HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsva Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsva 30838
Description: Vector sum belongs to subspace sum. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsva ((𝐴S𝐵S ) → ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → (𝐶 + 𝐷) ∈ (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem shsva
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . 3 (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝐷)
2 rspceov 7460 . . 3 ((𝐶𝐴𝐷𝐵 ∧ (𝐶 + 𝐷) = (𝐶 + 𝐷)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑥 + 𝑦))
31, 2mp3an3 1448 . 2 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑥 + 𝑦))
4 shsel 30832 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → ((𝐶 + 𝐷) ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐶 + 𝐷) = (𝑥 + 𝑦)))
53, 4imbitrrid 245 1 ((𝐴S𝐵S ) → ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → (𝐶 + 𝐷) ∈ (𝐴 + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wrex 3068  (class class class)co 7413   + cva 30438   S csh 30446   + cph 30449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-hilex 30517  ax-hfvadd 30518  ax-hvcom 30519  ax-hvass 30520  ax-hv0cl 30521  ax-hvaddid 30522  ax-hfvmul 30523  ax-hvmulid 30524  ax-hvdistr2 30527  ax-hvmul0 30528
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-sub 11452  df-neg 11453  df-grpo 30011  df-ablo 30063  df-hvsub 30489  df-sh 30725  df-shs 30826
This theorem is referenced by:  shsel1  30839  shsvai  30882  spanpr  31098  chscllem4  31158
  Copyright terms: Public domain W3C validator