MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recexsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recexsr 11101
Description: The reciprocal of a nonzero signed real exists. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
recexsr ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ด โ‰  0R) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem recexsr
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqgt0sr 11100 . 2 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ด โ‰  0R) โ†’ 0R <R (๐ด ยทR ๐ด))
2 mulclsr 11078 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โ†’ (๐ด ยทR ๐‘ฆ) โˆˆ R)
3 mulasssr 11084 . . . . . . 7 ((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐‘ฆ) = (๐ด ยทR (๐ด ยทR ๐‘ฆ))
43eqeq1i 2737 . . . . . 6 (((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐‘ฆ) = 1R โ†” (๐ด ยทR (๐ด ยทR ๐‘ฆ)) = 1R)
5 oveq2 7416 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐ด ยทR ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = (๐ด ยทR (๐ด ยทR ๐‘ฆ)))
65eqeq1d 2734 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐ด ยทR ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R โ†” (๐ด ยทR (๐ด ยทR ๐‘ฆ)) = 1R))
76rspcev 3612 . . . . . 6 (((๐ด ยทR ๐‘ฆ) โˆˆ R โˆง (๐ด ยทR (๐ด ยทR ๐‘ฆ)) = 1R) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R)
84, 7sylan2b 594 . . . . 5 (((๐ด ยทR ๐‘ฆ) โˆˆ R โˆง ((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐‘ฆ) = 1R) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R)
92, 8sylan 580 . . . 4 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โˆง ((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐‘ฆ) = 1R) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R)
109rexlimdva2 3157 . . 3 (๐ด โˆˆ R โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ R ((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐‘ฆ) = 1R โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R))
11 recexsrlem 11097 . . 3 (0R <R (๐ด ยทR ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ R ((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐‘ฆ) = 1R)
1210, 11impel 506 . 2 ((๐ด โˆˆ R โˆง 0R <R (๐ด ยทR ๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R)
131, 12syldan 591 1 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ด โ‰  0R) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  Rcnr 10859  0Rc0r 10860  1Rc1r 10861   ยทR cmr 10864   <R cltr 10865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-ni 10866  df-pli 10867  df-mi 10868  df-lti 10869  df-plpq 10902  df-mpq 10903  df-ltpq 10904  df-enq 10905  df-nq 10906  df-erq 10907  df-plq 10908  df-mq 10909  df-1nq 10910  df-rq 10911  df-ltnq 10912  df-np 10975  df-1p 10976  df-plp 10977  df-mp 10978  df-ltp 10979  df-enr 11049  df-nr 11050  df-plr 11051  df-mr 11052  df-ltr 11053  df-0r 11054  df-1r 11055  df-m1r 11056
This theorem is referenced by:  axrrecex  11157
  Copyright terms: Public domain W3C validator