Theorem isph 30913

Description: The predicate "is an inner product space." (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isph.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
isph.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
isph.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
isph.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
isph	⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem isph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phnv 30905	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		isph.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		isph.6	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
5	2, 3, 4	nvop 30767	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩)
6		eleq1 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD))
7	2	fvexi 6846	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ V
8		fvex 6845	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) ∈ V
9	4	fvexi 6846	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ V
10		isph.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11	10, 2	bafval 30695	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
12	11	isphg 30908	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))))))
13	7, 8, 9, 12	mp3an 1464	. . . . . 6 ⊢ (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))))
14		isph.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
15	10, 2, 3, 14	nvmval 30733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))
16	15	3expa 1119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))
17	16	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑥𝑀𝑦)) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))))
18	17	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2) = ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2))
19	18	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)))
20	19	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))) ↔ (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))))
21	20	ralbidva 3159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))))
22	21	ralbidva 3159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))))
23	22	pm5.32i 574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))) ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))))
24		eleq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (𝑈 ∈ NrmCVec ↔ ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec))
25	24	anbi1d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ → ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))) ↔ (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))))))
26	23, 25	bitr2id 284	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ → ((⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))) ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))))))
27	13, 26	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))))))
28	6, 27	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))))))
29	5, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))))))
30	29	bianabs 541	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))))
31	1, 30	biadanii 822	1 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430  ⟨cop 4574  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032  -cneg 11367  2c2 12225  ↑cexp 14012  NrmCVeccnv 30675   +_𝑣 cpv 30676  BaseSetcba 30677   ·_𝑠OLD cns 30678   −_𝑣 cnsb 30680  norm_CVcnmcv 30681  CPreHil_OLDccphlo 30903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368  df-neg 11369  df-grpo 30584  df-gid 30585  df-ginv 30586  df-gdiv 30587  df-ablo 30636  df-vc 30650  df-nv 30683  df-va 30686  df-ba 30687  df-sm 30688  df-0v 30689  df-vs 30690  df-nmcv 30691  df-ph 30904

This theorem is referenced by:  phpar2  30914