MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recexsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recexsr 11101
Description: The reciprocal of a nonzero signed real exists. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
recexsr ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ด โ‰  0R) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem recexsr
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqgt0sr 11100 . 2 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ด โ‰  0R) โ†’ 0R <R (๐ด ยทR ๐ด))
2 mulclsr 11078 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โ†’ (๐ด ยทR ๐‘ฆ) โˆˆ R)
3 mulasssr 11084 . . . . . . 7 ((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐‘ฆ) = (๐ด ยทR (๐ด ยทR ๐‘ฆ))
43eqeq1i 2731 . . . . . 6 (((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐‘ฆ) = 1R โ†” (๐ด ยทR (๐ด ยทR ๐‘ฆ)) = 1R)
5 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐ด ยทR ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = (๐ด ยทR (๐ด ยทR ๐‘ฆ)))
65eqeq1d 2728 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐ด ยทR ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R โ†” (๐ด ยทR (๐ด ยทR ๐‘ฆ)) = 1R))
76rspcev 3606 . . . . . 6 (((๐ด ยทR ๐‘ฆ) โˆˆ R โˆง (๐ด ยทR (๐ด ยทR ๐‘ฆ)) = 1R) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R)
84, 7sylan2b 593 . . . . 5 (((๐ด ยทR ๐‘ฆ) โˆˆ R โˆง ((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐‘ฆ) = 1R) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R)
92, 8sylan 579 . . . 4 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โˆง ((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐‘ฆ) = 1R) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R)
109rexlimdva2 3151 . . 3 (๐ด โˆˆ R โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ R ((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐‘ฆ) = 1R โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R))
11 recexsrlem 11097 . . 3 (0R <R (๐ด ยทR ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ R ((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐‘ฆ) = 1R)
1210, 11impel 505 . 2 ((๐ด โˆˆ R โˆง 0R <R (๐ด ยทR ๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R)
131, 12syldan 590 1 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ด โ‰  0R) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R (๐ด ยทR ๐‘ฅ) = 1R)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  Rcnr 10859  0Rc0r 10860  1Rc1r 10861   ยทR cmr 10864   <R cltr 10865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-ni 10866  df-pli 10867  df-mi 10868  df-lti 10869  df-plpq 10902  df-mpq 10903  df-ltpq 10904  df-enq 10905  df-nq 10906  df-erq 10907  df-plq 10908  df-mq 10909  df-1nq 10910  df-rq 10911  df-ltnq 10912  df-np 10975  df-1p 10976  df-plp 10977  df-mp 10978  df-ltp 10979  df-enr 11049  df-nr 11050  df-plr 11051  df-mr 11052  df-ltr 11053  df-0r 11054  df-1r 11055  df-m1r 11056
This theorem is referenced by:  axrrecex  11157
  Copyright terms: Public domain W3C validator