Theorem ipasslem4 31127

Description: Lemma for ipassi 31134. Show the inner product associative law for positive integer reciprocals. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem4	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrecre 12278	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11237	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
3		ip1i.9	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
4	3	phnvi 31109	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
5		ip1i.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		ip1i.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7	5, 6	nvscl 30919	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
8	4, 7	mp3an1 1474	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
9	2, 8	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
10		ipasslem1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
11		ip1i.7	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
12	5, 11	dipcl 31005	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
13	4, 10, 12	mp3an13 1478	. . 3 ⊢ (((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
14	9, 13	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
15	5, 11	dipcl 31005	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
16	4, 10, 15	mp3an13 1478	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
17		mulcl 11184	. . 3 ⊢ (((1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
18	2, 16, 17	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
19		nncn 12241	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
20	19	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑁 ∈ ℂ)
21		nnne0 12270	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
22	21	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑁 ≠ 0)
23	19, 21	recidd 11986	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (1 / 𝑁)) = 1)
24	23	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (1 · (𝐴𝑃𝐵)))
25	16	mullidd 11227	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
26	24, 25	sylan9eq 2824	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
27	23	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴))
28	5, 6	nvsid 30920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
29	4, 28	mpan 702	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
30	27, 29	sylan9eq 2824	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = 𝐴)
31	2	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
32		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
33	5, 6	nvsass 30921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
34	4, 33	mpan 702	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
35	20, 31, 32, 34	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
36	30, 35	eqtr3d 2806	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
37	36	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
38		nnnn0 12511	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
39	38	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑁 ∈ ℕ0)
40		ip1i.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
41	5, 40, 6, 11, 3, 10	ipasslem1 31124	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
42	39, 9, 41	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
43	26, 37, 42	3eqtrd 2808	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
44	16	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
45	20, 31, 44	mulassd 11232	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵))))
46	43, 45	eqtr3d 2806	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑁 · ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵))))
47	14, 18, 20, 22, 46	mulcanad 11849	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  0cc0 11100  1c1 11101   · cmul 11105   / cdiv 11871  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504  NrmCVeccnv 30877   +_𝑣 cpv 30878  BaseSetcba 30879   ·_𝑠OLD cns 30880  ·_𝑖OLDcdip 30993  CPreHil_OLDccphlo 31105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-sum 15738  df-grpo 30786  df-gid 30787  df-ginv 30788  df-ablo 30838  df-vc 30852  df-nv 30885  df-va 30888  df-ba 30889  df-sm 30890  df-0v 30891  df-nmcv 30893  df-dip 30994  df-ph 31106

This theorem is referenced by:  ipasslem5  31128