Theorem shsva 31411

Description: Vector sum belongs to subspace sum. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsva	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))

Proof of Theorem shsva

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2741	. . 3 ⊢ (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝐷)
2		rspceov 7408	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ 𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
3	1, 2	mp3an3 1459	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
4		shsel 31405	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐶 +ℎ 𝐷) = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
5	3, 4	imbitrrid 248	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∃wrex 3065  (class class class)co 7359   +_ℎ cva 31011   S_ℋ csh 31019   +_ℋ cph 31022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-hilex 31090  ax-hfvadd 31091  ax-hvcom 31092  ax-hvass 31093  ax-hv0cl 31094  ax-hvaddid 31095  ax-hfvmul 31096  ax-hvmulid 31097  ax-hvdistr2 31100  ax-hvmul0 31101

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-ltxr 11180  df-sub 11375  df-neg 11376  df-grpo 30584  df-ablo 30636  df-hvsub 31062  df-sh 31298  df-shs 31399

This theorem is referenced by:  shsel1  31412  shsvai  31455  spanpr  31671  chscllem4  31731