MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipasslem4 30596
Description: Lemma for ipassi 30603. Show the inner product associative law for positive integer reciprocals. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ip1i.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐡 ∈ 𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((1 / 𝑁) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
Proof of Theorem ipasslem4
StepHypRef Expression
1 nnrecre 12258 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
21recnd 11246 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑁) ∈ β„‚)
3 ip1i.9 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
43phnvi 30578 . . . . 5 π‘ˆ ∈ NrmCVec
5 ip1i.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
6 ip1i.4 . . . . . 6 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
75, 6nvscl 30388 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝑁) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
84, 7mp3an1 1444 . . . 4 (((1 / 𝑁) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
92, 8sylan 579 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
10 ipasslem1.b . . . 4 𝐡 ∈ 𝑋
11 ip1i.7 . . . . 5 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
125, 11dipcl 30474 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
134, 10, 12mp3an13 1448 . . 3 (((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 β†’ (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
149, 13syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
155, 11dipcl 30474 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
164, 10, 15mp3an13 1448 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
17 mulcl 11196 . . 3 (((1 / 𝑁) ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚) β†’ ((1 / 𝑁) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ β„‚)
182, 16, 17syl2an 595 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1 / 𝑁) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ β„‚)
19 nncn 12224 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
2019adantr 480 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
21 nnne0 12250 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 β‰  0)
2221adantr 480 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝑁 β‰  0)
2319, 21recidd 11989 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 Β· (1 / 𝑁)) = 1)
2423oveq1d 7420 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 Β· (1 / 𝑁)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (1 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
2516mullidd 11236 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (1 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝐴𝑃𝐡))
2624, 25sylan9eq 2786 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 Β· (1 / 𝑁)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝐴𝑃𝐡))
2723oveq1d 7420 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 Β· (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴))
285, 6nvsid 30389 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐴) = 𝐴)
294, 28mpan 687 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (1𝑆𝐴) = 𝐴)
3027, 29sylan9eq 2786 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 Β· (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = 𝐴)
312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑁) ∈ β„‚)
32 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
335, 6nvsass 30390 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ β„‚ ∧ (1 / 𝑁) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑁 Β· (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
344, 33mpan 687 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ (1 / 𝑁) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 Β· (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
3520, 31, 32, 34syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 Β· (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
3630, 35eqtr3d 2768 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
3736oveq1d 7420 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐡))
38 nnnn0 12483 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3938adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
40 ip1i.2 . . . . . 6 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
415, 40, 6, 11, 3, 10ipasslem1 30593 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐡) = (𝑁 Β· (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
4239, 9, 41syl2anc 583 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐡) = (𝑁 Β· (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
4326, 37, 423eqtrd 2770 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 Β· (1 / 𝑁)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝑁 Β· (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
4416adantl 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
4520, 31, 44mulassd 11241 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 Β· (1 / 𝑁)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝑁 Β· ((1 / 𝑁) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
4643, 45eqtr3d 2768 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑁 Β· (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐡)) = (𝑁 Β· ((1 / 𝑁) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
4714, 18, 20, 22, 46mulcanad 11853 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((1 / 𝑁) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  NrmCVeccnv 30346   +𝑣 cpv 30347  BaseSetcba 30348   ·𝑠OLD cns 30349  Β·π‘–OLDcdip 30462  CPreHilOLDccphlo 30574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ginv 30257  df-ablo 30307  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-nmcv 30362  df-dip 30463  df-ph 30575
This theorem is referenced by:  ipasslem5  30597
  Copyright terms: Public domain W3C validator