Theorem sitgclre 32212

Description: Closure of the Bochner integral on a simple function. This version is specific to Banach spaces on the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s	⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
sitgval.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
sitgval.h	⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
sitgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sibfmbl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgclre.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ban)
sitgclre.3	⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = ℝfld)

Assertion

Ref	Expression
sitgclre	⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem sitgclre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sitgval.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		sitgval.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3		sitgval.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4		sitgval.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		sitgval.x	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		sitgval.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7		sitgval.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
8		sitgval.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
9		sibfmbl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
10		sitgclre.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ban)
11		sitgclre.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = ℝfld)
12		rerrext 31859	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ ℝExt
13	11, 12	eqeltrdi 2847	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13	sitgclbn 32210	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∪ cuni 4836  dom cdm 5580  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  TopOpenctopn 17049  0_gc0g 17067  ℝ_fldcrefld 20721  Bancbn 24402  ℝHomcrrh 31843   ℝExt crrext 31844  sigaGencsigagen 32006  measurescmeas 32063  sitgcsitg 32196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-numer 16367  df-denom 16368  df-gz 16559  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-toset 18050  df-ps 18199  df-tsr 18200  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-od 19051  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-rnghom 19874  df-drng 19908  df-field 19909  df-subrg 19937  df-abv 19992  df-lmod 20040  df-nzr 20442  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-metu 20509  df-cnfld 20511  df-zring 20583  df-zrh 20617  df-zlm 20618  df-chr 20619  df-refld 20722  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-reg 22375  df-cmp 22446  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-fcls 23000  df-cnext 23119  df-ust 23260  df-utop 23291  df-uss 23316  df-usp 23317  df-ucn 23336  df-cfilu 23347  df-cusp 23358  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-nm 23644  df-ngp 23645  df-nrg 23647  df-nlm 23648  df-nvc 23649  df-cncf 23947  df-cfil 24324  df-cmet 24326  df-cms 24404  df-bn 24405  df-omnd 31227  df-ogrp 31228  df-orng 31398  df-ofld 31399  df-qqh 31823  df-rrh 31845  df-rrext 31849  df-esum 31896  df-siga 31977  df-sigagen 32007  df-meas 32064  df-mbfm 32118  df-sitg 32197

This theorem is referenced by: (None)