MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoffn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoffn 24098
Description: The function producing operator norm functions is a function on normed groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
nmoffn normOp Fn (NrmGrp Γ— NrmGrp)

Proof of Theorem nmoffn
Dummy variables 𝑓 π‘Ÿ 𝑠 𝑑 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nmo 24095 . 2 normOp = (𝑠 ∈ NrmGrp, 𝑑 ∈ NrmGrp ↦ (𝑓 ∈ (𝑠 GrpHom 𝑑) ↦ inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ )((normβ€˜π‘‘)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· ((normβ€˜π‘ )β€˜π‘₯))}, ℝ*, < )))
2 eqid 2733 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑠 GrpHom 𝑑) ↦ inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ )((normβ€˜π‘‘)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· ((normβ€˜π‘ )β€˜π‘₯))}, ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ (𝑠 GrpHom 𝑑) ↦ inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ )((normβ€˜π‘‘)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· ((normβ€˜π‘ )β€˜π‘₯))}, ℝ*, < ))
3 ssrab2 4041 . . . . . 6 {π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ )((normβ€˜π‘‘)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· ((normβ€˜π‘ )β€˜π‘₯))} βŠ† (0[,)+∞)
4 icossxr 13358 . . . . . 6 (0[,)+∞) βŠ† ℝ*
53, 4sstri 3957 . . . . 5 {π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ )((normβ€˜π‘‘)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· ((normβ€˜π‘ )β€˜π‘₯))} βŠ† ℝ*
6 infxrcl 13261 . . . . 5 ({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ )((normβ€˜π‘‘)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· ((normβ€˜π‘ )β€˜π‘₯))} βŠ† ℝ* β†’ inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ )((normβ€˜π‘‘)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· ((normβ€˜π‘ )β€˜π‘₯))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
75, 6mp1i 13 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑠 GrpHom 𝑑) β†’ inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ )((normβ€˜π‘‘)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· ((normβ€˜π‘ )β€˜π‘₯))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
82, 7fmpti 7064 . . 3 (𝑓 ∈ (𝑠 GrpHom 𝑑) ↦ inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ )((normβ€˜π‘‘)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· ((normβ€˜π‘ )β€˜π‘₯))}, ℝ*, < )):(𝑠 GrpHom 𝑑)βŸΆβ„*
9 ovex 7394 . . 3 (𝑠 GrpHom 𝑑) ∈ V
10 xrex 12920 . . 3 ℝ* ∈ V
11 fex2 7874 . . 3 (((𝑓 ∈ (𝑠 GrpHom 𝑑) ↦ inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ )((normβ€˜π‘‘)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· ((normβ€˜π‘ )β€˜π‘₯))}, ℝ*, < )):(𝑠 GrpHom 𝑑)βŸΆβ„* ∧ (𝑠 GrpHom 𝑑) ∈ V ∧ ℝ* ∈ V) β†’ (𝑓 ∈ (𝑠 GrpHom 𝑑) ↦ inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ )((normβ€˜π‘‘)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· ((normβ€˜π‘ )β€˜π‘₯))}, ℝ*, < )) ∈ V)
128, 9, 10, 11mp3an 1462 . 2 (𝑓 ∈ (𝑠 GrpHom 𝑑) ↦ inf({π‘Ÿ ∈ (0[,)+∞) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ )((normβ€˜π‘‘)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (π‘Ÿ Β· ((normβ€˜π‘ )β€˜π‘₯))}, ℝ*, < )) ∈ V
131, 12fnmpoi 8006 1 normOp Fn (NrmGrp Γ— NrmGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  infcinf 9385  0cc0 11059   Β· cmul 11064  +∞cpnf 11194  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  [,)cico 13275  Basecbs 17091   GrpHom cghm 19013  normcnm 23955  NrmGrpcngp 23956   normOp cnmo 24092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-ico 13279  df-nmo 24095
This theorem is referenced by:  nghmfval  24109  isnghm  24110
  Copyright terms: Public domain W3C validator