Theorem recnz 12325

Description: The reciprocal of a number greater than 1 is not an integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
recnz	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem recnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recgt1i 11802	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 1))
2	1	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (1 / 𝐴) < 1)
3	1	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
4		zgt0ge1 12304	. . . 4 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℤ → (0 < (1 / 𝐴) ↔ 1 ≤ (1 / 𝐴)))
5	3, 4	syl5ibcom 244	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) ∈ ℤ → 1 ≤ (1 / 𝐴)))
6		1re 10906	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		0lt1 11427	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
8		0re 10908	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		lttr 10982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
10	8, 6, 9	mp3an12 1449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
11	7, 10	mpani 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
12	11	imdistani 568	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
13		gt0ne0 11370	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
15		rereccl 11623	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
16	14, 15	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
17		lenlt 10984	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (1 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 1))
18	6, 16, 17	sylancr 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (1 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 1))
19	5, 18	sylibd 238	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) ∈ ℤ → ¬ (1 / 𝐴) < 1))
20	2, 19	mt2d 136	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   < clt 10940   ≤ cle 10941   / cdiv 11562  ℤcz 12249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250

This theorem is referenced by:  halfnz  12328  facndiv  13930  dvdsprmpweqle  16515