MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numadd 12755
Description: Add two decimal integers ๐‘€ and ๐‘ (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
numma.2 ๐ด โˆˆ โ„•0
numma.3 ๐ต โˆˆ โ„•0
numma.4 ๐ถ โˆˆ โ„•0
numma.5 ๐ท โˆˆ โ„•0
numma.6 ๐‘€ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
numma.7 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
numadd.8 (๐ด + ๐ถ) = ๐ธ
numadd.9 (๐ต + ๐ท) = ๐น
Assertion
Ref Expression
numadd (๐‘€ + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)

Proof of Theorem numadd
StepHypRef Expression
1 numma.6 . . . . . 6 ๐‘€ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
2 numma.1 . . . . . . 7 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
3 numma.2 . . . . . . 7 ๐ด โˆˆ โ„•0
4 numma.3 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„•0
52, 3, 4numcl 12721 . . . . . 6 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) โˆˆ โ„•0
61, 5eqeltri 2825 . . . . 5 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
76nn0cni 12515 . . . 4 ๐‘€ โˆˆ โ„‚
87mulridi 11249 . . 3 (๐‘€ ยท 1) = ๐‘€
98oveq1i 7430 . 2 ((๐‘€ ยท 1) + ๐‘) = (๐‘€ + ๐‘)
10 numma.4 . . 3 ๐ถ โˆˆ โ„•0
11 numma.5 . . 3 ๐ท โˆˆ โ„•0
12 numma.7 . . 3 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
13 1nn0 12519 . . 3 1 โˆˆ โ„•0
143nn0cni 12515 . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„‚
1514mulridi 11249 . . . . 5 (๐ด ยท 1) = ๐ด
1615oveq1i 7430 . . . 4 ((๐ด ยท 1) + ๐ถ) = (๐ด + ๐ถ)
17 numadd.8 . . . 4 (๐ด + ๐ถ) = ๐ธ
1816, 17eqtri 2756 . . 3 ((๐ด ยท 1) + ๐ถ) = ๐ธ
194nn0cni 12515 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„‚
2019mulridi 11249 . . . . 5 (๐ต ยท 1) = ๐ต
2120oveq1i 7430 . . . 4 ((๐ต ยท 1) + ๐ท) = (๐ต + ๐ท)
22 numadd.9 . . . 4 (๐ต + ๐ท) = ๐น
2321, 22eqtri 2756 . . 3 ((๐ต ยท 1) + ๐ท) = ๐น
242, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 18, 23numma 12752 . 2 ((๐‘€ ยท 1) + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)
259, 24eqtr3i 2758 1 (๐‘€ + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  (class class class)co 7420  1c1 11140   + caddc 11142   ยท cmul 11144  โ„•0cn0 12503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-ltxr 11284  df-nn 12244  df-n0 12504
This theorem is referenced by:  decadd  12762
  Copyright terms: Public domain W3C validator