MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recexsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recexsr 10523
Description: The reciprocal of a nonzero signed real exists. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
recexsr ((𝐴R𝐴 ≠ 0R) → ∃𝑥R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexsr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqgt0sr 10522 . 2 ((𝐴R𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
2 mulclsr 10500 . . . . 5 ((𝐴R𝑦R) → (𝐴 ·R 𝑦) ∈ R)
3 mulasssr 10506 . . . . . . 7 ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦))
43eqeq1i 2826 . . . . . 6 (((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R ↔ (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦)) = 1R)
5 oveq2 7158 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴 ·R 𝑦) → (𝐴 ·R 𝑥) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦)))
65eqeq1d 2823 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐴 ·R 𝑦) → ((𝐴 ·R 𝑥) = 1R ↔ (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦)) = 1R))
76rspcev 3623 . . . . . 6 (((𝐴 ·R 𝑦) ∈ R ∧ (𝐴 ·R (𝐴 ·R 𝑦)) = 1R) → ∃𝑥R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)
84, 7sylan2b 595 . . . . 5 (((𝐴 ·R 𝑦) ∈ R ∧ ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R) → ∃𝑥R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)
92, 8sylan 582 . . . 4 (((𝐴R𝑦R) ∧ ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R) → ∃𝑥R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)
109rexlimdva2 3287 . . 3 (𝐴R → (∃𝑦R ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R → ∃𝑥R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R))
11 recexsrlem 10519 . . 3 (0R <R (𝐴 ·R 𝐴) → ∃𝑦R ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 𝑦) = 1R)
1210, 11impel 508 . 2 ((𝐴R ∧ 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)) → ∃𝑥R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)
131, 12syldan 593 1 ((𝐴R𝐴 ≠ 0R) → ∃𝑥R (𝐴 ·R 𝑥) = 1R)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  wrex 3139   class class class wbr 5059  (class class class)co 7150  Rcnr 10281  0Rc0r 10282  1Rc1r 10283   ·R cmr 10286   <R cltr 10287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8283  df-ec 8285  df-qs 8289  df-ni 10288  df-pli 10289  df-mi 10290  df-lti 10291  df-plpq 10324  df-mpq 10325  df-ltpq 10326  df-enq 10327  df-nq 10328  df-erq 10329  df-plq 10330  df-mq 10331  df-1nq 10332  df-rq 10333  df-ltnq 10334  df-np 10397  df-1p 10398  df-plp 10399  df-mp 10400  df-ltp 10401  df-enr 10471  df-nr 10472  df-plr 10473  df-mr 10474  df-ltr 10475  df-0r 10476  df-1r 10477  df-m1r 10478
This theorem is referenced by:  axrrecex  10579
  Copyright terms: Public domain W3C validator