Theorem rtprmirr 27070

Description: The root of a prime number is irrational. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
rtprmirr	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem rtprmirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16829	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3	2	nnred 12331	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑃 ∈ ℝ)
4		0red 11292	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ∈ ℝ)
5	2	nngt0d 12368	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < 𝑃)
6	4, 3, 5	ltled 11439	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ≤ 𝑃)
7		eluzelre 12957	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
8	7	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		eluz2n0 13001	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≠ 0)
10	9	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ≠ 0)
11	8, 10	rereccld 12125	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
12	3, 6, 11	recxpcld 27033	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
13		eluz2gt1 13028	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
14		recgt1i 12195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (0 < (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < 1))
15	7, 13, 14	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < 1))
16	15	simprd 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) < 1)
17	16	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 / 𝑁) < 1)
18		prmgt1 16853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 𝑃)
20		1red 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 ∈ ℝ)
21	3, 19, 11, 20	cxpltd 27029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((1 / 𝑁) < 1 ↔ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) < (𝑃↑𝑐1)))
22	17, 21	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) < (𝑃↑𝑐1))
23	2	nncnd 12332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑃 ∈ ℂ)
24	23	cxp1d 27016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐1) = 𝑃)
25	22, 24	breqtrd 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) < 𝑃)
26	12, 25	ltned 11427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ 𝑃)
27	26	neneqd 2961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃)
28	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃)
29	23	cxp0d 27015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐0) = 1)
30	15	simpld 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (1 / 𝑁))
31	30	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < (1 / 𝑁))
32	3, 19, 4, 11	cxpltd 27029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0 < (1 / 𝑁) ↔ (𝑃↑𝑐0) < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁))))
33	31, 32	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐0) < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)))
34	29, 33	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)))
35	20, 34	gtned 11426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ 1)
36	35	neneqd 2961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 1)
37	36	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 1)
38		dvdsprime 16842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃 ∨ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 1)))
39	38	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃 ∨ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 1)))
40	39	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃 → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃 ∨ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 1)))
41	28, 37, 40	mtord 893	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)
42		nan 843	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)) ↔ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃))
43	41, 42	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃))
44		prmz 16830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
45	44	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℤ)
46		eluz2nn 12996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
47	46	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
48		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ)
49		zrtdvds 27069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)
50	45, 47, 48, 49	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)
51	50	3expia 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃))
52	51	ancld 560	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)))
53	43, 52	mtod 201	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ)
54	1	nnrpd 13143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
55	54	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
56	7	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
57	9	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
58	56, 57	rereccld 12125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
59	55, 58	cxpgt0d 27048	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 0 < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)))
60	59	3expia 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ → 0 < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁))))
61	60	ancld 560	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)))))
62		elnnz 12684	. . . . 5 ⊢ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ↔ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁))))
63	61, 62	imbitrrdi 255	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ))
64	53, 63	mtod 201	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
65	44	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → 𝑃 ∈ ℤ)
66	46	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℕ)
67		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)
68		zrtelqelz 27068	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
69	65, 66, 67, 68	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
70	69	3expia 1139	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ))
71	64, 70	mtod 201	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)
72	12, 71	eldifd 3910	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3896   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   < clt 11324   / cdiv 11954  ℕcn 12316  2c2 12378  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946  ℚcq 13056  ℝ⁺crp 13101   ∥ cdvds 16402  ℙcprime 16826  ↑_𝑐ccxp 26865

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-shft 15200  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-ef 16213  df-sin 16215  df-cos 16216  df-pi 16218  df-dvds 16403  df-gcd 16645  df-prm 16827  df-numer 16891  df-denom 16892  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-lp 23434  df-perf 23435  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-haus 23613  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cncf 25179  df-limc 26166  df-dv 26167  df-log 26866  df-cxp 26867

This theorem is used by:  fltne  27957  2sqr3minply  34394