Theorem numadd 12466

Description: Add two decimal integers 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6	⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numadd.8	⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
numadd.9	⊢ (𝐵 + 𝐷) = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
numadd	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2		numma.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
3		numma.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		numma.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5	2, 3, 4	numcl 12432	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
6	1, 5	eqeltri 2836	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
7	6	nn0cni 12228	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
8	7	mulid1i 10963	. . 3 ⊢ (𝑀 · 1) = 𝑀
9	8	oveq1i 7278	. 2 ⊢ ((𝑀 · 1) + 𝑁) = (𝑀 + 𝑁)
10		numma.4	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
11		numma.5	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
12		numma.7	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
13		1nn0 12232	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14	3	nn0cni 12228	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
15	14	mulid1i 10963	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 1) = 𝐴
16	15	oveq1i 7278	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 1) + 𝐶) = (𝐴 + 𝐶)
17		numadd.8	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
18	16, 17	eqtri 2767	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 1) + 𝐶) = 𝐸
19	4	nn0cni 12228	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
20	19	mulid1i 10963	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 1) = 𝐵
21	20	oveq1i 7278	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 1) + 𝐷) = (𝐵 + 𝐷)
22		numadd.9	. . . 4 ⊢ (𝐵 + 𝐷) = 𝐹
23	21, 22	eqtri 2767	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 1) + 𝐷) = 𝐹
24	2, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 18, 23	numma 12463	. 2 ⊢ ((𝑀 · 1) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
25	9, 24	eqtr3i 2769	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7268  1c1 10856   + caddc 10858   · cmul 10860  ℕ₀cn0 12216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-ltxr 10998  df-nn 11957  df-n0 12217

This theorem is referenced by:  decadd  12473