Theorem shsvs 30436

Description: Vector subtraction belongs to subspace sum. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsvs	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶 −ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))

Proof of Theorem shsvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shscl 30431	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ )
2	1	a1d 25	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ))
3		shsel1 30434	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
4	3	adantrd 492	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
5		shsel2 30435	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐷 ∈ 𝐵 → 𝐷 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
6	5	adantld 491	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
7	2, 4, 6	3jcad 1129	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))))
8		shsubcl 30333	. 2 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝐶 −ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
9	7, 8	syl6 35	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶 −ℎ 𝐷) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7392   −_ℎ cmv 30038   S_ℋ csh 30041   +_ℋ cph 30044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5277  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-cnex 11147  ax-resscn 11148  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-addrcl 11152  ax-mulcl 11153  ax-mulrcl 11154  ax-mulcom 11155  ax-addass 11156  ax-mulass 11157  ax-distr 11158  ax-i2m1 11159  ax-1ne0 11160  ax-1rid 11161  ax-rnegex 11162  ax-rrecex 11163  ax-cnre 11164  ax-pre-lttri 11165  ax-pre-lttrn 11166  ax-pre-ltadd 11167  ax-hilex 30112  ax-hfvadd 30113  ax-hvcom 30114  ax-hvass 30115  ax-hv0cl 30116  ax-hvaddid 30117  ax-hfvmul 30118  ax-hvmulid 30119  ax-hvdistr1 30121  ax-hvdistr2 30122  ax-hvmul0 30123

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4991  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5566  df-eprel 5572  df-po 5580  df-so 5581  df-fr 5623  df-we 5625  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-pred 6288  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7838  df-2nd 7957  df-frecs 8247  df-wrecs 8278  df-recs 8352  df-rdg 8391  df-er 8685  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11231  df-mnf 11232  df-ltxr 11234  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12194  df-grpo 29606  df-ablo 29658  df-hvsub 30084  df-hlim 30085  df-sh 30320  df-ch 30334  df-shs 30421

This theorem is referenced by:  shsvsi  30480