Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrntotbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrntotbnd 36035
Description: A set in Euclidean space is totally bounded iff its is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrntotbnd.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrntotbnd.2 𝑀 = ((ℝnβ€˜πΌ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
rrntotbnd (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑀 ∈ (TotBndβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)))

Proof of Theorem rrntotbnd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 ((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼) = ((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)
2 eqid 2736 . . 3 (distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) = (distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))
3 rrntotbnd.1 . . 3 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
41, 2, 3repwsmet 36033 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ (distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
53rrnmet 36028 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ (ℝnβ€˜πΌ) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
6 hashcl 14112 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„•0)
7 nn0re 12284 . . . . 5 ((β™―β€˜πΌ) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ)
8 nn0ge0 12300 . . . . 5 ((β™―β€˜πΌ) ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΌ))
97, 8resqrtcld 15170 . . . 4 ((β™―β€˜πΌ) ∈ β„•0 β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ)
106, 9syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ Fin β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ)
117, 8sqrtge0d 15173 . . . 4 ((β™―β€˜πΌ) ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))
126, 11syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ Fin β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))
1310, 12ge0p1rpd 12844 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) + 1) ∈ ℝ+)
14 1rp 12776 . . 3 1 ∈ ℝ+
1514a1i 11 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ 1 ∈ ℝ+)
16 metcl 23526 . . . . 5 (((ℝnβ€˜πΌ) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) ∈ ℝ)
17163expb 1120 . . . 4 (((ℝnβ€˜πΌ) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) ∈ ℝ)
185, 17sylan 581 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) ∈ ℝ)
1910adantr 482 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ)
204adantr 482 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
21 simprl 769 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
22 simprr 771 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
23 metcl 23526 . . . . . . 7 (((distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ)
24 metge0 23539 . . . . . . 7 (((distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))
2523, 24jca 513 . . . . . 6 (((distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
2620, 21, 22, 25syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
2726simpld 496 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ)
2819, 27remulcld 11047 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ∈ ℝ)
29 peano2re 11190 . . . . . 6 ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ β†’ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) + 1) ∈ ℝ)
3010, 29syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin β†’ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) + 1) ∈ ℝ)
3130adantr 482 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) + 1) ∈ ℝ)
3231, 27remulcld 11047 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) + 1) Β· (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ∈ ℝ)
33 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐼 ∈ Fin)
341, 2, 3, 33rrnequiv 36034 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≀ (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) ∧ (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))))
3534simprd 497 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
3619lep1d 11948 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) + 1))
37 lemul1a 11871 . . . 4 ((((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ ∧ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))) ∧ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) + 1)) β†’ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ≀ (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) + 1) Β· (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
3819, 31, 26, 36, 37syl31anc 1373 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ≀ (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) + 1) Β· (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
3918, 28, 32, 35, 38letrd 11174 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) ≀ (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) + 1) Β· (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
4034simpld 496 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≀ (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦))
4118recnd 11045 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) ∈ β„‚)
4241mulid2d 11035 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (1 Β· (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦)) = (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦))
4340, 42breqtrrd 5109 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≀ (1 Β· (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦)))
44 eqid 2736 . 2 ((distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = ((distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
45 rrntotbnd.2 . 2 𝑀 = ((ℝnβ€˜πΌ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
46 ax-resscn 10970 . . 3 ℝ βŠ† β„‚
471, 44cnpwstotbnd 35996 . . 3 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (((distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (TotBndβ€˜π‘Œ) ↔ ((distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)))
4846, 47mpan 688 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ (((distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (TotBndβ€˜π‘Œ) ↔ ((distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)))
494, 5, 13, 15, 39, 43, 44, 45, 48equivbnd2 35991 1 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑀 ∈ (TotBndβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βŠ† wss 3892   class class class wbr 5081   Γ— cxp 5594   β†Ύ cres 5598  β€˜cfv 6454  (class class class)co 7303   ↑m cmap 8642  Fincfn 8760  β„‚cc 10911  β„cr 10912  0cc0 10913  1c1 10914   + caddc 10916   Β· cmul 10918   ≀ cle 11052  β„•0cn0 12275  β„+crp 12772  β™―chash 14086  βˆšcsqrt 14985   β†Ύs cress 16982  distcds 17012   ↑s cpws 17198  Metcmet 20624  β„‚fldccnfld 20638  TotBndctotbnd 35965  Bndcbnd 35966  β„ncrrn 36024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-inf2 9439  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990  ax-pre-sup 10991
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-se 5552  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-isom 6463  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-er 8525  df-ec 8527  df-map 8644  df-pm 8645  df-ixp 8713  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-sup 9241  df-inf 9242  df-oi 9309  df-card 9737  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-div 11675  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-4 12080  df-5 12081  df-6 12082  df-7 12083  df-8 12084  df-9 12085  df-n0 12276  df-z 12362  df-dec 12480  df-uz 12625  df-q 12731  df-rp 12773  df-xneg 12890  df-xadd 12891  df-xmul 12892  df-ico 13127  df-icc 13128  df-fz 13282  df-fzo 13425  df-fl 13554  df-seq 13764  df-exp 13825  df-hash 14087  df-cj 14851  df-re 14852  df-im 14853  df-sqrt 14987  df-abs 14988  df-clim 15238  df-sum 15439  df-gz 16672  df-struct 16889  df-sets 16906  df-slot 16924  df-ndx 16936  df-base 16954  df-ress 16983  df-plusg 17016  df-mulr 17017  df-starv 17018  df-sca 17019  df-vsca 17020  df-ip 17021  df-tset 17022  df-ple 17023  df-ds 17025  df-unif 17026  df-hom 17027  df-cco 17028  df-rest 17174  df-topn 17175  df-topgen 17195  df-prds 17199  df-pws 17201  df-psmet 20630  df-xmet 20631  df-met 20632  df-bl 20633  df-mopn 20634  df-cnfld 20639  df-top 22084  df-topon 22101  df-topsp 22123  df-bases 22137  df-xms 23514  df-ms 23515  df-totbnd 35967  df-bnd 35978  df-rrn 36025
This theorem is referenced by:  rrnheibor  36036
  Copyright terms: Public domain W3C validator