Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvinv 28415
 Description: Minus 1 times a vector is the underlying group's inverse element. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvinv.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvinv.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
nvinv.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nvinv.5 𝑀 = (inv‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nvinv ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) = (𝑀𝐴))

Proof of Theorem nvinv
StepHypRef Expression
1 eqid 2821 . . 3 (1st𝑈) = (1st𝑈)
21nvvc 28391 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (1st𝑈) ∈ CVecOLD)
3 nvinv.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
43vafval 28379 . . 3 𝐺 = (1st ‘(1st𝑈))
5 nvinv.4 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
65smfval 28381 . . 3 𝑆 = (2nd ‘(1st𝑈))
7 nvinv.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
87, 3bafval 28380 . . 3 𝑋 = ran 𝐺
9 nvinv.5 . . 3 𝑀 = (inv‘𝐺)
104, 6, 8, 9vcm 28352 . 2 (((1st𝑈) ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) = (𝑀𝐴))
112, 10sylan 582 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) = (𝑀𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  1st c1st 7686  1c1 10537  -cneg 10870  invcgn 28267  CVecOLDcvc 28334  NrmCVeccnv 28360   +𝑣 cpv 28361  BaseSetcba 28362   ·𝑠OLD cns 28363 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-ltxr 10679  df-sub 10871  df-neg 10872  df-grpo 28269  df-gid 28270  df-ginv 28271  df-ablo 28321  df-vc 28335  df-nv 28368  df-va 28371  df-ba 28372  df-sm 28373  df-0v 28374  df-nmcv 28376 This theorem is referenced by:  nvinvfval  28416  nvmval  28418  nvmfval  28420  nvnegneg  28425  nvrinv  28427  nvlinv  28428
 Copyright terms: Public domain W3C validator