Theorem ipasslem4 30923

Description: Lemma for ipassi 30930. Show the inner product associative law for positive integer reciprocals. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem4	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrecre 12213	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11167	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
3		ip1i.9	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
4	3	phnvi 30905	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
5		ip1i.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		ip1i.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7	5, 6	nvscl 30715	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
8	4, 7	mp3an1 1451	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
9	2, 8	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
10		ipasslem1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
11		ip1i.7	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
12	5, 11	dipcl 30801	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
13	4, 10, 12	mp3an13 1455	. . 3 ⊢ (((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
14	9, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
15	5, 11	dipcl 30801	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
16	4, 10, 15	mp3an13 1455	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
17		mulcl 11116	. . 3 ⊢ (((1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
18	2, 16, 17	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
19		nncn 12176	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
20	19	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑁 ∈ ℂ)
21		nnne0 12205	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
22	21	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑁 ≠ 0)
23	19, 21	recidd 11920	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (1 / 𝑁)) = 1)
24	23	oveq1d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (1 · (𝐴𝑃𝐵)))
25	16	mullidd 11157	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
26	24, 25	sylan9eq 2792	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
27	23	oveq1d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴))
28	5, 6	nvsid 30716	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
29	4, 28	mpan 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
30	27, 29	sylan9eq 2792	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = 𝐴)
31	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
32		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
33	5, 6	nvsass 30717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
34	4, 33	mpan 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
35	20, 31, 32, 34	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
36	30, 35	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
37	36	oveq1d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
38		nnnn0 12438	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
39	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑁 ∈ ℕ0)
40		ip1i.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
41	5, 40, 6, 11, 3, 10	ipasslem1 30920	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
42	39, 9, 41	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
43	26, 37, 42	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
44	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
45	20, 31, 44	mulassd 11162	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵))))
46	43, 45	eqtr3d 2774	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑁 · ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵))))
47	14, 18, 20, 22, 46	mulcanad 11779	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  0cc0 11032  1c1 11033   · cmul 11037   / cdiv 11801  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  NrmCVeccnv 30673   +_𝑣 cpv 30674  BaseSetcba 30675   ·_𝑠OLD cns 30676  ·_𝑖OLDcdip 30789  CPreHil_OLDccphlo 30901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-sum 15643  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-nmcv 30689  df-dip 30790  df-ph 30902

This theorem is referenced by:  ipasslem5  30924