MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numadd 12723
Description: Add two decimal integers ๐‘€ and ๐‘ (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
numma.2 ๐ด โˆˆ โ„•0
numma.3 ๐ต โˆˆ โ„•0
numma.4 ๐ถ โˆˆ โ„•0
numma.5 ๐ท โˆˆ โ„•0
numma.6 ๐‘€ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
numma.7 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
numadd.8 (๐ด + ๐ถ) = ๐ธ
numadd.9 (๐ต + ๐ท) = ๐น
Assertion
Ref Expression
numadd (๐‘€ + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)

Proof of Theorem numadd
StepHypRef Expression
1 numma.6 . . . . . 6 ๐‘€ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
2 numma.1 . . . . . . 7 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
3 numma.2 . . . . . . 7 ๐ด โˆˆ โ„•0
4 numma.3 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„•0
52, 3, 4numcl 12689 . . . . . 6 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) โˆˆ โ„•0
61, 5eqeltri 2821 . . . . 5 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
76nn0cni 12483 . . . 4 ๐‘€ โˆˆ โ„‚
87mulridi 11217 . . 3 (๐‘€ ยท 1) = ๐‘€
98oveq1i 7412 . 2 ((๐‘€ ยท 1) + ๐‘) = (๐‘€ + ๐‘)
10 numma.4 . . 3 ๐ถ โˆˆ โ„•0
11 numma.5 . . 3 ๐ท โˆˆ โ„•0
12 numma.7 . . 3 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
13 1nn0 12487 . . 3 1 โˆˆ โ„•0
143nn0cni 12483 . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„‚
1514mulridi 11217 . . . . 5 (๐ด ยท 1) = ๐ด
1615oveq1i 7412 . . . 4 ((๐ด ยท 1) + ๐ถ) = (๐ด + ๐ถ)
17 numadd.8 . . . 4 (๐ด + ๐ถ) = ๐ธ
1816, 17eqtri 2752 . . 3 ((๐ด ยท 1) + ๐ถ) = ๐ธ
194nn0cni 12483 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„‚
2019mulridi 11217 . . . . 5 (๐ต ยท 1) = ๐ต
2120oveq1i 7412 . . . 4 ((๐ต ยท 1) + ๐ท) = (๐ต + ๐ท)
22 numadd.9 . . . 4 (๐ต + ๐ท) = ๐น
2321, 22eqtri 2752 . . 3 ((๐ต ยท 1) + ๐ท) = ๐น
242, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 18, 23numma 12720 . 2 ((๐‘€ ยท 1) + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)
259, 24eqtr3i 2754 1 (๐‘€ + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7402  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112  โ„•0cn0 12471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-nn 12212  df-n0 12472
This theorem is referenced by:  decadd  12730
  Copyright terms: Public domain W3C validator