Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | itg2addnc.f1 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐น โ MblFn) |
2 | | itg2addnc.f2 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐น:โโถ(0[,)+โ)) |
3 | 1, 2 | itg2addnclem2 36180 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) โ dom
โซ1) |
4 | 3 | adantrr 716 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง (๐ฆ โ โ+
โง (๐ง โ โ
โฆ if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ))) โr โค (๐น โf + ๐บ))) โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) โ dom
โซ1) |
5 | | simplr 768 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ โ โ dom
โซ1) |
6 | | i1fsub 25096 |
. . . . . . . . 9
โข ((โ โ dom โซ1
โง (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) โ dom โซ1) โ
(โ โf
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โ dom
โซ1) |
7 | 5, 3, 6 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ (โ
โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โ dom
โซ1) |
8 | 7 | adantrr 716 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง (๐ฆ โ โ+
โง (๐ง โ โ
โฆ if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ))) โr โค (๐น โf + ๐บ))) โ (โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โ dom
โซ1) |
9 | | 3rp 12929 |
. . . . . . . . . . . 12
โข 3 โ
โ+ |
10 | | rpdivcl 12948 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ฆ โ โ+
โง 3 โ โ+) โ (๐ฆ / 3) โ
โ+) |
11 | 9, 10 | mpan2 690 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ฆ โ โ+
โ (๐ฆ / 3) โ
โ+) |
12 | 11 | adantl 483 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ (๐ฆ / 3) โ
โ+) |
13 | | fveq2 6846 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข (๐ฅ = ๐ง โ (๐นโ๐ฅ) = (๐นโ๐ง)) |
14 | 13 | fvoveq1d 7383 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข (๐ฅ = ๐ง โ (โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) = (โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)))) |
15 | 14 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (๐ฅ = ๐ง โ ((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) = ((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1)) |
16 | 15 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ฅ = ๐ง โ (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) =
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3))) |
17 | | fveq2 6846 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ฅ = ๐ง โ (โโ๐ฅ) = (โโ๐ง)) |
18 | 16, 17 | breq12d 5122 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ฅ = ๐ง โ ((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง))) |
19 | 17 | neeq1d 3000 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ฅ = ๐ง โ ((โโ๐ฅ) โ 0 โ (โโ๐ง) โ 0)) |
20 | 18, 19 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ฅ = ๐ง โ (((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0) โ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0))) |
21 | 20, 16, 17 | ifbieq12d 4518 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ฅ = ๐ง โ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)) = if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) |
22 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) = (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) |
23 | | ovex 7394 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ V |
24 | | fvex 6859 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (โโ๐ง) โ V |
25 | 23, 24 | ifex 4540 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข
if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) โ V |
26 | 21, 22, 25 | fvmpt 6952 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ง โ โ โ ((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) |
27 | 26 | eqeq1d 2735 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ง โ โ โ (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0 โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) = 0)) |
28 | 26 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ง โ โ โ (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + (๐ฆ / 3)) = (if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3))) |
29 | 27, 28 | ifbieq2d 4516 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ง โ โ โ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + (๐ฆ / 3))) = if(if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) = 0, 0, (if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3)))) |
30 | 29 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ if(((๐ฅ โ
โ โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + (๐ฆ / 3))) = if(if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) = 0, 0, (if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3)))) |
31 | | breq1 5112 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (0 =
if(if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) = 0, 0, (if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3))) โ (0 โค (๐นโ๐ง) โ if(if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) = 0, 0, (if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3))) โค (๐นโ๐ง))) |
32 | | breq1 5112 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
((if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3)) = if(if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) = 0, 0, (if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3))) โ ((if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3)) โค (๐นโ๐ง) โ if(if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) = 0, 0, (if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3))) โค (๐นโ๐ง))) |
33 | 2 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ ๐น:โโถ(0[,)+โ)) |
34 | 33 | ffvelcdmda 7039 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (๐นโ๐ง) โ
(0[,)+โ)) |
35 | | elrege0 13380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐นโ๐ง) โ (0[,)+โ) โ ((๐นโ๐ง) โ โ โง 0 โค (๐นโ๐ง))) |
36 | 34, 35 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((๐นโ๐ง) โ โ โง 0 โค
(๐นโ๐ง))) |
37 | 36 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ 0 โค (๐นโ๐ง)) |
38 | 37 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง
if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) = 0) โ 0 โค (๐นโ๐ง)) |
39 | | df-ne 2941 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข
(if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) โ 0 โ ยฌ
if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) = 0) |
40 | | neeq1 3003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) =
if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) โ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ 0 โ
if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) โ 0)) |
41 | | oveq1 7368 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) =
if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) โ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) + (๐ฆ / 3)) = (if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3))) |
42 | 41 | breq1d 5119 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) =
if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) โ (((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) + (๐ฆ / 3)) โค (๐นโ๐ง) โ (if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3)) โค (๐นโ๐ง))) |
43 | 40, 42 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) =
if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) โ (((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ 0 โ
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) + (๐ฆ / 3)) โค (๐นโ๐ง)) โ (if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) โ 0 โ
(if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3)) โค (๐นโ๐ง)))) |
44 | | neeq1 3003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((โโ๐ง) = if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) โ ((โโ๐ง) โ 0 โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) โ 0)) |
45 | | oveq1 7368 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((โโ๐ง) = if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) โ ((โโ๐ง) + (๐ฆ / 3)) = (if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3))) |
46 | 45 | breq1d 5119 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((โโ๐ง) = if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) โ (((โโ๐ง) + (๐ฆ / 3)) โค (๐นโ๐ง) โ (if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3)) โค (๐นโ๐ง))) |
47 | 44, 46 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((โโ๐ง) = if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) โ (((โโ๐ง) โ 0 โ ((โโ๐ง) + (๐ฆ / 3)) โค (๐นโ๐ง)) โ (if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) โ 0 โ
(if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3)) โค (๐นโ๐ง)))) |
48 | | rge0ssre 13382 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข
(0[,)+โ) โ โ |
49 | 48, 34 | sselid 3946 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (๐นโ๐ง) โ
โ) |
