Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrntotbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrntotbnd 37823
Description: A set in Euclidean space is totally bounded iff its is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrntotbnd.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrntotbnd.2 𝑀 = ((ℝn𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))
Assertion
Ref Expression
rrntotbnd (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Proof of Theorem rrntotbnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . 3 ((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼) = ((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)
2 eqid 2735 . . 3 (dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) = (dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))
3 rrntotbnd.1 . . 3 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
41, 2, 3repwsmet 37821 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋))
53rrnmet 37816 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
6 hashcl 14392 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
7 nn0re 12533 . . . . 5 ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
8 nn0ge0 12549 . . . . 5 ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝐼))
97, 8resqrtcld 15453 . . . 4 ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
106, 9syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
117, 8sqrtge0d 15456 . . . 4 ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (√‘(♯‘𝐼)))
126, 11syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → 0 ≤ (√‘(♯‘𝐼)))
1310, 12ge0p1rpd 13105 . 2 (𝐼 ∈ Fin → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ+)
14 1rp 13036 . . 3 1 ∈ ℝ+
1514a1i 11 . 2 (𝐼 ∈ Fin → 1 ∈ ℝ+)
16 metcl 24358 . . . . 5 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ∈ ℝ)
17163expb 1119 . . . 4 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ∈ ℝ)
185, 17sylan 580 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ∈ ℝ)
1910adantr 480 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
204adantr 480 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋))
21 simprl 771 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥𝑋)
22 simprr 773 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦𝑋)
23 metcl 24358 . . . . . . 7 (((dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ)
24 metge0 24371 . . . . . . 7 (((dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))
2523, 24jca 511 . . . . . 6 (((dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
2620, 21, 22, 25syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
2726simpld 494 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ)
2819, 27remulcld 11289 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ∈ ℝ)
29 peano2re 11432 . . . . . 6 ((√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ)
3010, 29syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ)
3130adantr 480 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ)
3231, 27remulcld 11289 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ∈ ℝ)
33 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
341, 2, 3, 33rrnequiv 37822 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≤ (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ∧ (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))))
3534simprd 495 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
3619lep1d 12197 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘(♯‘𝐼)) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) + 1))
37 lemul1a 12119 . . . 4 ((((√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ ∧ ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))) ∧ (√‘(♯‘𝐼)) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) + 1)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
3819, 31, 26, 36, 37syl31anc 1372 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
3918, 28, 32, 35, 38letrd 11416 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
4034simpld 494 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≤ (𝑥(ℝn𝐼)𝑦))
4118recnd 11287 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ∈ ℂ)
4241mullidd 11277 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (1 · (𝑥(ℝn𝐼)𝑦)) = (𝑥(ℝn𝐼)𝑦))
4340, 42breqtrrd 5176 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≤ (1 · (𝑥(ℝn𝐼)𝑦)))
44 eqid 2735 . 2 ((dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌))
45 rrntotbnd.2 . 2 𝑀 = ((ℝn𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))
46 ax-resscn 11210 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
471, 44cnpwstotbnd 37784 . . 3 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (((dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ ((dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Bnd‘𝑌)))
4846, 47mpan 690 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (((dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ ((dist‘((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Bnd‘𝑌)))
494, 5, 13, 15, 39, 43, 44, 45, 48equivbnd2 37779 1 (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963   class class class wbr 5148   × cxp 5687  cres 5691  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Fincfn 8984  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cle 11294  0cn0 12524  +crp 13032  chash 14366  csqrt 15269  s cress 17274  distcds 17307  s cpws 17493  Metcmet 21368  fldccnfld 21382  TotBndctotbnd 37753  Bndcbnd 37754  ncrrn 37812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-gz 16964  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-prds 17494  df-pws 17496  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-xms 24346  df-ms 24347  df-totbnd 37755  df-bnd 37766  df-rrn 37813
This theorem is referenced by:  rrnheibor  37824
  Copyright terms: Public domain W3C validator