Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rtprmirr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rtprmirr 40597
Description: The root of a prime number is irrational. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
rtprmirr ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem rtprmirr
StepHypRef Expression
1 prmnn 16468 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21adantr 481 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑃 ∈ ℕ)
32nnred 12081 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑃 ∈ ℝ)
4 0red 11071 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 0 ∈ ℝ)
52nngt0d 12115 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < 𝑃)
64, 3, 5ltled 11216 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 0 ≤ 𝑃)
7 eluzelre 12686 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
87adantl 482 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9 eluz2n0 12721 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≠ 0)
109adantl 482 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ≠ 0)
118, 10rereccld 11895 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
123, 6, 11recxpcld 25976 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
133adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ)
146adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑃)
1511adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
1613, 14, 15recxpcld 25976 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
177ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
18 eluz2gt1 12753 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑁)
1918ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 1 < 𝑁)
20 recgt1i 11965 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (0 < (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < 1))
2120simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 / 𝑁) < 1)
2217, 19, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) < 1)
23 simpll 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
24 prmgt1 16491 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 1 < 𝑃)
26 1red 11069 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
2713, 25, 15, 26cxpltd 25972 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((1 / 𝑁) < 1 ↔ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) < (𝑃𝑐1)))
2822, 27mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) < (𝑃𝑐1))
2913recnd 11096 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
3029cxp1d 25959 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐1) = 𝑃)
3128, 30breqtrd 5115 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) < 𝑃)
3216, 31ltned 11204 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ≠ 𝑃)
3332neneqd 2945 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃)
3429cxp0d 25958 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐0) = 1)
3520simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 0 < (1 / 𝑁))
3617, 19, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 0 < (1 / 𝑁))
37 0red 11071 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
3813, 25, 37, 15cxpltd 25972 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (0 < (1 / 𝑁) ↔ (𝑃𝑐0) < (𝑃𝑐(1 / 𝑁))))
3936, 38mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐0) < (𝑃𝑐(1 / 𝑁)))
4034, 39eqbrtrrd 5113 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 1 < (𝑃𝑐(1 / 𝑁)))
4126, 40gtned 11203 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ≠ 1)
4241neneqd 2945 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 1)
43 dvdsprime 16481 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃 ∨ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 1)))
4443adantlr 712 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃 ∨ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 1)))
4544biimpd 228 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃 → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃 ∨ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) = 1)))
4633, 42, 45mtord 877 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)
47 nan 827 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)) ↔ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃))
4846, 47mpbir 230 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃))
49 prmz 16469 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
50493ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℤ)
51 eluz2nn 12717 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
52513ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
53 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ)
54 zrtdvds 40596 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)
5550, 52, 53, 54syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)
56553expia 1120 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃))
5756ancld 551 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)))
5848, 57mtod 197 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ)
591nnrpd 12863 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
60593ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
6173ad2ant2 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
6293ad2ant2 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
6361, 62rereccld 11895 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
6460, 63cxpgt0d 40594 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 0 < (𝑃𝑐(1 / 𝑁)))
65643expia 1120 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ → 0 < (𝑃𝑐(1 / 𝑁))))
6665ancld 551 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃𝑐(1 / 𝑁)))))
67 elnnz 12422 . . . . 5 ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ↔ ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃𝑐(1 / 𝑁))))
6866, 67syl6ibr 251 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ))
6958, 68mtod 197 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
70493ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → 𝑃 ∈ ℤ)
71513ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℕ)
72 simp3 1137 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)
73 zrtelqelz 40595 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
7470, 71, 72, 73syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
75743expia 1120 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ))
7669, 75mtod 197 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)
7712, 76eldifd 3908 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃𝑐(1 / 𝑁)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  cdif 3894   class class class wbr 5089  cfv 6473  (class class class)co 7329  cr 10963  0cc0 10964  1c1 10965   < clt 11102  cle 11103   / cdiv 11725  cn 12066  2c2 12121  cz 12412  cuz 12675  cq 12781  +crp 12823  cdvds 16054  cprime 16465  𝑐ccxp 25809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042  ax-addf 11043  ax-mulf 11044
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-2o 8360  df-er 8561  df-map 8680  df-pm 8681  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-fi 9260  df-sup 9291  df-inf 9292  df-oi 9359  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-q 12782  df-rp 12824  df-xneg 12941  df-xadd 12942  df-xmul 12943  df-ioo 13176  df-ioc 13177  df-ico 13178  df-icc 13179  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-fl 13605  df-mod 13683  df-seq 13815  df-exp 13876  df-fac 14081  df-bc 14110  df-hash 14138  df-shft 14869  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-limsup 15271  df-clim 15288  df-rlim 15289  df-sum 15489  df-ef 15868  df-sin 15870  df-cos 15871  df-pi 15873  df-dvds 16055  df-gcd 16293  df-prm 16466  df-numer 16528  df-denom 16529  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-starv 17066  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-unif 17074  df-hom 17075  df-cco 17076  df-rest 17222  df-topn 17223  df-0g 17241  df-gsum 17242  df-topgen 17243  df-pt 17244  df-prds 17247  df-xrs 17302  df-qtop 17307  df-imas 17308  df-xps 17310  df-mre 17384  df-mrc 17385  df-acs 17387  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-submnd 18520  df-mulg 18789  df-cntz 19011  df-cmn 19475  df-psmet 20687  df-xmet 20688  df-met 20689  df-bl 20690  df-mopn 20691  df-fbas 20692  df-fg 20693  df-cnfld 20696  df-top 22141  df-topon 22158  df-topsp 22180  df-bases 22194  df-cld 22268  df-ntr 22269  df-cls 22270  df-nei 22347  df-lp 22385  df-perf 22386  df-cn 22476  df-cnp 22477  df-haus 22564  df-tx 22811  df-hmeo 23004  df-fil 23095  df-fm 23187  df-flim 23188  df-flf 23189  df-xms 23571  df-ms 23572  df-tms 23573  df-cncf 24139  df-limc 25128  df-dv 25129  df-log 25810  df-cxp 25811
This theorem is referenced by:  fltne  40731
  Copyright terms: Public domain W3C validator