Theorem rrntotbnd 38520

Description: A set in Euclidean space is totally bounded iff its is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrntotbnd.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrntotbnd.2	⊢ 𝑀 = ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
rrntotbnd	⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Proof of Theorem rrntotbnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) = (dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))
3		rrntotbnd.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
4	1, 2, 3	repwsmet 38518	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋))
5	3	rrnmet 38513	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
6		hashcl 14406	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
7		nn0re 12524	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
8		nn0ge0 12540	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝐼))
9	7, 8	resqrtcld 15489	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
10	6, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
11	7, 8	sqrtge0d 15492	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (√‘(♯‘𝐼)))
12	6, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 0 ≤ (√‘(♯‘𝐼)))
13	10, 12	ge0p1rpd 13102	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ+)
14		1rp 13032	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 1 ∈ ℝ+)
16		metcl 24520	. . . . 5 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∈ ℝ)
17	16	3expb 1138	. . . 4 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∈ ℝ)
18	5, 17	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∈ ℝ)
19	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
20	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋))
21		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
22		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
23		metcl 24520	. . . . . . 7 ⊢ (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ)
24		metge0 24533	. . . . . . 7 ⊢ (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))
25	23, 24	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
26	20, 21, 22, 25	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
27	26	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ)
28	19, 27	remulcld 11250	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ∈ ℝ)
29		peano2re 11394	. . . . . 6 ⊢ ((√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ)
30	10, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ)
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ)
32	31, 27	remulcld 11250	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ∈ ℝ)
33		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
34	1, 2, 3, 33	rrnequiv 38519	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≤ (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∧ (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))))
35	34	simprd 501	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
36	19	lep1d 12157	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (√‘(♯‘𝐼)) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) + 1))
37		lemul1a 12080	. . . 4 ⊢ ((((√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ ∧ ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))) ∧ (√‘(♯‘𝐼)) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) + 1)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
38	19, 31, 26, 36, 37	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
39	18, 28, 32, 35, 38	letrd 11378	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
40	34	simpld 500	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≤ (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦))
41	18	recnd 11248	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∈ ℂ)
42	41	mullidd 11238	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (1 · (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦)) = (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦))
43	40, 42	breqtrrd 5141	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≤ (1 · (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦)))
44		eqid 2765	. 2 ⊢ ((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌))
45		rrntotbnd.2	. 2 ⊢ 𝑀 = ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))
46		ax-resscn 11168	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
47	1, 44	cnpwstotbnd 38481	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ ((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Bnd‘𝑌)))
48	46, 47	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ ((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Bnd‘𝑌)))
49	4, 5, 13, 15, 39, 43, 44, 45, 48	equivbnd2 38476	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   × cxp 5661   ↾ cres 5665  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8945  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116   ≤ cle 11255  ℕ₀cn0 12515  ℝ⁺crp 13028  ♯chash 14380  √csqrt 15304   ↾_s cress 17308  distcds 17337   ↑_s cpws 17517  Metcmet 21538  ℂ_fldccnfld 21552  TotBndctotbnd 38450  Bndcbnd 38451  ℝⁿcrrn 38509

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-ec 8698  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-seq 14052  df-exp 14112  df-hash 14381  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-clim 15559  df-sum 15758  df-gz 17008  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-starv 17343  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-unif 17351  df-hom 17352  df-cco 17353  df-rest 17493  df-topn 17494  df-topgen 17514  df-prds 17518  df-pws 17520  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-cnfld 21553  df-top 23081  df-topon 23098  df-topsp 23120  df-bases 23133  df-xms 24508  df-ms 24509  df-totbnd 38452  df-bnd 38463  df-rrn 38510

This theorem is used by:  rrnheibor  38521