Theorem padicabvf 27973

Description: The p-adic absolute value is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑ -(𝑞 pCnt 𝑥)))))

Assertion

Ref	Expression
padicabvf	⊢ 𝐽:ℙ⟶𝐴

Distinct variable groups:   𝑥,𝑞,𝐴   𝑥,𝑄

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝐽(𝑥, 𝑞)

Proof of Theorem padicabvf

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qex 13101	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ V
2	1	mptex 7239	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑ -(𝑞 pCnt 𝑥)))) ∈ V
3		padic.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑ -(𝑞 pCnt 𝑥)))))
4	2, 3	fnmpti 6693	. 2 ⊢ 𝐽 Fn ℙ
5	3	padicfval 27958	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝐽‘𝑝) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑝↑ -(𝑝 pCnt 𝑥)))))
6		prmnn 16864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
7	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑝 ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12364	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑝 ∈ ℂ)
9	7	nnne0d 12401	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑝 ≠ 0)
10		df-ne 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑥 = 0)
11		pcqcl 17049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
12	11	anassrs 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
13	10, 12	sylan2br 607	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
14	8, 9, 13	expnegd 14309	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → (𝑝↑ -(𝑝 pCnt 𝑥)) = (1 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑥))))
15	8, 9, 13	exprecd 14310	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)) = (1 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑥))))
16	14, 15	eqtr4d 2801	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → (𝑝↑ -(𝑝 pCnt 𝑥)) = ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))
17	16	ifeq2da 4518	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → if(𝑥 = 0, 0, (𝑝↑ -(𝑝 pCnt 𝑥))) = if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥))))
18	17	mpteq2dva 5201	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑝↑ -(𝑝 pCnt 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))))
19	5, 18	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝐽‘𝑝) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))))
20	6	nnrecred 12402	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (1 / 𝑝) ∈ ℝ)
21	6	nnred 12363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
22		prmgt1 16888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝)
23		recgt1i 12227	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑝) → (0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
24	21, 22, 23	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
25	24	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 0 < (1 / 𝑝))
26	24	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (1 / 𝑝) < 1)
27		0xr 11369	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
28		1xr 11381	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ*
29		elioo2 13530	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / 𝑝) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / 𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1)))
30	27, 28, 29	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝑝) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / 𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
31	20, 25, 26, 30	syl3anbrc 1362	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (1 / 𝑝) ∈ (0(,)1))
32		qrng.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
33		qabsabv.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
34		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥))))
35	32, 33, 34	padicabv 27972	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (1 / 𝑝) ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))) ∈ 𝐴)
36	31, 35	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))) ∈ 𝐴)
37	19, 36	eqeltrd 2864	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝐽‘𝑝) ∈ 𝐴)
38	37	rgen 3082	. 2 ⊢ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝐽‘𝑝) ∈ 𝐴
39		ffnfv 7130	. 2 ⊢ (𝐽:ℙ⟶𝐴 ↔ (𝐽 Fn ℙ ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝐽‘𝑝) ∈ 𝐴))
40	4, 38, 39	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐽:ℙ⟶𝐴

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ifcif 4485   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Fn wfn 6542  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℝcr 11212  0cc0 11213  1c1 11214  ℝ^*cxr 11355   < clt 11356   -cneg 11555   / cdiv 11986  ℕcn 12348  ℤcz 12706  ℚcq 13088  (,)cioo 13489  ↑cexp 14217  ℙcprime 16861   pCnt cpc 17029   ↾_s cress 17423  AbsValcabv 21080  ℂ_fldccnfld 21693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291  ax-addf 11292  ax-mulf 11293

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-tpos 8257  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-sup 9447  df-inf 9448  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-ioo 13493  df-ico 13495  df-fz 13653  df-fl 13945  df-mod 14023  df-seq 14158  df-exp 14218  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-dvds 16438  df-gcd 16680  df-prm 16862  df-pc 17030  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-0g 17627  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-subg 19348  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-cring 20477  df-oppr 20582  df-dvdsr 20602  df-unit 20603  df-invr 20633  df-dvr 20646  df-subrng 20813  df-subrg 20837  df-drng 20997  df-abv 21081  df-cnfld 21694

This theorem is used by:  ostth  27981