Theorem ipasslem4 30926

Description: Lemma for ipassi 30933. Show the inner product associative law for positive integer reciprocals. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem4	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrecre 12199	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11172	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
3		ip1i.9	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
4	3	phnvi 30908	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
5		ip1i.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		ip1i.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7	5, 6	nvscl 30718	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
8	4, 7	mp3an1 1451	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
9	2, 8	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
10		ipasslem1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
11		ip1i.7	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
12	5, 11	dipcl 30804	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
13	4, 10, 12	mp3an13 1455	. . 3 ⊢ (((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
14	9, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
15	5, 11	dipcl 30804	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
16	4, 10, 15	mp3an13 1455	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
17		mulcl 11122	. . 3 ⊢ (((1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
18	2, 16, 17	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
19		nncn 12165	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
20	19	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑁 ∈ ℂ)
21		nnne0 12191	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
22	21	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑁 ≠ 0)
23	19, 21	recidd 11924	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (1 / 𝑁)) = 1)
24	23	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (1 · (𝐴𝑃𝐵)))
25	16	mullidd 11162	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
26	24, 25	sylan9eq 2792	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
27	23	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴))
28	5, 6	nvsid 30719	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
29	4, 28	mpan 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
30	27, 29	sylan9eq 2792	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = 𝐴)
31	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
32		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
33	5, 6	nvsass 30720	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
34	4, 33	mpan 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
35	20, 31, 32, 34	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
36	30, 35	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
37	36	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
38		nnnn0 12420	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
39	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑁 ∈ ℕ0)
40		ip1i.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
41	5, 40, 6, 11, 3, 10	ipasslem1 30923	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
42	39, 9, 41	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
43	26, 37, 42	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
44	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
45	20, 31, 44	mulassd 11167	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵))))
46	43, 45	eqtr3d 2774	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑁 · ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵))))
47	14, 18, 20, 22, 46	mulcanad 11784	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   / cdiv 11806  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  NrmCVeccnv 30676   +_𝑣 cpv 30677  BaseSetcba 30678   ·_𝑠OLD cns 30679  ·_𝑖OLDcdip 30792  CPreHil_OLDccphlo 30904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-grpo 30585  df-gid 30586  df-ginv 30587  df-ablo 30637  df-vc 30651  df-nv 30684  df-va 30687  df-ba 30688  df-sm 30689  df-0v 30690  df-nmcv 30692  df-dip 30793  df-ph 30905

This theorem is referenced by:  ipasslem5  30927