Theorem recnz 12667

Description: The reciprocal of a number greater than 1 is not an integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
recnz	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem recnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recgt1i 12108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 1))
2	1	simprd 500	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (1 / 𝐴) < 1)
3	1	simpld 499	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
4		zgt0ge1 12646	. . . 4 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℤ → (0 < (1 / 𝐴) ↔ 1 ≤ (1 / 𝐴)))
5	3, 4	syl5ibcom 248	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) ∈ ℤ → 1 ≤ (1 / 𝐴)))
6		1re 11204	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		0lt1 11732	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
8		0re 11206	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		lttr 11282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
10	8, 6, 9	mp3an12 1477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
11	7, 10	mpani 708	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
12	11	imdistani 578	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
13		gt0ne0 11675	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
14	12, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
15		rereccl 11929	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
16	14, 15	syldan 602	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
17		lenlt 11284	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (1 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 1))
18	6, 16, 17	sylancr 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (1 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 1))
19	5, 18	sylibd 242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) ∈ ℤ → ¬ (1 / 𝐴) < 1))
20	2, 19	mt2d 137	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   < clt 11239   ≤ cle 11240   / cdiv 11867  ℤcz 12587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588

This theorem is referenced by:  halfnz  12670  facndiv  14320  dvdsprmpweqle  16942  cos9thpiminplylem3  34115