Theorem shsvs 31343

Description: Vector subtraction belongs to subspace sum. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsvs	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶 −ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))

Proof of Theorem shsvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shscl 31338	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ )
2	1	a1d 25	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ))
3		shsel1 31341	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
4	3	adantrd 491	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
5		shsel2 31342	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐷 ∈ 𝐵 → 𝐷 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
6	5	adantld 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
7	2, 4, 6	3jcad 1129	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))))
8		shsubcl 31240	. 2 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝐶 −ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
9	7, 8	syl6 35	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶 −ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432   −_ℎ cmv 30945   S_ℋ csh 30948   +_ℋ cph 30951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-hilex 31019  ax-hfvadd 31020  ax-hvcom 31021  ax-hvass 31022  ax-hv0cl 31023  ax-hvaddid 31024  ax-hfvmul 31025  ax-hvmulid 31026  ax-hvdistr1 31028  ax-hvdistr2 31029  ax-hvmul0 31030

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-grpo 30513  df-ablo 30565  df-hvsub 30991  df-hlim 30992  df-sh 31227  df-ch 31241  df-shs 31328

This theorem is referenced by:  shsvsi  31387