MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  padicabvf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem padicabvf 27002
Description: The p-adic absolute value is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
Assertion
Ref Expression
padicabvf 𝐽:β„™βŸΆπ΄
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘ž,𝐴   π‘₯,𝑄
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘ž)   𝐽(π‘₯,π‘ž)

Proof of Theorem padicabvf
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qex 12894 . . . 4 β„š ∈ V
21mptex 7177 . . 3 (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))) ∈ V
3 padic.j . . 3 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
42, 3fnmpti 6648 . 2 𝐽 Fn β„™
53padicfval 26987 . . . . 5 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (π½β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (𝑝↑-(𝑝 pCnt π‘₯)))))
6 prmnn 16558 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„•)
76ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
87nncnd 12177 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ 𝑝 ∈ β„‚)
97nnne0d 12211 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ 𝑝 β‰  0)
10 df-ne 2941 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ β‰  0 ↔ Β¬ π‘₯ = 0)
11 pcqcl 16736 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ (π‘₯ ∈ β„š ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ (𝑝 pCnt π‘₯) ∈ β„€)
1211anassrs 469 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ π‘₯ β‰  0) β†’ (𝑝 pCnt π‘₯) ∈ β„€)
1310, 12sylan2br 596 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ (𝑝 pCnt π‘₯) ∈ β„€)
148, 9, 13expnegd 14067 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ (𝑝↑-(𝑝 pCnt π‘₯)) = (1 / (𝑝↑(𝑝 pCnt π‘₯))))
158, 9, 13exprecd 14068 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)) = (1 / (𝑝↑(𝑝 pCnt π‘₯))))
1614, 15eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ (𝑝↑-(𝑝 pCnt π‘₯)) = ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))
1716ifeq2da 4522 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) β†’ if(π‘₯ = 0, 0, (𝑝↑-(𝑝 pCnt π‘₯))) = if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯))))
1817mpteq2dva 5209 . . . . 5 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (𝑝↑-(𝑝 pCnt π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))))
195, 18eqtrd 2773 . . . 4 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (π½β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))))
206nnrecred 12212 . . . . . 6 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (1 / 𝑝) ∈ ℝ)
216nnred 12176 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
22 prmgt1 16581 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 1 < 𝑝)
23 recgt1i 12060 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑝) β†’ (0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
2421, 22, 23syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
2524simpld 496 . . . . . 6 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 0 < (1 / 𝑝))
2624simprd 497 . . . . . 6 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (1 / 𝑝) < 1)
27 0xr 11210 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
28 1xr 11222 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ*
29 elioo2 13314 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ ((1 / 𝑝) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / 𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1)))
3027, 28, 29mp2an 691 . . . . . 6 ((1 / 𝑝) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / 𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
3120, 25, 26, 30syl3anbrc 1344 . . . . 5 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (1 / 𝑝) ∈ (0(,)1))
32 qrng.q . . . . . 6 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
33 qabsabv.a . . . . . 6 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
34 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯))))
3532, 33, 34padicabv 27001 . . . . 5 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ (1 / 𝑝) ∈ (0(,)1)) β†’ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))) ∈ 𝐴)
3631, 35mpdan 686 . . . 4 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))) ∈ 𝐴)
3719, 36eqeltrd 2834 . . 3 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (π½β€˜π‘) ∈ 𝐴)
3837rgen 3063 . 2 βˆ€π‘ ∈ β„™ (π½β€˜π‘) ∈ 𝐴
39 ffnfv 7070 . 2 (𝐽:β„™βŸΆπ΄ ↔ (𝐽 Fn β„™ ∧ βˆ€π‘ ∈ β„™ (π½β€˜π‘) ∈ 𝐴))
404, 38, 39mpbir2an 710 1 𝐽:β„™βŸΆπ΄
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  ifcif 4490   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060  β„*cxr 11196   < clt 11197  -cneg 11394   / cdiv 11820  β„•cn 12161  β„€cz 12507  β„šcq 12881  (,)cioo 13273  β†‘cexp 13976  β„™cprime 16555   pCnt cpc 16716   β†Ύs cress 17120  AbsValcabv 20318  β„‚fldccnfld 20819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-fz 13434  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-prm 16556  df-pc 16717  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-subg 18933  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-abv 20319  df-cnfld 20820
This theorem is referenced by:  ostth  27010
  Copyright terms: Public domain W3C validator