Theorem recexsr 11023

Description: The reciprocal of a nonzero signed real exists. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
recexsr	⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ≠ 0R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexsr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqgt0sr 11022	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
2		mulclsr 11000	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝑦) ∈ R)
3		mulasssr 11006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦))
4	3	eqeq1i 2742	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R ↔ (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦)) = 1R)
5		oveq2 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ·R 𝑦) → (𝐴 ·R 𝑥) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦)))
6	5	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ·R 𝑦) → ((𝐴 ·R 𝑥) = 1R ↔ (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦)) = 1R))
7	6	rspcev 3577	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·R 𝑦) ∈ R ∧ (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦)) = 1R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)
8	4, 7	sylan2b 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·R 𝑦) ∈ R ∧ ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)
9	2, 8	sylan 581	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)
10	9	rexlimdva2 3140	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → (∃𝑦 ∈ R ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R))
11		recexsrlem 11019	. . 3 ⊢ (0R <R (𝐴 ·R 𝐴) → ∃𝑦 ∈ R ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R)
12	10, 11	impel 505	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)
13	1, 12	syldan 592	1 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ≠ 0R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061   class class class wbr 5099  (class class class)co 7361  Rcnr 10781  0_Rc0r 10782  1_Rc1r 10783   ·_R cmr 10786   <_R cltr 10787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-inf2 9555

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-oadd 8404  df-omul 8405  df-er 8638  df-ec 8640  df-qs 8644  df-ni 10788  df-pli 10789  df-mi 10790  df-lti 10791  df-plpq 10824  df-mpq 10825  df-ltpq 10826  df-enq 10827  df-nq 10828  df-erq 10829  df-plq 10830  df-mq 10831  df-1nq 10832  df-rq 10833  df-ltnq 10834  df-np 10897  df-1p 10898  df-plp 10899  df-mp 10900  df-ltp 10901  df-enr 10971  df-nr 10972  df-plr 10973  df-mr 10974  df-ltr 10975  df-0r 10976  df-1r 10977  df-m1r 10978

This theorem is referenced by:  axrrecex  11079