Theorem shsvs 31352

Description: Vector subtraction belongs to subspace sum. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsvs	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶 −ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))

Proof of Theorem shsvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shscl 31347	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ )
2	1	a1d 25	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ))
3		shsel1 31350	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
4	3	adantrd 491	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
5		shsel2 31351	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐷 ∈ 𝐵 → 𝐷 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
6	5	adantld 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
7	2, 4, 6	3jcad 1128	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))))
8		shsubcl 31249	. 2 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝐶 −ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
9	7, 8	syl6 35	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶 −ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431   −_ℎ cmv 30954   S_ℋ csh 30957   +_ℋ cph 30960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-grpo 30522  df-ablo 30574  df-hvsub 31000  df-hlim 31001  df-sh 31236  df-ch 31250  df-shs 31337

This theorem is referenced by:  shsvsi  31396