MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqgt0sr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqgt0sr 10129
Description: The square of a nonzero signed real is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
sqgt0sr ((𝐴R𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))

Proof of Theorem sqgt0sr
StepHypRef Expression
1 0r 10103 . . . . 5 0RR
2 ltsosr 10117 . . . . . 6 <R Or R
3 sotrieq 5197 . . . . . 6 (( <R Or R ∧ (𝐴R ∧ 0RR)) → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
42, 3mpan 670 . . . . 5 ((𝐴R ∧ 0RR) → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
51, 4mpan2 671 . . . 4 (𝐴R → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
65necon2abid 2985 . . 3 (𝐴R → ((𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴) ↔ 𝐴 ≠ 0R))
7 m1r 10105 . . . . . . . . 9 -1RR
8 mulclsr 10107 . . . . . . . . 9 ((𝐴R ∧ -1RR) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
97, 8mpan2 671 . . . . . . . 8 (𝐴R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
10 ltasr 10123 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·R -1R) ∈ R → (𝐴 <R 0R ↔ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R)))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝐴R → (𝐴 <R 0R ↔ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R)))
12 addcomsr 10110 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R))
13 pn0sr 10124 . . . . . . . . 9 (𝐴R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
1412, 13syl5eq 2817 . . . . . . . 8 (𝐴R → ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = 0R)
15 0idsr 10120 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ·R -1R) ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) = (𝐴 ·R -1R))
169, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴R → ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) = (𝐴 ·R -1R))
1714, 16breq12d 4799 . . . . . . 7 (𝐴R → (((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) ↔ 0R <R (𝐴 ·R -1R)))
1811, 17bitrd 268 . . . . . 6 (𝐴R → (𝐴 <R 0R ↔ 0R <R (𝐴 ·R -1R)))
19 mulgt0sr 10128 . . . . . . 7 ((0R <R (𝐴 ·R -1R) ∧ 0R <R (𝐴 ·R -1R)) → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)))
2019anidms 556 . . . . . 6 (0R <R (𝐴 ·R -1R) → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)))
2118, 20syl6bi 243 . . . . 5 (𝐴R → (𝐴 <R 0R → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R))))
22 mulcomsr 10112 . . . . . . . . . . . 12 (-1R ·R 𝐴) = (𝐴 ·R -1R)
2322oveq1i 6803 . . . . . . . . . . 11 ((-1R ·R 𝐴) ·R -1R) = ((𝐴 ·R -1R) ·R -1R)
24 mulasssr 10113 . . . . . . . . . . 11 ((-1R ·R 𝐴) ·R -1R) = (-1R ·R (𝐴 ·R -1R))
25 mulasssr 10113 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ·R -1R) ·R -1R) = (𝐴 ·R (-1R ·R -1R))
2623, 24, 253eqtr3i 2801 . . . . . . . . . 10 (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R (-1R ·R -1R))
27 m1m1sr 10116 . . . . . . . . . . 11 (-1R ·R -1R) = 1R
2827oveq2i 6804 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ·R (-1R ·R -1R)) = (𝐴 ·R 1R)
2926, 28eqtri 2793 . . . . . . . . 9 (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R 1R)
3029oveq2i 6804 . . . . . . . 8 (𝐴 ·R (-1R ·R (𝐴 ·R -1R))) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 1R))
31 mulasssr 10113 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)))
32 mulasssr 10113 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 1R))
3330, 31, 323eqtr4i 2803 . . . . . . 7 ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R)
34 mulclsr 10107 . . . . . . . . 9 ((𝐴R𝐴R) → (𝐴 ·R 𝐴) ∈ R)
35 1idsr 10121 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ·R 𝐴) ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴R𝐴R) → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
3736anidms 556 . . . . . . 7 (𝐴R → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
3833, 37syl5eq 2817 . . . . . 6 (𝐴R → ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R 𝐴))
3938breq2d 4798 . . . . 5 (𝐴R → (0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) ↔ 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
4021, 39sylibd 229 . . . 4 (𝐴R → (𝐴 <R 0R → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
41 mulgt0sr 10128 . . . . . 6 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐴) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
4241anidms 556 . . . . 5 (0R <R 𝐴 → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
4342a1i 11 . . . 4 (𝐴R → (0R <R 𝐴 → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
4440, 43jaod 848 . . 3 (𝐴R → ((𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
456, 44sylbird 250 . 2 (𝐴R → (𝐴 ≠ 0R → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
4645imp 393 1 ((𝐴R𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4786   Or wor 5169  (class class class)co 6793  Rcnr 9889  0Rc0r 9890  1Rc1r 9891  -1Rcm1r 9892   +R cplr 9893   ·R cmr 9894   <R cltr 9895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-ec 7898  df-qs 7902  df-ni 9896  df-pli 9897  df-mi 9898  df-lti 9899  df-plpq 9932  df-mpq 9933  df-ltpq 9934  df-enq 9935  df-nq 9936  df-erq 9937  df-plq 9938  df-mq 9939  df-1nq 9940  df-rq 9941  df-ltnq 9942  df-np 10005  df-1p 10006  df-plp 10007  df-mp 10008  df-ltp 10009  df-enr 10079  df-nr 10080  df-plr 10081  df-mr 10082  df-ltr 10083  df-0r 10084  df-1r 10085  df-m1r 10086
This theorem is referenced by:  recexsr  10130
  Copyright terms: Public domain W3C validator