50 | 11 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (๐ฆ / 3) โ
โ+) |
51 | 49, 50 | rerpdivcld 12996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ โ) |
52 | | reflcl 13710 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข (((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ โ โ
(โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ โ) |
53 | | peano2rem 11476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข
((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ โ โ
((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) โ
โ) |
54 | 51, 52, 53 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) โ
โ) |
55 | 11 | rpred 12965 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข (๐ฆ โ โ+
โ (๐ฆ / 3) โ
โ) |
56 | 55 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (๐ฆ / 3) โ
โ) |
57 | 54, 56 | remulcld 11193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ
โ) |
58 | | peano2rem 11476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข (((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ โ โ (((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ 1) โ
โ) |
59 | 51, 58 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ 1) โ
โ) |
60 | 59, 56 | remulcld 11193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ
โ) |
61 | 51, 52 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ โ) |
62 | | 1red 11164 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ 1 โ โ) |
63 | | flle 13713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข (((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ โ โ
(โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โค ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) |
64 | 51, 63 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โค ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) |
65 | 61, 51, 62, 64 | lesub1dd 11779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) โค (((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ 1)) |
66 | 54, 59, 50 | lemul1d 13008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) โค (((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ 1) โ
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค ((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)))) |
67 | 65, 66 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค ((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ 1) ยท (๐ฆ / 3))) |
68 | 57, 60, 56, 67 | leadd1dd 11777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) + (๐ฆ / 3)) โค (((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) + (๐ฆ / 3))) |
69 | 51 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ โ) |
70 | | ax-1cn 11117 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข 1 โ
โ |
71 | | subcl 11408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ โ โง 1 โ โ)
โ (((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ 1) โ
โ) |
72 | 69, 70, 71 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ 1) โ
โ) |
73 | 70 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ 1 โ โ) |
74 | 50 | rpcnd 12967 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (๐ฆ / 3) โ
โ) |
75 | 72, 73, 74 | adddird 11188 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ 1) + 1) ยท (๐ฆ / 3)) = (((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) + (1 ยท (๐ฆ / 3)))) |
76 | | npcan 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ โ โง 1 โ โ)
โ ((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ 1) + 1) = ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) |
77 | 69, 70, 76 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ 1) + 1) = ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) |
78 | 77 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ 1) + 1) ยท (๐ฆ / 3)) = (((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) ยท (๐ฆ / 3))) |
79 | 74 | mulid2d 11181 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (1 ยท (๐ฆ / 3))
= (๐ฆ / 3)) |
80 | 79 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) + (1 ยท (๐ฆ / 3))) = (((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) + (๐ฆ / 3))) |
81 | 75, 78, 80 | 3eqtr3rd 2782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) + (๐ฆ / 3)) = (((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) ยท (๐ฆ / 3))) |
82 | 49 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (๐นโ๐ง) โ
โ) |
83 | 50 | rpne0d 12970 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (๐ฆ / 3) โ
0) |
84 | 82, 74, 83 | divcan1d 11940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) ยท (๐ฆ / 3)) = (๐นโ๐ง)) |
85 | 81, 84 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) + (๐ฆ / 3)) = (๐นโ๐ง)) |
86 | 68, 85 | breqtrd 5135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) + (๐ฆ / 3)) โค (๐นโ๐ง)) |
87 | 86 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0)) โ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) + (๐ฆ / 3)) โค (๐นโ๐ง)) |
88 | 87 | a1d 25 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0)) โ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ 0 โ
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) + (๐ฆ / 3)) โค (๐นโ๐ง))) |
89 | | ianor 981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (ยฌ
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0) โ (ยฌ
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โจ ยฌ (โโ๐ง) โ 0)) |
90 | 89 | anbi1i 625 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((ยฌ
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0) โง (โโ๐ง) โ 0) โ ((ยฌ
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โจ ยฌ (โโ๐ง) โ 0) โง (โโ๐ง) โ 0)) |
91 | | oranabs 999 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (((ยฌ
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โจ ยฌ (โโ๐ง) โ 0) โง (โโ๐ง) โ 0) โ (ยฌ
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0)) |
92 | 90, 91 | bitri 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((ยฌ
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0) โง (โโ๐ง) โ 0) โ (ยฌ
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0)) |
93 | | i1ff 25063 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข (โ โ dom โซ1
โ โ:โโถโ) |
94 | 93 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ โ:โโถโ) |
95 | 94 | ffvelcdmda 7039 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (โโ๐ง) โ
โ) |
96 | 95, 56 | readdcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((โโ๐ง) + (๐ฆ / 3)) โ โ) |
97 | 96 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง ยฌ
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง)) โ ((โโ๐ง) + (๐ฆ / 3)) โ โ) |
98 | 49 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง ยฌ
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง)) โ (๐นโ๐ง) โ โ) |
99 | 57, 56 | readdcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) + (๐ฆ / 3)) โ โ) |
100 | 99 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง ยฌ
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง)) โ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) + (๐ฆ / 3)) โ โ) |
101 | 95 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง ยฌ
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง)) โ (โโ๐ง) โ โ) |
102 | 57 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง ยฌ
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง)) โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ
โ) |
103 | 55 | ad3antlr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง ยฌ
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง)) โ (๐ฆ / 3) โ โ) |
104 | 95, 57 | ltnled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((โโ๐ง) < (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ ยฌ
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง))) |
105 | 104 | biimpar 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง ยฌ
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง)) โ (โโ๐ง) < (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3))) |
106 | 101, 102,
103, 105 | ltadd1dd 11774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง ยฌ
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง)) โ ((โโ๐ง) + (๐ฆ / 3)) < ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) + (๐ฆ / 3))) |
107 | 86 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง ยฌ
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง)) โ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) + (๐ฆ / 3)) โค (๐นโ๐ง)) |
108 | 97, 100, 98, 106, 107 | ltletrd 11323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง ยฌ
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง)) โ ((โโ๐ง) + (๐ฆ / 3)) < (๐นโ๐ง)) |
109 | 97, 98, 108 | ltled 11311 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง ยฌ
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง)) โ ((โโ๐ง) + (๐ฆ / 3)) โค (๐นโ๐ง)) |
110 | 109 | adantrr 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง (ยฌ
