Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitgclre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitgclre 32357
Description: Closure of the Bochner integral on a simple function. This version is specific to Banach spaces on the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
sitgval.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
sitgval.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
sitgval.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
sitgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
sibfmbl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
sitgclre.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Ban)
sitgclre.3 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = ℝfld)
Assertion
Ref Expression
sitgclre (πœ‘ β†’ ((π‘Šsitg𝑀)β€˜πΉ) ∈ 𝐡)

Proof of Theorem sitgclre
StepHypRef Expression
1 sitgval.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 sitgval.j . 2 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
3 sitgval.s . 2 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
4 sitgval.0 . 2 0 = (0gβ€˜π‘Š)
5 sitgval.x . 2 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
6 sitgval.h . 2 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
7 sitgval.1 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
8 sitgval.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
9 sibfmbl.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
10 sitgclre.1 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Ban)
11 sitgclre.3 . . 3 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = ℝfld)
12 rerrext 32004 . . 3 ℝfld ∈ ℝExt
1311, 12eqeltrdi 2845 . 2 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ ℝExt )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13sitgclbn 32355 1 (πœ‘ β†’ ((π‘Šsitg𝑀)β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆͺ cuni 4844  dom cdm 5600  ran crn 5601  β€˜cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16957  Scalarcsca 17010   ·𝑠 cvsca 17011  TopOpenctopn 17177  0gc0g 17195  β„fldcrefld 20854  Bancbn 24542  β„Homcrrh 31988   ℝExt crrext 31989  sigaGencsigagen 32151  measurescmeas 32208  sitgcsitg 32341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995  ax-addf 10996  ax-mulf 10997
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-tpos 8073  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-er 8529  df-map 8648  df-pm 8649  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9173  df-fi 9214  df-sup 9245  df-inf 9246  df-oi 9313  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-q 12735  df-rp 12777  df-xneg 12894  df-xadd 12895  df-xmul 12896  df-ioo 13129  df-ico 13131  df-icc 13132  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-fl 13558  df-mod 13636  df-seq 13768  df-exp 13829  df-hash 14091  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-dvds 16009  df-gcd 16247  df-numer 16484  df-denom 16485  df-gz 16676  df-struct 16893  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ress 16987  df-plusg 17020  df-mulr 17021  df-starv 17022  df-sca 17023  df-vsca 17024  df-ip 17025  df-tset 17026  df-ple 17027  df-ds 17029  df-unif 17030  df-hom 17031  df-cco 17032  df-rest 17178  df-topn 17179  df-0g 17197  df-gsum 17198  df-topgen 17199  df-pt 17200  df-prds 17203  df-xrs 17258  df-qtop 17263  df-imas 17264  df-xps 17266  df-mre 17340  df-mrc 17341  df-acs 17343  df-proset 18058  df-poset 18076  df-plt 18093  df-toset 18180  df-ps 18329  df-tsr 18330  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-mhm 18475  df-submnd 18476  df-grp 18625  df-minusg 18626  df-sbg 18627  df-mulg 18746  df-subg 18797  df-ghm 18877  df-cntz 18968  df-od 19181  df-cmn 19433  df-abl 19434  df-mgp 19766  df-ur 19783  df-ring 19830  df-cring 19831  df-oppr 19907  df-dvdsr 19928  df-unit 19929  df-invr 19959  df-dvr 19970  df-rnghom 20004  df-drng 20038  df-field 20039  df-subrg 20067  df-abv 20122  df-lmod 20170  df-nzr 20574  df-psmet 20634  df-xmet 20635  df-met 20636  df-bl 20637  df-mopn 20638  df-fbas 20639  df-fg 20640  df-metu 20641  df-cnfld 20643  df-zring 20716  df-zrh 20750  df-zlm 20751  df-chr 20752  df-refld 20855  df-top 22088  df-topon 22105  df-topsp 22127  df-bases 22141  df-cld 22215  df-ntr 22216  df-cls 22217  df-nei 22294  df-cn 22423  df-cnp 22424  df-haus 22511  df-reg 22512  df-cmp 22583  df-tx 22758  df-hmeo 22951  df-fil 23042  df-fm 23134  df-flim 23135  df-flf 23136  df-fcls 23137  df-cnext 23256  df-ust 23397  df-utop 23428  df-uss 23453  df-usp 23454  df-ucn 23473  df-cfilu 23484  df-cusp 23495  df-xms 23518  df-ms 23519  df-tms 23520  df-nm 23783  df-ngp 23784  df-nrg 23786  df-nlm 23787  df-nvc 23788  df-cncf 24086  df-cfil 24464  df-cmet 24466  df-cms 24544  df-bn 24545  df-omnd 31370  df-ogrp 31371  df-orng 31541  df-ofld 31542  df-qqh 31968  df-rrh 31990  df-rrext 31994  df-esum 32041  df-siga 32122  df-sigagen 32152  df-meas 32209  df-mbfm 32263  df-sitg 32342
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator