Theorem isph 31083

Description: The predicate "is an inner product space." (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isph.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
isph.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
isph.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
isph.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
isph	⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem isph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phnv 31075	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		isph.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		isph.6	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
5	2, 3, 4	nvop 30937	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩)
6		eleq1 2853	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD))
7	2	fvexi 6885	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ V
8		fvex 6884	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) ∈ V
9	4	fvexi 6885	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ V
10		isph.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11	10, 2	bafval 30865	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
12	11	isphg 31078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))))))
13	7, 8, 9, 12	mp3an 1485	. . . . . 6 ⊢ (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))))
14		isph.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
15	10, 2, 3, 14	nvmval 30903	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))
16	15	3expa 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))
17	16	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑥𝑀𝑦)) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))))
18	17	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2) = ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2))
19	18	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)))
20	19	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))) ↔ (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))))
21	20	ralbidva 3186	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))))
22	21	ralbidva 3186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))))
23	22	pm5.32i 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))) ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))))
24		eleq1 2853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (𝑈 ∈ NrmCVec ↔ ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec))
25	24	anbi1d 642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ → ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))) ↔ (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))))))
26	23, 25	bitr2id 287	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ → ((⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))) ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))))))
27	13, 26	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))))))
28	6, 27	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))))))
29	5, 28	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2))))))
30	29	bianabs 550	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))))
31	1, 30	biadanii 833	1 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝑥)↑2) + ((𝑁‘𝑦)↑2)))))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  Vcvv 3457  ⟨cop 4591  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093  -cneg 11430  2c2 12286  ↑cexp 14088  NrmCVeccnv 30845   +_𝑣 cpv 30846  BaseSetcba 30847   ·_𝑠OLD cns 30848   −_𝑣 cnsb 30850  norm_CVcnmcv 30851  CPreHil_OLDccphlo 31073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-sub 11431  df-neg 11432  df-grpo 30754  df-gid 30755  df-ginv 30756  df-gdiv 30757  df-ablo 30806  df-vc 30820  df-nv 30853  df-va 30856  df-ba 30857  df-sm 30858  df-0v 30859  df-vs 30860  df-nmcv 30861  df-ph 31074

This theorem is referenced by:  phpar2  31084