Theorem ipasslem4 30853

Description: Lemma for ipassi 30860. Show the inner product associative law for positive integer reciprocals. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem4	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrecre 12308	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11289	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
3		ip1i.9	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
4	3	phnvi 30835	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
5		ip1i.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		ip1i.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7	5, 6	nvscl 30645	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
8	4, 7	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
9	2, 8	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
10		ipasslem1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
11		ip1i.7	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
12	5, 11	dipcl 30731	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
13	4, 10, 12	mp3an13 1454	. . 3 ⊢ (((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
14	9, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
15	5, 11	dipcl 30731	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
16	4, 10, 15	mp3an13 1454	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
17		mulcl 11239	. . 3 ⊢ (((1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
18	2, 16, 17	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
19		nncn 12274	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
20	19	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑁 ∈ ℂ)
21		nnne0 12300	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
22	21	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑁 ≠ 0)
23	19, 21	recidd 12038	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (1 / 𝑁)) = 1)
24	23	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (1 · (𝐴𝑃𝐵)))
25	16	mullidd 11279	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
26	24, 25	sylan9eq 2797	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
27	23	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴))
28	5, 6	nvsid 30646	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
29	4, 28	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
30	27, 29	sylan9eq 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = 𝐴)
31	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
32		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
33	5, 6	nvsass 30647	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
34	4, 33	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
35	20, 31, 32, 34	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
36	30, 35	eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
37	36	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
38		nnnn0 12533	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
39	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑁 ∈ ℕ0)
40		ip1i.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
41	5, 40, 6, 11, 3, 10	ipasslem1 30850	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
42	39, 9, 41	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
43	26, 37, 42	3eqtrd 2781	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
44	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
45	20, 31, 44	mulassd 11284	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵))))
46	43, 45	eqtr3d 2779	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑁 · ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵))))
47	14, 18, 20, 22, 46	mulcanad 11898	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   / cdiv 11920  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  NrmCVeccnv 30603   +_𝑣 cpv 30604  BaseSetcba 30605   ·_𝑠OLD cns 30606  ·_𝑖OLDcdip 30719  CPreHil_OLDccphlo 30831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-nmcv 30619  df-dip 30720  df-ph 30832

This theorem is referenced by:  ipasslem5  30854