MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recexsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recexsr 11138
Description: The reciprocal of a nonzero signed real exists. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
recexsr ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ด โ‰  0R) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem recexsr
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqgt0sr 11137 . 2 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ด โ‰  0R) โ†’ 0R <R (๐ด ยทR ๐ด))
2 mulclsr 11115 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โ†’ (๐ด ยทR ๐‘ฆ) โˆˆ R)
3 mulasssr 11121 . . . . . . 7 ((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐‘ฆ) = (๐ด ยทR (๐ด ยทR ๐‘ฆ))
43eqeq1i 2733 . . . . . 6 (((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐‘ฆ) = 1R โ†” (๐ด ยทR (๐ด ยทR ๐‘ฆ)) = 1R)
5 oveq2 7434 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐ด ยทR ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = (๐ด ยทR (๐ด ยทR ๐‘ฆ)))
65eqeq1d 2730 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐ด ยทR ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R โ†” (๐ด ยทR (๐ด ยทR ๐‘ฆ)) = 1R))
76rspcev 3611 . . . . . 6 (((๐ด ยทR ๐‘ฆ) โˆˆ R โˆง (๐ด ยทR (๐ด ยทR ๐‘ฆ)) = 1R) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R)
84, 7sylan2b 592 . . . . 5 (((๐ด ยทR ๐‘ฆ) โˆˆ R โˆง ((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐‘ฆ) = 1R) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R)
92, 8sylan 578 . . . 4 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โˆง ((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐‘ฆ) = 1R) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R)
109rexlimdva2 3154 . . 3 (๐ด โˆˆ R โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ R ((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐‘ฆ) = 1R โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R))
11 recexsrlem 11134 . . 3 (0R <R (๐ด ยทR ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ R ((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐‘ฆ) = 1R)
1210, 11impel 504 . 2 ((๐ด โˆˆ R โˆง 0R <R (๐ด ยทR ๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R)
131, 12syldan 589 1 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ด โ‰  0R) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  โˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  Rcnr 10896  0Rc0r 10897  1Rc1r 10898   ยทR cmr 10901   <R cltr 10902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-ni 10903  df-pli 10904  df-mi 10905  df-lti 10906  df-plpq 10939  df-mpq 10940  df-ltpq 10941  df-enq 10942  df-nq 10943  df-erq 10944  df-plq 10945  df-mq 10946  df-1nq 10947  df-rq 10948  df-ltnq 10949  df-np 11012  df-1p 11013  df-plp 11014  df-mp 11015  df-ltp 11016  df-enr 11086  df-nr 11087  df-plr 11088  df-mr 11089  df-ltr 11090  df-0r 11091  df-1r 11092  df-m1r 11093
This theorem is referenced by:  axrrecex  11194
  Copyright terms: Public domain W3C validator