Theorem recexsr 10264

Description: The reciprocal of a nonzero signed real exists. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
recexsr	⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ≠ 0R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexsr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqgt0sr 10263	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
2		mulclsr 10241	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝑦) ∈ R)
3		mulasssr 10247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦))
4	3	eqeq1i 2782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R ↔ (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦)) = 1R)
5		oveq2 6930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ·R 𝑦) → (𝐴 ·R 𝑥) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦)))
6	5	eqeq1d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ·R 𝑦) → ((𝐴 ·R 𝑥) = 1R ↔ (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦)) = 1R))
7	6	rspcev 3510	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·R 𝑦) ∈ R ∧ (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦)) = 1R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)
8	4, 7	sylan2b 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·R 𝑦) ∈ R ∧ ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)
9	2, 8	sylan 575	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)
10	9	rexlimdva2 3215	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (∃𝑦 ∈ R ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R))
11		recexsrlem 10260	. . 3 ⊢ (0R <R (𝐴 ·R 𝐴) → ∃𝑦 ∈ R ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R)
12	10, 11	impel 501	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)
13	1, 12	syldan 585	1 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ≠ 0R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968  ∃wrex 3090   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  Rcnr 10022  0_Rc0r 10023  1_Rc1r 10024   ·_R cmr 10027   <_R cltr 10028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-ec 8028  df-qs 8032  df-ni 10029  df-pli 10030  df-mi 10031  df-lti 10032  df-plpq 10065  df-mpq 10066  df-ltpq 10067  df-enq 10068  df-nq 10069  df-erq 10070  df-plq 10071  df-mq 10072  df-1nq 10073  df-rq 10074  df-ltnq 10075  df-np 10138  df-1p 10139  df-plp 10140  df-mp 10141  df-ltp 10142  df-enr 10212  df-nr 10213  df-plr 10214  df-mr 10215  df-ltr 10216  df-0r 10217  df-1r 10218  df-m1r 10219

This theorem is referenced by:  axrrecex  10320