Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrntotbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrntotbnd 36704
Description: A set in Euclidean space is totally bounded iff its is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrntotbnd.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrntotbnd.2 𝑀 = ((ℝnβ€˜πΌ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
rrntotbnd (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑀 ∈ (TotBndβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)))

Proof of Theorem rrntotbnd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 ((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼) = ((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)
2 eqid 2733 . . 3 (distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) = (distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))
3 rrntotbnd.1 . . 3 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
41, 2, 3repwsmet 36702 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ (distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
53rrnmet 36697 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ (ℝnβ€˜πΌ) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
6 hashcl 14316 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„•0)
7 nn0re 12481 . . . . 5 ((β™―β€˜πΌ) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ)
8 nn0ge0 12497 . . . . 5 ((β™―β€˜πΌ) ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΌ))
97, 8resqrtcld 15364 . . . 4 ((β™―β€˜πΌ) ∈ β„•0 β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ)
106, 9syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ Fin β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ)
117, 8sqrtge0d 15367 . . . 4 ((β™―β€˜πΌ) ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))
126, 11syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ Fin β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))
1310, 12ge0p1rpd 13046 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) + 1) ∈ ℝ+)
14 1rp 12978 . . 3 1 ∈ ℝ+
1514a1i 11 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ 1 ∈ ℝ+)
16 metcl 23838 . . . . 5 (((ℝnβ€˜πΌ) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) ∈ ℝ)
17163expb 1121 . . . 4 (((ℝnβ€˜πΌ) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) ∈ ℝ)
185, 17sylan 581 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) ∈ ℝ)
1910adantr 482 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ)
204adantr 482 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
21 simprl 770 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
22 simprr 772 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
23 metcl 23838 . . . . . . 7 (((distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ)
24 metge0 23851 . . . . . . 7 (((distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))
2523, 24jca 513 . . . . . 6 (((distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
2620, 21, 22, 25syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
2726simpld 496 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ)
2819, 27remulcld 11244 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ∈ ℝ)
29 peano2re 11387 . . . . . 6 ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ β†’ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) + 1) ∈ ℝ)
3010, 29syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin β†’ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) + 1) ∈ ℝ)
3130adantr 482 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) + 1) ∈ ℝ)
3231, 27remulcld 11244 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) + 1) Β· (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ∈ ℝ)
33 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐼 ∈ Fin)
341, 2, 3, 33rrnequiv 36703 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≀ (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) ∧ (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))))
3534simprd 497 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
3619lep1d 12145 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) + 1))
37 lemul1a 12068 . . . 4 ((((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ ∧ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))) ∧ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) + 1)) β†’ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ≀ (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) + 1) Β· (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
3819, 31, 26, 36, 37syl31anc 1374 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ≀ (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) + 1) Β· (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
3918, 28, 32, 35, 38letrd 11371 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) ≀ (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) + 1) Β· (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
4034simpld 496 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≀ (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦))
4118recnd 11242 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦) ∈ β„‚)
4241mullidd 11232 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (1 Β· (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦)) = (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦))
4340, 42breqtrrd 5177 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≀ (1 Β· (π‘₯(ℝnβ€˜πΌ)𝑦)))
44 eqid 2733 . 2 ((distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = ((distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
45 rrntotbnd.2 . 2 𝑀 = ((ℝnβ€˜πΌ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
46 ax-resscn 11167 . . 3 ℝ βŠ† β„‚
471, 44cnpwstotbnd 36665 . . 3 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (((distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (TotBndβ€˜π‘Œ) ↔ ((distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)))
4846, 47mpan 689 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ (((distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (TotBndβ€˜π‘Œ) ↔ ((distβ€˜((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)))
494, 5, 13, 15, 39, 43, 44, 45, 48equivbnd2 36660 1 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑀 ∈ (TotBndβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249  β„•0cn0 12472  β„+crp 12974  β™―chash 14290  βˆšcsqrt 15180   β†Ύs cress 17173  distcds 17206   ↑s cpws 17392  Metcmet 20930  β„‚fldccnfld 20944  TotBndctotbnd 36634  Bndcbnd 36635  β„ncrrn 36693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-ec 8705  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-gz 16863  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-prds 17393  df-pws 17395  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-xms 23826  df-ms 23827  df-totbnd 36636  df-bnd 36647  df-rrn 36694
This theorem is referenced by:  rrnheibor  36705
  Copyright terms: Public domain W3C validator