![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > replim | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Reconstruct a complex number from its real and imaginary parts. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
replim | โข (๐ด โ โ โ ๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cnre 11159 | . 2 โข (๐ด โ โ โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) | |
2 | crre 15006 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) = ๐ฅ) | |
3 | crim 15007 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) = ๐ฆ) | |
4 | 3 | oveq2d 7378 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))) = (i ยท ๐ฆ)) |
5 | 2, 4 | oveq12d 7380 | . . . . 5 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ ((โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) + (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))))) = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) |
6 | 5 | eqcomd 2743 | . . . 4 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) = ((โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) + (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))))) |
7 | id 22 | . . . . 5 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) | |
8 | fveq2 6847 | . . . . . 6 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ (โโ๐ด) = (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))) | |
9 | fveq2 6847 | . . . . . . 7 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ (โโ๐ด) = (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))) | |
10 | 9 | oveq2d 7378 | . . . . . 6 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ (i ยท (โโ๐ด)) = (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))))) |
11 | 8, 10 | oveq12d 7380 | . . . . 5 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด))) = ((โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) + (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))))) |
12 | 7, 11 | eqeq12d 2753 | . . . 4 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ (๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด))) โ (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) = ((โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) + (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))))))) |
13 | 6, 12 | syl5ibrcom 247 | . . 3 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ ๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด))))) |
14 | 13 | rexlimivv 3197 | . 2 โข (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ ๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด)))) |
15 | 1, 14 | syl 17 | 1 โข (๐ด โ โ โ ๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwrex 3074 โcfv 6501 (class class class)co 7362 โcc 11056 โcr 11057 ici 11060 + caddc 11061 ยท cmul 11063 โcre 14989 โcim 14990 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-addass 11123 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rnegex 11129 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 ax-pre-lttri 11132 ax-pre-lttrn 11133 ax-pre-ltadd 11134 ax-pre-mulgt0 11135 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-id 5536 df-po 5550 df-so 5551 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-riota 7318 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-er 8655 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-xr 11200 df-ltxr 11201 df-le 11202 df-sub 11394 df-neg 11395 df-div 11820 df-2 12223 df-cj 14991 df-re 14992 df-im 14993 |
This theorem is referenced by: remim 15009 reim0b 15011 rereb 15012 mulre 15013 cjreb 15015 reneg 15017 readd 15018 remullem 15020 imneg 15025 imadd 15026 cjcj 15032 imval2 15043 cnrecnv 15057 replimi 15062 replimd 15089 recan 15228 efeul 16051 absef 16086 absefib 16087 efieq1re 16088 cnsubrg 20873 itgconst 25199 tanregt0 25911 tanarg 25990 ccfldextdgrr 32396 sqrtcval 41987 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |