MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem4 30853
Description: Lemma for ipassi 30860. Show the inner product associative law for positive integer reciprocals. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem4
StepHypRef Expression
1 nnrecre 12308 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
21recnd 11289 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
3 ip1i.9 . . . . . 6 𝑈 ∈ CPreHilOLD
43phnvi 30835 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
5 ip1i.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6 ip1i.4 . . . . . 6 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
75, 6nvscl 30645 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
84, 7mp3an1 1450 . . . 4 (((1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
92, 8sylan 580 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
10 ipasslem1.b . . . 4 𝐵𝑋
11 ip1i.7 . . . . 5 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
125, 11dipcl 30731 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
134, 10, 12mp3an13 1454 . . 3 (((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
149, 13syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
155, 11dipcl 30731 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
164, 10, 15mp3an13 1454 . . 3 (𝐴𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
17 mulcl 11239 . . 3 (((1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
182, 16, 17syl2an 596 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
19 nncn 12274 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2019adantr 480 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝑁 ∈ ℂ)
21 nnne0 12300 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
2221adantr 480 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝑁 ≠ 0)
2319, 21recidd 12038 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (1 / 𝑁)) = 1)
2423oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (1 · (𝐴𝑃𝐵)))
2516mullidd 11279 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (1 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
2624, 25sylan9eq 2797 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
2723oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴))
285, 6nvsid 30646 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
294, 28mpan 690 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
3027, 29sylan9eq 2797 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = 𝐴)
312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
32 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
335, 6nvsass 30647 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
344, 33mpan 690 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
3520, 31, 32, 34syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
3630, 35eqtr3d 2779 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
3736oveq1d 7446 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
38 nnnn0 12533 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3938adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝑁 ∈ ℕ0)
40 ip1i.2 . . . . . 6 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
415, 40, 6, 11, 3, 10ipasslem1 30850 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4239, 9, 41syl2anc 584 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4326, 37, 423eqtrd 2781 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4416adantl 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
4520, 31, 44mulassd 11284 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵))))
4643, 45eqtr3d 2779 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑁 · ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵))))
4714, 18, 20, 22, 46mulcanad 11898 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  NrmCVeccnv 30603   +𝑣 cpv 30604  BaseSetcba 30605   ·𝑠OLD cns 30606  ·𝑖OLDcdip 30719  CPreHilOLDccphlo 30831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-nmcv 30619  df-dip 30720  df-ph 30832
This theorem is referenced by:  ipasslem5  30854
  Copyright terms: Public domain W3C validator