Theorem sqgt0sr 11120

Description: The square of a nonzero signed real is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sqgt0sr	⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))

Proof of Theorem sqgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 11094	. . . . 5 ⊢ 0R ∈ R
2		ltsosr 11108	. . . . . 6 ⊢ <R Or R
3		sotrieq 5592	. . . . . 6 ⊢ (( <R Or R ∧ (𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ R)) → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
4	2, 3	mpan 690	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ R) → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
5	1, 4	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
6	5	necon2abid 2974	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴) ↔ 𝐴 ≠ 0R))
7		m1r 11096	. . . . . . . . 9 ⊢ -1R ∈ R
8		mulclsr 11098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
9	7, 8	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
10		ltasr 11114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ∈ R → (𝐴 <R 0R ↔ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R)))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 <R 0R ↔ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R)))
12		addcomsr 11101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R))
13		pn0sr 11115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
14	12, 13	eqtrid 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = 0R)
15		0idsr 11111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) = (𝐴 ·R -1R))
16	9, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) = (𝐴 ·R -1R))
17	14, 16	breq12d 5132	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ R → (((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) ↔ 0R <R (𝐴 ·R -1R)))
18	11, 17	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 <R 0R ↔ 0R <R (𝐴 ·R -1R)))
19		mulgt0sr 11119	. . . . . . 7 ⊢ ((0R <R (𝐴 ·R -1R) ∧ 0R <R (𝐴 ·R -1R)) → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)))
20	19	anidms 566	. . . . . 6 ⊢ (0R <R (𝐴 ·R -1R) → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)))
21	18, 20	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 <R 0R → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R))))
22		mulcomsr 11103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1R ·R 𝐴) = (𝐴 ·R -1R)
23	22	oveq1i 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1R ·R 𝐴) ·R -1R) = ((𝐴 ·R -1R) ·R -1R)
24		mulasssr 11104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1R ·R 𝐴) ·R -1R) = (-1R ·R (𝐴 ·R -1R))
25		mulasssr 11104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ·R -1R) = (𝐴 ·R (-1R ·R -1R))
26	23, 24, 25	3eqtr3i 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R (-1R ·R -1R))
27		m1m1sr 11107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1R ·R -1R) = 1R
28	27	oveq2i 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ·R (-1R ·R -1R)) = (𝐴 ·R 1R)
29	26, 28	eqtri 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R 1R)
30	29	oveq2i 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ·R (-1R ·R (𝐴 ·R -1R))) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 1R))
31		mulasssr 11104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)))
32		mulasssr 11104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 1R))
33	30, 31, 32	3eqtr4i 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R)
34		mulclsr 11098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝐴) ∈ R)
35		1idsr 11112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐴) ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
37	36	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
38	33, 37	eqtrid 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R 𝐴))
39	38	breq2d 5131	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) ↔ 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
40	21, 39	sylibd 239	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 <R 0R → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
41		mulgt0sr 11119	. . . . . 6 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐴) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
42	41	anidms 566	. . . . 5 ⊢ (0R <R 𝐴 → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
43	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (0R <R 𝐴 → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
44	40, 43	jaod 859	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
45	6, 44	sylbird 260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ≠ 0R → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
46	45	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   class class class wbr 5119   Or wor 5560  (class class class)co 7405  Rcnr 10879  0_Rc0r 10880  1_Rc1r 10881  -1_Rcm1r 10882   +_R cplr 10883   ·_R cmr 10884   <_R cltr 10885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-ec 8721  df-qs 8725  df-ni 10886  df-pli 10887  df-mi 10888  df-lti 10889  df-plpq 10922  df-mpq 10923  df-ltpq 10924  df-enq 10925  df-nq 10926  df-erq 10927  df-plq 10928  df-mq 10929  df-1nq 10930  df-rq 10931  df-ltnq 10932  df-np 10995  df-1p 10996  df-plp 10997  df-mp 10998  df-ltp 10999  df-enr 11069  df-nr 11070  df-plr 11071  df-mr 11072  df-ltr 11073  df-0r 11074  df-1r 11075  df-m1r 11076

This theorem is referenced by:  recexsr  11121