Theorem ipasslem4 31436

Description: Lemma for ipassi 31443. Show the inner product associative law for positive integer reciprocals. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem4	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrecre 12380	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11337	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
3		ip1i.9	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
4	3	phnvi 31418	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
5		ip1i.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		ip1i.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7	5, 6	nvscl 31228	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
8	4, 7	mp3an1 1477	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
9	2, 8	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
10		ipasslem1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
11		ip1i.7	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
12	5, 11	dipcl 31314	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
13	4, 10, 12	mp3an13 1481	. . 3 ⊢ (((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
14	9, 13	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
15	5, 11	dipcl 31314	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
16	4, 10, 15	mp3an13 1481	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
17		mulcl 11284	. . 3 ⊢ (((1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
18	2, 16, 17	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
19		nncn 12343	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
20	19	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑁 ∈ ℂ)
21		nnne0 12372	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
22	21	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑁 ≠ 0)
23	19, 21	recidd 12088	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (1 / 𝑁)) = 1)
24	23	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (1 · (𝐴𝑃𝐵)))
25	16	mullidd 11327	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
26	24, 25	sylan9eq 2815	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
27	23	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴))
28	5, 6	nvsid 31229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
29	4, 28	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
30	27, 29	sylan9eq 2815	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = 𝐴)
31	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
32		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
33	5, 6	nvsass 31230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
34	4, 33	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
35	20, 31, 32, 34	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
36	30, 35	eqtr3d 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
37	36	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
38		nnnn0 12613	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
39	38	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑁 ∈ ℕ0)
40		ip1i.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
41	5, 40, 6, 11, 3, 10	ipasslem1 31433	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
42	39, 9, 41	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
43	26, 37, 42	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
44	16	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
45	20, 31, 44	mulassd 11332	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵))))
46	43, 45	eqtr3d 2797	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑁 · ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵))))
47	14, 18, 20, 22, 46	mulcanad 11951	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205   / cdiv 11973  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  NrmCVeccnv 31186   +_𝑣 cpv 31187  BaseSetcba 31188   ·_𝑠OLD cns 31189  ·_𝑖OLDcdip 31302  CPreHil_OLDccphlo 31414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854  df-grpo 31095  df-gid 31096  df-ginv 31097  df-ablo 31147  df-vc 31161  df-nv 31194  df-va 31197  df-ba 31198  df-sm 31199  df-0v 31200  df-nmcv 31202  df-dip 31303  df-ph 31415

This theorem is used by:  ipasslem5  31437