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0)) โ ((โโ๐ง) + (๐ฆ / 3)) โค (๐นโ๐ง)) |
111 | 92, 110 | sylan2b 595 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง (ยฌ
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0) โง (โโ๐ง) โ 0)) โ ((โโ๐ง) + (๐ฆ / 3)) โค (๐นโ๐ง)) |
112 | 111 | expr 458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง ยฌ
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0)) โ ((โโ๐ง) โ 0 โ ((โโ๐ง) + (๐ฆ / 3)) โค (๐นโ๐ง))) |
113 | 43, 47, 88, 112 | ifbothda 4528 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) โ 0 โ
(if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3)) โค (๐นโ๐ง))) |
114 | 39, 113 | biimtrrid 242 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (ยฌ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) = 0 โ (if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3)) โค (๐นโ๐ง))) |
115 | 114 | imp 408 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง ยฌ
if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) = 0) โ (if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3)) โค (๐นโ๐ง)) |
116 | 31, 32, 38, 115 | ifbothda 4528 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ if(if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) = 0, 0, (if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3))) โค (๐นโ๐ง)) |
117 | 30, 116 | eqbrtrd 5131 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ if(((๐ฅ โ
โ โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + (๐ฆ / 3))) โค (๐นโ๐ง)) |
118 | 117 | ralrimiva 3140 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ โ๐ง โ
โ if(((๐ฅ โ
โ โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + (๐ฆ / 3))) โค (๐นโ๐ง)) |
119 | | reex 11150 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข โ
โ V |
120 | 119 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ โ โ V) |
121 | | c0ex 11157 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข 0 โ
V |
122 | | ovex 7394 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + (๐ฆ / 3)) โ V |
123 | 121, 122 | ifex 4540 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
if(((๐ฅ โ
โ โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + (๐ฆ / 3))) โ V |
124 | 123 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ if(((๐ฅ โ
โ โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + (๐ฆ / 3))) โ V) |
125 | | eqidd 2734 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ (๐ง โ โ
โฆ if(((๐ฅ โ
โ โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + (๐ฆ / 3)))) = (๐ง โ โ โฆ if(((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + (๐ฆ / 3))))) |
126 | 2 | feqmptd 6914 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ๐น = (๐ง โ โ โฆ (๐นโ๐ง))) |
127 | 126 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ ๐น = (๐ง โ โ โฆ (๐นโ๐ง))) |
128 | 120, 124,
34, 125, 127 | ofrfval2 7642 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ ((๐ง โ โ
โฆ if(((๐ฅ โ
โ โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + (๐ฆ / 3)))) โr โค ๐น โ โ๐ง โ โ if(((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + (๐ฆ / 3))) โค (๐นโ๐ง))) |
129 | 118, 128 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ (๐ง โ โ
โฆ if(((๐ฅ โ
โ โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + (๐ฆ / 3)))) โr โค ๐น) |
130 | | oveq2 7369 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ = (๐ฆ / 3) โ (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐) = (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + (๐ฆ / 3))) |
131 | 130 | ifeq2d 4510 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = (๐ฆ / 3) โ if(((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐)) = if(((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + (๐ฆ / 3)))) |
132 | 131 | mpteq2dv 5211 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = (๐ฆ / 3) โ (๐ง โ โ โฆ if(((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) = (๐ง โ โ โฆ if(((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + (๐ฆ / 3))))) |
133 | 132 | breq1d 5119 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = (๐ฆ / 3) โ ((๐ง โ โ โฆ if(((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โ (๐ง โ โ โฆ if(((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + (๐ฆ / 3)))) โr โค ๐น)) |
134 | 133 | rspcev 3583 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ฆ / 3) โ โ+
โง (๐ง โ โ
โฆ if(((๐ฅ โ
โ โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + (๐ฆ / 3)))) โr โค ๐น) โ โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น) |
135 | 12, 129, 134 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ โ๐ โ
โ+ (๐ง
โ โ โฆ if(((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น) |
136 | 135 | adantrr 716 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง (๐ฆ โ โ+
โง (๐ง โ โ
โฆ if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ))) โr โค (๐น โf + ๐บ))) โ โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น) |
137 | 11 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง (๐ฆ โ โ+
โง (๐ง โ โ
โฆ if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ))) โr โค (๐น โf + ๐บ))) โ (๐ฆ / 3) โ
โ+) |
138 | 93 | ffnd 6673 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (โ โ dom โซ1
โ โ Fn
โ) |
139 | 138 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ โ Fn
โ) |
140 | | ovex 7394 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข
(((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ V |
141 | | fvex 6859 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (โโ๐ฅ) โ V |
142 | 140, 141 | ifex 4540 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)) โ V |
143 | 142, 22 | fnmpti 6648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) Fn โ |
144 | 143 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) Fn โ) |
145 | | inidm 4182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (โ
โฉ โ) = โ |
146 | | eqidd 2734 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (โโ๐ง) = (โโ๐ง)) |
147 | 26 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) |
148 | 139, 144,
120, 120, 145, 146, 147 | ofval 7632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((โ
โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = ((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)))) |
149 | 148 | eqeq1d 2735 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((โ
โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0 โ ((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = 0)) |
150 | 148 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((โ
โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + (๐ฆ / 3)) = (((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) + (๐ฆ / 3))) |
151 | 149, 150 | ifbieq2d 4516 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ if(((โ
โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + (๐ฆ / 3))) = if(((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = 0, 0, (((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) + (๐ฆ / 3)))) |
152 | 151 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง))) โ if(((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + (๐ฆ / 3))) = if(((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = 0, 0, (((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) + (๐ฆ / 3)))) |
153 | | breq1 5112 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (0 =
if(((โโ๐ง) โ
if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = 0, 0, (((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) + (๐ฆ / 3))) โ (0 โค (๐บโ๐ง) โ if(((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = 0, 0, (((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) + (๐ฆ / 3))) โค (๐บโ๐ง))) |
154 | | breq1 5112 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) + (๐ฆ / 3)) = if(((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = 0, 0, (((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) + (๐ฆ / 3))) โ ((((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) + (๐ฆ / 3)) โค (๐บโ๐ง) โ if(((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = 0, 0, (((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) + (๐ฆ / 3))) โค (๐บโ๐ง))) |
155 | | itg2addnc.g2 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ โ ๐บ:โโถ(0[,)+โ)) |
156 | 155 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ ๐บ:โโถ(0[,)+โ)) |
157 | 156 | ffvelcdmda 7039 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (๐บโ๐ง) โ
(0[,)+โ)) |
158 | | elrege0 13380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐บโ๐ง) โ (0[,)+โ) โ ((๐บโ๐ง) โ โ โง 0 โค (๐บโ๐ง))) |
159 | 157, 158 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((๐บโ๐ง) โ โ โง 0 โค
(๐บโ๐ง))) |
160 | 159 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ 0 โค (๐บโ๐ง)) |
161 | 160 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
((((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง))) โง ((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = 0) โ 0 โค (๐บโ๐ง)) |
162 | | oveq2 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) =
if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) โ ((โโ๐ง) โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3))) = ((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)))) |
163 | 162 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) =
if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) โ (((โโ๐ง) โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3))) + (๐ฆ / 3)) = (((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) + (๐ฆ / 3))) |
164 | 163 | breq1d 5119 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) =
if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) โ ((((โโ๐ง) โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3))) + (๐ฆ / 3)) โค (๐บโ๐ง) โ (((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) + (๐ฆ / 3)) โค (๐บโ๐ง))) |
165 | | oveq2 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((โโ๐ง) = if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) โ ((โโ๐ง) โ (โโ๐ง)) = ((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)))) |
166 | 165 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((โโ๐ง) = if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) โ (((โโ๐ง) โ (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3)) = (((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) + (๐ฆ / 3))) |
167 | 166 | breq1d 5119 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((โโ๐ง) = if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) โ ((((โโ๐ง) โ (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3)) โค (๐บโ๐ง) โ (((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) + (๐ฆ / 3)) โค (๐บโ๐ง))) |
168 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((โโ๐ง) = 0 โ (โโ๐ง) = 0) |
169 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข
(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0) โ (โโ๐ง) โ 0) |
170 | 169 | necon2bi 2971 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((โโ๐ง) = 0 โ ยฌ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0)) |
171 | | iffalse 4499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข (ยฌ
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) = (โโ๐ง)) |
172 | 170, 171 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((โโ๐ง) = 0 โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) = (โโ๐ง)) |
173 | 172, 168 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((โโ๐ง) = 0 โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง)) = 0) |
174 | 168, 173 | oveq12d 7379 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((โโ๐ง) = 0 โ ((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = (0 โ 0)) |
175 | | 0m0e0 12281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข (0
โ 0) = 0 |
176 | 174, 175 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((โโ๐ง) = 0 โ ((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = 0) |
177 | | iffalse 4499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข (ยฌ
(โโ๐ง) = 0 โ if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) = ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) |
178 | 177 | breq1d 5119 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข (ยฌ
(โโ๐ง) = 0 โ (if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)) โ ((โโ๐ง) + ๐ฆ) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)))) |
179 | 176, 178 | nsyl5 159 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (ยฌ
((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = 0 โ (if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)) โ ((โโ๐ง) + ๐ฆ) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)))) |
180 | 179 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง ยฌ ((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = 0) โ (if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)) โ ((โโ๐ง) + ๐ฆ) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)))) |
181 | 95 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (โโ๐ง) โ
โ) |
182 | 57 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ
โ) |
183 | 181, 182,
74 | subsubd 11548 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((โโ๐ง) โ
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))) = (((โโ๐ง) โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3))) + (๐ฆ / 3))) |
184 | 183 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง ((โโ๐ง) + ๐ฆ) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง))) โ ((โโ๐ง) โ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))) = (((โโ๐ง) โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3))) + (๐ฆ / 3))) |
185 | 57, 56 | resubcld 11591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3)) โ
โ) |
186 | | rpre 12931 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ฆ โ โ+
โ ๐ฆ โ
โ) |
187 | 186 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ๐ฆ โ
โ) |
188 | 185, 187 | readdcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3)) + ๐ฆ) โ โ) |
189 | 48, 157 | sselid 3946 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (๐บโ๐ง) โ
โ) |
190 | | 1re 11163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข 1 โ
โ |
191 | 190, 190 | readdcli 11178 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (1 + 1)
โ โ |
192 | | resubcl 11473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข ((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ โ โง (1 + 1) โ
โ) โ (((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ (1 + 1)) โ
โ) |
193 | 51, 191, 192 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ (1 + 1)) โ
โ) |
194 | 193, 56 | remulcld 11193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ (1 + 1)) ยท (๐ฆ / 3)) โ
โ) |
195 | | peano2re 11336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข
((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ โ โ
((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ โ) |
196 | 61, 195 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ โ) |
197 | | resubcl 11473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ โ โง (1 + 1)
โ โ) โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ (1 + 1)) โ
โ) |
198 | 196, 191,
197 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ (1 + 1)) โ
โ) |
199 | 198, 56 | remulcld 11193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ (1 + 1)) ยท (๐ฆ / 3)) โ
โ) |
200 | 55, 186 | resubcld 11591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ฆ โ โ+
โ ((๐ฆ / 3) โ
๐ฆ) โ
โ) |
201 | 200 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((๐ฆ / 3) โ
๐ฆ) โ
โ) |
202 | 191 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (1 + 1) โ โ) |
203 | | fllep1 13715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ โ โ ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โค ((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1)) |
204 | 51, 203 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โค ((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1)) |
205 | 51, 196, 202, 204 | lesub1dd 11779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ (1 + 1)) โค
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ (1 +
1))) |
206 | 193, 198,
50 | lemul1d 13008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ (1 + 1)) โค
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ (1 + 1)) โ
((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ (1 + 1)) ยท (๐ฆ / 3)) โค
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ (1 + 1)) ยท (๐ฆ / 3)))) |
207 | 205, 206 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ (1 + 1)) ยท (๐ฆ / 3)) โค
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ (1 + 1)) ยท (๐ฆ / 3))) |
208 | 194, 199,
201, 207 | lesub1dd 11779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ (1 + 1)) ยท (๐ฆ / 3)) โ ((๐ฆ / 3) โ ๐ฆ)) โค (((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ (1 + 1)) ยท (๐ฆ / 3)) โ ((๐ฆ / 3) โ ๐ฆ))) |
209 | 70, 70 | addcli 11169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข (1 + 1)
โ โ |
210 | 209 | negcli 11477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข -(1 + 1)
โ โ |
211 | 210 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ -(1 + 1) โ โ) |
212 | 69, 211, 74 | adddird 11188 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) + -(1 + 1)) ยท (๐ฆ / 3)) = ((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) ยท (๐ฆ / 3)) + (-(1 + 1) ยท (๐ฆ / 3)))) |
213 | | negsub 11457 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข ((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ โ โง (1 + 1) โ
โ) โ (((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) + -(1 + 1)) = (((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ (1 + 1))) |
214 | 69, 209, 213 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) + -(1 + 1)) = (((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ (1 + 1))) |
