Theorem recexsr 10863

Description: The reciprocal of a nonzero signed real exists. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
recexsr	⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ≠ 0R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexsr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqgt0sr 10862	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
2		mulclsr 10840	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝑦) ∈ R)
3		mulasssr 10846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦))
4	3	eqeq1i 2743	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R ↔ (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦)) = 1R)
5		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ·R 𝑦) → (𝐴 ·R 𝑥) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦)))
6	5	eqeq1d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ·R 𝑦) → ((𝐴 ·R 𝑥) = 1R ↔ (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦)) = 1R))
7	6	rspcev 3561	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·R 𝑦) ∈ R ∧ (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦)) = 1R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)
8	4, 7	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·R 𝑦) ∈ R ∧ ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)
9	2, 8	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)
10	9	rexlimdva2 3216	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (∃𝑦 ∈ R ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R))
11		recexsrlem 10859	. . 3 ⊢ (0R <R (𝐴 ·R 𝐴) → ∃𝑦 ∈ R ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R)
12	10, 11	impel 506	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)
13	1, 12	syldan 591	1 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ≠ 0R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  Rcnr 10621  0_Rc0r 10622  1_Rc1r 10623   ·_R cmr 10626   <_R cltr 10627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-ni 10628  df-pli 10629  df-mi 10630  df-lti 10631  df-plpq 10664  df-mpq 10665  df-ltpq 10666  df-enq 10667  df-nq 10668  df-erq 10669  df-plq 10670  df-mq 10671  df-1nq 10672  df-rq 10673  df-ltnq 10674  df-np 10737  df-1p 10738  df-plp 10739  df-mp 10740  df-ltp 10741  df-enr 10811  df-nr 10812  df-plr 10813  df-mr 10814  df-ltr 10815  df-0r 10816  df-1r 10817  df-m1r 10818

This theorem is referenced by:  axrrecex  10919