Theorem rereb 15159

Description: A number is real iff it equals its real part. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 20-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rereb	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))

Proof of Theorem rereb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 15155	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
3		reim0 15157	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) = 0)
4	3	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · (ℑ‘𝐴)) = (i · 0))
5		it0e0 12488	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2793	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · (ℑ‘𝐴)) = 0)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (i · (ℑ‘𝐴)) = 0)
8	7	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + 0))
9		recl 15149	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11289	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	addridd 11461	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + 0) = (ℜ‘𝐴))
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐴) + 0) = (ℜ‘𝐴))
13	2, 8, 12	3eqtrrd 2782	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
14		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = 𝐴) → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
15	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = 𝐴) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
16	14, 15	eqeltrrd 2842	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	13, 16	impbida 801	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160  ℜcre 15136  ℑcim 15137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140

This theorem is referenced by:  mulre  15160  rere  15161  rerebi  15212  rerebd  15240  rennim  15278