Theorem recexsr 11028

Description: The reciprocal of a nonzero signed real exists. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
recexsr	⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ≠ 0R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexsr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqgt0sr 11027	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
2		mulclsr 11005	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝑦) ∈ R)
3		mulasssr 11011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦))
4	3	eqeq1i 2745	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R ↔ (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦)) = 1R)
5		oveq2 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ·R 𝑦) → (𝐴 ·R 𝑥) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦)))
6	5	eqeq1d 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ·R 𝑦) → ((𝐴 ·R 𝑥) = 1R ↔ (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦)) = 1R))
7	6	rspcev 3567	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·R 𝑦) ∈ R ∧ (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦)) = 1R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)
8	4, 7	sylan2b 600	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·R 𝑦) ∈ R ∧ ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)
9	2, 8	sylan 586	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)
10	9	rexlimdva2 3143	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (∃𝑦 ∈ R ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R))
11		recexsrlem 11024	. . 3 ⊢ (0R <R (𝐴 ·R 𝐴) → ∃𝑦 ∈ R ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R)
12	10, 11	impel 510	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)
13	1, 12	syldan 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ≠ 0R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∃wrex 3064   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  Rcnr 10786  0_Rc0r 10787  1_Rc1r 10788   ·_R cmr 10791   <_R cltr 10792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-omul 8407  df-er 8640  df-ec 8642  df-qs 8646  df-ni 10793  df-pli 10794  df-mi 10795  df-lti 10796  df-plpq 10829  df-mpq 10830  df-ltpq 10831  df-enq 10832  df-nq 10833  df-erq 10834  df-plq 10835  df-mq 10836  df-1nq 10837  df-rq 10838  df-ltnq 10839  df-np 10902  df-1p 10903  df-plp 10904  df-mp 10905  df-ltp 10906  df-enr 10976  df-nr 10977  df-plr 10978  df-mr 10979  df-ltr 10980  df-0r 10981  df-1r 10982  df-m1r 10983

This theorem is referenced by:  axrrecex  11084