Theorem replim 15157

Description: Reconstruct a complex number from its real and imaginary parts. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
replim	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))

Proof of Theorem replim

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11193	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		crre 15155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = 𝑥)
3		crim 15156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = 𝑦)
4	3	oveq2d 7416	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))) = (i · 𝑦))
5	2, 4	oveq12d 7418	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) + (i · (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))))) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
6	5	eqcomd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) + (i · (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))))))
7		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
8		fveq2 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))))
9		fveq2 6871	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))))
10	9	oveq2d 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (i · (ℑ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))))
11	8, 10	oveq12d 7418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) + (i · (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))))))
12	7, 11	eqeq12d 2781	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) + (i · (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))))))
13	6, 12	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
14	13	rexlimivv 3207	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
15	1, 14	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  ici 11090   + caddc 11091   · cmul 11093  ℜcre 15138  ℑcim 15139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142

This theorem is referenced by:  remim  15158  reim0b  15160  rereb  15161  mulre  15162  cjreb  15164  reneg  15166  readd  15167  remullem  15169  imneg  15174  imadd  15175  cjcj  15181  imval2  15192  cnrecnv  15206  replimi  15211  replimd  15238  recan  15378  efeul  16208  absef  16243  absefib  16244  efieq1re  16245  cnsubrg  21537  itgconst  25939  tanregt0  26662  tanarg  26742  ccfldextdgrr  33979  sqrtcval  44229