MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipasslem4 30688
Description: Lemma for ipassi 30695. Show the inner product associative law for positive integer reciprocals. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ip1i.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐡 ∈ 𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((1 / 𝑁) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
Proof of Theorem ipasslem4
StepHypRef Expression
1 nnrecre 12284 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
21recnd 11272 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑁) ∈ β„‚)
3 ip1i.9 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
43phnvi 30670 . . . . 5 π‘ˆ ∈ NrmCVec
5 ip1i.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
6 ip1i.4 . . . . . 6 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
75, 6nvscl 30480 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝑁) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
84, 7mp3an1 1444 . . . 4 (((1 / 𝑁) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
92, 8sylan 578 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
10 ipasslem1.b . . . 4 𝐡 ∈ 𝑋
11 ip1i.7 . . . . 5 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
125, 11dipcl 30566 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
134, 10, 12mp3an13 1448 . . 3 (((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 β†’ (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
149, 13syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
155, 11dipcl 30566 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
164, 10, 15mp3an13 1448 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
17 mulcl 11222 . . 3 (((1 / 𝑁) ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚) β†’ ((1 / 𝑁) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ β„‚)
182, 16, 17syl2an 594 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1 / 𝑁) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ β„‚)
19 nncn 12250 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
2019adantr 479 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
21 nnne0 12276 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 β‰  0)
2221adantr 479 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝑁 β‰  0)
2319, 21recidd 12015 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 Β· (1 / 𝑁)) = 1)
2423oveq1d 7431 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 Β· (1 / 𝑁)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (1 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
2516mullidd 11262 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (1 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝐴𝑃𝐡))
2624, 25sylan9eq 2785 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 Β· (1 / 𝑁)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝐴𝑃𝐡))
2723oveq1d 7431 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 Β· (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴))
285, 6nvsid 30481 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐴) = 𝐴)
294, 28mpan 688 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (1𝑆𝐴) = 𝐴)
3027, 29sylan9eq 2785 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 Β· (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = 𝐴)
312adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑁) ∈ β„‚)
32 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
335, 6nvsass 30482 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ β„‚ ∧ (1 / 𝑁) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑁 Β· (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
344, 33mpan 688 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ (1 / 𝑁) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 Β· (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
3520, 31, 32, 34syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 Β· (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
3630, 35eqtr3d 2767 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
3736oveq1d 7431 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐡))
38 nnnn0 12509 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3938adantr 479 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
40 ip1i.2 . . . . . 6 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
415, 40, 6, 11, 3, 10ipasslem1 30685 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐡) = (𝑁 Β· (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
4239, 9, 41syl2anc 582 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐡) = (𝑁 Β· (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
4326, 37, 423eqtrd 2769 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 Β· (1 / 𝑁)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝑁 Β· (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
4416adantl 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
4520, 31, 44mulassd 11267 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 Β· (1 / 𝑁)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝑁 Β· ((1 / 𝑁) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
4643, 45eqtr3d 2767 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑁 Β· (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐡)) = (𝑁 Β· ((1 / 𝑁) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
4714, 18, 20, 22, 46mulcanad 11879 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((1 / 𝑁) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   Β· cmul 11143   / cdiv 11901  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502  NrmCVeccnv 30438   +𝑣 cpv 30439  BaseSetcba 30440   ·𝑠OLD cns 30441  Β·π‘–OLDcdip 30554  CPreHilOLDccphlo 30666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-grpo 30347  df-gid 30348  df-ginv 30349  df-ablo 30399  df-vc 30413  df-nv 30446  df-va 30449  df-ba 30450  df-sm 30451  df-0v 30452  df-nmcv 30454  df-dip 30555  df-ph 30667
This theorem is referenced by:  ipasslem5  30689
  Copyright terms: Public domain W3C validator