HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsvs 29027
Description: Vector subtraction belongs to subspace sum. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsvs ((𝐴S𝐵S ) → ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → (𝐶 𝐷) ∈ (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem shsvs
StepHypRef Expression
1 shscl 29022 . . . 4 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ S )
21a1d 25 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → (𝐴 + 𝐵) ∈ S ))
3 shsel1 29025 . . . 4 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶𝐴𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
43adantrd 492 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
5 shsel2 29026 . . . 4 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐷𝐵𝐷 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
65adantld 491 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → 𝐷 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
72, 4, 63jcad 1121 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ S𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 + 𝐵))))
8 shsubcl 28924 . 2 (((𝐴 + 𝐵) ∈ S𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝐶 𝐷) ∈ (𝐴 + 𝐵))
97, 8syl6 35 1 ((𝐴S𝐵S ) → ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → (𝐶 𝐷) ∈ (𝐴 + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079  wcel 2105  (class class class)co 7145   cmv 28629   S csh 28632   + cph 28635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-hilex 28703  ax-hfvadd 28704  ax-hvcom 28705  ax-hvass 28706  ax-hv0cl 28707  ax-hvaddid 28708  ax-hfvmul 28709  ax-hvmulid 28710  ax-hvdistr1 28712  ax-hvdistr2 28713  ax-hvmul0 28714
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-grpo 28197  df-ablo 28249  df-hvsub 28675  df-hlim 28676  df-sh 28911  df-ch 28925  df-shs 29012
This theorem is referenced by:  shsvsi  29071
  Copyright terms: Public domain W3C validator