Theorem rrntotbnd 37865

Description: A set in Euclidean space is totally bounded iff its is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrntotbnd.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrntotbnd.2	⊢ 𝑀 = ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
rrntotbnd	⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Proof of Theorem rrntotbnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) = (dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))
3		rrntotbnd.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
4	1, 2, 3	repwsmet 37863	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋))
5	3	rrnmet 37858	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
6		hashcl 14379	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
7		nn0re 12515	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
8		nn0ge0 12531	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝐼))
9	7, 8	resqrtcld 15441	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
11	7, 8	sqrtge0d 15444	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (√‘(♯‘𝐼)))
12	6, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 0 ≤ (√‘(♯‘𝐼)))
13	10, 12	ge0p1rpd 13086	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ+)
14		1rp 13017	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 1 ∈ ℝ+)
16		metcl 24276	. . . . 5 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∈ ℝ)
17	16	3expb 1120	. . . 4 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∈ ℝ)
18	5, 17	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∈ ℝ)
19	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
20	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋))
21		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
22		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
23		metcl 24276	. . . . . . 7 ⊢ (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ)
24		metge0 24289	. . . . . . 7 ⊢ (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))
25	23, 24	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
26	20, 21, 22, 25	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
27	26	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ)
28	19, 27	remulcld 11270	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ∈ ℝ)
29		peano2re 11413	. . . . . 6 ⊢ ((√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ)
30	10, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ)
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ)
32	31, 27	remulcld 11270	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ∈ ℝ)
33		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
34	1, 2, 3, 33	rrnequiv 37864	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≤ (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∧ (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))))
35	34	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
36	19	lep1d 12178	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (√‘(♯‘𝐼)) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) + 1))
37		lemul1a 12100	. . . 4 ⊢ ((((√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ ∧ ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))) ∧ (√‘(♯‘𝐼)) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) + 1)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
38	19, 31, 26, 36, 37	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
39	18, 28, 32, 35, 38	letrd 11397	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
40	34	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≤ (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦))
41	18	recnd 11268	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∈ ℂ)
42	41	mullidd 11258	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (1 · (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦)) = (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦))
43	40, 42	breqtrrd 5152	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≤ (1 · (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦)))
44		eqid 2736	. 2 ⊢ ((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌))
45		rrntotbnd.2	. 2 ⊢ 𝑀 = ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))
46		ax-resscn 11191	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
47	1, 44	cnpwstotbnd 37826	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ ((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Bnd‘𝑌)))
48	46, 47	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ ((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Bnd‘𝑌)))
49	4, 5, 13, 15, 39, 43, 44, 45, 48	equivbnd2 37821	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124   × cxp 5657   ↾ cres 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8845  Fincfn 8964  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   ≤ cle 11275  ℕ₀cn0 12506  ℝ⁺crp 13013  ♯chash 14353  √csqrt 15257   ↾_s cress 17256  distcds 17285   ↑_s cpws 17465  Metcmet 21306  ℂ_fldccnfld 21320  TotBndctotbnd 37795  Bndcbnd 37796  ℝⁿcrrn 37854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-ec 8726  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-sum 15708  df-gz 16955  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-topgen 17462  df-prds 17466  df-pws 17468  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-xms 24264  df-ms 24265  df-totbnd 37797  df-bnd 37808  df-rrn 37855

This theorem is referenced by:  rrnheibor  37866