MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem4 28302
Description: Lemma for ipassi 28309. Show the inner product associative law for positive integer reciprocals. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem4
StepHypRef Expression
1 nnrecre 11527 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
21recnd 10515 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
3 ip1i.9 . . . . . 6 𝑈 ∈ CPreHilOLD
43phnvi 28284 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
5 ip1i.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6 ip1i.4 . . . . . 6 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
75, 6nvscl 28094 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
84, 7mp3an1 1440 . . . 4 (((1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
92, 8sylan 580 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
10 ipasslem1.b . . . 4 𝐵𝑋
11 ip1i.7 . . . . 5 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
125, 11dipcl 28180 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
134, 10, 12mp3an13 1444 . . 3 (((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
149, 13syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
155, 11dipcl 28180 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
164, 10, 15mp3an13 1444 . . 3 (𝐴𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
17 mulcl 10467 . . 3 (((1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
182, 16, 17syl2an 595 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
19 nncn 11494 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2019adantr 481 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝑁 ∈ ℂ)
21 nnne0 11519 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
2221adantr 481 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝑁 ≠ 0)
2319, 21recidd 11259 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (1 / 𝑁)) = 1)
2423oveq1d 7031 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (1 · (𝐴𝑃𝐵)))
2516mulid2d 10505 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (1 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
2624, 25sylan9eq 2851 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
2723oveq1d 7031 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴))
285, 6nvsid 28095 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
294, 28mpan 686 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
3027, 29sylan9eq 2851 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = 𝐴)
312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
32 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
335, 6nvsass 28096 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
344, 33mpan 686 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
3520, 31, 32, 34syl3anc 1364 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
3630, 35eqtr3d 2833 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
3736oveq1d 7031 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
38 nnnn0 11752 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3938adantr 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝑁 ∈ ℕ0)
40 ip1i.2 . . . . . 6 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
415, 40, 6, 11, 3, 10ipasslem1 28299 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4239, 9, 41syl2anc 584 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4326, 37, 423eqtrd 2835 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4416adantl 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
4520, 31, 44mulassd 10510 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵))))
4643, 45eqtr3d 2833 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑁 · ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵))))
4714, 18, 20, 22, 46mulcanad 11123 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  cfv 6225  (class class class)co 7016  cc 10381  0cc0 10383  1c1 10384   · cmul 10388   / cdiv 11145  cn 11486  0cn0 11745  NrmCVeccnv 28052   +𝑣 cpv 28053  BaseSetcba 28054   ·𝑠OLD cns 28055  ·𝑖OLDcdip 28168  CPreHilOLDccphlo 28280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-sum 14877  df-grpo 27961  df-gid 27962  df-ginv 27963  df-ablo 28013  df-vc 28027  df-nv 28060  df-va 28063  df-ba 28064  df-sm 28065  df-0v 28066  df-nmcv 28068  df-dip 28169  df-ph 28281
This theorem is referenced by:  ipasslem5  28303
  Copyright terms: Public domain W3C validator