![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > numadd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Add two decimal integers ๐ and ๐ (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
numma.1 | โข ๐ โ โ0 |
numma.2 | โข ๐ด โ โ0 |
numma.3 | โข ๐ต โ โ0 |
numma.4 | โข ๐ถ โ โ0 |
numma.5 | โข ๐ท โ โ0 |
numma.6 | โข ๐ = ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) |
numma.7 | โข ๐ = ((๐ ยท ๐ถ) + ๐ท) |
numadd.8 | โข (๐ด + ๐ถ) = ๐ธ |
numadd.9 | โข (๐ต + ๐ท) = ๐น |
Ref | Expression |
---|---|
numadd | โข (๐ + ๐) = ((๐ ยท ๐ธ) + ๐น) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | numma.6 | . . . . . 6 โข ๐ = ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) | |
2 | numma.1 | . . . . . . 7 โข ๐ โ โ0 | |
3 | numma.2 | . . . . . . 7 โข ๐ด โ โ0 | |
4 | numma.3 | . . . . . . 7 โข ๐ต โ โ0 | |
5 | 2, 3, 4 | numcl 12689 | . . . . . 6 โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) โ โ0 |
6 | 1, 5 | eqeltri 2821 | . . . . 5 โข ๐ โ โ0 |
7 | 6 | nn0cni 12483 | . . . 4 โข ๐ โ โ |
8 | 7 | mulridi 11217 | . . 3 โข (๐ ยท 1) = ๐ |
9 | 8 | oveq1i 7412 | . 2 โข ((๐ ยท 1) + ๐) = (๐ + ๐) |
10 | numma.4 | . . 3 โข ๐ถ โ โ0 | |
11 | numma.5 | . . 3 โข ๐ท โ โ0 | |
12 | numma.7 | . . 3 โข ๐ = ((๐ ยท ๐ถ) + ๐ท) | |
13 | 1nn0 12487 | . . 3 โข 1 โ โ0 | |
14 | 3 | nn0cni 12483 | . . . . . 6 โข ๐ด โ โ |
15 | 14 | mulridi 11217 | . . . . 5 โข (๐ด ยท 1) = ๐ด |
16 | 15 | oveq1i 7412 | . . . 4 โข ((๐ด ยท 1) + ๐ถ) = (๐ด + ๐ถ) |
17 | numadd.8 | . . . 4 โข (๐ด + ๐ถ) = ๐ธ | |
18 | 16, 17 | eqtri 2752 | . . 3 โข ((๐ด ยท 1) + ๐ถ) = ๐ธ |
19 | 4 | nn0cni 12483 | . . . . . 6 โข ๐ต โ โ |
20 | 19 | mulridi 11217 | . . . . 5 โข (๐ต ยท 1) = ๐ต |
21 | 20 | oveq1i 7412 | . . . 4 โข ((๐ต ยท 1) + ๐ท) = (๐ต + ๐ท) |
22 | numadd.9 | . . . 4 โข (๐ต + ๐ท) = ๐น | |
23 | 21, 22 | eqtri 2752 | . . 3 โข ((๐ต ยท 1) + ๐ท) = ๐น |
24 | 2, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 18, 23 | numma 12720 | . 2 โข ((๐ ยท 1) + ๐) = ((๐ ยท ๐ธ) + ๐น) |
25 | 9, 24 | eqtr3i 2754 | 1 โข (๐ + ๐) = ((๐ ยท ๐ธ) + ๐น) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7402 1c1 11108 + caddc 11110 ยท cmul 11112 โ0cn0 12471 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-iun 4990 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-ov 7405 df-om 7850 df-2nd 7970 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-ltxr 11252 df-nn 12212 df-n0 12472 |
This theorem is referenced by: decadd 12730 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |