MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seg 28762
Description: The five segment axiom. Take two triangles ๐ด๐ท๐ถ and ๐ธ๐ป๐บ, a point ๐ต on ๐ด๐ถ, and a point ๐น on ๐ธ๐บ. If all corresponding line segments except for ๐ถ๐ท and ๐บ๐ป are congruent, then so are ๐ถ๐ท and ๐บ๐ป. Axiom A5 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seg (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐บ, ๐ปโŸฉ))

Proof of Theorem ax5seg
Dummy variables ๐‘– ๐‘— ๐‘ก ๐‘  are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13971 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
2 simpl21 1249 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
3 fveere 28725 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
42, 3sylancom 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
5 simpl22 1250 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
6 fveere 28725 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
75, 6sylancom 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
84, 7resubcld 11673 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„)
98resqcld 14122 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„)
101, 9fsumrecl 15713 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„)
1110recnd 11273 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
13 simpl32 1253 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
14 fveere 28725 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
1513, 14sylancom 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
16 simpl33 1254 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
17 fveere 28725 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
1816, 17sylancom 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
1915, 18resubcld 11673 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„)
2019resqcld 14122 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„)
211, 20fsumrecl 15713 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„)
2221recnd 11273 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2322adantr 480 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
24 elicc01 13476 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โ†” (๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ก โˆง ๐‘ก โ‰ค 1))
2524simp1bi 1143 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„)
2625recnd 11273 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
28273ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
2928adantl 481 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
30 simpl11 1246 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
31 simp12 1202 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
32 simp13 1203 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
33 simp21 1204 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
3431, 32, 333jca 1126 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
3534adantr 480 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
36 simprrl 780 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))
37363ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))
3837adantl 481 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))
39 simp1rl 1236 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
4039adantl 481 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
41 ax5seglem4 28756 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โ†’ ๐‘ก โ‰  0)
4230, 35, 38, 40, 41syl211anc 1374 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐‘ก โ‰  0)
43 simpr3r 1233 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)
44 simpl13 1248 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
45 simpl22 1250 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
46 simpl31 1252 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
47 simpl33 1254 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
48 brcgr 28724 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
4944, 45, 46, 47, 48syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
5043, 49mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2))
51 simp23 1206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
52 simp31 1207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
53 simp32 1208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
5451, 52, 533jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
5534, 54jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))))
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))))
57 simpr1l 1228 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)))
58 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))
59583ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))
6138, 60jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
62 simpr2l 1230 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)
63 simpr2r 1231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ)
64 ax5seglem6 28758 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ)) โ†’ ๐‘ก = ๐‘ )
6530, 56, 40, 57, 61, 62, 63, 64syl232anc 1395 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐‘ก = ๐‘ )
6665oveq2d 7436 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ก) = (1 โˆ’ ๐‘ ))
6754adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
68 ax5seglem3 28755 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ)) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2))
6930, 35, 67, 57, 61, 62, 63, 68syl322anc 1396 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2))
7065, 69oveq12d 7438 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
71 simpr3l 1232 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ)
72 simpl12 1247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
73 simpl23 1251 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
74 brcgr 28724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
7572, 45, 73, 47, 74syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
7671, 75mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2))
7770, 76oveq12d 7438 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ((๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = ((๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
7866, 77oveq12d 7438 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ((๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2))) = ((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท ((๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2))))
7950, 78oveq12d 7438 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ((๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)))) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท ((๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))))
8031, 32jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
81 simp22 1205 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
8280, 33, 81jca32 515 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))))
8382adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))))
84 simp1ll 1234 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ ๐‘ก โˆˆ (0[,]1))
8584adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ (0[,]1))
86 ax5seglem9 28761 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ (๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ((๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)))))
8730, 83, 85, 38, 86syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ((๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)))))
88 3simpc 1148 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
89883ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
9051, 52, 89jca31 514 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))))
9190adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ((๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))))
92 simp1lr 1235 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ ๐‘  โˆˆ (0[,]1))
9392adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐‘  โˆˆ (0[,]1))
94 ax5seglem9 28761 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐‘  โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โ†’ (๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท ((๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))))
9530, 91, 93, 60, 94syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท ((๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))))
9679, 87, 953eqtr4d 2778 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
9765oveq1d 7435 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
9896, 97eqtr4d 2771 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
9912, 23, 29, 42, 98mulcanad 11880 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2))
100993exp2 1352 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โ†’ ((โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โ†’ ((โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))))
101100expd 415 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โ†’ ((โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โ†’ ((โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2))))))
102101rexlimdvv 3207 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โ†’ ((โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โ†’ ((โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))))
1031023impd 1346 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
104 brbtwn 28723 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
10532, 31, 33, 104syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
106 brbtwn 28723 . . . . . . . 8 ((๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
10752, 51, 53, 106syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
108105, 107anbi12d 631 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
109 reeanv 3223 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
110108, 109bitr4di 289 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
111110anbi2d 629 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ)) โ†” (๐ด โ‰  ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))))
112 3anass 1093 . . . 4 ((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ) โ†” (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ)))
113 r19.42v 3187 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โ†” (๐ด โ‰  ๐ต โˆง โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
114113rexbii 3091 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
115 r19.42v 3187 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โ†” (๐ด โ‰  ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
116114, 115bitri 275 . . . 4 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โ†” (๐ด โ‰  ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
117111, 112, 1163bitr4g 314 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))))
1181173anbi1d 1437 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))))
119 simp33 1209 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
120 brcgr 28724 . . 3 (((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐บ, ๐ปโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
12133, 81, 53, 119, 120syl22anc 838 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐บ, ๐ปโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
122103, 118, 1213imtr4d 294 1 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐บ, ๐ปโŸฉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937  โˆ€wral 3058  โˆƒwrex 3067  โŸจcop 4635   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  โ„cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   ยท cmul 11144   โ‰ค cle 11280   โˆ’ cmin 11475  โ„•cn 12243  2c2 12298  [,]cicc 13360  ...cfz 13517  โ†‘cexp 14059  ฮฃcsu 15665  ๐”ผcee 28712   Btwn cbtwn 28713  Cgrccgr 28714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666  df-ee 28715  df-btwn 28716  df-cgr 28717
This theorem is referenced by:  eengtrkg  28810  5segofs  35602
  Copyright terms: Public domain W3C validator