MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isph 29569
Description: The predicate "is an inner product space." (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isph.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
isph.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
isph.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
isph.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
isph (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem isph
StepHypRef Expression
1 phnv 29561 . 2 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
2 isph.2 . . . . 5 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
3 eqid 2738 . . . . 5 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 isph.6 . . . . 5 𝑁 = (normCV𝑈)
52, 3, 4nvop 29423 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩)
6 eleq1 2826 . . . . 5 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD))
72fvexi 6852 . . . . . . 7 𝐺 ∈ V
8 fvex 6851 . . . . . . 7 ( ·𝑠OLD𝑈) ∈ V
94fvexi 6852 . . . . . . 7 𝑁 ∈ V
10 isph.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
1110, 2bafval 29351 . . . . . . . 8 𝑋 = ran 𝐺
1211isphg 29564 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ ( ·𝑠OLD𝑈) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
137, 8, 9, 12mp3an 1462 . . . . . 6 (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
14 isph.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
1510, 2, 3, 14nvmval 29389 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))
16153expa 1119 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))
1716fveq2d 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑁‘(𝑥𝑀𝑦)) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))))
1817oveq1d 7365 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2) = ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2))
1918oveq2d 7366 . . . . . . . . . . 11 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)))
2019eqeq1d 2740 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) ↔ (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
2120ralbidva 3171 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) ↔ ∀𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
2221ralbidva 3171 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ NrmCVec → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
2322pm5.32i 576 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))) ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
24 eleq1 2826 . . . . . . . 8 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (𝑈 ∈ NrmCVec ↔ ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec))
2524anbi1d 631 . . . . . . 7 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))) ↔ (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
2623, 25bitr2id 284 . . . . . 6 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → ((⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))) ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
2713, 26bitrid 283 . . . . 5 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
286, 27bitrd 279 . . . 4 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
295, 28syl 17 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
3029bianabs 543 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
311, 30biadanii 821 1 (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3063  Vcvv 3444  cop 4591  cfv 6492  (class class class)co 7350  1c1 10986   + caddc 10988   · cmul 10990  -cneg 11320  2c2 12142  cexp 13897  NrmCVeccnv 29331   +𝑣 cpv 29332  BaseSetcba 29333   ·𝑠OLD cns 29334  𝑣 cnsb 29336  normCVcnmcv 29337  CPreHilOLDccphlo 29559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-ltxr 11128  df-sub 11321  df-neg 11322  df-grpo 29240  df-gid 29241  df-ginv 29242  df-gdiv 29243  df-ablo 29292  df-vc 29306  df-nv 29339  df-va 29342  df-ba 29343  df-sm 29344  df-0v 29345  df-vs 29346  df-nmcv 29347  df-ph 29560
This theorem is referenced by:  phpar2  29570
  Copyright terms: Public domain W3C validator