MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numadd 12137
Description: Add two decimal integers 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numadd.8 (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
numadd.9 (𝐵 + 𝐷) = 𝐹
Assertion
Ref Expression
numadd (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numadd
StepHypRef Expression
1 numma.6 . . . . . 6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2 numma.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ ℕ0
3 numma.2 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
4 numma.3 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
52, 3, 4numcl 12103 . . . . . 6 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
61, 5eqeltri 2889 . . . . 5 𝑀 ∈ ℕ0
76nn0cni 11901 . . . 4 𝑀 ∈ ℂ
87mulid1i 10638 . . 3 (𝑀 · 1) = 𝑀
98oveq1i 7149 . 2 ((𝑀 · 1) + 𝑁) = (𝑀 + 𝑁)
10 numma.4 . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
11 numma.5 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
12 numma.7 . . 3 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
13 1nn0 11905 . . 3 1 ∈ ℕ0
143nn0cni 11901 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
1514mulid1i 10638 . . . . 5 (𝐴 · 1) = 𝐴
1615oveq1i 7149 . . . 4 ((𝐴 · 1) + 𝐶) = (𝐴 + 𝐶)
17 numadd.8 . . . 4 (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
1816, 17eqtri 2824 . . 3 ((𝐴 · 1) + 𝐶) = 𝐸
194nn0cni 11901 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
2019mulid1i 10638 . . . . 5 (𝐵 · 1) = 𝐵
2120oveq1i 7149 . . . 4 ((𝐵 · 1) + 𝐷) = (𝐵 + 𝐷)
22 numadd.9 . . . 4 (𝐵 + 𝐷) = 𝐹
2321, 22eqtri 2824 . . 3 ((𝐵 · 1) + 𝐷) = 𝐹
242, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 18, 23numma 12134 . 2 ((𝑀 · 1) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
259, 24eqtr3i 2826 1 (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2112  (class class class)co 7139  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  0cn0 11889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-nn 11630  df-n0 11890
This theorem is referenced by:  decadd  12144
  Copyright terms: Public domain W3C validator