MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qredeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qredeu 16600
Description: Every rational number has a unique reduced form. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
qredeu (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem qredeu
Dummy variables ๐‘› ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnz 12580 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
2 gcddvds 16449 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘ง โˆง (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘›))
32simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘ง)
41, 3sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘ง)
5 gcdcl 16452 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
61, 5sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
76nn0zd 12585 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
8 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
91adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
10 nnne0 12247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โ‰  0)
1110neneqd 2939 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ ๐‘› = 0)
1211intnand 488 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ (๐‘ง = 0 โˆง ๐‘› = 0))
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ (๐‘ง = 0 โˆง ๐‘› = 0))
14 gcdn0cl 16448 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘ง = 0 โˆง ๐‘› = 0)) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„•)
158, 9, 13, 14syl21anc 835 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„•)
16 nnne0 12247 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โ‰  0)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โ‰  0)
18 dvdsval2 16205 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ง gcd ๐‘›) โ‰  0 โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘ง โ†” (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค))
197, 17, 8, 18syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘ง โ†” (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค))
204, 19mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค)
21203adant3 1129 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค)
222simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘›)
231, 22sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘›)
24 dvdsval2 16205 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ง gcd ๐‘›) โ‰  0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘› โ†” (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค))
257, 17, 9, 24syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘› โ†” (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค))
2623, 25mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค)
27 nnre 12220 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
2827adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
296nn0red 12534 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„)
30 nngt0 12244 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘›)
3130adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐‘›)
32 nngt0 12244 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„• โ†’ 0 < (๐‘ง gcd ๐‘›))
3315, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐‘ง gcd ๐‘›))
3428, 29, 31, 33divgt0d 12150 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))
3526, 34jca 511 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))
36353adant3 1129 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ ((๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))
37 elnnz 12569 . . . . . . . 8 ((๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„• โ†” ((๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))
3836, 37sylibr 233 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„•)
3921, 38opelxpd 5708 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•))
4020, 26gcdcld 16454 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) โˆˆ โ„•0)
4140nn0cnd 12535 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
42 1cnd 11210 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
436nn0cnd 12535 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
4443mulridd 11232 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท 1) = (๐‘ง gcd ๐‘›))
45 zcn 12564 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
4645adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
4746, 43, 17divcan2d 11993 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = ๐‘ง)
48 nncn 12221 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
4948adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
5049, 43, 17divcan2d 11993 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = ๐‘›)
5147, 50oveq12d 7422 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›))) gcd ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))) = (๐‘ง gcd ๐‘›))
52 mulgcd 16495 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›))) gcd ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))) = ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))))
536, 20, 26, 52syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›))) gcd ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))) = ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))))
5444, 51, 533eqtr2rd 2773 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))) = ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท 1))
5541, 42, 43, 17, 54mulcanad 11850 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = 1)
56553adant3 1129 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = 1)
5710adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โ‰  0)
5846, 49, 43, 57, 17divcan7d 12019 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) / (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = (๐‘ง / ๐‘›))
5958eqeq2d 2737 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด = ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) / (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) โ†” ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)))
6059biimp3ar 1466 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ ๐ด = ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) / (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))
61 ovex 7437 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ V
62 ovex 7437 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ V
6361, 62op1std 7981 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)))
6461, 62op2ndd 7982 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))
6563, 64oveq12d 7422 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))
6665eqeq1d 2728 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โ†’ (((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โ†” ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = 1))
6763, 64oveq12d 7422 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) / (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))
6867eqeq2d 2737 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โ†’ (๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โ†” ๐ด = ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) / (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))))
6966, 68anbi12d 630 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โ†’ ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โ†” (((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = 1 โˆง ๐ด = ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) / (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))))
7069rspcev 3606 . . . . . 6 ((โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•) โˆง (((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = 1 โˆง ๐ด = ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) / (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
7139, 56, 60, 70syl12anc 834 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
72 elxp6 8005 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•) โ†” (๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)))
73 elxp6 8005 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•) โ†” (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)))
74 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
7574ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
76 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
7776ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
78 simprll 776 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1)
79 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
8079ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
81 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)
8281ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)
83 simprrl 778 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1)
84 simprlr 777 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ)))
85 simprrr 779 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
8684, 85eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
87 qredeq 16599 . . . . . . . . . . 11 ((((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1) โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„• โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1) โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) = (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
8875, 77, 78, 80, 82, 83, 86, 87syl331anc 1392 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) = (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
89 fvex 6897 . . . . . . . . . . 11 (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V
90 fvex 6897 . . . . . . . . . . 11 (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V
9189, 90opth 5469 . . . . . . . . . 10 (โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โ†” ((1st โ€˜๐‘ฅ) = (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
9288, 91sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ)
93 simplll 772 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)
94 simplrl 774 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ)
9592, 93, 943eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
9695ex 412 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โ†’ (((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
9772, 73, 96syl2anb 597 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)) โ†’ (((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
9897rgen2 3191 . . . . 5 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
9971, 98jctir 520 . . . 4 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
100993expia 1118 . . 3 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด = (๐‘ง / ๐‘›) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))))
101100rexlimivv 3193 . 2 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
102 elq 12935 . 2 (๐ด โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›))
103 fveq2 6884 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) = (1st โ€˜๐‘ฆ))
104 fveq2 6884 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜๐‘ฆ))
105103, 104oveq12d 7422 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
106105eqeq1d 2728 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โ†” ((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1))
107103, 104oveq12d 7422 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
108107eqeq2d 2737 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โ†” ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))
109106, 108anbi12d 630 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โ†” (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))))
110109reu4 3722 . 2 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
111101, 102, 1103imtr4i 292 1 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064  โˆƒ!wreu 3368  โŸจcop 4629   class class class wbr 5141   ร— cxp 5667  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  1st c1st 7969  2nd c2nd 7970  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114   < clt 11249   / cdiv 11872  โ„•cn 12213  โ„•0cn0 12473  โ„คcz 12559  โ„šcq 12933   โˆฅ cdvds 16202   gcd cgcd 16440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16203  df-gcd 16441
This theorem is referenced by:  qnumdencl  16682  qnumdenbi  16687
  Copyright terms: Public domain W3C validator