MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seg 28700
Description: The five segment axiom. Take two triangles ๐ด๐ท๐ถ and ๐ธ๐ป๐บ, a point ๐ต on ๐ด๐ถ, and a point ๐น on ๐ธ๐บ. If all corresponding line segments except for ๐ถ๐ท and ๐บ๐ป are congruent, then so are ๐ถ๐ท and ๐บ๐ป. Axiom A5 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seg (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐บ, ๐ปโŸฉ))

Proof of Theorem ax5seg
Dummy variables ๐‘– ๐‘— ๐‘ก ๐‘  are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13941 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
2 simpl21 1248 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
3 fveere 28663 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
42, 3sylancom 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
5 simpl22 1249 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
6 fveere 28663 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
75, 6sylancom 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
84, 7resubcld 11643 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„)
98resqcld 14093 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„)
101, 9fsumrecl 15684 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„)
1110recnd 11243 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
13 simpl32 1252 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
14 fveere 28663 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
1513, 14sylancom 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
16 simpl33 1253 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
17 fveere 28663 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
1816, 17sylancom 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
1915, 18resubcld 11643 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„)
2019resqcld 14093 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„)
211, 20fsumrecl 15684 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„)
2221recnd 11243 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2322adantr 480 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
24 elicc01 13446 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โ†” (๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ก โˆง ๐‘ก โ‰ค 1))
2524simp1bi 1142 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„)
2625recnd 11243 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
2726ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
28273ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
2928adantl 481 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
30 simpl11 1245 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
31 simp12 1201 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
32 simp13 1202 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
33 simp21 1203 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
3431, 32, 333jca 1125 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
3534adantr 480 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
36 simprrl 778 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))
37363ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))
3837adantl 481 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))
39 simp1rl 1235 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
4039adantl 481 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
41 ax5seglem4 28694 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โ†’ ๐‘ก โ‰  0)
4230, 35, 38, 40, 41syl211anc 1373 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐‘ก โ‰  0)
43 simpr3r 1232 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)
44 simpl13 1247 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
45 simpl22 1249 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
46 simpl31 1251 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
47 simpl33 1253 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
48 brcgr 28662 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
4944, 45, 46, 47, 48syl22anc 836 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
5043, 49mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2))
51 simp23 1205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
52 simp31 1206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
53 simp32 1207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
5451, 52, 533jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
5534, 54jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))))
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))))
57 simpr1l 1227 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)))
58 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))
59583ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))
6138, 60jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
62 simpr2l 1229 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)
63 simpr2r 1230 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ)
64 ax5seglem6 28696 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ)) โ†’ ๐‘ก = ๐‘ )
6530, 56, 40, 57, 61, 62, 63, 64syl232anc 1394 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐‘ก = ๐‘ )
6665oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ก) = (1 โˆ’ ๐‘ ))
6754adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
68 ax5seglem3 28693 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ)) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2))
6930, 35, 67, 57, 61, 62, 63, 68syl322anc 1395 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2))
7065, 69oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
71 simpr3l 1231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ)
72 simpl12 1246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
73 simpl23 1250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
74 brcgr 28662 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
7572, 45, 73, 47, 74syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
7671, 75mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2))
7770, 76oveq12d 7422 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ((๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = ((๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
7866, 77oveq12d 7422 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ((๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2))) = ((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท ((๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2))))
7950, 78oveq12d 7422 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ((๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)))) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท ((๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))))
8031, 32jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
81 simp22 1204 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
8280, 33, 81jca32 515 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))))
8382adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))))
84 simp1ll 1233 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ ๐‘ก โˆˆ (0[,]1))
8584adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ (0[,]1))
86 ax5seglem9 28699 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ (๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ((๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)))))
8730, 83, 85, 38, 86syl22anc 836 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ((๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)))))
88 3simpc 1147 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
89883ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
9051, 52, 89jca31 514 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))))
9190adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ((๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))))
92 simp1lr 1234 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ ๐‘  โˆˆ (0[,]1))
9392adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ๐‘  โˆˆ (0[,]1))
94 ax5seglem9 28699 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐‘  โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โ†’ (๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท ((๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))))
9530, 91, 93, 60, 94syl22anc 836 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐นโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2) + ((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท ((๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘—))โ†‘2)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ธโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))))
9679, 87, 953eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
9765oveq1d 7419 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (๐‘  ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
9896, 97eqtr4d 2769 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ (๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = (๐‘ก ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
9912, 23, 29, 42, 98mulcanad 11850 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2))
100993exp2 1351 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))) โ†’ ((โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โ†’ ((โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))))
101100expd 415 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘  โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โ†’ ((โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โ†’ ((โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2))))))
102101rexlimdvv 3204 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โ†’ ((โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โ†’ ((โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))))
1031023impd 1345 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
104 brbtwn 28661 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
10532, 31, 33, 104syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
106 brbtwn 28661 . . . . . . . 8 ((๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
10752, 51, 53, 106syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
108105, 107anbi12d 630 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
109 reeanv 3220 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
110108, 109bitr4di 289 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
111110anbi2d 628 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ)) โ†” (๐ด โ‰  ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))))
112 3anass 1092 . . . 4 ((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ) โ†” (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ)))
113 r19.42v 3184 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โ†” (๐ด โ‰  ๐ต โˆง โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
114113rexbii 3088 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
115 r19.42v 3184 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โ†” (๐ด โ‰  ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
116114, 115bitri 275 . . . 4 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โ†” (๐ด โ‰  ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
117111, 112, 1163bitr4g 314 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))))
1181173anbi1d 1436 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆƒ๐‘  โˆˆ (0[,]1)(๐ด โ‰  ๐ต โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐ธโ€˜๐‘–)) + (๐‘  ยท (๐บโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ))))
119 simp33 1208 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
120 brcgr 28662 . . 3 (((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐บ, ๐ปโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
12133, 81, 53, 119, 120syl22anc 836 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐บ, ๐ปโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐บโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
122103, 118, 1213imtr4d 294 1 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐บ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ป โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (((๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐ต Btwn โŸจ๐ด, ๐ถโŸฉ โˆง ๐น Btwn โŸจ๐ธ, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐บโŸฉ) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐ปโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐น, ๐ปโŸฉ)) โ†’ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉCgrโŸจ๐บ, ๐ปโŸฉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064  โŸจcop 4629   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โ‰ค cle 11250   โˆ’ cmin 11445  โ„•cn 12213  2c2 12268  [,]cicc 13330  ...cfz 13487  โ†‘cexp 14030  ฮฃcsu 15636  ๐”ผcee 28650   Btwn cbtwn 28651  Cgrccgr 28652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-ee 28653  df-btwn 28654  df-cgr 28655
This theorem is referenced by:  eengtrkg  28748  5segofs  35511
  Copyright terms: Public domain W3C validator