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
26	20, 21, 22, 25	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
27	26	simpld 495	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ)
28	19, 27	remulcld 11246	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ∈ ℝ)
29		peano2re 11389	. . . . . 6 ⊢ ((√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ)
30	10, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ)
31	30	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ)
32	31, 27	remulcld 11246	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ∈ ℝ)
33		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
34	1, 2, 3, 33	rrnequiv 36789	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≤ (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∧ (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))))
35	34	simprd 496	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
36	19	lep1d 12147	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (√‘(♯‘𝐼)) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) + 1))
37		lemul1a 12070	. . . 4 ⊢ ((((√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ ∧ ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))) ∧ (√‘(♯‘𝐼)) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) + 1)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
38	19, 31, 26, 36, 37	syl31anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
39	18, 28, 32, 35, 38	letrd 11373	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
40	34	simpld 495	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≤ (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦))
41	18	recnd 11244	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∈ ℂ)
42	41	mullidd 11234	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (1 · (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦)) = (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦))
43	40, 42	breqtrrd 5176	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≤ (1 · (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦)))
44		eqid 2732	. 2 ⊢ ((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌))
45		rrntotbnd.2	. 2 ⊢ 𝑀 = ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))
46		ax-resscn 11169	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
47	1, 44	cnpwstotbnd 36751	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ ((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Bnd‘𝑌)))
48	46, 47	mpan 688	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ ((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Bnd‘𝑌)))
49	4, 5, 13, 15, 39, 43, 44, 45, 48	equivbnd2 36746	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148   × cxp 5674   ↾ cres 5678  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   ≤ cle 11251  ℕ₀cn0 12474  ℝ⁺crp 12976  ♯chash 14292  √csqrt 15182   ↾_s cress 17175  distcds 17208   ↑_s cpws 17394  Metcmet 20936  ℂ_fldccnfld 20950  TotBndctotbnd 36720  Bndcbnd 36721  ℝⁿcrrn 36779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-gz 16865  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-topgen 17391  df-prds 17395  df-pws 17397  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-xms 23833  df-ms 23834  df-totbnd 36722  df-bnd 36733  df-rrn 36780

This theorem is referenced by:  rrnheibor  36791