MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qredeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qredeu 16539
Description: Every rational number has a unique reduced form. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
qredeu (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem qredeu
Dummy variables ๐‘› ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnz 12525 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
2 gcddvds 16388 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘ง โˆง (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘›))
32simpld 496 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘ง)
41, 3sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘ง)
5 gcdcl 16391 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
61, 5sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
76nn0zd 12530 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
8 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
91adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
10 nnne0 12192 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โ‰  0)
1110neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ ๐‘› = 0)
1211intnand 490 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ (๐‘ง = 0 โˆง ๐‘› = 0))
1312adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ (๐‘ง = 0 โˆง ๐‘› = 0))
14 gcdn0cl 16387 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘ง = 0 โˆง ๐‘› = 0)) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„•)
158, 9, 13, 14syl21anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„•)
16 nnne0 12192 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โ‰  0)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โ‰  0)
18 dvdsval2 16144 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ง gcd ๐‘›) โ‰  0 โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘ง โ†” (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค))
197, 17, 8, 18syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘ง โ†” (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค))
204, 19mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค)
21203adant3 1133 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค)
222simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘›)
231, 22sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘›)
24 dvdsval2 16144 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ง gcd ๐‘›) โ‰  0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘› โ†” (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค))
257, 17, 9, 24syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆฅ ๐‘› โ†” (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค))
2623, 25mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค)
27 nnre 12165 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
2827adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
296nn0red 12479 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„)
30 nngt0 12189 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘›)
3130adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐‘›)
32 nngt0 12189 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„• โ†’ 0 < (๐‘ง gcd ๐‘›))
3315, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐‘ง gcd ๐‘›))
3428, 29, 31, 33divgt0d 12095 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))
3526, 34jca 513 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))
36353adant3 1133 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ ((๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))
37 elnnz 12514 . . . . . . . 8 ((๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„• โ†” ((๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))
3836, 37sylibr 233 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„•)
3921, 38opelxpd 5672 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•))
4020, 26gcdcld 16393 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) โˆˆ โ„•0)
4140nn0cnd 12480 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
42 1cnd 11155 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
436nn0cnd 12480 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
4443mulid1d 11177 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท 1) = (๐‘ง gcd ๐‘›))
45 zcn 12509 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
4645adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
4746, 43, 17divcan2d 11938 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = ๐‘ง)
48 nncn 12166 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
4948adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
5049, 43, 17divcan2d 11938 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = ๐‘›)
5147, 50oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›))) gcd ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))) = (๐‘ง gcd ๐‘›))
52 mulgcd 16434 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง gcd ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›))) gcd ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))) = ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))))
536, 20, 26, 52syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›))) gcd ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))) = ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))))
5444, 51, 533eqtr2rd 2780 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))) = ((๐‘ง gcd ๐‘›) ยท 1))
5541, 42, 43, 17, 54mulcanad 11795 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = 1)
56553adant3 1133 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = 1)
5710adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โ‰  0)
5846, 49, 43, 57, 17divcan7d 11964 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) / (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = (๐‘ง / ๐‘›))
5958eqeq2d 2744 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด = ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) / (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) โ†” ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)))
6059biimp3ar 1471 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ ๐ด = ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) / (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))
61 ovex 7391 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ V
62 ovex 7391 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)) โˆˆ V
6361, 62op1std 7932 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)))
6461, 62op2ndd 7933 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))
6563, 64oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))
6665eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โ†’ (((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โ†” ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = 1))
6763, 64oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) / (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))
6867eqeq2d 2744 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โ†’ (๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โ†” ๐ด = ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) / (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›)))))
6966, 68anbi12d 632 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โ†’ ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โ†” (((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = 1 โˆง ๐ด = ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) / (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))))
7069rspcev 3580 . . . . . 6 ((โŸจ(๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)), (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))โŸฉ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•) โˆง (((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) gcd (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))) = 1 โˆง ๐ด = ((๐‘ง / (๐‘ง gcd ๐‘›)) / (๐‘› / (๐‘ง gcd ๐‘›))))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
7139, 56, 60, 70syl12anc 836 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
72 elxp6 7956 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•) โ†” (๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)))
73 elxp6 7956 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•) โ†” (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)))
74 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
7574ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
76 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
7776ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
78 simprll 778 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1)
79 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
8079ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
81 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)
8281ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)
83 simprrl 780 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1)
84 simprlr 779 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ)))
85 simprrr 781 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
8684, 85eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
87 qredeq 16538 . . . . . . . . . . 11 ((((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1) โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„• โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1) โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) = (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
8875, 77, 78, 80, 82, 83, 86, 87syl331anc 1396 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) = (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
89 fvex 6856 . . . . . . . . . . 11 (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V
90 fvex 6856 . . . . . . . . . . 11 (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V
9189, 90opth 5434 . . . . . . . . . 10 (โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โ†” ((1st โ€˜๐‘ฅ) = (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
9288, 91sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ)
93 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)
94 simplrl 776 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ)
9592, 93, 943eqtr4d 2783 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โˆง ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
9695ex 414 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฆ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฆ), (2nd โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))) โ†’ (((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
9772, 73, 96syl2anb 599 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)) โ†’ (((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
9897rgen2 3191 . . . . 5 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
9971, 98jctir 522 . . . 4 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
100993expia 1122 . . 3 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด = (๐‘ง / ๐‘›) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))))
101100rexlimivv 3193 . 2 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
102 elq 12880 . 2 (๐ด โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ง / ๐‘›))
103 fveq2 6843 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) = (1st โ€˜๐‘ฆ))
104 fveq2 6843 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜๐‘ฆ))
105103, 104oveq12d 7376 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
106105eqeq1d 2735 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โ†” ((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1))
107103, 104oveq12d 7376 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
108107eqeq2d 2744 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โ†” ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ))))
109106, 108anbi12d 632 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โ†” (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))))
110109reu4 3690 . 2 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (((1st โ€˜๐‘ฆ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฆ) / (2nd โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
111101, 102, 1103imtr4i 292 1 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  โˆƒ!wreu 3350  โŸจcop 4593   class class class wbr 5106   ร— cxp 5632  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1st c1st 7920  2nd c2nd 7921  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   ยท cmul 11061   < clt 11194   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„šcq 12878   โˆฅ cdvds 16141   gcd cgcd 16379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-gcd 16380
This theorem is referenced by:  qnumdencl  16619  qnumdenbi  16624
  Copyright terms: Public domain W3C validator