MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  padicabvf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem padicabvf 27519
Description: The p-adic absolute value is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
Assertion
Ref Expression
padicabvf 𝐽:β„™βŸΆπ΄
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘ž,𝐴   π‘₯,𝑄
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘ž)   𝐽(π‘₯,π‘ž)
Proof of Theorem padicabvf
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qex 12949 . . . 4 β„š ∈ V
21mptex 7220 . . 3 (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))) ∈ V
3 padic.j . . 3 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
42, 3fnmpti 6687 . 2 𝐽 Fn β„™
53padicfval 27504 . . . . 5 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (π½β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (𝑝↑-(𝑝 pCnt π‘₯)))))
6 prmnn 16618 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„•)
76ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
87nncnd 12232 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ 𝑝 ∈ β„‚)
97nnne0d 12266 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ 𝑝 β‰  0)
10 df-ne 2935 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ β‰  0 ↔ Β¬ π‘₯ = 0)
11 pcqcl 16798 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ (π‘₯ ∈ β„š ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ (𝑝 pCnt π‘₯) ∈ β„€)
1211anassrs 467 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ π‘₯ β‰  0) β†’ (𝑝 pCnt π‘₯) ∈ β„€)
1310, 12sylan2br 594 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ (𝑝 pCnt π‘₯) ∈ β„€)
148, 9, 13expnegd 14123 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ (𝑝↑-(𝑝 pCnt π‘₯)) = (1 / (𝑝↑(𝑝 pCnt π‘₯))))
158, 9, 13exprecd 14124 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)) = (1 / (𝑝↑(𝑝 pCnt π‘₯))))
1614, 15eqtr4d 2769 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ (𝑝↑-(𝑝 pCnt π‘₯)) = ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))
1716ifeq2da 4555 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„š) β†’ if(π‘₯ = 0, 0, (𝑝↑-(𝑝 pCnt π‘₯))) = if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯))))
1817mpteq2dva 5241 . . . . 5 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (𝑝↑-(𝑝 pCnt π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))))
195, 18eqtrd 2766 . . . 4 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (π½β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))))
206nnrecred 12267 . . . . . 6 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (1 / 𝑝) ∈ ℝ)
216nnred 12231 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
22 prmgt1 16641 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 1 < 𝑝)
23 recgt1i 12115 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑝) β†’ (0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
2421, 22, 23syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
2524simpld 494 . . . . . 6 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 0 < (1 / 𝑝))
2624simprd 495 . . . . . 6 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (1 / 𝑝) < 1)
27 0xr 11265 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
28 1xr 11277 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ*
29 elioo2 13371 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ ((1 / 𝑝) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / 𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1)))
3027, 28, 29mp2an 689 . . . . . 6 ((1 / 𝑝) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / 𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
3120, 25, 26, 30syl3anbrc 1340 . . . . 5 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (1 / 𝑝) ∈ (0(,)1))
32 qrng.q . . . . . 6 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
33 qabsabv.a . . . . . 6 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
34 eqid 2726 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯))))
3532, 33, 34padicabv 27518 . . . . 5 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ (1 / 𝑝) ∈ (0(,)1)) β†’ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))) ∈ 𝐴)
3631, 35mpdan 684 . . . 4 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt π‘₯)))) ∈ 𝐴)
3719, 36eqeltrd 2827 . . 3 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (π½β€˜π‘) ∈ 𝐴)
3837rgen 3057 . 2 βˆ€π‘ ∈ β„™ (π½β€˜π‘) ∈ 𝐴
39 ffnfv 7114 . 2 (𝐽:β„™βŸΆπ΄ ↔ (𝐽 Fn β„™ ∧ βˆ€π‘ ∈ β„™ (π½β€˜π‘) ∈ 𝐴))
404, 38, 39mpbir2an 708 1 𝐽:β„™βŸΆπ΄
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  β„*cxr 11251   < clt 11252  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„€cz 12562  β„šcq 12936  (,)cioo 13330  β†‘cexp 14032  β„™cprime 16615   pCnt cpc 16778   β†Ύs cress 17182  AbsValcabv 20659  β„‚fldccnfld 21240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16779  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-abv 20660  df-cnfld 21241
This theorem is referenced by:  ostth  27527
  Copyright terms: Public domain W3C validator