Theorem padicabvf 27958

Description: The p-adic absolute value is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑ -(𝑞 pCnt 𝑥)))))

Assertion

Ref	Expression
padicabvf	⊢ 𝐽:ℙ⟶𝐴

Distinct variable groups:   𝑥,𝑞,𝐴   𝑥,𝑄

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝐽(𝑥, 𝑞)

Proof of Theorem padicabvf

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qex 13088	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ V
2	1	mptex 7229	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑ -(𝑞 pCnt 𝑥)))) ∈ V
3		padic.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑ -(𝑞 pCnt 𝑥)))))
4	2, 3	fnmpti 6682	. 2 ⊢ 𝐽 Fn ℙ
5	3	padicfval 27943	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝐽‘𝑝) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑝↑ -(𝑝 pCnt 𝑥)))))
6		prmnn 16849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
7	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑝 ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12351	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑝 ∈ ℂ)
9	7	nnne0d 12388	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑝 ≠ 0)
10		df-ne 2957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑥 = 0)
11		pcqcl 17034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
12	11	anassrs 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
13	10, 12	sylan2br 607	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
14	8, 9, 13	expnegd 14296	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → (𝑝↑ -(𝑝 pCnt 𝑥)) = (1 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑥))))
15	8, 9, 13	exprecd 14297	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)) = (1 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑥))))
16	14, 15	eqtr4d 2799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → (𝑝↑ -(𝑝 pCnt 𝑥)) = ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))
17	16	ifeq2da 4515	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → if(𝑥 = 0, 0, (𝑝↑ -(𝑝 pCnt 𝑥))) = if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥))))
18	17	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑝↑ -(𝑝 pCnt 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))))
19	5, 18	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝐽‘𝑝) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))))
20	6	nnrecred 12389	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (1 / 𝑝) ∈ ℝ)
21	6	nnred 12350	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
22		prmgt1 16873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝)
23		recgt1i 12214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑝) → (0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
24	21, 22, 23	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
25	24	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 0 < (1 / 𝑝))
26	24	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (1 / 𝑝) < 1)
27		0xr 11356	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
28		1xr 11368	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ*
29		elioo2 13517	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / 𝑝) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / 𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1)))
30	27, 28, 29	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝑝) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / 𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
31	20, 25, 26, 30	syl3anbrc 1362	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (1 / 𝑝) ∈ (0(,)1))
32		qrng.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
33		qabsabv.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
34		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥))))
35	32, 33, 34	padicabv 27957	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (1 / 𝑝) ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))) ∈ 𝐴)
36	31, 35	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))) ∈ 𝐴)
37	19, 36	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝐽‘𝑝) ∈ 𝐴)
38	37	rgen 3079	. 2 ⊢ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝐽‘𝑝) ∈ 𝐴
39		ffnfv 7119	. 2 ⊢ (𝐽:ℙ⟶𝐴 ↔ (𝐽 Fn ℙ ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝐽‘𝑝) ∈ 𝐴))
40	4, 38, 39	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐽:ℙ⟶𝐴

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   -cneg 11542   / cdiv 11973  ℕcn 12335  ℤcz 12693  ℚcq 13075  (,)cioo 13476  ↑cexp 14204  ℙcprime 16846   pCnt cpc 17014   ↾_s cress 17408  AbsValcabv 21065  ℂ_fldccnfld 21678

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-fz 13640  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-prm 16847  df-pc 17015  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-subg 19333  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-drng 20982  df-abv 21066  df-cnfld 21679

This theorem is used by:  ostth  27966