Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rtprmirr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rtprmirr 38623
Description: The root of a prime number is irrational. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
rtprmirr ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem rtprmirr
StepHypRef Expression
1 prmnn 15874 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21adantr 473 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑃 ∈ ℕ)
32nnred 11456 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑃 ∈ ℝ)
4 0red 10443 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 0 ∈ ℝ)
52nngt0d 11489 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < 𝑃)
64, 3, 5ltled 10588 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 0 ≤ 𝑃)
7 eluzelre 12069 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
87adantl 474 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9 eluz2n0 12102 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≠ 0)
109adantl 474 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ≠ 0)
118, 10rereccld 11268 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
123, 6, 11recxpcld 25007 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
133adantr 473 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ)
146adantr 473 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑃)
1511adantr 473 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
1613, 14, 15recxpcld 25007 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
177ad2antlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
18 eluz2gt1 12134 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑁)
1918ad2antlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 1 < 𝑁)
20 recgt1i 11338 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (0 < (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < 1))
2120simprd 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 / 𝑁) < 1)
2217, 19, 21syl2anc 576 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) < 1)
23 simpll 754 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
24 prmgt1 15897 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 1 < 𝑃)
26 1red 10440 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
2713, 25, 15, 26cxpltd 25003 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((1 / 𝑁) < 1 ↔ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) < (𝑃𝑐1)))
2822, 27mpbid 224 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) < (𝑃𝑐1))
2913recnd 10468 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
3029cxp1d 24990 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐1) = 𝑃)
3128, 30breqtrd 4955 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) < 𝑃)
3216, 31ltned 10576 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ≠ 𝑃)
3332neneqd 2973 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃)
3429cxp0d 24989 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐0) = 1)
3520simpld 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 0 < (1 / 𝑁))
3617, 19, 35syl2anc 576 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 0 < (1 / 𝑁))
37 0red 10443 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
3813, 25, 37, 15cxpltd 25003 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (0 < (1 / 𝑁) ↔ (𝑃𝑐0) < (𝑃𝑐(1 / 𝑁))))
3936, 38mpbid 224 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐0) < (𝑃𝑐(1 / 𝑁)))
4034, 39eqbrtrrd 4953 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 1 < (𝑃𝑐(1 / 𝑁)))
4126, 40gtned 10575 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ≠ 1)
4241neneqd 2973 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 1)
43 dvdsprime 15887 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃 ∨ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 1)))
4443adantlr 702 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃 ∨ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 1)))
4544biimpd 221 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃 → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃 ∨ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 1)))
4633, 42, 45mtord 863 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)
47 nan 817 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)) ↔ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃))
4846, 47mpbir 223 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃))
49 prmz 15875 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
50493ad2ant1 1113 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℤ)
51 eluz2nn 12098 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
52513ad2ant2 1114 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
53 simp3 1118 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ)
54 zrtdvds 38622 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)
5550, 52, 53, 54syl3anc 1351 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)
56553expia 1101 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃))
5756ancld 543 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)))
5848, 57mtod 190 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ)
591nnrpd 12246 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
60593ad2ant1 1113 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
6173ad2ant2 1114 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
6293ad2ant2 1114 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
6361, 62rereccld 11268 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
6460, 63cxpgt0d 38609 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 0 < (𝑃𝑐(1 / 𝑁)))
65643expia 1101 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ → 0 < (𝑃𝑐(1 / 𝑁))))
6665ancld 543 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃𝑐(1 / 𝑁)))))
67 elnnz 11803 . . . . 5 ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ↔ ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃𝑐(1 / 𝑁))))
6866, 67syl6ibr 244 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ))
6958, 68mtod 190 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
70493ad2ant1 1113 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → 𝑃 ∈ ℤ)
71513ad2ant2 1114 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℕ)
72 simp3 1118 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)
73 zrtelqelz 38621 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
7470, 71, 72, 73syl3anc 1351 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
75743expia 1101 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ))
7669, 75mtod 190 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)
7712, 76eldifd 3841 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2968  cdif 3827   class class class wbr 4929  cfv 6188  (class class class)co 6976  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   < clt 10474  cle 10475   / cdiv 11098  cn 11439  2c2 11495  cz 11793  cuz 12058  cq 12162  +crp 12204  cdvds 15467  cprime 15871  𝑐ccxp 24840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-ioc 12559  df-ico 12560  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-mod 13053  df-seq 13185  df-exp 13245  df-fac 13449  df-bc 13478  df-hash 13506  df-shft 14287  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-limsup 14689  df-clim 14706  df-rlim 14707  df-sum 14904  df-ef 15281  df-sin 15283  df-cos 15284  df-pi 15286  df-dvds 15468  df-gcd 15704  df-prm 15872  df-numer 15931  df-denom 15932  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-mulg 18012  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-fbas 20244  df-fg 20245  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cld 21331  df-ntr 21332  df-cls 21333  df-nei 21410  df-lp 21448  df-perf 21449  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-haus 21627  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-fil 22158  df-fm 22250  df-flim 22251  df-flf 22252  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-cncf 23189  df-limc 24167  df-dv 24168  df-log 24841  df-cxp 24842
This theorem is referenced by:  fltne  38676
  Copyright terms: Public domain W3C validator