![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > recexsr | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The reciprocal of a nonzero signed real exists. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
recexsr | โข ((๐ด โ R โง ๐ด โ 0R) โ โ๐ฅ โ R (๐ด ยทR ๐ฅ) = 1R) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | sqgt0sr 11100 | . 2 โข ((๐ด โ R โง ๐ด โ 0R) โ 0R <R (๐ด ยทR ๐ด)) | |
2 | mulclsr 11078 | . . . . 5 โข ((๐ด โ R โง ๐ฆ โ R) โ (๐ด ยทR ๐ฆ) โ R) | |
3 | mulasssr 11084 | . . . . . . 7 โข ((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐ฆ) = (๐ด ยทR (๐ด ยทR ๐ฆ)) | |
4 | 3 | eqeq1i 2731 | . . . . . 6 โข (((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐ฆ) = 1R โ (๐ด ยทR (๐ด ยทR ๐ฆ)) = 1R) |
5 | oveq2 7412 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ = (๐ด ยทR ๐ฆ) โ (๐ด ยทR ๐ฅ) = (๐ด ยทR (๐ด ยทR ๐ฆ))) | |
6 | 5 | eqeq1d 2728 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ = (๐ด ยทR ๐ฆ) โ ((๐ด ยทR ๐ฅ) = 1R โ (๐ด ยทR (๐ด ยทR ๐ฆ)) = 1R)) |
7 | 6 | rspcev 3606 | . . . . . 6 โข (((๐ด ยทR ๐ฆ) โ R โง (๐ด ยทR (๐ด ยทR ๐ฆ)) = 1R) โ โ๐ฅ โ R (๐ด ยทR ๐ฅ) = 1R) |
8 | 4, 7 | sylan2b 593 | . . . . 5 โข (((๐ด ยทR ๐ฆ) โ R โง ((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐ฆ) = 1R) โ โ๐ฅ โ R (๐ด ยทR ๐ฅ) = 1R) |
9 | 2, 8 | sylan 579 | . . . 4 โข (((๐ด โ R โง ๐ฆ โ R) โง ((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐ฆ) = 1R) โ โ๐ฅ โ R (๐ด ยทR ๐ฅ) = 1R) |
10 | 9 | rexlimdva2 3151 | . . 3 โข (๐ด โ R โ (โ๐ฆ โ R ((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐ฆ) = 1R โ โ๐ฅ โ R (๐ด ยทR ๐ฅ) = 1R)) |
11 | recexsrlem 11097 | . . 3 โข (0R <R (๐ด ยทR ๐ด) โ โ๐ฆ โ R ((๐ด ยทR ๐ด) ยทR ๐ฆ) = 1R) | |
12 | 10, 11 | impel 505 | . 2 โข ((๐ด โ R โง 0R <R (๐ด ยทR ๐ด)) โ โ๐ฅ โ R (๐ด ยทR ๐ฅ) = 1R) |
13 | 1, 12 | syldan 590 | 1 โข ((๐ด โ R โง ๐ด โ 0R) โ โ๐ฅ โ R (๐ด ยทR ๐ฅ) = 1R) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2934 โwrex 3064 class class class wbr 5141 (class class class)co 7404 Rcnr 10859 0Rc0r 10860 1Rc1r 10861 ยทR cmr 10864 <R cltr 10865 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-inf2 9635 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-1o 8464 df-oadd 8468 df-omul 8469 df-er 8702 df-ec 8704 df-qs 8708 df-ni 10866 df-pli 10867 df-mi 10868 df-lti 10869 df-plpq 10902 df-mpq 10903 df-ltpq 10904 df-enq 10905 df-nq 10906 df-erq 10907 df-plq 10908 df-mq 10909 df-1nq 10910 df-rq 10911 df-ltnq 10912 df-np 10975 df-1p 10976 df-plp 10977 df-mp 10978 df-ltp 10979 df-enr 11049 df-nr 11050 df-plr 11051 df-mr 11052 df-ltr 11053 df-0r 11054 df-1r 11055 df-m1r 11056 |
This theorem is referenced by: axrrecex 11157 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |