MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  padicabvf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem padicabvf 25534
Description: The p-adic absolute value is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
Assertion
Ref Expression
padicabvf 𝐽:ℙ⟶𝐴
Distinct variable groups:   𝑥,𝑞,𝐴   𝑥,𝑄
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem padicabvf
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qex 12019 . . . 4 ℚ ∈ V
21mptex 6711 . . 3 (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))) ∈ V
3 padic.j . . 3 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
42, 3fnmpti 6233 . 2 𝐽 Fn ℙ
53padicfval 25519 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℙ → (𝐽𝑝) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑝↑-(𝑝 pCnt 𝑥)))))
6 prmnn 15606 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
76ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑝 ∈ ℕ)
87nncnd 11321 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑝 ∈ ℂ)
97nnne0d 11351 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑝 ≠ 0)
10 df-ne 2979 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑥 = 0)
11 pcqcl 15778 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
1211anassrs 455 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
1310, 12sylan2br 584 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
148, 9, 13expnegd 13238 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → (𝑝↑-(𝑝 pCnt 𝑥)) = (1 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑥))))
158, 9, 13exprecd 13239 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)) = (1 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑥))))
1614, 15eqtr4d 2843 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → (𝑝↑-(𝑝 pCnt 𝑥)) = ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))
1716ifeq2da 4310 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → if(𝑥 = 0, 0, (𝑝↑-(𝑝 pCnt 𝑥))) = if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥))))
1817mpteq2dva 4938 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑝↑-(𝑝 pCnt 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))))
195, 18eqtrd 2840 . . . 4 (𝑝 ∈ ℙ → (𝐽𝑝) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))))
206nnrecred 11352 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → (1 / 𝑝) ∈ ℝ)
216nnred 11320 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
22 prmgt1 15627 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝)
23 recgt1i 11205 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑝) → (0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
2421, 22, 23syl2anc 575 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → (0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
2524simpld 484 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → 0 < (1 / 𝑝))
2624simprd 485 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → (1 / 𝑝) < 1)
27 0xr 10371 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
28 1re 10325 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
2928rexri 10382 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ*
30 elioo2 12434 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / 𝑝) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / 𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1)))
3127, 29, 30mp2an 675 . . . . . 6 ((1 / 𝑝) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / 𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
3220, 25, 26, 31syl3anbrc 1436 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℙ → (1 / 𝑝) ∈ (0(,)1))
33 qrng.q . . . . . 6 𝑄 = (ℂflds ℚ)
34 qabsabv.a . . . . . 6 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
35 eqid 2806 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥))))
3633, 34, 35padicabv 25533 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (1 / 𝑝) ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))) ∈ 𝐴)
3732, 36mpdan 670 . . . 4 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))) ∈ 𝐴)
3819, 37eqeltrd 2885 . . 3 (𝑝 ∈ ℙ → (𝐽𝑝) ∈ 𝐴)
3938rgen 3110 . 2 𝑝 ∈ ℙ (𝐽𝑝) ∈ 𝐴
40 ffnfv 6610 . 2 (𝐽:ℙ⟶𝐴 ↔ (𝐽 Fn ℙ ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝐽𝑝) ∈ 𝐴))
414, 39, 40mpbir2an 693 1 𝐽:ℙ⟶𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wral 3096  ifcif 4279   class class class wbr 4844  cmpt 4923   Fn wfn 6096  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6874  cr 10220  0cc0 10221  1c1 10222  *cxr 10358   < clt 10359  -cneg 10552   / cdiv 10969  cn 11305  cz 11643  cq 12007  (,)cioo 12393  cexp 13083  cprime 15603   pCnt cpc 15758  s cress 16069  AbsValcabv 19020  fldccnfld 19954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299  ax-addf 10300  ax-mulf 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-tpos 7587  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-sup 8587  df-inf 8588  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-ioo 12397  df-ico 12399  df-fz 12550  df-fl 12817  df-mod 12893  df-seq 13025  df-exp 13084  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-dvds 15204  df-gcd 15436  df-prm 15604  df-pc 15759  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-starv 16168  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-unif 16176  df-0g 16307  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-grp 17630  df-minusg 17631  df-subg 17793  df-cmn 18396  df-mgp 18692  df-ur 18704  df-ring 18751  df-cring 18752  df-oppr 18825  df-dvdsr 18843  df-unit 18844  df-invr 18874  df-dvr 18885  df-drng 18953  df-subrg 18982  df-abv 19021  df-cnfld 19955
This theorem is referenced by:  ostth  25542
  Copyright terms: Public domain W3C validator