MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem metdsle 24368
Description: The distance from a point to a set is bounded by the distance to any member of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdsle (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem metdsle
StepHypRef Expression
1 simprr 772 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
2 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
32sselda 3983 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
43adantrr 716 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
51, 4jca 513 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
6 metdscn.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
76metdstri 24367 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (πΉβ€˜π΄)))
85, 7syldan 592 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (πΉβ€˜π΄)))
9 simpll 766 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
10 xmetsym 23853 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐡))
119, 1, 4, 10syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐡))
126metds0 24366 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
13123expa 1119 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
1413adantrr 716 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
1511, 14oveq12d 7427 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (πΉβ€˜π΄)) = ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 0))
16 xmetcl 23837 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
179, 4, 1, 16syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
1817xaddridd 13222 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 0) = (𝐴𝐷𝐡))
1915, 18eqtrd 2773 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (πΉβ€˜π΄)) = (𝐴𝐷𝐡))
208, 19breqtrd 5175 1 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  infcinf 9436  0cc0 11110  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   +𝑒 cxad 13090  βˆžMetcxmet 20929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-ec 8705  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-bl 20939
This theorem is referenced by:  metdsre  24369
  Copyright terms: Public domain W3C validator