Theorem pw2divs0d 28548

Description: Division into zero is zero for a power of two. (Contributed by Scott Fenton, 21-Feb-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
pw2divs0d.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divs0d	⊢ (𝜑 → ( 0s /su (2s↑s𝑁)) = 0s )

Proof of Theorem pw2divs0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2no 28512	. . . 4 ⊢ 2s ∈ No
2		pw2divs0d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
3		expscl 28524	. . . 4 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
4	1, 2, 3	sylancr 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
5		muls01 28205	. . 3 ⊢ ((2s↑s𝑁) ∈ No → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = 0s )
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = 0s )
7		0no 27902	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
9	8, 8, 2	pw2divmulsd 28533	. 2 ⊢ (𝜑 → (( 0s /su (2s↑s𝑁)) = 0s ↔ ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = 0s ))
10	6, 9	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → ( 0s /su (2s↑s𝑁)) = 0s )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396   No csur 27704   0_s c0s 27898   ·_s cmuls 28199   /_su cdivs 28280  ℕ_0scn0s 28405  2_sc2s 28503  ↑_scexps 28505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-nadd 8636  df-no 27707  df-lts 27708  df-bday 27709  df-les 27809  df-slts 27851  df-cuts 27853  df-0s 27900  df-1s 27901  df-made 27920  df-old 27921  df-left 27923  df-right 27924  df-norec 28031  df-norec2 28042  df-adds 28053  df-negs 28114  df-subs 28115  df-muls 28200  df-divs 28281  df-seqs 28377  df-n0s 28407  df-nns 28408  df-zs 28472  df-2s 28504  df-exps 28506

This theorem is referenced by:  bdaypw2n0bndlem  28556