Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoffn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoffn 23413
 Description: The function producing operator norm functions is a function on normed groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
nmoffn normOp Fn (NrmGrp × NrmGrp)

Proof of Theorem nmoffn
Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑠 𝑡 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nmo 23410 . 2 normOp = (𝑠 ∈ NrmGrp, 𝑡 ∈ NrmGrp ↦ (𝑓 ∈ (𝑠 GrpHom 𝑡) ↦ inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)((norm‘𝑡)‘(𝑓𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑠)‘𝑥))}, ℝ*, < )))
2 eqid 2758 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑠 GrpHom 𝑡) ↦ inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)((norm‘𝑡)‘(𝑓𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑠)‘𝑥))}, ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ (𝑠 GrpHom 𝑡) ↦ inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)((norm‘𝑡)‘(𝑓𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑠)‘𝑥))}, ℝ*, < ))
3 ssrab2 3984 . . . . . 6 {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)((norm‘𝑡)‘(𝑓𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑠)‘𝑥))} ⊆ (0[,)+∞)
4 icossxr 12864 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
53, 4sstri 3901 . . . . 5 {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)((norm‘𝑡)‘(𝑓𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑠)‘𝑥))} ⊆ ℝ*
6 infxrcl 12767 . . . . 5 ({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)((norm‘𝑡)‘(𝑓𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑠)‘𝑥))} ⊆ ℝ* → inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)((norm‘𝑡)‘(𝑓𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑠)‘𝑥))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
75, 6mp1i 13 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑠 GrpHom 𝑡) → inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)((norm‘𝑡)‘(𝑓𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑠)‘𝑥))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
82, 7fmpti 6867 . . 3 (𝑓 ∈ (𝑠 GrpHom 𝑡) ↦ inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)((norm‘𝑡)‘(𝑓𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑠)‘𝑥))}, ℝ*, < )):(𝑠 GrpHom 𝑡)⟶ℝ*
9 ovex 7183 . . 3 (𝑠 GrpHom 𝑡) ∈ V
10 xrex 12427 . . 3 * ∈ V
11 fex2 7643 . . 3 (((𝑓 ∈ (𝑠 GrpHom 𝑡) ↦ inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)((norm‘𝑡)‘(𝑓𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑠)‘𝑥))}, ℝ*, < )):(𝑠 GrpHom 𝑡)⟶ℝ* ∧ (𝑠 GrpHom 𝑡) ∈ V ∧ ℝ* ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑠 GrpHom 𝑡) ↦ inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)((norm‘𝑡)‘(𝑓𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑠)‘𝑥))}, ℝ*, < )) ∈ V)
128, 9, 10, 11mp3an 1458 . 2 (𝑓 ∈ (𝑠 GrpHom 𝑡) ↦ inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)((norm‘𝑡)‘(𝑓𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑠)‘𝑥))}, ℝ*, < )) ∈ V
131, 12fnmpoi 7772 1 normOp Fn (NrmGrp × NrmGrp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  {crab 3074  Vcvv 3409   ⊆ wss 3858   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112   × cxp 5522   Fn wfn 6330  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  infcinf 8938  0cc0 10575   · cmul 10580  +∞cpnf 10710  ℝ*cxr 10712   < clt 10713   ≤ cle 10714  [,)cico 12781  Basecbs 16541   GrpHom cghm 18422  normcnm 23278  NrmGrpcngp 23279   normOp cnmo 23407 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-ico 12785  df-nmo 23410 This theorem is referenced by:  nghmfval  23424  isnghm  23425
 Copyright terms: Public domain W3C validator