MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem4 28617
Description: Lemma for ipassi 28624. Show the inner product associative law for positive integer reciprocals. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem4
StepHypRef Expression
1 nnrecre 11667 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
21recnd 10658 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
3 ip1i.9 . . . . . 6 𝑈 ∈ CPreHilOLD
43phnvi 28599 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
5 ip1i.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6 ip1i.4 . . . . . 6 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
75, 6nvscl 28409 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
84, 7mp3an1 1445 . . . 4 (((1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
92, 8sylan 583 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
10 ipasslem1.b . . . 4 𝐵𝑋
11 ip1i.7 . . . . 5 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
125, 11dipcl 28495 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
134, 10, 12mp3an13 1449 . . 3 (((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
149, 13syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
155, 11dipcl 28495 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
164, 10, 15mp3an13 1449 . . 3 (𝐴𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
17 mulcl 10610 . . 3 (((1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
182, 16, 17syl2an 598 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
19 nncn 11633 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2019adantr 484 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝑁 ∈ ℂ)
21 nnne0 11659 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
2221adantr 484 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝑁 ≠ 0)
2319, 21recidd 11400 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (1 / 𝑁)) = 1)
2423oveq1d 7150 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (1 · (𝐴𝑃𝐵)))
2516mulid2d 10648 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (1 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
2624, 25sylan9eq 2853 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
2723oveq1d 7150 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴))
285, 6nvsid 28410 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
294, 28mpan 689 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
3027, 29sylan9eq 2853 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = 𝐴)
312adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
32 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
335, 6nvsass 28411 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
344, 33mpan 689 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
3520, 31, 32, 34syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
3630, 35eqtr3d 2835 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
3736oveq1d 7150 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
38 nnnn0 11892 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3938adantr 484 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝑁 ∈ ℕ0)
40 ip1i.2 . . . . . 6 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
415, 40, 6, 11, 3, 10ipasslem1 28614 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4239, 9, 41syl2anc 587 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4326, 37, 423eqtrd 2837 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4416adantl 485 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
4520, 31, 44mulassd 10653 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵))))
4643, 45eqtr3d 2835 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑁 · ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵))))
4714, 18, 20, 22, 46mulcanad 11264 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987  cfv 6324  (class class class)co 7135  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   / cdiv 11286  cn 11625  0cn0 11885  NrmCVeccnv 28367   +𝑣 cpv 28368  BaseSetcba 28369   ·𝑠OLD cns 28370  ·𝑖OLDcdip 28483  CPreHilOLDccphlo 28595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-grpo 28276  df-gid 28277  df-ginv 28278  df-ablo 28328  df-vc 28342  df-nv 28375  df-va 28378  df-ba 28379  df-sm 28380  df-0v 28381  df-nmcv 28383  df-dip 28484  df-ph 28596
This theorem is referenced by:  ipasslem5  28618
  Copyright terms: Public domain W3C validator