Theorem sitgclre 34970

Description: Closure of the Bochner integral on a simple function. This version is specific to Banach spaces on the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s	⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
sitgval.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
sitgval.h	⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
sitgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sibfmbl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgclre.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ban)
sitgclre.3	⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = ℝfld)

Assertion

Ref	Expression
sitgclre	⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem sitgclre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sitgval.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		sitgval.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3		sitgval.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4		sitgval.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		sitgval.x	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		sitgval.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7		sitgval.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
8		sitgval.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
9		sibfmbl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
10		sitgclre.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ban)
11		sitgclre.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = ℝfld)
12		rerrext 34634	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ ℝExt
13	11, 12	eqeltrdi 2869	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13	sitgclbn 34968	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∪ cuni 4867  dom cdm 5651  ran crn 5652  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  Scalarcsca 17424   ·_𝑠 cvsca 17425  TopOpenctopn 17585  0_gc0g 17603  ℝ_fldcrefld 21903  Bancbn 25647  ℝHomcrrh 34618   ℝExt crrext 34619  sigaGencsigagen 34764  measurescmeas 34821  sitgcsitg 34954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272  ax-mulf 11273

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-tpos 8236  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-dvds 16416  df-gcd 16658  df-numer 16904  df-denom 16905  df-gz 17101  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-proset 18461  df-poset 18480  df-plt 18495  df-toset 18582  df-ps 18733  df-tsr 18734  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mulg 19271  df-subg 19326  df-ghm 19421  df-cntz 19524  df-od 19735  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-omnd 20328  df-ogrp 20329  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-cring 20455  df-oppr 20560  df-dvdsr 20580  df-unit 20581  df-invr 20611  df-dvr 20624  df-rhm 20695  df-nzr 20756  df-subrng 20791  df-subrg 20815  df-drng 20975  df-field 20976  df-abv 21059  df-orng 21109  df-ofld 21110  df-lmod 21130  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-metu 21670  df-cnfld 21672  df-zring 21746  df-zrh 21802  df-zlm 21803  df-chr 21804  df-refld 21904  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-nei 23409  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-haus 23626  df-reg 23627  df-cmp 23698  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-fil 24158  df-fm 24250  df-flim 24251  df-flf 24252  df-fcls 24253  df-cnext 24372  df-ust 24513  df-utop 24543  df-uss 24568  df-usp 24569  df-ucn 24587  df-cfilu 24598  df-cusp 24609  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-nm 24894  df-ngp 24895  df-nrg 24897  df-nlm 24898  df-nvc 24899  df-cncf 25192  df-cfil 25569  df-cmet 25571  df-cms 25649  df-bn 25650  df-qqh 34596  df-rrh 34620  df-rrext 34624  df-esum 34653  df-siga 34734  df-sigagen 34765  df-meas 34822  df-mbfm 34876  df-sitg 34955

This theorem is used by: (None)