MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decma Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decma 12727
Description: Perform a multiply-add of two numerals ๐‘€ and ๐‘ against a fixed multiplicand ๐‘ƒ (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.a ๐ด โˆˆ โ„•0
decma.b ๐ต โˆˆ โ„•0
decma.c ๐ถ โˆˆ โ„•0
decma.d ๐ท โˆˆ โ„•0
decma.m ๐‘€ = ๐ด๐ต
decma.n ๐‘ = ๐ถ๐ท
decma.p ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
decma.e ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ) = ๐ธ
decma.f ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท) = ๐น
Assertion
Ref Expression
decma ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ๐ธ๐น

Proof of Theorem decma
StepHypRef Expression
1 10nn0 12694 . . 3 10 โˆˆ โ„•0
2 decma.a . . 3 ๐ด โˆˆ โ„•0
3 decma.b . . 3 ๐ต โˆˆ โ„•0
4 decma.c . . 3 ๐ถ โˆˆ โ„•0
5 decma.d . . 3 ๐ท โˆˆ โ„•0
6 decma.m . . . 4 ๐‘€ = ๐ด๐ต
7 dfdec10 12679 . . . 4 ๐ด๐ต = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต)
86, 7eqtri 2752 . . 3 ๐‘€ = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต)
9 decma.n . . . 4 ๐‘ = ๐ถ๐ท
10 dfdec10 12679 . . . 4 ๐ถ๐ท = ((10 ยท ๐ถ) + ๐ท)
119, 10eqtri 2752 . . 3 ๐‘ = ((10 ยท ๐ถ) + ๐ท)
12 decma.p . . 3 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
13 decma.e . . 3 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ) = ๐ธ
14 decma.f . . 3 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท) = ๐น
151, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14numma 12720 . 2 ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ((10 ยท ๐ธ) + ๐น)
16 dfdec10 12679 . 2 ๐ธ๐น = ((10 ยท ๐ธ) + ๐น)
1715, 16eqtr4i 2755 1 ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ๐ธ๐น
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112  โ„•0cn0 12471  cdc 12676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-dec 12677
This theorem is referenced by:  decrmanc  12733  2503lem2  17076  4001lem1  17079  log2ub  26821  3exp7  41424  3lexlogpow5ineq1  41425  sqn5i  41727
  Copyright terms: Public domain W3C validator