Theorem pw2divmulsd 28446

Description: Relationship between surreal division and multiplication for powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divmulsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divmulsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
pw2divmulsd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divmulsd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = 𝐵 ↔ ((2s↑s𝑁) ·s 𝐵) = 𝐴))

Proof of Theorem pw2divmulsd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divmulsd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		pw2divmulsd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		2no 28425	. . 3 ⊢ 2s ∈ No
4		pw2divmulsd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
5		expscl 28437	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
6	3, 4, 5	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
7		2ne0s 28426	. . 3 ⊢ 2s ≠ 0s
8		expsne0 28442	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 2s ≠ 0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
9	3, 7, 4, 8	mp3an12i 1468	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
10		pw2recs 28444	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
11	4, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
12	1, 2, 6, 9, 11	divmulswd 28200	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = 𝐵 ↔ ((2s↑s𝑁) ·s 𝐵) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  (class class class)co 7360   No csur 27617   0_s c0s 27811   1_s c1s 27812   ·_s cmuls 28112   /_su cdivs 28193  ℕ_0scn0s 28318  2_sc2s 28416  ↑_scexps 28418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-nadd 8595  df-no 27620  df-lts 27621  df-bday 27622  df-les 27723  df-slts 27764  df-cuts 27766  df-0s 27813  df-1s 27814  df-made 27833  df-old 27834  df-left 27836  df-right 27837  df-norec 27944  df-norec2 27955  df-adds 27966  df-negs 28027  df-subs 28028  df-muls 28113  df-divs 28194  df-seqs 28290  df-n0s 28320  df-nns 28321  df-zs 28385  df-2s 28417  df-exps 28419

This theorem is referenced by:  pw2divscan3d  28447  pw2divscan4d  28450  pw2divsnegd  28455  pw2divs0d  28461  pw2divsidd  28462  z12bdaylem1  28476  z12shalf  28486  z12zsodd  28488  z12sge0  28489