Theorem rtprmirr 26737

Description: The root of a prime number is irrational. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
rtprmirr	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem rtprmirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16634	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3	2	nnred 12180	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑃 ∈ ℝ)
4		0red 11138	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ∈ ℝ)
5	2	nngt0d 12217	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < 𝑃)
6	4, 3, 5	ltled 11285	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ≤ 𝑃)
7		eluzelre 12790	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
8	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		eluz2n0 12834	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≠ 0)
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ≠ 0)
11	8, 10	rereccld 11973	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
12	3, 6, 11	recxpcld 26700	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
13		eluz2gt1 12861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
14		recgt1i 12044	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (0 < (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < 1))
15	7, 13, 14	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < 1))
16	15	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) < 1)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 / 𝑁) < 1)
18		prmgt1 16658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 𝑃)
20		1red 11136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 ∈ ℝ)
21	3, 19, 11, 20	cxpltd 26696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((1 / 𝑁) < 1 ↔ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) < (𝑃↑𝑐1)))
22	17, 21	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) < (𝑃↑𝑐1))
23	2	nncnd 12181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑃 ∈ ℂ)
24	23	cxp1d 26683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐1) = 𝑃)
25	22, 24	breqtrd 5112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) < 𝑃)
26	12, 25	ltned 11273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ 𝑃)
27	26	neneqd 2938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃)
29	23	cxp0d 26682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐0) = 1)
30	15	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (1 / 𝑁))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < (1 / 𝑁))
32	3, 19, 4, 11	cxpltd 26696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0 < (1 / 𝑁) ↔ (𝑃↑𝑐0) < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁))))
33	31, 32	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐0) < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)))
34	29, 33	eqbrtrrd 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)))
35	20, 34	gtned 11272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ 1)
36	35	neneqd 2938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 1)
37	36	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 1)
38		dvdsprime 16647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃 ∨ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 1)))
39	38	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃 ∨ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 1)))
40	39	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃 → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃 ∨ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 1)))
41	28, 37, 40	mtord 880	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)
42		nan 830	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)) ↔ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃))
43	41, 42	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃))
44		prmz 16635	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
45	44	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℤ)
46		eluz2nn 12829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
47	46	3ad2ant2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
48		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ)
49		zrtdvds 26736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)
50	45, 47, 48, 49	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)
51	50	3expia 1122	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃))
52	51	ancld 550	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)))
53	43, 52	mtod 198	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ)
54	1	nnrpd 12975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
55	54	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
56	7	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
57	9	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
58	56, 57	rereccld 11973	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
59	55, 58	cxpgt0d 26715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 0 < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)))
60	59	3expia 1122	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ → 0 < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁))))
61	60	ancld 550	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)))))
62		elnnz 12525	. . . . 5 ⊢ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ↔ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁))))
63	61, 62	imbitrrdi 252	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ))
64	53, 63	mtod 198	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
65	44	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → 𝑃 ∈ ℤ)
66	46	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℕ)
67		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)
68		zrtelqelz 26735	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
69	65, 66, 67, 68	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
70	69	3expia 1122	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ))
71	64, 70	mtod 198	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)
72	12, 71	eldifd 3901	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   < clt 11170   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ℚcq 12889  ℝ⁺crp 12933   ∥ cdvds 16212  ℙcprime 16631  ↑_𝑐ccxp 26532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-prm 16632  df-numer 16696  df-denom 16697  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844  df-log 26533  df-cxp 26534

This theorem is referenced by:  2sqr3minply  33940  fltne  43091