Theorem sitgclre 34800

Description: Closure of the Bochner integral on a simple function. This version is specific to Banach spaces on the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s	⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
sitgval.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
sitgval.h	⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
sitgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sibfmbl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgclre.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ban)
sitgclre.3	⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = ℝfld)

Assertion

Ref	Expression
sitgclre	⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem sitgclre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sitgval.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		sitgval.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3		sitgval.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4		sitgval.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		sitgval.x	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		sitgval.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7		sitgval.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
8		sitgval.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
9		sibfmbl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
10		sitgclre.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ban)
11		sitgclre.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = ℝfld)
12		rerrext 34463	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ ℝExt
13	11, 12	eqeltrdi 2873	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13	sitgclbn 34798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∪ cuni 4874  dom cdm 5663  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17291  Scalarcsca 17335   ·_𝑠 cvsca 17336  TopOpenctopn 17496  0_gc0g 17514  ℝ_fldcrefld 21804  Bancbn 25543  ℝHomcrrh 34447   ℝExt crrext 34448  sigaGencsigagen 34593  measurescmeas 34650  sitgcsitg 34784

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194  ax-mulf 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14056  df-exp 14116  df-hash 14385  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-dvds 16333  df-gcd 16575  df-numer 16816  df-denom 16817  df-gz 17012  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-rest 17497  df-topn 17498  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-topgen 17518  df-pt 17519  df-prds 17522  df-xrs 17578  df-qtop 17583  df-imas 17584  df-xps 17586  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-proset 18372  df-poset 18391  df-plt 18406  df-toset 18493  df-ps 18644  df-tsr 18645  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-mhm 18878  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-mulg 19178  df-subg 19233  df-ghm 19328  df-cntz 19431  df-od 19642  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-omnd 20235  df-ogrp 20236  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-cring 20362  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-invr 20516  df-dvr 20529  df-rhm 20600  df-nzr 20660  df-subrng 20695  df-subrg 20719  df-drng 20879  df-field 20880  df-abv 20962  df-orng 21012  df-ofld 21013  df-lmod 21033  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-fbas 21569  df-fg 21570  df-metu 21571  df-cnfld 21573  df-zring 21647  df-zrh 21703  df-zlm 21704  df-chr 21705  df-refld 21805  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-cld 23226  df-ntr 23227  df-cls 23228  df-nei 23305  df-cn 23434  df-cnp 23435  df-haus 23522  df-reg 23523  df-cmp 23594  df-tx 23770  df-hmeo 23963  df-fil 24054  df-fm 24146  df-flim 24147  df-flf 24148  df-fcls 24149  df-cnext 24268  df-ust 24409  df-utop 24439  df-uss 24464  df-usp 24465  df-ucn 24483  df-cfilu 24494  df-cusp 24505  df-xms 24528  df-ms 24529  df-tms 24530  df-nm 24790  df-ngp 24791  df-nrg 24793  df-nlm 24794  df-nvc 24795  df-cncf 25088  df-cfil 25465  df-cmet 25467  df-cms 25545  df-bn 25546  df-qqh 34425  df-rrh 34449  df-rrext 34453  df-esum 34482  df-siga 34563  df-sigagen 34594  df-meas 34651  df-mbfm 34705  df-sitg 34785

This theorem is used by: (None)