215 | 214 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) + -(1 + 1)) ยท (๐ฆ / 3)) = ((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ (1 + 1)) ยท (๐ฆ / 3))) |
216 | | df-2 12224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
โข 2 = (1 +
1) |
217 | 216 | negeqi 11402 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
โข -2 = -(1
+ 1) |
218 | 217 | oveq1i 7371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข (-2
ยท (๐ฆ / 3)) = (-(1 +
1) ยท (๐ฆ /
3)) |
219 | | 2cn 12236 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
โข 2 โ
โ |
220 | 11 | rpcnd 12967 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
โข (๐ฆ โ โ+
โ (๐ฆ / 3) โ
โ) |
221 | | mulneg1 11599 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
โข ((2
โ โ โง (๐ฆ /
3) โ โ) โ (-2 ยท (๐ฆ / 3)) = -(2 ยท (๐ฆ / 3))) |
222 | 219, 220,
221 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข (๐ฆ โ โ+
โ (-2 ยท (๐ฆ /
3)) = -(2 ยท (๐ฆ /
3))) |
223 | 218, 222 | eqtr3id 2787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข (๐ฆ โ โ+
โ (-(1 + 1) ยท (๐ฆ / 3)) = -(2 ยท (๐ฆ / 3))) |
224 | 223 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (-(1 + 1) ยท (๐ฆ / 3)) = -(2 ยท (๐ฆ / 3))) |
225 | 84, 224 | oveq12d 7379 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) ยท (๐ฆ / 3)) + (-(1 + 1) ยท (๐ฆ / 3))) = ((๐นโ๐ง) + -(2 ยท (๐ฆ / 3)))) |
226 | 212, 215,
225 | 3eqtr3d 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ (1 + 1)) ยท (๐ฆ / 3)) = ((๐นโ๐ง) + -(2 ยท (๐ฆ / 3)))) |
227 | | rpcn 12933 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข (๐ฆ โ โ+
โ ๐ฆ โ
โ) |
228 | 227, 220 | negsubdi2d 11536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (๐ฆ โ โ+
โ -(๐ฆ โ (๐ฆ / 3)) = ((๐ฆ / 3) โ ๐ฆ)) |
229 | | 3cn 12242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
โข 3 โ
โ |
230 | | 3ne0 12267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
โข 3 โ
0 |
231 | | divcan2 11829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
โข ((๐ฆ โ โ โง 3 โ
โ โง 3 โ 0) โ (3 ยท (๐ฆ / 3)) = ๐ฆ) |
232 | 229, 230,
231 | mp3an23 1454 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
โข (๐ฆ โ โ โ (3
ยท (๐ฆ / 3)) = ๐ฆ) |
233 | 227, 232 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
โข (๐ฆ โ โ+
โ (3 ยท (๐ฆ / 3))
= ๐ฆ) |
234 | 220 | mulid2d 11181 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
โข (๐ฆ โ โ+
โ (1 ยท (๐ฆ / 3))
= (๐ฆ / 3)) |
235 | 233, 234 | oveq12d 7379 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข (๐ฆ โ โ+
โ ((3 ยท (๐ฆ /
3)) โ (1 ยท (๐ฆ
/ 3))) = (๐ฆ โ (๐ฆ / 3))) |
236 | | subdir 11597 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
โข ((3
โ โ โง 1 โ โ โง (๐ฆ / 3) โ โ) โ ((3 โ 1)
ยท (๐ฆ / 3)) = ((3
ยท (๐ฆ / 3)) โ
(1 ยท (๐ฆ /
3)))) |
237 | 229, 70, 220, 236 | mp3an12i 1466 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
โข (๐ฆ โ โ+
โ ((3 โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) = ((3 ยท (๐ฆ / 3)) โ (1 ยท (๐ฆ / 3)))) |
238 | | 3m1e2 12289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
โข (3
โ 1) = 2 |
239 | 238 | oveq1i 7371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
โข ((3
โ 1) ยท (๐ฆ /
3)) = (2 ยท (๐ฆ /
3)) |
240 | 237, 239 | eqtr3di 2788 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข (๐ฆ โ โ+
โ ((3 ยท (๐ฆ /
3)) โ (1 ยท (๐ฆ
/ 3))) = (2 ยท (๐ฆ /
3))) |
241 | 235, 240 | eqtr3d 2775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข (๐ฆ โ โ+
โ (๐ฆ โ (๐ฆ / 3)) = (2 ยท (๐ฆ / 3))) |
242 | 241 | negeqd 11403 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (๐ฆ โ โ+
โ -(๐ฆ โ (๐ฆ / 3)) = -(2 ยท (๐ฆ / 3))) |
243 | 228, 242 | eqtr3d 2775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ฆ โ โ+
โ ((๐ฆ / 3) โ
๐ฆ) = -(2 ยท (๐ฆ / 3))) |
244 | 243 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((๐ฆ / 3) โ
๐ฆ) = -(2 ยท (๐ฆ / 3))) |
245 | 226, 244 | oveq12d 7379 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ (1 + 1)) ยท (๐ฆ / 3)) โ ((๐ฆ / 3) โ ๐ฆ)) = (((๐นโ๐ง) + -(2 ยท (๐ฆ / 3))) โ -(2 ยท (๐ฆ / 3)))) |
246 | | rpcn 12933 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข ((๐ฆ / 3) โ โ+
โ (๐ฆ / 3) โ
โ) |
247 | | mulcl 11143 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข ((2
โ โ โง (๐ฆ /
3) โ โ) โ (2 ยท (๐ฆ / 3)) โ โ) |
248 | 219, 246,
247 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข ((๐ฆ / 3) โ โ+
โ (2 ยท (๐ฆ / 3))
โ โ) |
249 | 11, 248 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (๐ฆ โ โ+
โ (2 ยท (๐ฆ / 3))
โ โ) |
250 | 249 | negcld 11507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ฆ โ โ+
โ -(2 ยท (๐ฆ /
3)) โ โ) |
251 | 250 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ -(2 ยท (๐ฆ /
3)) โ โ) |
252 | 82, 251 | pncand 11521 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((๐นโ๐ง) + -(2 ยท (๐ฆ / 3))) โ -(2 ยท
(๐ฆ / 3))) = (๐นโ๐ง)) |
253 | 245, 252 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)) โ (1 + 1)) ยท (๐ฆ / 3)) โ ((๐ฆ / 3) โ ๐ฆ)) = (๐นโ๐ง)) |
254 | 61 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ โ) |
255 | | peano2cn 11335 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข
((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ โ โ
((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ โ) |
256 | | subsub4 11442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ โ โง 1 โ
โ โง 1 โ โ) โ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ 1) โ 1) =
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ (1 +
1))) |
257 | 70, 70, 256 | mp3an23 1454 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ โ โ
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ 1) โ 1) =
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ (1 +
1))) |
258 | 254, 255,
257 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ 1) โ 1) =
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ (1 +
1))) |
259 | | pncan 11415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ โ โง 1 โ
โ) โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ 1) =
(โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)))) |
260 | 254, 70, 259 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ 1) =
(โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3)))) |
261 | 260 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ 1) โ 1) =
((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1)) |
262 | 258, 261 | eqtr3d 2775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ (1 + 1)) =
((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1)) |
263 | 262 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ (1 + 1)) ยท (๐ฆ / 3)) =
(((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3))) |
264 | 263 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ (1 + 1)) ยท (๐ฆ / 3)) โ ((๐ฆ / 3) โ ๐ฆ)) = ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ ((๐ฆ / 3) โ ๐ฆ))) |
265 | 187 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ๐ฆ โ
โ) |
266 | 182, 74, 265 | subsubd 11548 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ ((๐ฆ / 3) โ ๐ฆ)) = (((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3)) + ๐ฆ)) |
267 | 264, 266 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) + 1) โ (1 + 1)) ยท (๐ฆ / 3)) โ ((๐ฆ / 3) โ ๐ฆ)) = (((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3)) + ๐ฆ)) |
268 | 208, 253,
267 | 3brtr3d 5140 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (๐นโ๐ง) โค
(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3)) + ๐ฆ)) |
269 | 49, 188, 189, 268 | leadd1dd 11777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)) โค ((((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3)) + ๐ฆ) + (๐บโ๐ง))) |
270 | 189 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (๐บโ๐ง) โ
โ) |
271 | 185 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3)) โ
โ) |
272 | 227 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ๐ฆ โ
โ) |
273 | 271, 272 | addcld 11182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3)) + ๐ฆ) โ โ) |
274 | 270, 271,
272 | addassd 11185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((๐บโ๐ง) + ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))) + ๐ฆ) = ((๐บโ๐ง) + (((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3)) + ๐ฆ))) |
275 | 270, 273,
274 | comraddd 11377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((๐บโ๐ง) + ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))) + ๐ฆ) = ((((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3)) + ๐ฆ) + (๐บโ๐ง))) |
276 | 269, 275 | breqtrrd 5137 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)) โค (((๐บโ๐ง) + ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))) + ๐ฆ)) |
277 | 95, 187 | readdcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((โโ๐ง) + ๐ฆ) โ โ) |
278 | 49, 189 | readdcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)) โ โ) |
279 | 189, 185 | readdcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((๐บโ๐ง) + ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))) โ
โ) |
280 | 279, 187 | readdcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((๐บโ๐ง) + ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))) + ๐ฆ) โ โ) |
281 | | letr 11257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((((โโ๐ง) + ๐ฆ) โ โ โง ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)) โ โ โง (((๐บโ๐ง) + ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))) + ๐ฆ) โ โ) โ ((((โโ๐ง) + ๐ฆ) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)) โง ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)) โค (((๐บโ๐ง) + ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))) + ๐ฆ)) โ ((โโ๐ง) + ๐ฆ) โค (((๐บโ๐ง) + ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))) + ๐ฆ))) |
282 | 277, 278,
280, 281 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((((โโ๐ง) + ๐ฆ) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)) โง ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)) โค (((๐บโ๐ง) + ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))) + ๐ฆ)) โ ((โโ๐ง) + ๐ฆ) โค (((๐บโ๐ง) + ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))) + ๐ฆ))) |
283 | 276, 282 | mpan2d 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((โโ๐ง) + ๐ฆ) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)) โ ((โโ๐ง) + ๐ฆ) โค (((๐บโ๐ง) + ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))) + ๐ฆ))) |
284 | 283 | imp 408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง ((โโ๐ง) + ๐ฆ) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง))) โ ((โโ๐ง) + ๐ฆ) โค (((๐บโ๐ง) + ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))) + ๐ฆ)) |
285 | 95, 185, 189 | lesubaddd 11760 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((โโ๐ง) โ
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))) โค (๐บโ๐ง) โ (โโ๐ง) โค ((๐บโ๐ง) + ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))))) |
286 | 95, 279, 187 | leadd1d 11757 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((โโ๐ง) โค ((๐บโ๐ง) + ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))) โ ((โโ๐ง) + ๐ฆ) โค (((๐บโ๐ง) + ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))) + ๐ฆ))) |
287 | 285, 286 | bitrd 279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((โโ๐ง) โ
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))) โค (๐บโ๐ง) โ ((โโ๐ง) + ๐ฆ) โค (((๐บโ๐ง) + ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))) + ๐ฆ))) |
288 | 287 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง ((โโ๐ง) + ๐ฆ) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง))) โ (((โโ๐ง) โ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))) โค (๐บโ๐ง) โ ((โโ๐ง) + ๐ฆ) โค (((๐บโ๐ง) + ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))) + ๐ฆ))) |
289 | 284, 288 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง ((โโ๐ง) + ๐ฆ) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง))) โ ((โโ๐ง) โ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ (๐ฆ / 3))) โค (๐บโ๐ง)) |
290 | 184, 289 | eqbrtrrd 5133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง ((โโ๐ง) + ๐ฆ) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง))) โ (((โโ๐ง) โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3))) + (๐ฆ / 3)) โค (๐บโ๐ง)) |
291 | 290 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (((โโ๐ง) + ๐ฆ) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)) โ (((โโ๐ง) โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3))) + (๐ฆ / 3)) โค (๐บโ๐ง))) |
292 | 291 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง ยฌ ((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = 0) โ (((โโ๐ง) + ๐ฆ) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)) โ (((โโ๐ง) โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3))) + (๐ฆ / 3)) โค (๐บโ๐ง))) |
293 | 180, 292 | sylbid 239 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง ยฌ ((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = 0) โ (if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)) โ (((โโ๐ง) โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3))) + (๐ฆ / 3)) โค (๐บโ๐ง))) |
294 | 293 | imp 408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข
((((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง ยฌ ((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = 0) โง if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง))) โ (((โโ๐ง) โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3))) + (๐ฆ / 3)) โค (๐บโ๐ง)) |
295 | 294 | an32s 651 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข
((((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง))) โง ยฌ ((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = 0) โ (((โโ๐ง) โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3))) + (๐ฆ / 3)) โค (๐บโ๐ง)) |
296 | 295 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข
(((((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง))) โง ยฌ ((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = 0) โง ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0)) โ (((โโ๐ง) โ (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3))) + (๐ฆ / 3)) โค (๐บโ๐ง)) |
297 | 171 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (ยฌ
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0) โ ((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = ((โโ๐ง) โ (โโ๐ง))) |
298 | 181 | subidd 11508 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ ((โโ๐ง) โ (โโ๐ง)) = 0) |
299 | 298 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง))) โ ((โโ๐ง) โ (โโ๐ง)) = 0) |
300 | 297, 299 | sylan9eqr 2795 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข
((((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง))) โง ยฌ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0)) โ ((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = 0) |
301 | 300 | pm2.24d 151 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข
((((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง))) โง ยฌ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0)) โ (ยฌ ((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = 0 โ (((โโ๐ง) โ (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3)) โค (๐บโ๐ง))) |
302 | 301 | imp 408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข
(((((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง))) โง ยฌ ((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0)) โง ยฌ ((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = 0) โ (((โโ๐ง) โ (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3)) โค (๐บโ๐ง)) |
303 | 302 | an32s 651 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข
(((((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง))) โง ยฌ ((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = 0) โง ยฌ
((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0)) โ (((โโ๐ง) โ (โโ๐ง)) + (๐ฆ / 3)) โค (๐บโ๐ง)) |
304 | 164, 167,
296, 303 | ifbothda 4528 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
((((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง))) โง ยฌ ((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = 0) โ (((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) + (๐ฆ / 3)) โค (๐บโ๐ง)) |
305 | 153, 154,
161, 304 | ifbothda 4528 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง))) โ if(((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) = 0, 0, (((โโ๐ง) โ if(((((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ง) โง (โโ๐ง) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ง) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ง))) + (๐ฆ / 3))) โค (๐บโ๐ง)) |
306 | 152, 305 | eqbrtrd 5131 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
(((((๐ โง โ โ dom โซ1)
โง ๐ฆ โ
โ+) โง ๐ง โ โ) โง if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง))) โ if(((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + (๐ฆ / 3))) โค (๐บโ๐ง)) |
307 | 306 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ง โ โ)
โ (if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)) โ if(((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + (๐ฆ / 3))) โค (๐บโ๐ง))) |
308 | 307 | ralimdva 3161 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ (โ๐ง โ
โ if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)) โ โ๐ง โ โ if(((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + (๐ฆ / 3))) โค (๐บโ๐ง))) |
309 | 119 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ โ โ
V) |
310 | | ovex 7394 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((โโ๐ง) + ๐ฆ) โ V |
311 | 121, 310 | ifex 4540 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โ V |
312 | 311 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ง โ โ) โ if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โ V) |
313 | 2 | ffvelcdmda 7039 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง ๐ง โ โ) โ (๐นโ๐ง) โ (0[,)+โ)) |
314 | 48, 313 | sselid 3946 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง ๐ง โ โ) โ (๐นโ๐ง) โ โ) |
315 | 155 | ffvelcdmda 7039 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง ๐ง โ โ) โ (๐บโ๐ง) โ (0[,)+โ)) |
316 | 48, 315 | sselid 3946 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง ๐ง โ โ) โ (๐บโ๐ง) โ โ) |
317 | 314, 316 | readdcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ง โ โ) โ ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)) โ โ) |
318 | | eqidd 2734 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (๐ง โ โ โฆ if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ))) = (๐ง โ โ โฆ if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)))) |
319 | 155 | feqmptd 6914 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ ๐บ = (๐ง โ โ โฆ (๐บโ๐ง))) |
320 | 309, 313,
315, 126, 319 | offval2 7641 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (๐น โf + ๐บ) = (๐ง โ โ โฆ ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)))) |
321 | 309, 312,
317, 318, 320 | ofrfval2 7642 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ((๐ง โ โ โฆ if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ))) โr โค (๐น โf + ๐บ) โ โ๐ง โ โ if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)))) |
322 | 321 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ ((๐ง โ โ
โฆ if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ))) โr โค (๐น โf + ๐บ) โ โ๐ง โ โ if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ)) โค ((๐นโ๐ง) + (๐บโ๐ง)))) |
323 | | ovex 7394 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + (๐ฆ / 3)) โ V |
324 | 121, 323 | ifex 4540 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
if(((โ
โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + (๐ฆ / 3))) โ V |
325 | 324 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ง โ โ) โ if(((โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + (๐ฆ / 3))) โ V) |
326 | | eqidd 2734 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (๐ง โ โ โฆ if(((โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + (๐ฆ / 3)))) = (๐ง โ โ โฆ if(((โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + (๐ฆ / 3))))) |
327 | 309, 325,
315, 326, 319 | ofrfval2 7642 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ((๐ง โ โ โฆ if(((โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + (๐ฆ / 3)))) โr โค ๐บ โ โ๐ง โ โ if(((โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + (๐ฆ / 3))) โค (๐บโ๐ง))) |
328 | 327 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ ((๐ง โ โ
โฆ if(((โ
โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + (๐ฆ / 3)))) โr โค ๐บ โ โ๐ง โ โ if(((โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + (๐ฆ / 3))) โค (๐บโ๐ง))) |
329 | 308, 322,
328 | 3imtr4d 294 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ ((๐ง โ โ
โฆ if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ))) โr โค (๐น โf + ๐บ) โ (๐ง โ โ โฆ if(((โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + (๐ฆ / 3)))) โr โค ๐บ)) |
330 | 329 | impr 456 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง (๐ฆ โ โ+
โง (๐ง โ โ
โฆ if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ))) โr โค (๐น โf + ๐บ))) โ (๐ง โ โ โฆ if(((โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + (๐ฆ / 3)))) โr โค ๐บ) |
331 | | oveq2 7369 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = (๐ฆ / 3) โ (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐) = (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + (๐ฆ / 3))) |
332 | 331 | ifeq2d 4510 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = (๐ฆ / 3) โ if(((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐)) = if(((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + (๐ฆ / 3)))) |
333 | 332 | mpteq2dv 5211 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = (๐ฆ / 3) โ (๐ง โ โ โฆ if(((โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) = (๐ง โ โ โฆ if(((โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + (๐ฆ / 3))))) |
334 | 333 | breq1d 5119 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = (๐ฆ / 3) โ ((๐ง โ โ โฆ if(((โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โ (๐ง โ โ โฆ if(((โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + (๐ฆ / 3)))) โr โค ๐บ)) |
335 | 334 | rspcev 3583 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ฆ / 3) โ โ+
โง (๐ง โ โ
โฆ if(((โ
โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + (๐ฆ / 3)))) โr โค ๐บ) โ โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if(((โ โf
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ) |
336 | 137, 330,
335 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง (๐ฆ โ โ+
โง (๐ง โ โ
โฆ if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ))) โr โค (๐น โf + ๐บ))) โ โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if(((โ โf
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ) |
337 | 33 | ffvelcdmda 7039 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ฅ โ โ)
โ (๐นโ๐ฅ) โ
(0[,)+โ)) |
338 | 48, 337 | sselid 3946 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ฅ โ โ)
โ (๐นโ๐ฅ) โ
โ) |
339 | 11 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ฅ โ โ)
โ (๐ฆ / 3) โ
โ+) |
340 | 338, 339 | rerpdivcld 12996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ฅ โ โ)
โ ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3)) โ โ) |
341 | | reflcl 13710 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3)) โ โ โ
(โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ โ) |
342 | | peano2rem 11476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข
((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ โ โ
((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) โ
โ) |
343 | 340, 341,
342 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ฅ โ โ)
โ ((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) โ
โ) |
344 | 55 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ฅ โ โ)
โ (๐ฆ / 3) โ
โ) |
345 | 343, 344 | remulcld 11193 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ฅ โ โ)
โ (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โ
โ) |
346 | 94 | ffvelcdmda 7039 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ฅ โ โ)
โ (โโ๐ฅ) โ
โ) |
347 | 345, 346 | ifcld 4536 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ฅ โ โ)
โ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)) โ โ) |
348 | 347 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ฅ โ โ)
โ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)) โ โ) |
349 | 346 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ฅ โ โ)
โ (โโ๐ฅ) โ
โ) |
350 | 348, 349 | pncan3d 11523 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ฅ โ โ)
โ (if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)) + ((โโ๐ฅ) โ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) = (โโ๐ฅ)) |
351 | 350 | mpteq2dva 5209 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ (๐ฅ โ โ
โฆ (if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)) + ((โโ๐ฅ) โ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))) = (๐ฅ โ โ โฆ (โโ๐ฅ))) |
352 | 346, 347 | resubcld 11591 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โง ๐ฅ โ โ)
โ ((โโ๐ฅ) โ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) โ โ) |
353 | | eqidd 2734 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) = (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) |
354 | 93 | feqmptd 6914 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (โ โ dom โซ1
โ โ = (๐ฅ โ โ โฆ (โโ๐ฅ))) |
355 | 354 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ โ = (๐ฅ โ โ โฆ (โโ๐ฅ))) |
356 | 120, 346,
347, 355, 353 | offval2 7641 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ (โ
โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) = (๐ฅ โ โ โฆ ((โโ๐ฅ) โ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))) |
357 | 120, 347,
352, 353, 356 | offval2 7641 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ ((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) โf + (โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))) = (๐ฅ โ โ โฆ
(if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)) + ((โโ๐ฅ) โ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))))) |
358 | 351, 357,
355 | 3eqtr4d 2783 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ ((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) โf + (โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))) = โ) |
359 | 358 | fveq2d 6850 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ (โซ1โ((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) โf + (โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))))) = (โซ1โโ)) |
360 | 3, 7 | itg1add 25089 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ (โซ1โ((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) โf + (โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))))) = ((โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) + (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))))) |
