Theorem rtprmirr 27005

Description: The root of a prime number is irrational. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
rtprmirr	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem rtprmirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16770	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3	2	nnred 12276	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑃 ∈ ℝ)
4		0red 11239	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ∈ ℝ)
5	2	nngt0d 12313	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < 𝑃)
6	4, 3, 5	ltled 11386	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ≤ 𝑃)
7		eluzelre 12902	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
8	7	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		eluz2n0 12946	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≠ 0)
10	9	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ≠ 0)
11	8, 10	rereccld 12070	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
12	3, 6, 11	recxpcld 26968	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
13		eluz2gt1 12973	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
14		recgt1i 12140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (0 < (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < 1))
15	7, 13, 14	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < 1))
16	15	simprd 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) < 1)
17	16	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 / 𝑁) < 1)
18		prmgt1 16794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 𝑃)
20		1red 11237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 ∈ ℝ)
21	3, 19, 11, 20	cxpltd 26964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((1 / 𝑁) < 1 ↔ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) < (𝑃↑𝑐1)))
22	17, 21	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) < (𝑃↑𝑐1))
23	2	nncnd 12277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑃 ∈ ℂ)
24	23	cxp1d 26951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐1) = 𝑃)
25	22, 24	breqtrd 5135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) < 𝑃)
26	12, 25	ltned 11374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ 𝑃)
27	26	neneqd 2962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃)
28	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃)
29	23	cxp0d 26950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐0) = 1)
30	15	simpld 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (1 / 𝑁))
31	30	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < (1 / 𝑁))
32	3, 19, 4, 11	cxpltd 26964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0 < (1 / 𝑁) ↔ (𝑃↑𝑐0) < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁))))
33	31, 32	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐0) < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)))
34	29, 33	eqbrtrrd 5133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)))
35	20, 34	gtned 11373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ 1)
36	35	neneqd 2962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 1)
37	36	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 1)
38		dvdsprime 16783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃 ∨ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 1)))
39	38	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃 ∨ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 1)))
40	39	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃 → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 𝑃 ∨ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) = 1)))
41	28, 37, 40	mtord 893	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)
42		nan 843	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)) ↔ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃))
43	41, 42	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃))
44		prmz 16771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
45	44	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℤ)
46		eluz2nn 12941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
47	46	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
48		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ)
49		zrtdvds 27004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)
50	45, 47, 48, 49	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)
51	50	3expia 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃))
52	51	ancld 560	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∥ 𝑃)))
53	43, 52	mtod 201	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ)
54	1	nnrpd 13088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
55	54	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
56	7	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
57	9	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
58	56, 57	rereccld 12070	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
59	55, 58	cxpgt0d 26983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ) → 0 < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)))
60	59	3expia 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ → 0 < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁))))
61	60	ancld 560	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)))))
62		elnnz 12629	. . . . 5 ⊢ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ ↔ ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁))))
63	61, 62	imbitrrdi 255	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℕ))
64	53, 63	mtod 201	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
65	44	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → 𝑃 ∈ ℤ)
66	46	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℕ)
67		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)
68		zrtelqelz 27003	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
69	65, 66, 67, 68	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ)
70	69	3expia 1139	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℤ))
71	64, 70	mtod 201	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)
72	12, 71	eldifd 3913	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3899   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   < clt 11271   / cdiv 11899  ℕcn 12261  2c2 12323  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891  ℚcq 13001  ℝ⁺crp 13046   ∥ cdvds 16348  ℙcprime 16767  ↑_𝑐ccxp 26800

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ioo 13406  df-ioc 13407  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-mod 13935  df-seq 14070  df-exp 14130  df-fac 14342  df-bc 14371  df-hash 14399  df-shft 15144  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-limsup 15562  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-ef 16159  df-sin 16161  df-cos 16162  df-pi 16164  df-dvds 16349  df-gcd 16591  df-prm 16768  df-numer 16832  df-denom 16833  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-rest 17513  df-topn 17514  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-topgen 17534  df-pt 17535  df-prds 17538  df-xrs 17594  df-qtop 17599  df-imas 17600  df-xps 17602  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-mulg 19197  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-fbas 21588  df-fg 21589  df-cnfld 21592  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-cld 23250  df-ntr 23251  df-cls 23252  df-nei 23329  df-lp 23367  df-perf 23368  df-cn 23458  df-cnp 23459  df-haus 23546  df-tx 23794  df-hmeo 23987  df-fil 24078  df-fm 24170  df-flim 24171  df-flf 24172  df-xms 24552  df-ms 24553  df-tms 24554  df-cncf 25112  df-limc 26100  df-dv 26101  df-log 26801  df-cxp 26802

This theorem is used by:  2sqr3minply  34298  fltne  43498