Theorem sqgt0sr 11175

Description: The square of a nonzero signed real is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sqgt0sr	⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))

Proof of Theorem sqgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 11149	. . . . 5 ⊢ 0R ∈ R
2		ltsosr 11163	. . . . . 6 ⊢ <R Or R
3		sotrieq 5638	. . . . . 6 ⊢ (( <R Or R ∧ (𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ R)) → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
4	2, 3	mpan 689	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ R) → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
5	1, 4	mpan2 690	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
6	5	necon2abid 2989	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴) ↔ 𝐴 ≠ 0R))
7		m1r 11151	. . . . . . . . 9 ⊢ -1R ∈ R
8		mulclsr 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
9	7, 8	mpan2 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
10		ltasr 11169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ∈ R → (𝐴 <R 0R ↔ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R)))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 <R 0R ↔ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R)))
12		addcomsr 11156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R))
13		pn0sr 11170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
14	12, 13	eqtrid 2792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = 0R)
15		0idsr 11166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) = (𝐴 ·R -1R))
16	9, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) = (𝐴 ·R -1R))
17	14, 16	breq12d 5179	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ R → (((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) ↔ 0R <R (𝐴 ·R -1R)))
18	11, 17	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 <R 0R ↔ 0R <R (𝐴 ·R -1R)))
19		mulgt0sr 11174	. . . . . . 7 ⊢ ((0R <R (𝐴 ·R -1R) ∧ 0R <R (𝐴 ·R -1R)) → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)))
20	19	anidms 566	. . . . . 6 ⊢ (0R <R (𝐴 ·R -1R) → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)))
21	18, 20	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 <R 0R → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R))))
22		mulcomsr 11158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1R ·R 𝐴) = (𝐴 ·R -1R)
23	22	oveq1i 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1R ·R 𝐴) ·R -1R) = ((𝐴 ·R -1R) ·R -1R)
24		mulasssr 11159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1R ·R 𝐴) ·R -1R) = (-1R ·R (𝐴 ·R -1R))
25		mulasssr 11159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ·R -1R) = (𝐴 ·R (-1R ·R -1R))
26	23, 24, 25	3eqtr3i 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R (-1R ·R -1R))
27		m1m1sr 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1R ·R -1R) = 1R
28	27	oveq2i 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ·R (-1R ·R -1R)) = (𝐴 ·R 1R)
29	26, 28	eqtri 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R 1R)
30	29	oveq2i 7459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ·R (-1R ·R (𝐴 ·R -1R))) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 1R))
31		mulasssr 11159	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)))
32		mulasssr 11159	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 1R))
33	30, 31, 32	3eqtr4i 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R)
34		mulclsr 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝐴) ∈ R)
35		1idsr 11167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐴) ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
37	36	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
38	33, 37	eqtrid 2792	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R 𝐴))
39	38	breq2d 5178	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) ↔ 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
40	21, 39	sylibd 239	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 <R 0R → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
41		mulgt0sr 11174	. . . . . 6 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐴) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
42	41	anidms 566	. . . . 5 ⊢ (0R <R 𝐴 → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
43	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (0R <R 𝐴 → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
44	40, 43	jaod 858	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
45	6, 44	sylbird 260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ≠ 0R → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
46	45	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166   Or wor 5606  (class class class)co 7448  Rcnr 10934  0_Rc0r 10935  1_Rc1r 10936  -1_Rcm1r 10937   +_R cplr 10938   ·_R cmr 10939   <_R cltr 10940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-ni 10941  df-pli 10942  df-mi 10943  df-lti 10944  df-plpq 10977  df-mpq 10978  df-ltpq 10979  df-enq 10980  df-nq 10981  df-erq 10982  df-plq 10983  df-mq 10984  df-1nq 10985  df-rq 10986  df-ltnq 10987  df-np 11050  df-1p 11051  df-plp 11052  df-mp 11053  df-ltp 11054  df-enr 11124  df-nr 11125  df-plr 11126  df-mr 11127  df-ltr 11128  df-0r 11129  df-1r 11130  df-m1r 11131

This theorem is referenced by:  recexsr  11176