MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvinv 28050
Description: Minus 1 times a vector is the underlying group's inverse element. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvinv.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvinv.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
nvinv.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nvinv.5 𝑀 = (inv‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nvinv ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) = (𝑀𝐴))

Proof of Theorem nvinv
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . 3 (1st𝑈) = (1st𝑈)
21nvvc 28026 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (1st𝑈) ∈ CVecOLD)
3 nvinv.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
43vafval 28014 . . 3 𝐺 = (1st ‘(1st𝑈))
5 nvinv.4 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
65smfval 28016 . . 3 𝑆 = (2nd ‘(1st𝑈))
7 nvinv.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
87, 3bafval 28015 . . 3 𝑋 = ran 𝐺
9 nvinv.5 . . 3 𝑀 = (inv‘𝐺)
104, 6, 8, 9vcm 27987 . 2 (((1st𝑈) ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) = (𝑀𝐴))
112, 10sylan 577 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) = (𝑀𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  cfv 6124  (class class class)co 6906  1st c1st 7427  1c1 10254  -cneg 10587  invcgn 27902  CVecOLDcvc 27969  NrmCVeccnv 27995   +𝑣 cpv 27996  BaseSetcba 27997   ·𝑠OLD cns 27998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-po 5264  df-so 5265  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-ltxr 10397  df-sub 10588  df-neg 10589  df-grpo 27904  df-gid 27905  df-ginv 27906  df-ablo 27956  df-vc 27970  df-nv 28003  df-va 28006  df-ba 28007  df-sm 28008  df-0v 28009  df-nmcv 28011
This theorem is referenced by:  nvinvfval  28051  nvmval  28053  nvmfval  28055  nvnegneg  28060  nvrinv  28062  nvlinv  28063
  Copyright terms: Public domain W3C validator