MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seg 27929
Description: The five segment axiom. Take two triangles ๐ด๐ท๐ถ and ๐ธ๐ป๐บ, a point ๐ต on ๐ด๐ถ, and a point ๐น on ๐ธ๐บ. If all corresponding line segments except for ๐ถ๐ท and ๐บ๐ป are congruent, then so are ๐ถ๐ท and ๐บ๐ป. Axiom A5 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seg (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐บ, ๐ปโŸฉ))

Proof of Theorem ax5seg
Dummy variables ๐‘– ๐‘— ๐‘ก ๐‘  are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13884 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
2 simpl21 1252 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
3 fveere 27892 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
42, 3sylancom 589 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
5 simpl22 1253 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
6 fveere 27892 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
75, 6sylancom 589 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
84, 7resubcld 11588 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„)
98resqcld 14036 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„)
101, 9fsumrecl 15624 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„)
1110recnd 11188 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1211adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
13 simpl32 1256 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
14 fveere 27892 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
1513, 14sylancom 589 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
16 simpl33 1257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
17 fveere 27892 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
1816, 17sylancom 589 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
1915, 18resubcld 11588 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„)
2019resqcld 14036 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„)
211, 20fsumrecl 15624 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„)
2221recnd 11188 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2322adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
24 elicc01 13389 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โ†” (๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ก โˆง ๐‘ก โ‰ค 1))
2524simp1bi 1146 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„)
2625recnd 11188 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
28273ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
2928adantl 483 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
30 simpl11 1249 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
31 simp12 1205 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
32 simp13 1206 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
33 simp21 1207 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
3431, 32, 333jca 1129 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
3534adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
36 simprrl 780 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))
37363ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))
3837adantl 483 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))
39 simp1rl 1239 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
4039adantl 483 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
41 ax5seglem4 27923 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โ†’ ๐‘ก โ‰  0)
4230, 35, 38, 40, 41syl211anc 1377 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐‘ก โ‰  0)
43 simpr3r 1236 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)
44 simpl13 1251 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
45 simpl22 1253 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
46 simpl31 1255 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
47 simpl33 1257 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
48 brcgr 27891 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
4944, 45, 46, 47, 48syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
5043, 49mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2))
51 simp23 1209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
52 simp31 1210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
53 simp32 1211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
5451, 52, 533jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
5534, 54jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))))
5655adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))))
57 simpr1l 1231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)))
58 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))
59583ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))
6059adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))
6138, 60jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
62 simpr2l 1233 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)
63 simpr2r 1234 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ)
64 ax5seglem6 27925 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ)) โ†’ ๐‘ก = ๐‘ )
6530, 56, 40, 57, 61, 62, 63, 64syl232anc 1398 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐‘ก = ๐‘ )
6665oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ก) = (1 โˆ’ ๐‘ ))
6754adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
68 ax5seglem3 27922 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ)) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2))
6930, 35, 67, 57, 61, 62, 63, 68syl322anc 1399 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2))
7065, 69oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
71 simpr3l 1235 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ)
72 simpl12 1250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
73 simpl23 1254 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
74 brcgr 27891 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
7572, 45, 73, 47, 74syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
7671, 75mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2))
7770, 76oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ((๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = ((๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
7866, 77oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ((๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2))) = ((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท ((๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2))))
7950, 78oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ((๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)))) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท ((๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))))
8031, 32jca 513 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
81 simp22 1208 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
8280, 33, 81jca32 517 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))))
8382adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))))
84 simp1ll 1237 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ ๐‘ก โˆˆ (0[,]1))
8584adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ (0[,]1))
86 ax5seglem9 27928 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ (๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ((๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)))))
8730, 83, 85, 38, 86syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ((๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)))))
88 3simpc 1151 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
89883ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
9051, 52, 89jca31 516 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))))
9190adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ((๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))))
92 simp1lr 1238 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ ๐‘  โˆˆ (0[,]1))
9392adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐‘  โˆˆ (0[,]1))
94 ax5seglem9 27928 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐‘  โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โ†’ (๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท ((๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))))
9530, 91, 93, 60, 94syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท ((๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))))
9679, 87, 953eqtr4d 2783 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
9765oveq1d 7373 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
9896, 97eqtr4d 2776 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
9912, 23, 29, 42, 98mulcanad 11795 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2))
100993exp2 1355 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โ†’ ((โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โ†’ ((โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))))
101100expd 417 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โ†’ ((โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โ†’ ((โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2))))))
102101rexlimdvv 3201 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โ†’ ((โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โ†’ ((โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))))
1031023impd 1349 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
104 brbtwn 27890 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
10532, 31, 33, 104syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
106 brbtwn 27890 . . . . . . . 8 ((๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
10752, 51, 53, 106syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
108105, 107anbi12d 632 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
109 reeanv 3216 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
110108, 109bitr4di 289 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
111110anbi2d 630 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ)) โ†” (๐ด โ‰  ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))))
112 3anass 1096 . . . 4 ((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ) โ†” (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ)))
113 r19.42v 3184 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โ†” (๐ด โ‰  ๐ต โˆง โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
114113rexbii 3094 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
115 r19.42v 3184 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โ†” (๐ด โ‰  ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
116114, 115bitri 275 . . . 4 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โ†” (๐ด โ‰  ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
117111, 112, 1163bitr4g 314 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))))
1181173anbi1d 1441 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))))
119 simp33 1212 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
120 brcgr 27891 . . 3 (((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐บ, ๐ปโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
12133, 81, 53, 119, 120syl22anc 838 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐บ, ๐ปโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
122103, 118, 1213imtr4d 294 1 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐บ, ๐ปโŸฉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  โŸจcop 4593   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390  โ„•cn 12158  2c2 12213  [,]cicc 13273  ...cfz 13430  โ†‘cexp 13973  ฮฃcsu 15576  ๐”ผcee 27879   Btwn cbtwn 27880  Cgrccgr 27881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-ee 27882  df-btwn 27883  df-cgr 27884
This theorem is referenced by:  eengtrkg  27977  5segofs  34637
  Copyright terms: Public domain W3C validator