Theorem shsva 30436

Description: Vector sum belongs to subspace sum. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsva	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))

Proof of Theorem shsva

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝐷)
2		rspceov 7440	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
3	1, 2	mp3an3 1450	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
4		shsel 30430	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
5	3, 4	imbitrrid 245	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3069  (class class class)co 7393   +_ℎ cva 30036   S_ℋ csh 30044   +_ℋ cph 30047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-hilex 30115  ax-hfvadd 30116  ax-hvcom 30117  ax-hvass 30118  ax-hv0cl 30119  ax-hvaddid 30120  ax-hfvmul 30121  ax-hvmulid 30122  ax-hvdistr2 30125  ax-hvmul0 30126

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-ltxr 11235  df-sub 11428  df-neg 11429  df-grpo 29609  df-ablo 29661  df-hvsub 30087  df-sh 30323  df-shs 30424

This theorem is referenced by:  shsel1  30437  shsvai  30480  spanpr  30696  chscllem4  30756