MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decma Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decma 12782
Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.a 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m 𝑀 = 𝐴𝐵
decma.n 𝑁 = 𝐶𝐷
decma.p 𝑃 ∈ ℕ0
decma.e ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
decma.f ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹
Assertion
Ref Expression
decma ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐸𝐹

Proof of Theorem decma
StepHypRef Expression
1 10nn0 12749 . . 3 10 ∈ ℕ0
2 decma.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
3 decma.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
4 decma.c . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
5 decma.d . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
6 decma.m . . . 4 𝑀 = 𝐴𝐵
7 dfdec10 12734 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
86, 7eqtri 2763 . . 3 𝑀 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
9 decma.n . . . 4 𝑁 = 𝐶𝐷
10 dfdec10 12734 . . . 4 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
119, 10eqtri 2763 . . 3 𝑁 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
12 decma.p . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
13 decma.e . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
14 decma.f . . 3 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹
151, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14numma 12775 . 2 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((10 · 𝐸) + 𝐹)
16 dfdec10 12734 . 2 𝐸𝐹 = ((10 · 𝐸) + 𝐹)
1715, 16eqtr4i 2766 1 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐸𝐹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  0cn0 12524  cdc 12731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-dec 12732
This theorem is referenced by:  decrmanc  12788  2503lem2  17172  4001lem1  17175  log2ub  27007  3exp7  42035  3lexlogpow5ineq1  42036  sqn5i  42299
  Copyright terms: Public domain W3C validator