![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > numadd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Add two decimal integers ๐ and ๐ (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
numma.1 | โข ๐ โ โ0 |
numma.2 | โข ๐ด โ โ0 |
numma.3 | โข ๐ต โ โ0 |
numma.4 | โข ๐ถ โ โ0 |
numma.5 | โข ๐ท โ โ0 |
numma.6 | โข ๐ = ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) |
numma.7 | โข ๐ = ((๐ ยท ๐ถ) + ๐ท) |
numadd.8 | โข (๐ด + ๐ถ) = ๐ธ |
numadd.9 | โข (๐ต + ๐ท) = ๐น |
Ref | Expression |
---|---|
numadd | โข (๐ + ๐) = ((๐ ยท ๐ธ) + ๐น) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | numma.6 | . . . . . 6 โข ๐ = ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) | |
2 | numma.1 | . . . . . . 7 โข ๐ โ โ0 | |
3 | numma.2 | . . . . . . 7 โข ๐ด โ โ0 | |
4 | numma.3 | . . . . . . 7 โข ๐ต โ โ0 | |
5 | 2, 3, 4 | numcl 12689 | . . . . . 6 โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) โ โ0 |
6 | 1, 5 | eqeltri 2829 | . . . . 5 โข ๐ โ โ0 |
7 | 6 | nn0cni 12483 | . . . 4 โข ๐ โ โ |
8 | 7 | mulridi 11217 | . . 3 โข (๐ ยท 1) = ๐ |
9 | 8 | oveq1i 7418 | . 2 โข ((๐ ยท 1) + ๐) = (๐ + ๐) |
10 | numma.4 | . . 3 โข ๐ถ โ โ0 | |
11 | numma.5 | . . 3 โข ๐ท โ โ0 | |
12 | numma.7 | . . 3 โข ๐ = ((๐ ยท ๐ถ) + ๐ท) | |
13 | 1nn0 12487 | . . 3 โข 1 โ โ0 | |
14 | 3 | nn0cni 12483 | . . . . . 6 โข ๐ด โ โ |
15 | 14 | mulridi 11217 | . . . . 5 โข (๐ด ยท 1) = ๐ด |
16 | 15 | oveq1i 7418 | . . . 4 โข ((๐ด ยท 1) + ๐ถ) = (๐ด + ๐ถ) |
17 | numadd.8 | . . . 4 โข (๐ด + ๐ถ) = ๐ธ | |
18 | 16, 17 | eqtri 2760 | . . 3 โข ((๐ด ยท 1) + ๐ถ) = ๐ธ |
19 | 4 | nn0cni 12483 | . . . . . 6 โข ๐ต โ โ |
20 | 19 | mulridi 11217 | . . . . 5 โข (๐ต ยท 1) = ๐ต |
21 | 20 | oveq1i 7418 | . . . 4 โข ((๐ต ยท 1) + ๐ท) = (๐ต + ๐ท) |
22 | numadd.9 | . . . 4 โข (๐ต + ๐ท) = ๐น | |
23 | 21, 22 | eqtri 2760 | . . 3 โข ((๐ต ยท 1) + ๐ท) = ๐น |
24 | 2, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 18, 23 | numma 12720 | . 2 โข ((๐ ยท 1) + ๐) = ((๐ ยท ๐ธ) + ๐น) |
25 | 9, 24 | eqtr3i 2762 | 1 โข (๐ + ๐) = ((๐ ยท ๐ธ) + ๐น) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: = wceq 1541 โ wcel 2106 (class class class)co 7408 1c1 11110 + caddc 11112 ยท cmul 11114 โ0cn0 12471 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-ov 7411 df-om 7855 df-2nd 7975 df-frecs 8265 df-wrecs 8296 df-recs 8370 df-rdg 8409 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-ltxr 11252 df-nn 12212 df-n0 12472 |
This theorem is referenced by: decadd 12730 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |