Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rtprmirr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rtprmirr 39489
Description: The root of a prime number is irrational. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
rtprmirr ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem rtprmirr
StepHypRef Expression
1 prmnn 16011 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21adantr 484 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑃 ∈ ℕ)
32nnred 11644 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑃 ∈ ℝ)
4 0red 10637 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 0 ∈ ℝ)
52nngt0d 11678 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < 𝑃)
64, 3, 5ltled 10781 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 0 ≤ 𝑃)
7 eluzelre 12246 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
87adantl 485 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9 eluz2n0 12280 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≠ 0)
109adantl 485 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ≠ 0)
118, 10rereccld 11460 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
123, 6, 11recxpcld 25317 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
133adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ)
146adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑃)
1511adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
1613, 14, 15recxpcld 25317 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
177ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
18 eluz2gt1 12312 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑁)
1918ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 1 < 𝑁)
20 recgt1i 11530 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (0 < (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < 1))
2120simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 / 𝑁) < 1)
2217, 19, 21syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) < 1)
23 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
24 prmgt1 16034 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 1 < 𝑃)
26 1red 10635 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
2713, 25, 15, 26cxpltd 25313 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((1 / 𝑁) < 1 ↔ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) < (𝑃𝑐1)))
2822, 27mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) < (𝑃𝑐1))
2913recnd 10662 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
3029cxp1d 25300 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐1) = 𝑃)
3128, 30breqtrd 5059 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) < 𝑃)
3216, 31ltned 10769 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ≠ 𝑃)
3332neneqd 2995 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃)
3429cxp0d 25299 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐0) = 1)
3520simpld 498 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 0 < (1 / 𝑁))
3617, 19, 35syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 0 < (1 / 𝑁))
37 0red 10637 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
3813, 25, 37, 15cxpltd 25313 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (0 < (1 / 𝑁) ↔ (𝑃𝑐0) < (𝑃𝑐(1 / 𝑁))))
3936, 38mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐0) < (𝑃𝑐(1 / 𝑁)))
4034, 39eqbrtrrd 5057 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 1 < (𝑃𝑐(1 / 𝑁)))
4126, 40gtned 10768 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ≠ 1)
4241neneqd 2995 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 1)
43 dvdsprime 16024 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃 ∨ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 1)))
4443adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃 ∨ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 1)))
4544biimpd 232 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃 → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃 ∨ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 1)))
4633, 42, 45mtord 877 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)
47 nan 828 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)) ↔ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃))
4846, 47mpbir 234 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃))
49 prmz 16012 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
50493ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℤ)
51 eluz2nn 12276 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
52513ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
53 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ)
54 zrtdvds 39488 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)
5550, 52, 53, 54syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)
56553expia 1118 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃))
5756ancld 554 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)))
5848, 57mtod 201 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ)
591nnrpd 12421 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
60593ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
6173ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
6293ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
6361, 62rereccld 11460 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
6460, 63cxpgt0d 39475 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 0 < (𝑃𝑐(1 / 𝑁)))
65643expia 1118 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ → 0 < (𝑃𝑐(1 / 𝑁))))
6665ancld 554 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃𝑐(1 / 𝑁)))))
67 elnnz 11983 . . . . 5 ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ↔ ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃𝑐(1 / 𝑁))))
6866, 67syl6ibr 255 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ))
6958, 68mtod 201 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
70493ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → 𝑃 ∈ ℤ)
71513ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℕ)
72 simp3 1135 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)
73 zrtelqelz 39487 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
7470, 71, 72, 73syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
75743expia 1118 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ))
7669, 75mtod 201 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)
7712, 76eldifd 3895 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  cdif 3881   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   < clt 10668  cle 10669   / cdiv 11290  cn 11629  2c2 11684  cz 11973  cuz 12235  cq 12340  +crp 12381  cdvds 15602  cprime 16008  𝑐ccxp 25150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-dvds 15603  df-gcd 15837  df-prm 16009  df-numer 16068  df-denom 16069  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473  df-log 25151  df-cxp 25152
This theorem is referenced by:  fltne  39603
  Copyright terms: Public domain W3C validator