MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numadd 11766
Description: Add two decimal integers 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numadd.8 (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
numadd.9 (𝐵 + 𝐷) = 𝐹
Assertion
Ref Expression
numadd (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numadd
StepHypRef Expression
1 numma.6 . . . . . 6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2 numma.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ ℕ0
3 numma.2 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
4 numma.3 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
52, 3, 4numcl 11717 . . . . . 6 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
61, 5eqeltri 2846 . . . . 5 𝑀 ∈ ℕ0
76nn0cni 11511 . . . 4 𝑀 ∈ ℂ
87mulid1i 10248 . . 3 (𝑀 · 1) = 𝑀
98oveq1i 6806 . 2 ((𝑀 · 1) + 𝑁) = (𝑀 + 𝑁)
10 numma.4 . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
11 numma.5 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
12 numma.7 . . 3 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
13 1nn0 11515 . . 3 1 ∈ ℕ0
143nn0cni 11511 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
1514mulid1i 10248 . . . . 5 (𝐴 · 1) = 𝐴
1615oveq1i 6806 . . . 4 ((𝐴 · 1) + 𝐶) = (𝐴 + 𝐶)
17 numadd.8 . . . 4 (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
1816, 17eqtri 2793 . . 3 ((𝐴 · 1) + 𝐶) = 𝐸
194nn0cni 11511 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
2019mulid1i 10248 . . . . 5 (𝐵 · 1) = 𝐵
2120oveq1i 6806 . . . 4 ((𝐵 · 1) + 𝐷) = (𝐵 + 𝐷)
22 numadd.9 . . . 4 (𝐵 + 𝐷) = 𝐹
2321, 22eqtri 2793 . . 3 ((𝐵 · 1) + 𝐷) = 𝐹
242, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 18, 23numma 11763 . 2 ((𝑀 · 1) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
259, 24eqtr3i 2795 1 (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6796  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147  0cn0 11499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-ltxr 10285  df-nn 11227  df-n0 11500
This theorem is referenced by:  decadd  11776  decaddOLD  11777
  Copyright terms: Public domain W3C validator