MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isph 28391
Description: The predicate "is an inner product space." (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isph.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
isph.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
isph.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
isph.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
isph (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem isph
StepHypRef Expression
1 phnv 28383 . 2 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
2 isph.2 . . . . 5 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
3 eqid 2780 . . . . 5 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 isph.6 . . . . 5 𝑁 = (normCV𝑈)
52, 3, 4nvop 28245 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩)
6 eleq1 2855 . . . . 5 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD))
72fvexi 6518 . . . . . . 7 𝐺 ∈ V
8 fvex 6517 . . . . . . 7 ( ·𝑠OLD𝑈) ∈ V
94fvexi 6518 . . . . . . 7 𝑁 ∈ V
10 isph.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
1110, 2bafval 28173 . . . . . . . 8 𝑋 = ran 𝐺
1211isphg 28386 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ ( ·𝑠OLD𝑈) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
137, 8, 9, 12mp3an 1441 . . . . . 6 (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
14 isph.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
1510, 2, 3, 14nvmval 28211 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))
16153expa 1099 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))
1716fveq2d 6508 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑁‘(𝑥𝑀𝑦)) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))))
1817oveq1d 6997 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2) = ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2))
1918oveq2d 6998 . . . . . . . . . . 11 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)))
2019eqeq1d 2782 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) ↔ (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
2120ralbidva 3148 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) ↔ ∀𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
2221ralbidva 3148 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ NrmCVec → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
2322pm5.32i 567 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))) ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
24 eleq1 2855 . . . . . . . 8 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (𝑈 ∈ NrmCVec ↔ ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec))
2524anbi1d 621 . . . . . . 7 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))) ↔ (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
2623, 25syl5rbb 276 . . . . . 6 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → ((⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))) ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
2713, 26syl5bb 275 . . . . 5 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
286, 27bitrd 271 . . . 4 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
295, 28syl 17 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
3029bianabs 534 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
311, 30biadanii 811 1 (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  wral 3090  Vcvv 3417  cop 4450  cfv 6193  (class class class)co 6982  1c1 10342   + caddc 10344   · cmul 10346  -cneg 10677  2c2 11501  cexp 13250  NrmCVeccnv 28153   +𝑣 cpv 28154  BaseSetcba 28155   ·𝑠OLD cns 28156  𝑣 cnsb 28158  normCVcnmcv 28159  CPreHilOLDccphlo 28381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-op 4451  df-uni 4718  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-id 5316  df-po 5330  df-so 5331  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-er 8095  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-ltxr 10485  df-sub 10678  df-neg 10679  df-grpo 28062  df-gid 28063  df-ginv 28064  df-gdiv 28065  df-ablo 28114  df-vc 28128  df-nv 28161  df-va 28164  df-ba 28165  df-sm 28166  df-0v 28167  df-vs 28168  df-nmcv 28169  df-ph 28382
This theorem is referenced by:  phpar2  28392  sspphOLD  28424
  Copyright terms: Public domain W3C validator