MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  padicabvf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem padicabvf 25893
Description: The p-adic absolute value is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
Assertion
Ref Expression
padicabvf 𝐽:ℙ⟶𝐴
Distinct variable groups:   𝑥,𝑞,𝐴   𝑥,𝑄
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem padicabvf
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qex 12214 . . . 4 ℚ ∈ V
21mptex 6859 . . 3 (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))) ∈ V
3 padic.j . . 3 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
42, 3fnmpti 6366 . 2 𝐽 Fn ℙ
53padicfval 25878 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℙ → (𝐽𝑝) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑝↑-(𝑝 pCnt 𝑥)))))
6 prmnn 15851 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
76ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑝 ∈ ℕ)
87nncnd 11508 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑝 ∈ ℂ)
97nnne0d 11541 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑝 ≠ 0)
10 df-ne 2987 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑥 = 0)
11 pcqcl 16026 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
1211anassrs 468 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
1310, 12sylan2br 594 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
148, 9, 13expnegd 13371 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → (𝑝↑-(𝑝 pCnt 𝑥)) = (1 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑥))))
158, 9, 13exprecd 13372 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)) = (1 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑥))))
1614, 15eqtr4d 2836 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → (𝑝↑-(𝑝 pCnt 𝑥)) = ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))
1716ifeq2da 4418 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → if(𝑥 = 0, 0, (𝑝↑-(𝑝 pCnt 𝑥))) = if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥))))
1817mpteq2dva 5062 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑝↑-(𝑝 pCnt 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))))
195, 18eqtrd 2833 . . . 4 (𝑝 ∈ ℙ → (𝐽𝑝) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))))
206nnrecred 11542 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → (1 / 𝑝) ∈ ℝ)
216nnred 11507 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
22 prmgt1 15874 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝)
23 recgt1i 11391 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑝) → (0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
2421, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → (0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
2524simpld 495 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → 0 < (1 / 𝑝))
2624simprd 496 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → (1 / 𝑝) < 1)
27 0xr 10541 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
28 1xr 10553 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ*
29 elioo2 12633 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / 𝑝) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / 𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1)))
3027, 28, 29mp2an 688 . . . . . 6 ((1 / 𝑝) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / 𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
3120, 25, 26, 30syl3anbrc 1336 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℙ → (1 / 𝑝) ∈ (0(,)1))
32 qrng.q . . . . . 6 𝑄 = (ℂflds ℚ)
33 qabsabv.a . . . . . 6 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
34 eqid 2797 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥))))
3532, 33, 34padicabv 25892 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (1 / 𝑝) ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))) ∈ 𝐴)
3631, 35mpdan 683 . . . 4 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))) ∈ 𝐴)
3719, 36eqeltrd 2885 . . 3 (𝑝 ∈ ℙ → (𝐽𝑝) ∈ 𝐴)
3837rgen 3117 . 2 𝑝 ∈ ℙ (𝐽𝑝) ∈ 𝐴
39 ffnfv 6752 . 2 (𝐽:ℙ⟶𝐴 ↔ (𝐽 Fn ℙ ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝐽𝑝) ∈ 𝐴))
404, 38, 39mpbir2an 707 1 𝐽:ℙ⟶𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  wral 3107  ifcif 4387   class class class wbr 4968  cmpt 5047   Fn wfn 6227  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  cr 10389  0cc0 10390  1c1 10391  *cxr 10527   < clt 10528  -cneg 10724   / cdiv 11151  cn 11492  cz 11835  cq 12201  (,)cioo 12592  cexp 13283  cprime 15848   pCnt cpc 16006  s cress 16317  AbsValcabv 19281  fldccnfld 20231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469  ax-mulf 10470
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-tpos 7750  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-sup 8759  df-inf 8760  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-ioo 12596  df-ico 12598  df-fz 12747  df-fl 13016  df-mod 13092  df-seq 13224  df-exp 13284  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-dvds 15445  df-gcd 15681  df-prm 15849  df-pc 16007  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-0g 16548  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-subg 18034  df-cmn 18639  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-cring 18994  df-oppr 19067  df-dvdsr 19085  df-unit 19086  df-invr 19116  df-dvr 19127  df-drng 19198  df-subrg 19227  df-abv 19282  df-cnfld 20232
This theorem is referenced by:  ostth  25901
  Copyright terms: Public domain W3C validator