MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqgt0sr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqgt0sr 10964
Description: The square of a nonzero signed real is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
sqgt0sr ((𝐴R𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))

Proof of Theorem sqgt0sr
StepHypRef Expression
1 0r 10938 . . . . 5 0RR
2 ltsosr 10952 . . . . . 6 <R Or R
3 sotrieq 5562 . . . . . 6 (( <R Or R ∧ (𝐴R ∧ 0RR)) → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
42, 3mpan 687 . . . . 5 ((𝐴R ∧ 0RR) → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
51, 4mpan2 688 . . . 4 (𝐴R → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
65necon2abid 2983 . . 3 (𝐴R → ((𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴) ↔ 𝐴 ≠ 0R))
7 m1r 10940 . . . . . . . . 9 -1RR
8 mulclsr 10942 . . . . . . . . 9 ((𝐴R ∧ -1RR) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
97, 8mpan2 688 . . . . . . . 8 (𝐴R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
10 ltasr 10958 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·R -1R) ∈ R → (𝐴 <R 0R ↔ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R)))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝐴R → (𝐴 <R 0R ↔ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R)))
12 addcomsr 10945 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R))
13 pn0sr 10959 . . . . . . . . 9 (𝐴R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
1412, 13eqtrid 2788 . . . . . . . 8 (𝐴R → ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = 0R)
15 0idsr 10955 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ·R -1R) ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) = (𝐴 ·R -1R))
169, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴R → ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) = (𝐴 ·R -1R))
1714, 16breq12d 5106 . . . . . . 7 (𝐴R → (((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) ↔ 0R <R (𝐴 ·R -1R)))
1811, 17bitrd 278 . . . . . 6 (𝐴R → (𝐴 <R 0R ↔ 0R <R (𝐴 ·R -1R)))
19 mulgt0sr 10963 . . . . . . 7 ((0R <R (𝐴 ·R -1R) ∧ 0R <R (𝐴 ·R -1R)) → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)))
2019anidms 567 . . . . . 6 (0R <R (𝐴 ·R -1R) → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)))
2118, 20syl6bi 252 . . . . 5 (𝐴R → (𝐴 <R 0R → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R))))
22 mulcomsr 10947 . . . . . . . . . . . 12 (-1R ·R 𝐴) = (𝐴 ·R -1R)
2322oveq1i 7348 . . . . . . . . . . 11 ((-1R ·R 𝐴) ·R -1R) = ((𝐴 ·R -1R) ·R -1R)
24 mulasssr 10948 . . . . . . . . . . 11 ((-1R ·R 𝐴) ·R -1R) = (-1R ·R (𝐴 ·R -1R))
25 mulasssr 10948 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ·R -1R) ·R -1R) = (𝐴 ·R (-1R ·R -1R))
2623, 24, 253eqtr3i 2772 . . . . . . . . . 10 (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R (-1R ·R -1R))
27 m1m1sr 10951 . . . . . . . . . . 11 (-1R ·R -1R) = 1R
2827oveq2i 7349 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ·R (-1R ·R -1R)) = (𝐴 ·R 1R)
2926, 28eqtri 2764 . . . . . . . . 9 (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R 1R)
3029oveq2i 7349 . . . . . . . 8 (𝐴 ·R (-1R ·R (𝐴 ·R -1R))) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 1R))
31 mulasssr 10948 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)))
32 mulasssr 10948 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 1R))
3330, 31, 323eqtr4i 2774 . . . . . . 7 ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R)
34 mulclsr 10942 . . . . . . . . 9 ((𝐴R𝐴R) → (𝐴 ·R 𝐴) ∈ R)
35 1idsr 10956 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ·R 𝐴) ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴R𝐴R) → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
3736anidms 567 . . . . . . 7 (𝐴R → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
3833, 37eqtrid 2788 . . . . . 6 (𝐴R → ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R 𝐴))
3938breq2d 5105 . . . . 5 (𝐴R → (0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) ↔ 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
4021, 39sylibd 238 . . . 4 (𝐴R → (𝐴 <R 0R → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
41 mulgt0sr 10963 . . . . . 6 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐴) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
4241anidms 567 . . . . 5 (0R <R 𝐴 → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
4342a1i 11 . . . 4 (𝐴R → (0R <R 𝐴 → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
4440, 43jaod 856 . . 3 (𝐴R → ((𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
456, 44sylbird 259 . 2 (𝐴R → (𝐴 ≠ 0R → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
4645imp 407 1 ((𝐴R𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940   class class class wbr 5093   Or wor 5532  (class class class)co 7338  Rcnr 10723  0Rc0r 10724  1Rc1r 10725  -1Rcm1r 10726   +R cplr 10727   ·R cmr 10728   <R cltr 10729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-inf2 9499
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-oadd 8372  df-omul 8373  df-er 8570  df-ec 8572  df-qs 8576  df-ni 10730  df-pli 10731  df-mi 10732  df-lti 10733  df-plpq 10766  df-mpq 10767  df-ltpq 10768  df-enq 10769  df-nq 10770  df-erq 10771  df-plq 10772  df-mq 10773  df-1nq 10774  df-rq 10775  df-ltnq 10776  df-np 10839  df-1p 10840  df-plp 10841  df-mp 10842  df-ltp 10843  df-enr 10913  df-nr 10914  df-plr 10915  df-mr 10916  df-ltr 10917  df-0r 10918  df-1r 10919  df-m1r 10920
This theorem is referenced by:  recexsr  10965
  Copyright terms: Public domain W3C validator