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Theorem itg2addnclem3 35928
Description: Lemma incomprehensible in isolation split off to shorten proof of itg2addnc 35929. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2addnc.f1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2addnc.f2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2addnc.f3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2addnc.g2 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2addnc.g3 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2addnclem3 (𝜑 → (∃ ∈ dom ∫1(∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1)) → ∃𝑡𝑢(∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑢,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,,𝑐,𝑑,𝐹   𝐺,𝑠,𝑡,𝑢,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,,𝑐,𝑑   𝜑,𝑠,𝑡,𝑢,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,,𝑐,𝑑

Proof of Theorem itg2addnclem3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2addnc.f1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
2 itg2addnc.f2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
31, 2itg2addnclem2 35927 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∈ dom ∫1)
43adantrr 714 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∈ dom ∫1)
5 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∈ dom ∫1)
6 i1fsub 24971 . . . . . . . . 9 (( ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∈ dom ∫1) → (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∈ dom ∫1)
75, 3, 6syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∈ dom ∫1)
87adantrr 714 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺))) → (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∈ dom ∫1)
9 3rp 12829 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ+
10 rpdivcl 12848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
119, 10mpan2 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
1211adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
13 fveq2 6819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
1413fvoveq1d 7351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑧 → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) = (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))))
1514oveq1d 7344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧 → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) = ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1))
1615oveq1d 7344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)))
17 fveq2 6819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥) = (𝑧))
1816, 17breq12d 5102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ↔ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)))
1917neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑧) ≠ 0))
2018, 19anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ↔ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)))
2120, 16, 17ifbieq12d 4500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)))
22 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))
23 ovex 7362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ V
24 fvex 6832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧) ∈ V
2523, 24ifex 4522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) ∈ V
2621, 22, 25fvmpt 6925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)))
2726eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0 ↔ if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0))
2826oveq1d 7344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)) = (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)))
2927, 28ifbieq2d 4498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ → if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) = if(if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3))))
3029adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) = if(if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3))))
31 breq1 5092 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3))) → (0 ≤ (𝐹𝑧) ↔ if(if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹𝑧)))
32 breq1 5092 . . . . . . . . . . . . . 14 ((if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) = if(if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3))) → ((if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧) ↔ if(if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹𝑧)))
332ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3433ffvelcdmda 7011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ (0[,)+∞))
35 elrege0 13279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑧) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑧)))
3634, 35sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑧)))
3736simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑧))
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0) → 0 ≤ (𝐹𝑧))
39 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) ≠ 0 ↔ ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0)
40 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≠ 0 ↔ if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) ≠ 0))
41 oveq1 7336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) = (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)))
4241breq1d 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧) ↔ (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)))
4340, 42imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≠ 0 → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) ≠ 0 → (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))))
44 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((𝑧) ≠ 0 ↔ if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) ≠ 0))
45 oveq1 7336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) = (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)))
4645breq1d 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → (((𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧) ↔ (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)))
4744, 46imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → (((𝑧) ≠ 0 → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) ≠ 0 → (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))))
48 rge0ssre 13281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
4948, 34sselid 3929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
5011ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
5149, 50rerpdivcld 12896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
52 reflcl 13609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ)
53 peano2rem 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
5451, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
5511rpred 12865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 3) ∈ ℝ)
5655ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ)
5754, 56remulcld 11098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
58 peano2rem 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ∈ ℝ)
5951, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ∈ ℝ)
6059, 56remulcld 11098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
6151, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ)
62 1red 11069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
63 flle 13612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ≤ ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)))
6451, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ≤ ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)))
6561, 51, 62, 64lesub1dd 11684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) ≤ (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1))
6654, 59, 50lemul1d 12908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) ≤ (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ↔ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3))))
6765, 66mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)))
6857, 60, 56, 67leadd1dd 11682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)))
6951recnd 11096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
70 ax-1cn 11022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℂ
71 subcl 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ∈ ℂ)
7269, 70, 71sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ∈ ℂ)
7370a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
7450rpcnd 12867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ∈ ℂ)
7572, 73, 74adddird 11093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) + 1) · (𝑦 / 3)) = (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (1 · (𝑦 / 3))))
76 npcan 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) + 1) = ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)))
7769, 70, 76sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) + 1) = ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)))
7877oveq1d 7344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) + 1) · (𝑦 / 3)) = (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)))
7974mulid2d 11086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (1 · (𝑦 / 3)) = (𝑦 / 3))
8079oveq2d 7345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (1 · (𝑦 / 3))) = (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)))
8175, 78, 803eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) = (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)))
8249recnd 11096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
8350rpne0d 12870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ≠ 0)
8482, 74, 83divcan1d 11845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)) = (𝐹𝑧))
8581, 84eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) = (𝐹𝑧))
8668, 85breqtrd 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))
8786adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))
8887a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≠ 0 → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)))
89 ianor 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∨ ¬ (𝑧) ≠ 0))
9089anbi1i 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑧) ≠ 0) ↔ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∨ ¬ (𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑧) ≠ 0))
91 oranabs 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∨ ¬ (𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑧) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0))
9290, 91bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑧) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0))
93 i1ff 24938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ( ∈ dom ∫1:ℝ⟶ℝ)
9493ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → :ℝ⟶ℝ)
9594ffvelcdmda 7011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧) ∈ ℝ)
9695, 56readdcld 11097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
9796adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
9849adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
9957, 56readdcld 11097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
10099adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
10195adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → (𝑧) ∈ ℝ)
10257adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
10355ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ)
10495, 57ltnled 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧) < (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)))
105104biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → (𝑧) < (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)))
106101, 102, 103, 105ltadd1dd 11679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) < ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)))
10786adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))
10897, 100, 98, 106, 107ltletrd 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) < (𝐹𝑧))
10997, 98, 108ltled 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))
110109adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))
11192, 110sylan2b 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))
112111expr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → ((𝑧) ≠ 0 → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)))
11343, 47, 88, 112ifbothda 4510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) ≠ 0 → (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)))
11439, 113syl5bir 242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0 → (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)))
115114imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0) → (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))
11631, 32, 38, 115ifbothda 4510 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹𝑧))
11730, 116eqbrtrd 5111 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹𝑧))
118117ralrimiva 3139 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ℝ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹𝑧))
119 reex 11055 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ℝ ∈ V)
121 c0ex 11062 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
122 ovex 7362 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ∈ V
123121, 122ifex 4522 . . . . . . . . . . . . 13 if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ∈ V
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ∈ V)
125 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))))
1262feqmptd 6887 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑧)))
127126ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑧)))
128120, 124, 34, 125, 127ofrfval2 7608 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹𝑧)))
129118, 128mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r𝐹)
130 oveq2 7337 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = (𝑦 / 3) → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))
131130ifeq2d 4492 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = (𝑦 / 3) → if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐)) = if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))))
132131mpteq2dv 5191 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝑦 / 3) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))))
133132breq1d 5099 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = (𝑦 / 3) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r𝐹))
134133rspcev 3570 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 / 3) ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r𝐹) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹)
13512, 129, 134syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹)
136135adantrr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺))) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹)
13711ad2antrl 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺))) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
13893ffnd 6646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( ∈ dom ∫1 Fn ℝ)
139138ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → Fn ℝ)
140 ovex 7362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ V
141 fvex 6832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥) ∈ V
142140, 141ifex 4522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)) ∈ V
143142, 22fnmpti 6621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) Fn ℝ
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) Fn ℝ)
145 inidm 4164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
146 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧) = (𝑧))
14726adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)))
148139, 144, 120, 120, 145, 146, 147ofval 7598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))))
149148eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0 ↔ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0))
150148oveq1d 7344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)) = (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)))
151149, 150ifbieq2d 4498 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) = if(((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0, 0, (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3))))
152151adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) = if(((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0, 0, (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3))))
153 breq1 5092 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = if(((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0, 0, (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3))) → (0 ≤ (𝐺𝑧) ↔ if(((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0, 0, (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧)))
154 breq1 5092 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)) = if(((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0, 0, (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3))) → ((((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧) ↔ if(((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0, 0, (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧)))
155 itg2addnc.g2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
156155ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
157156ffvelcdmda 7011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺𝑧) ∈ (0[,)+∞))
158 elrege0 13279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺𝑧) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐺𝑧)))
159157, 158sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐺𝑧)))
160159simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐺𝑧))
161160ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) → 0 ≤ (𝐺𝑧))
162 oveq2 7337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) = ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))))
163162oveq1d 7344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) = (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)))
164163breq1d 5099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧) ↔ (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧)))
165 oveq2 7337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((𝑧) − (𝑧)) = ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))))
166165oveq1d 7344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → (((𝑧) − (𝑧)) + (𝑦 / 3)) = (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)))
167166breq1d 5099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((((𝑧) − (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧) ↔ (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧)))
168 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧) = 0 → (𝑧) = 0)
169 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0) → (𝑧) ≠ 0)
170169necon2bi 2971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧) = 0 → ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0))
171 iffalse 4481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0) → if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = (𝑧))
172170, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = (𝑧))
173172, 168eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0)
174168, 173oveq12d 7347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧) = 0 → ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = (0 − 0))
175 0m0e0 12186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 − 0) = 0
176174, 175eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧) = 0 → ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0)
177 iffalse 4481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ (𝑧) = 0 → if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) = ((𝑧) + 𝑦))
178177breq1d 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ (𝑧) = 0 → (if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ↔ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))))
179176, 178nsyl5 159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0 → (if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ↔ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))))
180179adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) → (if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ↔ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))))
18195recnd 11096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧) ∈ ℂ)
18257recnd 11096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
183181, 182, 74subsubd 11453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧) − ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) = (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)))
184183adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → ((𝑧) − ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) = (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)))
18557, 56resubcld 11496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
186 rpre 12831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
187186ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
188185, 187readdcld 11097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) ∈ ℝ)
18948, 157sselid 3929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
190 1re 11068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1 ∈ ℝ
191190, 190readdcli 11083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (1 + 1) ∈ ℝ
192 resubcl 11378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ ∧ (1 + 1) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) ∈ ℝ)
19351, 191, 192sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) ∈ ℝ)
194193, 56remulcld 11098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
195 peano2re 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℝ)
19661, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℝ)
197 resubcl 11378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℝ ∧ (1 + 1) ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) ∈ ℝ)
198196, 191, 197sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) ∈ ℝ)
199198, 56remulcld 11098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
20055, 186resubcld 11496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑦 / 3) − 𝑦) ∈ ℝ)
201200ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 / 3) − 𝑦) ∈ ℝ)
202191a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (1 + 1) ∈ ℝ)
203 fllep1 13614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ → ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ≤ ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1))
20451, 203syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ≤ ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1))
20551, 196, 202, 204lesub1dd 11684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) ≤ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)))
206193, 198, 50lemul1d 12908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) ≤ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) ↔ ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) ≤ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3))))
207205, 206mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) ≤ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)))
208194, 199, 201, 207lesub1dd 11684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) ≤ (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)))
20970, 70addcli 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (1 + 1) ∈ ℂ
210209negcli 11382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 -(1 + 1) ∈ ℂ
211210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(1 + 1) ∈ ℂ)
21269, 211, 74adddird 11093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) + -(1 + 1)) · (𝑦 / 3)) = ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)) + (-(1 + 1) · (𝑦 / 3))))
213 negsub 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℂ ∧ (1 + 1) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) + -(1 + 1)) = (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)))
21469, 209, 213sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) + -(1 + 1)) = (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)))
215214oveq1d 7344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) + -(1 + 1)) · (𝑦 / 3)) = ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)))
216 df-2 12129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2 = (1 + 1)
217216negeqi 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 -2 = -(1 + 1)
218217oveq1i 7339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (-2 · (𝑦 / 3)) = (-(1 + 1) · (𝑦 / 3))
219 2cn 12141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 ∈ ℂ
22011rpcnd 12867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 3) ∈ ℂ)
221 mulneg1 11504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑦 / 3) ∈ ℂ) → (-2 · (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3)))
222219, 220, 221sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ ℝ+ → (-2 · (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3)))
223218, 222eqtr3id 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ ℝ+ → (-(1 + 1) · (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3)))
224223ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-(1 + 1) · (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3)))
22584, 224oveq12d 7347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)) + (-(1 + 1) · (𝑦 / 3))) = ((𝐹𝑧) + -(2 · (𝑦 / 3))))
226212, 215, 2253eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) = ((𝐹𝑧) + -(2 · (𝑦 / 3))))
227 rpcn 12833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℂ)
228227, 220negsubdi2d 11441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 ∈ ℝ+ → -(𝑦 − (𝑦 / 3)) = ((𝑦 / 3) − 𝑦))
229 3cn 12147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 ∈ ℂ
230 3ne0 12172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 ≠ 0
231 divcan2 11734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (3 · (𝑦 / 3)) = 𝑦)
232229, 230, 231mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑦 ∈ ℂ → (3 · (𝑦 / 3)) = 𝑦)
233227, 232syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ ℝ+ → (3 · (𝑦 / 3)) = 𝑦)
234220mulid2d 11086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 · (𝑦 / 3)) = (𝑦 / 3))
235233, 234oveq12d 7347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((3 · (𝑦 / 3)) − (1 · (𝑦 / 3))) = (𝑦 − (𝑦 / 3)))
236 subdir 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑦 / 3) ∈ ℂ) → ((3 − 1) · (𝑦 / 3)) = ((3 · (𝑦 / 3)) − (1 · (𝑦 / 3))))
237229, 70, 220, 236mp3an12i 1464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((3 − 1) · (𝑦 / 3)) = ((3 · (𝑦 / 3)) − (1 · (𝑦 / 3))))
238 3m1e2 12194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (3 − 1) = 2
239238oveq1i 7339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((3 − 1) · (𝑦 / 3)) = (2 · (𝑦 / 3))
240237, 239eqtr3di 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((3 · (𝑦 / 3)) − (1 · (𝑦 / 3))) = (2 · (𝑦 / 3)))
241235, 240eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 − (𝑦 / 3)) = (2 · (𝑦 / 3)))
242241negeqd 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 ∈ ℝ+ → -(𝑦 − (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3)))
243228, 242eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑦 / 3) − 𝑦) = -(2 · (𝑦 / 3)))
244243ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 / 3) − 𝑦) = -(2 · (𝑦 / 3)))
245226, 244oveq12d 7347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = (((𝐹𝑧) + -(2 · (𝑦 / 3))) − -(2 · (𝑦 / 3))))
246 rpcn 12833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑦 / 3) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 3) ∈ ℂ)
247 mulcl 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑦 / 3) ∈ ℂ) → (2 · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
248219, 246, 247sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑦 / 3) ∈ ℝ+ → (2 · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
24911, 248syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 ∈ ℝ+ → (2 · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
250249negcld 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑦 ∈ ℝ+ → -(2 · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
251250ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(2 · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
25282, 251pncand 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) + -(2 · (𝑦 / 3))) − -(2 · (𝑦 / 3))) = (𝐹𝑧))
253245, 252eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = (𝐹𝑧))
25461recnd 11096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℂ)
255 peano2cn 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℂ → ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℂ)
256 subsub4 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) − 1) = (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)))
25770, 70, 256mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℂ → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) − 1) = (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)))
258254, 255, 2573syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) − 1) = (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)))
259 pncan 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) = (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))))
260254, 70, 259sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) = (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))))
261260oveq1d 7344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) − 1) = ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1))
262258, 261eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) = ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1))
263262oveq1d 7344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) = (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)))
264263oveq1d 7344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)))
265187recnd 11096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
266182, 74, 265subsubd 11453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦))
267264, 266eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦))
268208, 253, 2673brtr3d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ≤ (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦))
26949, 188, 189, 268leadd1dd 11682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ≤ ((((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) + (𝐺𝑧)))
270189recnd 11096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
271185recnd 11096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
272227ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
273271, 272addcld 11087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) ∈ ℂ)
274270, 271, 272addassd 11090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦) = ((𝐺𝑧) + (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦)))
275270, 273, 274comraddd 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦) = ((((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) + (𝐺𝑧)))
276269, 275breqtrrd 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦))
27795, 187readdcld 11097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧) + 𝑦) ∈ ℝ)
27849, 189readdcld 11097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
279189, 185readdcld 11097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ∈ ℝ)
280279, 187readdcld 11097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦) ∈ ℝ)
281 letr 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑧) + 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ∈ ℝ ∧ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦) ∈ ℝ) → ((((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ∧ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)) → ((𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
282277, 278, 280, 281syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ∧ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)) → ((𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
283276, 282mpan2d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) → ((𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
284283imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → ((𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦))
28595, 185, 189lesubaddd 11665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑧) − ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧) ↔ (𝑧) ≤ ((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)))))
28695, 279, 187leadd1d 11662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧) ≤ ((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ↔ ((𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
287285, 286bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑧) − ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧) ↔ ((𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
288287adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → (((𝑧) − ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧) ↔ ((𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
289284, 288mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → ((𝑧) − ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧))
290184, 289eqbrtrrd 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧))
291290ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧)))
292291adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) → (((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧)))
293180, 292sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) → (if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧)))
294293imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧))
295294an32s 649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧))
296295adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧))
297171oveq2d 7345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0) → ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = ((𝑧) − (𝑧)))
298181subidd 11413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧) − (𝑧)) = 0)
299298adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → ((𝑧) − (𝑧)) = 0)
300297, 299sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0)
301300pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → (¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0 → (((𝑧) − (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧)))
302301imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) → (((𝑧) − (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧))
303302an32s 649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → (((𝑧) − (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧))
304164, 167, 296, 303ifbothda 4510 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) → (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧))
305153, 154, 161, 304ifbothda 4510 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → if(((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0, 0, (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧))
306152, 305eqbrtrd 5111 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧))
307306ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) → if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧)))
308307ralimdva 3160 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧)))
309119a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ∈ V)
310 ovex 7362 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧) + 𝑦) ∈ V
311121, 310ifex 4522 . . . . . . . . . . . . . 14 if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ∈ V
312311a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ∈ V)
3132ffvelcdmda 7011 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ (0[,)+∞))
31448, 313sselid 3929 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
315155ffvelcdmda 7011 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺𝑧) ∈ (0[,)+∞))
31648, 315sselid 3929 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
317314, 316readdcld 11097 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
318 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))))
319155feqmptd 6887 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐺𝑧)))
320309, 313, 315, 126, 319offval2 7607 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))))
321309, 312, 317, 318, 320ofrfval2 7608 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))))
322321ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))))
323 ovex 7362 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ∈ V
324121, 323ifex 4522 . . . . . . . . . . . . . 14 if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ∈ V
325324a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ∈ V)
326 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))))
327309, 325, 315, 326, 319ofrfval2 7608 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r𝐺 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧)))
328327ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r𝐺 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧)))
329308, 322, 3283imtr4d 293 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r𝐺))
330329impr 455 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺))) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r𝐺)
331 oveq2 7337 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = (𝑦 / 3) → (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑) = (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))
332331ifeq2d 4492 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝑦 / 3) → if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑)) = if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))))
333332mpteq2dv 5191 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝑦 / 3) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))))
334333breq1d 5099 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝑦 / 3) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r𝐺))
335334rspcev 3570 . . . . . . . . 9 (((𝑦 / 3) ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r𝐺) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺)
336137, 330, 335syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺)
33733ffvelcdmda 7011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
33848, 337sselid 3929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
33911ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
340338, 339rerpdivcld 12896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
341 reflcl 13609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ)
342 peano2rem 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
343340, 341, 3423syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
34455ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ)
345343, 344remulcld 11098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
34694ffvelcdmda 7011 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ∈ ℝ)
347345, 346ifcld 4518 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)) ∈ ℝ)
348347recnd 11096 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)) ∈ ℂ)
349346recnd 11096 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ∈ ℂ)
350348, 349pncan3d 11428 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)) + ((𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) = (𝑥))
351350mpteq2dva 5189 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)) + ((𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)))
352346, 347resubcld 11496 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∈ ℝ)
353 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))
35493feqmptd 6887 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ dom ∫1 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)))
355354ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)))
356120, 346, 347, 355, 353offval2 7607 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))
357120, 347, 352, 353, 356offval2 7607 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∘f + (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)) + ((𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))
358351, 357, 3553eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∘f + (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) = )
359358fveq2d 6823 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∘f + (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))) = (∫1))
3603, 7itg1add 24964 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∘f + (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) + (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))
361359, 360eqtr3d 2778 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∫1) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) + (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))
362361adantrr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺))) → (∫1) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) + (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))
363 fvex 6832 . . . . . . . . 9 (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∈ V
364 fvex 6832 . . . . . . . . 9 (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∈ V
365 iba 528 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹 ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))
366 iba 528 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺 ↔ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))))
367365, 366bi2anan9 636 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))) → ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺) ↔ ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))))
368367bicomd 222 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))) → (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺)))
369 oveq12 7338 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))) → (𝑡 + 𝑢) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) + (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))
370369eqeq2d 2747 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))) → ((∫1) = (𝑡 + 𝑢) ↔ (∫1) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) + (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))))
371368, 370anbi12d 631 . . . . . . . . 9 ((𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))) → ((((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺) ∧ (∫1) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) + (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))))
372363, 364, 371spc2ev 3555 . . . . . . . 8 (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺) ∧ (∫1) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) + (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) → ∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)))
373136, 336, 362, 372syl21anc 835 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺))) → ∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)))
374 fveq1 6818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → (𝑓𝑧) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧))
375374eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → ((𝑓𝑧) = 0 ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0))
376374oveq1d 7344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → ((𝑓𝑧) + 𝑐) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))
377375, 376ifbieq2d 4498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐)) = if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐)))
378377mpteq2dv 5191 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))))
379378breq1d 5099 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹))
380379rexbidv 3171 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹))
381 fveq2 6819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → (∫1𝑓) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))
382381eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → (𝑡 = (∫1𝑓) ↔ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))
383380, 382anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))
384383anbi1d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ↔ ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔)))))
385384anbi1d 630 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → ((((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)) ↔ (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))))
3863852exbidv 1926 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → (∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))))
387 fveq1 6818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (𝑔𝑧) = ((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧))
388387eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → ((𝑔𝑧) = 0 ↔ ((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0))
389387oveq1d 7344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → ((𝑔𝑧) + 𝑑) = (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))
390388, 389ifbieq2d 4498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑)) = if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑)))
391390mpteq2dv 5191 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))))
392391breq1d 5099 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺))
393392rexbidv 3171 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺))
394 fveq2 6819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (∫1𝑔) = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))
395394eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (𝑢 = (∫1𝑔) ↔ 𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))
396393, 395anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → ((∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔)) ↔ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))))
397396anbi2d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ↔ ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))))
398397anbi1d 630 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → ((((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)) ↔ (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))))
3993982exbidv 1926 . . . . . . . 8 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))))
400386, 399rspc2ev 3581 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∈ dom ∫1 ∧ (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∈ dom ∫1 ∧ ∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)))
4014, 8, 373, 400syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺))) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)))
402 eqeq1 2740 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (∫1) → (𝑠 = (𝑡 + 𝑢) ↔ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)))
403402anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑠 = (∫1) → ((((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))))
4044032exbidv 1926 . . . . . . 7 (𝑠 = (∫1) → (∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))))
4054042rexbidv 3209 . . . . . 6 (𝑠 = (∫1) → (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))))
406401, 405syl5ibrcom 246 . . . . 5 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺))) → (𝑠 = (∫1) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))))
407406rexlimdvaa 3149 . . . 4 ((𝜑 ∈ dom ∫1) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺) → (𝑠 = (∫1) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))))
408407impd 411 . . 3 ((𝜑 ∈ dom ∫1) → ((∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1)) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))))
409408rexlimdva 3148 . 2 (𝜑 → (∃ ∈ dom ∫1(∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1)) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))))
410 rexcom4 3267 . . . . 5 (∃𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
411410rexbii 3093 . . . 4 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑡𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
412 rexcom4 3267 . . . 4 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑡𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
413411, 412bitri 274 . . 3 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
414 rexcom4 3267 . . . . . 6 (∃𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑢𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
415414rexbii 3093 . . . . 5 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑢𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
416 rexcom4 3267 . . . . 5 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑢𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑢𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
417415, 416bitri 274 . . . 4 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑢𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
418417exbii 1849 . . 3 (∃𝑡𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑢𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
419 r19.41vv 3211 . . . 4 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
4204192exbii 1850 . . 3 (∃𝑡𝑢𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑢(∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
421413, 418, 4203bitrri 297 . 2 (∃𝑡𝑢(∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
422409, 421syl6ibr 251 1 (𝜑 → (∃ ∈ dom ∫1(∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1)) → ∃𝑡𝑢(∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844   = wceq 1540  wex 1780  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3441  ifcif 4472   class class class wbr 5089  cmpt 5172  dom cdm 5614   Fn wfn 6468  wf 6469  cfv 6473  (class class class)co 7329  f cof 7585  r cofr 7586  cc 10962  cr 10963  0cc0 10964  1c1 10965   + caddc 10967   · cmul 10969  +∞cpnf 11099   < clt 11102  cle 11103  cmin 11298  -cneg 11299   / cdiv 11725  2c2 12121  3c3 12122  +crp 12823  [,)cico 13174  cfl 13603  MblFncmbf 24876  1citg1 24877  2citg2 24878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042  ax-addf 11043
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-disj 5055  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-ofr 7588  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-2o 8360  df-er 8561  df-map 8680  df-pm 8681  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fi 9260  df-sup 9291  df-inf 9292  df-oi 9359  df-dju 9750  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-q 12782  df-rp 12824  df-xneg 12941  df-xadd 12942  df-xmul 12943  df-ioo 13176  df-ico 13178  df-icc 13179  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-fl 13605  df-seq 13815  df-exp 13876  df-hash 14138  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-clim 15288  df-sum 15489  df-rest 17222  df-topgen 17243  df-psmet 20687  df-xmet 20688  df-met 20689  df-bl 20690  df-mopn 20691  df-top 22141  df-topon 22158  df-bases 22194  df-cmp 22636  df-ovol 24726  df-vol 24727  df-mbf 24881  df-itg1 24882
This theorem is referenced by:  itg2addnc  35929
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