MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  padicabvf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem padicabvf 27592
Description: The p-adic absolute value is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
Assertion
Ref Expression
padicabvf 𝐽:β„™βŸΆπ΄
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘ž,𝐴   π‘₯,𝑄
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘ž)   𝐽(π‘₯,π‘ž)
Proof of Theorem padicabvf
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qex 12985 . . . 4 β„š ∈ V
21mptex 7241 . . 3 (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))) ∈ V
3 padic.j . . 3 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
42, 3fnmpti 6703 . 2 𝐽 Fn β„™
53padicfval 27577 . . . . 5 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (π½β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (𝑝↑-(𝑝 pCnt π‘₯)))))
6 prmnn 16654 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„•)
76ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
87nncnd 12268 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ 𝑝 ∈ β„‚)
97nnne0d 12302 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ 𝑝 β‰  0)
10 df-ne 2938 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ β‰  0 ↔ Β¬ π‘₯ = 0)
11 pcqcl 16834 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ (π‘₯ ∈ β„š ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ (𝑝 pCnt π‘₯) ∈ β„€)
1211anassrs 466 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ π‘₯ β‰  0) β†’ (𝑝 pCnt π‘₯) ∈ β„€)
1310, 12sylan2br 593 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ (𝑝 pCnt π‘₯) ∈ β„€)
148, 9, 13expnegd 14159 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ (𝑝↑-(𝑝 pCnt π‘₯)) = (1 / (𝑝↑(𝑝 pCnt π‘₯))))
158, 9, 13exprecd 14160 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)) = (1 / (𝑝↑(𝑝 pCnt π‘₯))))
1614, 15eqtr4d 2771 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ (𝑝↑-(𝑝 pCnt π‘₯)) = ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))
1716ifeq2da 4564 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) β†’ if(π‘₯ = 0, 0, (𝑝↑-(𝑝 pCnt π‘₯))) = if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯))))
1817mpteq2dva 5252 . . . . 5 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (𝑝↑-(𝑝 pCnt π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))))
195, 18eqtrd 2768 . . . 4 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (π½β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))))
206nnrecred 12303 . . . . . 6 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (1 / 𝑝) ∈ ℝ)
216nnred 12267 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
22 prmgt1 16677 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 1 < 𝑝)
23 recgt1i 12151 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑝) β†’ (0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
2421, 22, 23syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
2524simpld 493 . . . . . 6 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 0 < (1 / 𝑝))
2624simprd 494 . . . . . 6 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (1 / 𝑝) < 1)
27 0xr 11301 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
28 1xr 11313 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ*
29 elioo2 13407 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ ((1 / 𝑝) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / 𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1)))
3027, 28, 29mp2an 690 . . . . . 6 ((1 / 𝑝) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / 𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
3120, 25, 26, 30syl3anbrc 1340 . . . . 5 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (1 / 𝑝) ∈ (0(,)1))
32 qrng.q . . . . . 6 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
33 qabsabv.a . . . . . 6 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
34 eqid 2728 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯))))
3532, 33, 34padicabv 27591 . . . . 5 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ (1 / 𝑝) ∈ (0(,)1)) β†’ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))) ∈ 𝐴)
3631, 35mpdan 685 . . . 4 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))) ∈ 𝐴)
3719, 36eqeltrd 2829 . . 3 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (π½β€˜π‘) ∈ 𝐴)
3837rgen 3060 . 2 βˆ€π‘ ∈ β„™ (π½β€˜π‘) ∈ 𝐴
39 ffnfv 7134 . 2 (𝐽:β„™βŸΆπ΄ ↔ (𝐽 Fn β„™ ∧ βˆ€π‘ ∈ β„™ (π½β€˜π‘) ∈ 𝐴))
404, 38, 39mpbir2an 709 1 𝐽:β„™βŸΆπ΄
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  ifcif 4532   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149  β„*cxr 11287   < clt 11288  -cneg 11485   / cdiv 11911  β„•cn 12252  β„€cz 12598  β„šcq 12972  (,)cioo 13366  β†‘cexp 14068  β„™cprime 16651   pCnt cpc 16814   β†Ύs cress 17218  AbsValcabv 20710  β„‚fldccnfld 21293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-ioo 13370  df-ico 13372  df-fz 13527  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-dvds 16241  df-gcd 16479  df-prm 16652  df-pc 16815  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-subg 19092  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-drng 20640  df-abv 20711  df-cnfld 21294
This theorem is referenced by:  ostth  27600
  Copyright terms: Public domain W3C validator