![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > replim | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Reconstruct a complex number from its real and imaginary parts. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
replim | โข (๐ด โ โ โ ๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cnre 11247 | . 2 โข (๐ด โ โ โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) | |
2 | crre 15099 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) = ๐ฅ) | |
3 | crim 15100 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) = ๐ฆ) | |
4 | 3 | oveq2d 7440 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))) = (i ยท ๐ฆ)) |
5 | 2, 4 | oveq12d 7442 | . . . . 5 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ ((โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) + (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))))) = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) |
6 | 5 | eqcomd 2733 | . . . 4 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) = ((โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) + (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))))) |
7 | id 22 | . . . . 5 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) | |
8 | fveq2 6900 | . . . . . 6 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ (โโ๐ด) = (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))) | |
9 | fveq2 6900 | . . . . . . 7 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ (โโ๐ด) = (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))) | |
10 | 9 | oveq2d 7440 | . . . . . 6 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ (i ยท (โโ๐ด)) = (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))))) |
11 | 8, 10 | oveq12d 7442 | . . . . 5 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด))) = ((โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) + (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))))) |
12 | 7, 11 | eqeq12d 2743 | . . . 4 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ (๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด))) โ (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) = ((โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) + (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))))))) |
13 | 6, 12 | syl5ibrcom 246 | . . 3 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ ๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด))))) |
14 | 13 | rexlimivv 3195 | . 2 โข (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ ๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด)))) |
15 | 1, 14 | syl 17 | 1 โข (๐ด โ โ โ ๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwrex 3066 โcfv 6551 (class class class)co 7424 โcc 11142 โcr 11143 ici 11146 + caddc 11147 ยท cmul 11149 โcre 15082 โcim 15083 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2698 ax-sep 5301 ax-nul 5308 ax-pow 5367 ax-pr 5431 ax-un 7744 ax-resscn 11201 ax-1cn 11202 ax-icn 11203 ax-addcl 11204 ax-addrcl 11205 ax-mulcl 11206 ax-mulrcl 11207 ax-mulcom 11208 ax-addass 11209 ax-mulass 11210 ax-distr 11211 ax-i2m1 11212 ax-1ne0 11213 ax-1rid 11214 ax-rnegex 11215 ax-rrecex 11216 ax-cnre 11217 ax-pre-lttri 11218 ax-pre-lttrn 11219 ax-pre-ltadd 11220 ax-pre-mulgt0 11221 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4325 df-if 4531 df-pw 4606 df-sn 4631 df-pr 4633 df-op 4637 df-uni 4911 df-br 5151 df-opab 5213 df-mpt 5234 df-id 5578 df-po 5592 df-so 5593 df-xp 5686 df-rel 5687 df-cnv 5688 df-co 5689 df-dm 5690 df-rn 5691 df-res 5692 df-ima 5693 df-iota 6503 df-fun 6553 df-fn 6554 df-f 6555 df-f1 6556 df-fo 6557 df-f1o 6558 df-fv 6559 df-riota 7380 df-ov 7427 df-oprab 7428 df-mpo 7429 df-er 8729 df-en 8969 df-dom 8970 df-sdom 8971 df-pnf 11286 df-mnf 11287 df-xr 11288 df-ltxr 11289 df-le 11290 df-sub 11482 df-neg 11483 df-div 11908 df-2 12311 df-cj 15084 df-re 15085 df-im 15086 |
This theorem is referenced by: remim 15102 reim0b 15104 rereb 15105 mulre 15106 cjreb 15108 reneg 15110 readd 15111 remullem 15113 imneg 15118 imadd 15119 cjcj 15125 imval2 15136 cnrecnv 15150 replimi 15155 replimd 15182 recan 15321 efeul 16144 absef 16179 absefib 16180 efieq1re 16181 cnsubrg 21365 itgconst 25766 tanregt0 26491 tanarg 26571 ccfldextdgrr 33365 sqrtcval 43074 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |