![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > subdir | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.) |
Ref | Expression |
---|---|
subdir | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด โ ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) โ (๐ต ยท ๐ถ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | subdi 11593 | . . 3 โข ((๐ถ โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ถ ยท (๐ด โ ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ด) โ (๐ถ ยท ๐ต))) | |
2 | 1 | 3coml 1128 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ถ ยท (๐ด โ ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ด) โ (๐ถ ยท ๐ต))) |
3 | subcl 11405 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด โ ๐ต) โ โ) | |
4 | mulcom 11142 | . . 3 โข (((๐ด โ ๐ต) โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด โ ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท (๐ด โ ๐ต))) | |
5 | 3, 4 | stoic3 1779 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด โ ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท (๐ด โ ๐ต))) |
6 | mulcom 11142 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ด)) | |
7 | 6 | 3adant2 1132 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ด)) |
8 | mulcom 11142 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต)) | |
9 | 8 | 3adant1 1131 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต)) |
10 | 7, 9 | oveq12d 7376 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ถ) โ (๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ถ ยท ๐ด) โ (๐ถ ยท ๐ต))) |
11 | 2, 5, 10 | 3eqtr4d 2783 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด โ ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) โ (๐ต ยท ๐ถ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 (class class class)co 7358 โcc 11054 ยท cmul 11061 โ cmin 11390 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-id 5532 df-po 5546 df-so 5547 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-er 8651 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-ltxr 11199 df-sub 11392 |
This theorem is referenced by: mulneg1 11596 subdiri 11610 subdird 11617 bpoly3 15946 dvds2sub 16178 cncongr1 16548 cncongr2 16549 eulerthlem2 16659 pythagtriplem1 16693 brbtwn2 27896 colinearalglem4 27900 ax5seglem1 27919 ax5seglem2 27920 sin2h 36114 itg2addnclem3 36177 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |