MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  padicabvf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem padicabvf 27131
Description: The p-adic absolute value is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
Assertion
Ref Expression
padicabvf 𝐽:β„™βŸΆπ΄
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘ž,𝐴   π‘₯,𝑄
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘ž)   𝐽(π‘₯,π‘ž)
Proof of Theorem padicabvf
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qex 12944 . . . 4 β„š ∈ V
21mptex 7224 . . 3 (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))) ∈ V
3 padic.j . . 3 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
42, 3fnmpti 6693 . 2 𝐽 Fn β„™
53padicfval 27116 . . . . 5 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (π½β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (𝑝↑-(𝑝 pCnt π‘₯)))))
6 prmnn 16610 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„•)
76ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
87nncnd 12227 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ 𝑝 ∈ β„‚)
97nnne0d 12261 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ 𝑝 β‰  0)
10 df-ne 2941 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ β‰  0 ↔ Β¬ π‘₯ = 0)
11 pcqcl 16788 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ (π‘₯ ∈ β„š ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ (𝑝 pCnt π‘₯) ∈ β„€)
1211anassrs 468 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ π‘₯ β‰  0) β†’ (𝑝 pCnt π‘₯) ∈ β„€)
1310, 12sylan2br 595 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ (𝑝 pCnt π‘₯) ∈ β„€)
148, 9, 13expnegd 14117 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ (𝑝↑-(𝑝 pCnt π‘₯)) = (1 / (𝑝↑(𝑝 pCnt π‘₯))))
158, 9, 13exprecd 14118 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)) = (1 / (𝑝↑(𝑝 pCnt π‘₯))))
1614, 15eqtr4d 2775 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ (𝑝↑-(𝑝 pCnt π‘₯)) = ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))
1716ifeq2da 4560 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) β†’ if(π‘₯ = 0, 0, (𝑝↑-(𝑝 pCnt π‘₯))) = if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯))))
1817mpteq2dva 5248 . . . . 5 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (𝑝↑-(𝑝 pCnt π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))))
195, 18eqtrd 2772 . . . 4 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (π½β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))))
206nnrecred 12262 . . . . . 6 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (1 / 𝑝) ∈ ℝ)
216nnred 12226 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
22 prmgt1 16633 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 1 < 𝑝)
23 recgt1i 12110 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑝) β†’ (0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
2421, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
2524simpld 495 . . . . . 6 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 0 < (1 / 𝑝))
2624simprd 496 . . . . . 6 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (1 / 𝑝) < 1)
27 0xr 11260 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
28 1xr 11272 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ*
29 elioo2 13364 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ ((1 / 𝑝) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / 𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1)))
3027, 28, 29mp2an 690 . . . . . 6 ((1 / 𝑝) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / 𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
3120, 25, 26, 30syl3anbrc 1343 . . . . 5 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (1 / 𝑝) ∈ (0(,)1))
32 qrng.q . . . . . 6 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
33 qabsabv.a . . . . . 6 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
34 eqid 2732 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯))))
3532, 33, 34padicabv 27130 . . . . 5 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ (1 / 𝑝) ∈ (0(,)1)) β†’ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))) ∈ 𝐴)
3631, 35mpdan 685 . . . 4 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))) ∈ 𝐴)
3719, 36eqeltrd 2833 . . 3 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (π½β€˜π‘) ∈ 𝐴)
3837rgen 3063 . 2 βˆ€π‘ ∈ β„™ (π½β€˜π‘) ∈ 𝐴
39 ffnfv 7117 . 2 (𝐽:β„™βŸΆπ΄ ↔ (𝐽 Fn β„™ ∧ βˆ€π‘ ∈ β„™ (π½β€˜π‘) ∈ 𝐴))
404, 38, 39mpbir2an 709 1 𝐽:β„™βŸΆπ΄
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110  β„*cxr 11246   < clt 11247  -cneg 11444   / cdiv 11870  β„•cn 12211  β„€cz 12557  β„šcq 12931  (,)cioo 13323  β†‘cexp 14026  β„™cprime 16607   pCnt cpc 16768   β†Ύs cress 17172  AbsValcabv 20423  β„‚fldccnfld 20943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-fz 13484  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-pc 16769  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-subg 19002  df-cmn 19649  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-abv 20424  df-cnfld 20944
This theorem is referenced by:  ostth  27139
  Copyright terms: Public domain W3C validator