MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isph 30841
Description: The predicate "is an inner product space." (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isph.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
isph.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
isph.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
isph.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
isph (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem isph
StepHypRef Expression
1 phnv 30833 . 2 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
2 isph.2 . . . . 5 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
3 eqid 2737 . . . . 5 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 isph.6 . . . . 5 𝑁 = (normCV𝑈)
52, 3, 4nvop 30695 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩)
6 eleq1 2829 . . . . 5 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD))
72fvexi 6920 . . . . . . 7 𝐺 ∈ V
8 fvex 6919 . . . . . . 7 ( ·𝑠OLD𝑈) ∈ V
94fvexi 6920 . . . . . . 7 𝑁 ∈ V
10 isph.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
1110, 2bafval 30623 . . . . . . . 8 𝑋 = ran 𝐺
1211isphg 30836 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ ( ·𝑠OLD𝑈) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
137, 8, 9, 12mp3an 1463 . . . . . 6 (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
14 isph.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
1510, 2, 3, 14nvmval 30661 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))
16153expa 1119 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))
1716fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑁‘(𝑥𝑀𝑦)) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))))
1817oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2) = ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2))
1918oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)))
2019eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) ↔ (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
2120ralbidva 3176 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) ↔ ∀𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
2221ralbidva 3176 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ NrmCVec → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
2322pm5.32i 574 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))) ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
24 eleq1 2829 . . . . . . . 8 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (𝑈 ∈ NrmCVec ↔ ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec))
2524anbi1d 631 . . . . . . 7 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))) ↔ (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
2623, 25bitr2id 284 . . . . . 6 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → ((⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))) ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
2713, 26bitrid 283 . . . . 5 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
286, 27bitrd 279 . . . 4 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
295, 28syl 17 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
3029bianabs 541 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
311, 30biadanii 822 1 (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cop 4632  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  -cneg 11493  2c2 12321  cexp 14102  NrmCVeccnv 30603   +𝑣 cpv 30604  BaseSetcba 30605   ·𝑠OLD cns 30606  𝑣 cnsb 30608  normCVcnmcv 30609  CPreHilOLDccphlo 30831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ph 30832
This theorem is referenced by:  phpar2  30842
  Copyright terms: Public domain W3C validator