MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qredeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qredeu 16634
Description: Every rational number has a unique reduced form. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
qredeu (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem qredeu
Dummy variables ๐‘› ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnz 12615 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
2 gcddvds 16483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘ง โˆง (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘›))
32simpld 493 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘ง)
41, 3sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘ง)
5 gcdcl 16486 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
61, 5sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
76nn0zd 12620 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
8 simpl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
91adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
10 nnne0 12282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โ‰  0)
1110neneqd 2941 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ ๐‘› = 0)
1211intnand 487 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ (๐‘ง = 0 โˆง ๐‘› = 0))
1312adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ (๐‘ง = 0 โˆง ๐‘› = 0))
14 gcdn0cl 16482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘ง = 0 โˆง ๐‘› = 0)) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„•)
158, 9, 13, 14syl21anc 836 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„•)
16 nnne0 12282 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โ‰  0)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โ‰  0)
18 dvdsval2 16239 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ง gcd ๐‘›) โ‰  0 โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘ง โ†” (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค))
197, 17, 8, 18syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘ง โ†” (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค))
204, 19mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค)
21203adant3 1129 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค)
222simprd 494 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘›)
231, 22sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘›)
24 dvdsval2 16239 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ง gcd ๐‘›) โ‰  0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘› โ†” (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค))
257, 17, 9, 24syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘› โ†” (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค))
2623, 25mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค)
27 nnre 12255 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
2827adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
296nn0red 12569 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„)
30 nngt0 12279 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘›)
3130adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐‘›)
32 nngt0 12279 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„• โ†’ 0 < (๐‘ง gcd ๐‘›))
3315, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐‘ง gcd ๐‘›))
3428, 29, 31, 33divgt0d 12185 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))
3526, 34jca 510 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))
36353adant3 1129 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ ((๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))
37 elnnz 12604 . . . . . . . 8 ((๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„• โ†” ((๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))
3836, 37sylibr 233 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„•)
3921, 38opelxpd 5719 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•))
4020, 26gcdcld 16488 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) โˆˆ โ„•0)
4140nn0cnd 12570 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
42 1cnd 11245 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
436nn0cnd 12570 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
4443mulridd 11267 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท 1) = (๐‘ง gcd ๐‘›))
45 zcn 12599 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
4645adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
4746, 43, 17divcan2d 12028 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = ๐‘ง)
48 nncn 12256 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
4948adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
5049, 43, 17divcan2d 12028 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = ๐‘›)
5147, 50oveq12d 7442 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›))) gcd ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))) = (๐‘ง gcd ๐‘›))
52 mulgcd 16529 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›))) gcd ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))) = ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))))
536, 20, 26, 52syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›))) gcd ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))) = ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))))
5444, 51, 533eqtr2rd 2774 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))) = ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท 1))
5541, 42, 43, 17, 54mulcanad 11885 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = 1)
56553adant3 1129 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = 1)
5710adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โ‰  0)
5846, 49, 43, 57, 17divcan7d 12054 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) / (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = (๐‘ง / ๐‘›))
5958eqeq2d 2738 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด = ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) / (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) โ†” ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)))
6059biimp3ar 1466 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ ๐ด = ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) / (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))
61 ovex 7457 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ V
62 ovex 7457 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ V
6361, 62op1std 8007 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)))
6461, 62op2ndd 8008 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))
6563, 64oveq12d 7442 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))
6665eqeq1d 2729 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โ†’ (((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โ†” ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = 1))
6763, 64oveq12d 7442 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) / (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))
6867eqeq2d 2738 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โ†’ (๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โ†” ๐ด = ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) / (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))))
6966, 68anbi12d 630 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โ†’ ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โ†” (((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = 1 โˆง ๐ด = ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) / (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))))
7069rspcev 3609 . . . . . 6 ((โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•) โˆง (((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = 1 โˆง ๐ด = ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) / (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
7139, 56, 60, 70syl12anc 835 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
72 elxp6 8031 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•) โ†” (๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)))
73 elxp6 8031 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•) โ†” (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)))
74 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
7574ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
76 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
7776ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
78 simprll 777 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1)
79 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
8079ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
81 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)
8281ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)
83 simprrl 779 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1)
84 simprlr 778 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ)))
85 simprrr 780 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
8684, 85eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
87 qredeq 16633 . . . . . . . . . . 11 ((((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1) โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„• โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1) โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) = (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
8875, 77, 78, 80, 82, 83, 86, 87syl331anc 1392 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) = (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
89 fvex 6913 . . . . . . . . . . 11 (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V
90 fvex 6913 . . . . . . . . . . 11 (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V
9189, 90opth 5480 . . . . . . . . . 10 (โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โ†” ((1st โ€˜๐‘ฅ) = (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
9288, 91sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ)
93 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)
94 simplrl 775 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ)
9592, 93, 943eqtr4d 2777 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
9695ex 411 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โ†’ (((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
9772, 73, 96syl2anb 596 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)) โ†’ (((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
9897rgen2 3193 . . . . 5 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
9971, 98jctir 519 . . . 4 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
100993expia 1118 . . 3 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด = (๐‘ง / ๐‘›) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))))
101100rexlimivv 3195 . 2 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
102 elq 12970 . 2 (๐ด โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›))
103 fveq2 6900 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) = (1st โ€˜๐‘ฆ))
104 fveq2 6900 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜๐‘ฆ))
105103, 104oveq12d 7442 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
106105eqeq1d 2729 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โ†” ((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1))
107103, 104oveq12d 7442 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
108107eqeq2d 2738 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โ†” ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))
109106, 108anbi12d 630 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โ†” (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))))
110109reu4 3726 . 2 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
111101, 102, 1103imtr4i 291 1 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2936  โˆ€wral 3057  โˆƒwrex 3066  โˆƒ!wreu 3370  โŸจcop 4636   class class class wbr 5150   ร— cxp 5678  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  1st c1st 7995  2nd c2nd 7996  โ„‚cc 11142  โ„cr 11143  0cc0 11144  1c1 11145   ยท cmul 11149   < clt 11284   / cdiv 11907  โ„•cn 12248  โ„•0cn0 12508  โ„คcz 12594  โ„šcq 12968   โˆฅ cdvds 16236   gcd cgcd 16474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-dvds 16237  df-gcd 16475
This theorem is referenced by:  qnumdencl  16716  qnumdenbi  16721
  Copyright terms: Public domain W3C validator