Theorem sqgt0sr 11035

Description: The square of a nonzero signed real is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sqgt0sr	⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))

Proof of Theorem sqgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 11009	. . . . 5 ⊢ 0R ∈ R
2		ltsosr 11023	. . . . . 6 ⊢ <R Or R
3		sotrieq 5570	. . . . . 6 ⊢ (( <R Or R ∧ (𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ R)) → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
4	2, 3	mpan 690	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ R) → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
5	1, 4	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
6	5	necon2abid 2967	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴) ↔ 𝐴 ≠ 0R))
7		m1r 11011	. . . . . . . . 9 ⊢ -1R ∈ R
8		mulclsr 11013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
9	7, 8	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
10		ltasr 11029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ∈ R → (𝐴 <R 0R ↔ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R)))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 <R 0R ↔ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R)))
12		addcomsr 11016	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R))
13		pn0sr 11030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
14	12, 13	eqtrid 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = 0R)
15		0idsr 11026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) = (𝐴 ·R -1R))
16	9, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) = (𝐴 ·R -1R))
17	14, 16	breq12d 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ R → (((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) ↔ 0R <R (𝐴 ·R -1R)))
18	11, 17	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 <R 0R ↔ 0R <R (𝐴 ·R -1R)))
19		mulgt0sr 11034	. . . . . . 7 ⊢ ((0R <R (𝐴 ·R -1R) ∧ 0R <R (𝐴 ·R -1R)) → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)))
20	19	anidms 566	. . . . . 6 ⊢ (0R <R (𝐴 ·R -1R) → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)))
21	18, 20	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 <R 0R → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R))))
22		mulcomsr 11018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1R ·R 𝐴) = (𝐴 ·R -1R)
23	22	oveq1i 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1R ·R 𝐴) ·R -1R) = ((𝐴 ·R -1R) ·R -1R)
24		mulasssr 11019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1R ·R 𝐴) ·R -1R) = (-1R ·R (𝐴 ·R -1R))
25		mulasssr 11019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ·R -1R) = (𝐴 ·R (-1R ·R -1R))
26	23, 24, 25	3eqtr3i 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R (-1R ·R -1R))
27		m1m1sr 11022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1R ·R -1R) = 1R
28	27	oveq2i 7380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ·R (-1R ·R -1R)) = (𝐴 ·R 1R)
29	26, 28	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R 1R)
30	29	oveq2i 7380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ·R (-1R ·R (𝐴 ·R -1R))) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 1R))
31		mulasssr 11019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)))
32		mulasssr 11019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 1R))
33	30, 31, 32	3eqtr4i 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R)
34		mulclsr 11013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝐴) ∈ R)
35		1idsr 11027	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐴) ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
37	36	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
38	33, 37	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R 𝐴))
39	38	breq2d 5114	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) ↔ 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
40	21, 39	sylibd 239	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 <R 0R → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
41		mulgt0sr 11034	. . . . . 6 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐴) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
42	41	anidms 566	. . . . 5 ⊢ (0R <R 𝐴 → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
43	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (0R <R 𝐴 → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
44	40, 43	jaod 859	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
45	6, 44	sylbird 260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ≠ 0R → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
46	45	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102   Or wor 5538  (class class class)co 7369  Rcnr 10794  0_Rc0r 10795  1_Rc1r 10796  -1_Rcm1r 10797   +_R cplr 10798   ·_R cmr 10799   <_R cltr 10800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-ni 10801  df-pli 10802  df-mi 10803  df-lti 10804  df-plpq 10837  df-mpq 10838  df-ltpq 10839  df-enq 10840  df-nq 10841  df-erq 10842  df-plq 10843  df-mq 10844  df-1nq 10845  df-rq 10846  df-ltnq 10847  df-np 10910  df-1p 10911  df-plp 10912  df-mp 10913  df-ltp 10914  df-enr 10984  df-nr 10985  df-plr 10986  df-mr 10987  df-ltr 10988  df-0r 10989  df-1r 10990  df-m1r 10991

This theorem is referenced by:  recexsr  11036