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Theorem ax5seg 28176

Description: The five segment axiom. Take two triangles 𝐴𝐷𝐶 and 𝐸𝐻𝐺, a point 𝐵 on 𝐴𝐶, and a point 𝐹 on 𝐸𝐺. If all corresponding line segments except for 𝐶𝐷 and 𝐺𝐻 are congruent, then so are 𝐶𝐷 and 𝐺𝐻. Axiom A5 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
ax5seg	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))

Proof of Theorem ax5seg Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
2		simpl21 1252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		fveere 28139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℝ)
4	2, 3	sylancom 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℝ)
5		simpl22 1253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		fveere 28139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘𝑗) ∈ ℝ)
7	5, 6	sylancom 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘𝑗) ∈ ℝ)
8	4, 7	resubcld 11638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗)) ∈ ℝ)
9	8	resqcld 14086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) ∈ ℝ)
10	1, 9	fsumrecl 15676	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
12	11	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
13		simpl32 1256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		fveere 28139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℝ)
15	13, 14	sylancom 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℝ)
16		simpl33 1257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))
17		fveere 28139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐻‘𝑗) ∈ ℝ)
18	16, 17	sylancom 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐻‘𝑗) ∈ ℝ)
19	15, 18	resubcld 11638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗)) ∈ ℝ)
20	19	resqcld 14086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2) ∈ ℝ)
21	1, 20	fsumrecl 15676	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
23	22	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2) ∈ ℂ)
24		elicc01 13439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1))
25	24	simp1bi 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℝ)
26	25	recnd 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
27	26	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) → 𝑡 ∈ ℂ)
28	27	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)) → 𝑡 ∈ ℂ)
29	28	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝑡 ∈ ℂ)
30		simpl11 1249	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝑁 ∈ ℕ)
31		simp12 1205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
32		simp13 1206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
33		simp21 1207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
34	31, 32, 33	3jca 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
35	34	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
36		simprrl 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
37	36	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
38	37	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
39		simp1rl 1239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
40	39	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
41		ax5seglem4 28170	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑡 ≠ 0)
42	30, 35, 38, 40, 41	syl211anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝑡 ≠ 0)
43		simpr3r 1236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)
44		simpl13 1251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
45		simpl22 1253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
46		simpl31 1255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
47		simpl33 1257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))
48		brcgr 28138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩ ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))
49	44, 45, 46, 47, 48	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩ ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))
50	43, 49	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2))
51		simp23 1209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
52		simp31 1210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
53		simp32 1211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))
54	51, 52, 53	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁)))
55	34, 54	jca 513	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))))
56	55	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))))
57		simpr1l 1231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)))
58		simprrr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))
59	58	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))
60	59	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))
61	38, 60	jca 513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))
62		simpr2l 1233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
63		simpr2r 1234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩)
64		ax5seglem6 28172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩)) → 𝑡 = 𝑠)
65	30, 56, 40, 57, 61, 62, 63, 64	syl232anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝑡 = 𝑠)
66	65	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑠))
67	54	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁)))
68		ax5seglem3 28169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩)) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐺‘𝑗))↑2))
69	30, 35, 67, 57, 61, 62, 63, 68	syl322anc 1399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐺‘𝑗))↑2))
70	65, 69	oveq12d 7422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) = (𝑠 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐺‘𝑗))↑2)))
71		simpr3l 1235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → ⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩)
72		simpl12 1250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
73		simpl23 1254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
74		brcgr 28138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))
75	72, 45, 73, 47, 74	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))
76	71, 75	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2))
77	70, 76	oveq12d 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → ((𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = ((𝑠 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐺‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))
78	66, 77	oveq12d 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → ((1 − 𝑡) · ((𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2))) = ((1 − 𝑠) · ((𝑠 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐺‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2))))
79	50, 78	oveq12d 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑡) · ((𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑠) · ((𝑠 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐺‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))))
80	31, 32	jca 513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
81		simp22 1208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
82	80, 33, 81	jca32 517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))))
83	82	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))))
84		simp1ll 1237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
85	84	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
86		ax5seglem9 28175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑡) · ((𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))))
87	30, 83, 85, 38, 86	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑡) · ((𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)))))
88		3simpc 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁)))
89	88	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁)))
90	51, 52, 89	jca31 516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))))
91	90	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → ((𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))))
92		simp1lr 1238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
93	92	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
94		ax5seglem9 28175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))) → (𝑠 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑠) · ((𝑠 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐺‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))))
95	30, 91, 93, 60, 94	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (𝑠 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2) + ((1 − 𝑠) · ((𝑠 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐺‘𝑗))↑2)) − Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))))
96	79, 87, 95	3eqtr4d 2783	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = (𝑠 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))
97	65	oveq1d 7419	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)) = (𝑠 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))
98	96, 97	eqtr4d 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → (𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2)) = (𝑡 · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))
99	12, 23, 29, 42, 98	mulcanad 11845	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2))
100	99	3exp2 1355	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) → ((⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))))
101	100	expd 417	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) → ((⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2))))))
102	101	rexlimdvv 3211	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) → ((⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))))
103	102	3impd 1349	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))
104		brbtwn 28137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
105	32, 31, 33, 104	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
106		brbtwn 28137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))
107	52, 51, 53, 106	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))
108	105, 107	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))))
109		reeanv 3227	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))
110	108, 109	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))))
111	110	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩)) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))))
112		3anass 1096	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩)))
113		r19.42v 3191	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑠 ∈ (0[,]1)(𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))))
114	113	rexbii 3095	. . . . 5 ⊢ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))))
115		r19.42v 3191	. . . . 5 ⊢ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))))
116	114, 115	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))))
117	111, 112, 116	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖)))))))
118	117	3anbi1d 1441	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐺‘𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))))
119		simp33 1212	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))
120		brcgr 28138	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))
121	33, 81, 53, 119, 120	syl22anc 838	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑗) − (𝐷‘𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐺‘𝑗) − (𝐻‘𝑗))↑2)))
122	103, 118, 121	3imtr4d 294	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 397 ∧ w3a 1088 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2941 ∀wral 3062 ∃wrex 3071 ⟨cop 4633 class class class wbr 5147 ‘cfv 6540 (class class class)co 7404 ℂcc 11104 ℝcr 11105 0cc0 11106 1c1 11107 + caddc 11109 · cmul 11111 ≤ cle 11245 − cmin 11440 ℕcn 12208 2c2 12263 [,]cicc 13323 ...cfz 13480 ↑cexp 14023 Σcsu 15628 𝔼cee 28126 Btwn cbtwn 28127 Cgrccgr 28128

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7720 ax-inf2 9632 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-se 5631 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-isom 6549 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-om 7851 df-1st 7970 df-2nd 7971 df-frecs 8261 df-wrecs 8292 df-recs 8366 df-rdg 8405 df-1o 8461 df-er 8699 df-map 8818 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-sup 9433 df-oi 9501 df-card 9930 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11868 df-nn 12209 df-2 12271 df-3 12272 df-n0 12469 df-z 12555 df-uz 12819 df-rp 12971 df-ico 13326 df-icc 13327 df-fz 13481 df-fzo 13624 df-seq 13963 df-exp 14024 df-hash 14287 df-cj 15042 df-re 15043 df-im 15044 df-sqrt 15178 df-abs 15179 df-clim 15428 df-sum 15629 df-ee 28129 df-btwn 28130 df-cgr 28131

This theorem is referenced by: eengtrkg 28224 5segofs 34916

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