Theorem rtprmirr 39187

Description: The root of a prime number is irrational. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
rtprmirr	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem rtprmirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16012	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3	2	nnred 11647	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑃 ∈ ℝ)
4		0red 10638	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ∈ ℝ)
5	2	nngt0d 11680	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < 𝑃)
6	4, 3, 5	ltled 10782	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ≤ 𝑃)
7		eluzelre 12248	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
8	7	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		eluz2n0 12282	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≠ 0)
10	9	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ≠ 0)
11	8, 10	rereccld 11461	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
12	3, 6, 11	recxpcld 25300	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
13	3	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ)
14	6	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑃)
15	11	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
16	13, 14, 15	recxpcld 25300	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
17	7	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		eluz2gt1 12314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
19	18	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 1 < 𝑁)
20		recgt1i 11531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (0 < (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < 1))
21	20	simprd 498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 / 𝑁) < 1)
22	17, 19, 21	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) < 1)
23		simpll 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
24		prmgt1 16035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 1 < 𝑃)
26		1red 10636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
27	13, 25, 15, 26	cxpltd 25296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((1 / 𝑁) < 1 ↔ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) < (𝑃↑𝑐1)))
28	22, 27	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) < (𝑃↑𝑐1))
29	13	recnd 10663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
30	29	cxp1d 25283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑐1) = 𝑃)
31	28, 30	breqtrd 5084	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) < 𝑃)
32	16, 31	ltned 10770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ 𝑃)
33	32	neneqd 3021	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃)
34	29	cxp0d 25282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑐0) = 1)
35	20	simpld 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 0 < (1 / 𝑁))
36	17, 19, 35	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 0 < (1 / 𝑁))
37		0red 10638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
38	13, 25, 37, 15	cxpltd 25296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (0 < (1 / 𝑁) ↔ (𝑃↑𝑐0) < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁))))
39	36, 38	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑐0) < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)))
40	34, 39	eqbrtrrd 5082	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 1 < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)))
41	26, 40	gtned 10769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ 1)
42	41	neneqd 3021	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 1)
43		dvdsprime 16025	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃 ∨ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 1)))
44	43	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃 ∨ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 1)))
45	44	biimpd 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃 → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃 ∨ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 1)))
46	33, 42, 45	mtord 876	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)
47		nan 827	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)) ↔ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃))
48	46, 47	mpbir 233	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃))
49		prmz 16013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
50	49	3ad2ant1 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℤ)
51		eluz2nn 12278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
52	51	3ad2ant2 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
53		simp3 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ)
54		zrtdvds 39186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)
55	50, 52, 53, 54	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)
56	55	3expia 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃))
57	56	ancld 553	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)))
58	48, 57	mtod 200	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ)
59	1	nnrpd 12423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
60	59	3ad2ant1 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
61	7	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
62	9	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
63	61, 62	rereccld 11461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
64	60, 63	cxpgt0d 39173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 0 < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)))
65	64	3expia 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ → 0 < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁))))
66	65	ancld 553	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)))))
67		elnnz 11985	. . . . 5 ⊢ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ↔ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁))))
68	66, 67	syl6ibr 254	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ))
69	58, 68	mtod 200	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
70	49	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → 𝑃 ∈ ℤ)
71	51	3ad2ant2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℕ)
72		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)
73		zrtelqelz 39185	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
74	70, 71, 72, 73	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
75	74	3expia 1117	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ))
76	69, 75	mtod 200	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)
77	12, 76	eldifd 3946	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3932   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   < clt 10669   ≤ cle 10670   / cdiv 11291  ℕcn 11632  2c2 11686  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  ℚcq 12342  ℝ⁺crp 12383   ∥ cdvds 15601  ℙcprime 16009  ↑_𝑐ccxp 25133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-sin 15417  df-cos 15418  df-pi 15420  df-dvds 15602  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-numer 16069  df-denom 16070  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-limc 24458  df-dv 24459  df-log 25134  df-cxp 25135

This theorem is referenced by:  fltne  39265