Theorem sqgt0sr 11146

Description: The square of a nonzero signed real is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sqgt0sr	⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))

Proof of Theorem sqgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 11120	. . . . 5 ⊢ 0R ∈ R
2		ltsosr 11134	. . . . . 6 ⊢ <R Or R
3		sotrieq 5623	. . . . . 6 ⊢ (( <R Or R ∧ (𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ R)) → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
4	2, 3	mpan 690	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ R) → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
5	1, 4	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
6	5	necon2abid 2983	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴) ↔ 𝐴 ≠ 0R))
7		m1r 11122	. . . . . . . . 9 ⊢ -1R ∈ R
8		mulclsr 11124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
9	7, 8	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
10		ltasr 11140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ∈ R → (𝐴 <R 0R ↔ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R)))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 <R 0R ↔ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R)))
12		addcomsr 11127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R))
13		pn0sr 11141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
14	12, 13	eqtrid 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = 0R)
15		0idsr 11137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) = (𝐴 ·R -1R))
16	9, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) = (𝐴 ·R -1R))
17	14, 16	breq12d 5156	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ R → (((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) ↔ 0R <R (𝐴 ·R -1R)))
18	11, 17	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 <R 0R ↔ 0R <R (𝐴 ·R -1R)))
19		mulgt0sr 11145	. . . . . . 7 ⊢ ((0R <R (𝐴 ·R -1R) ∧ 0R <R (𝐴 ·R -1R)) → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)))
20	19	anidms 566	. . . . . 6 ⊢ (0R <R (𝐴 ·R -1R) → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)))
21	18, 20	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 <R 0R → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R))))
22		mulcomsr 11129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1R ·R 𝐴) = (𝐴 ·R -1R)
23	22	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1R ·R 𝐴) ·R -1R) = ((𝐴 ·R -1R) ·R -1R)
24		mulasssr 11130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1R ·R 𝐴) ·R -1R) = (-1R ·R (𝐴 ·R -1R))
25		mulasssr 11130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ·R -1R) = (𝐴 ·R (-1R ·R -1R))
26	23, 24, 25	3eqtr3i 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R (-1R ·R -1R))
27		m1m1sr 11133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1R ·R -1R) = 1R
28	27	oveq2i 7442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ·R (-1R ·R -1R)) = (𝐴 ·R 1R)
29	26, 28	eqtri 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R 1R)
30	29	oveq2i 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ·R (-1R ·R (𝐴 ·R -1R))) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 1R))
31		mulasssr 11130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)))
32		mulasssr 11130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 1R))
33	30, 31, 32	3eqtr4i 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R)
34		mulclsr 11124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝐴) ∈ R)
35		1idsr 11138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐴) ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
37	36	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
38	33, 37	eqtrid 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R 𝐴))
39	38	breq2d 5155	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) ↔ 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
40	21, 39	sylibd 239	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 <R 0R → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
41		mulgt0sr 11145	. . . . . 6 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐴) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
42	41	anidms 566	. . . . 5 ⊢ (0R <R 𝐴 → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
43	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (0R <R 𝐴 → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
44	40, 43	jaod 860	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
45	6, 44	sylbird 260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ≠ 0R → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
46	45	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143   Or wor 5591  (class class class)co 7431  Rcnr 10905  0_Rc0r 10906  1_Rc1r 10907  -1_Rcm1r 10908   +_R cplr 10909   ·_R cmr 10910   <_R cltr 10911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-ni 10912  df-pli 10913  df-mi 10914  df-lti 10915  df-plpq 10948  df-mpq 10949  df-ltpq 10950  df-enq 10951  df-nq 10952  df-erq 10953  df-plq 10954  df-mq 10955  df-1nq 10956  df-rq 10957  df-ltnq 10958  df-np 11021  df-1p 11022  df-plp 11023  df-mp 11024  df-ltp 11025  df-enr 11095  df-nr 11096  df-plr 11097  df-mr 11098  df-ltr 11099  df-0r 11100  df-1r 11101  df-m1r 11102

This theorem is referenced by:  recexsr  11147