361 | 359, 360 | eqtr3d 2775 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง ๐ฆ โ โ+)
โ (โซ1โโ) = ((โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) + (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))))) |
362 | 361 | adantrr 716 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง (๐ฆ โ โ+
โง (๐ง โ โ
โฆ if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ))) โr โค (๐น โf + ๐บ))) โ
(โซ1โโ)
= ((โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) + (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))))) |
363 | | fvex 6859 |
. . . . . . . . 9
โข
(โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โ V |
364 | | fvex 6859 |
. . . . . . . . 9
โข
(โซ1โ(โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))) โ V |
365 | | iba 529 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ก =
(โซ1โ(๐ฅ
โ โ โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โ (โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โ (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))))) |
366 | | iba 529 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ข =
(โซ1โ(โ
โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))) โ (โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((โ โf
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โ (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if(((โ โf
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))))))) |
367 | 365, 366 | bi2anan9 638 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ก =
(โซ1โ(๐ฅ
โ โ โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โง ๐ข = (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))))) โ ((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((โ โf
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ) โ ((โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))) โง (โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((โ โf
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))))))) |
368 | 367 | bicomd 222 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ก =
(โซ1โ(๐ฅ
โ โ โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โง ๐ข = (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))))) โ (((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))) โง (โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((โ โf
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))))) โ (โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((โ โf
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ))) |
369 | | oveq12 7370 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ก =
(โซ1โ(๐ฅ
โ โ โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โง ๐ข = (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))))) โ (๐ก + ๐ข) = ((โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) + (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))))) |
370 | 369 | eqeq2d 2744 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ก =
(โซ1โ(๐ฅ
โ โ โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โง ๐ข = (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))))) โ ((โซ1โโ) = (๐ก + ๐ข) โ (โซ1โโ) =
((โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) + (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))))))) |
371 | 368, 370 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ก =
(โซ1โ(๐ฅ
โ โ โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โง ๐ข = (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))))) โ ((((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))) โง (โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((โ โf
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))))) โง (โซ1โโ) = (๐ก + ๐ข)) โ ((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((โ โf
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ) โง
(โซ1โโ)
= ((โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) + (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))))))) |
372 | 363, 364,
371 | spc2ev 3568 |
. . . . . . . 8
โข
(((โ๐ โ
โ+ (๐ง
โ โ โฆ if(((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((โ โf
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ) โง
(โซ1โโ)
= ((โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) + (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))))) โ โ๐กโ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))) โง (โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((โ โf
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))))) โง (โซ1โโ) = (๐ก + ๐ข))) |
373 | 136, 336,
362, 372 | syl21anc 837 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง (๐ฆ โ โ+
โง (๐ง โ โ
โฆ if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ))) โr โค (๐น โf + ๐บ))) โ โ๐กโ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))) โง (โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((โ โf
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))))) โง (โซ1โโ) = (๐ก + ๐ข))) |
374 | | fveq1 6845 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ = (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) โ (๐โ๐ง) = ((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง)) |
375 | 374 | eqeq1d 2735 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ = (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) โ ((๐โ๐ง) = 0 โ ((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0)) |
376 | 374 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ = (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) โ ((๐โ๐ง) + ๐) = (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐)) |
377 | 375, 376 | ifbieq2d 4516 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ = (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) โ if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐)) = if(((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) |
378 | 377 | mpteq2dv 5211 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ = (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) โ (๐ง โ โ โฆ if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) = (๐ง โ โ โฆ if(((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐)))) |
379 | 378 | breq1d 5119 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) โ ((๐ง โ โ โฆ if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โ (๐ง โ โ โฆ if(((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น)) |
380 | 379 | rexbidv 3172 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) โ (โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โ โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น)) |
381 | | fveq2 6846 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) โ (โซ1โ๐) =
(โซ1โ(๐ฅ
โ โ โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))) |
382 | 381 | eqeq2d 2744 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) โ (๐ก = (โซ1โ๐) โ ๐ก = (โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))))) |
383 | 380, 382 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) โ ((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โ (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))))) |
384 | 383 | anbi1d 631 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) โ (((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โ ((โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))) โง (โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))))) |
385 | 384 | anbi1d 631 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) โ ((((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง
(โซ1โโ)
= (๐ก + ๐ข)) โ (((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))) โง (โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง
(โซ1โโ)
= (๐ก + ๐ข)))) |
386 | 385 | 2exbidv 1928 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) โ (โ๐กโ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง
(โซ1โโ)
= (๐ก + ๐ข)) โ โ๐กโ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))) โง (โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง
(โซ1โโ)
= (๐ก + ๐ข)))) |
387 | | fveq1 6845 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ = (โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โ (๐โ๐ง) = ((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง)) |
388 | 387 | eqeq1d 2735 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ = (โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โ ((๐โ๐ง) = 0 โ ((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0)) |
389 | 387 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ = (โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โ ((๐โ๐ง) + ๐) = (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐)) |
390 | 388, 389 | ifbieq2d 4516 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ = (โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โ if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐)) = if(((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) |
391 | 390 | mpteq2dv 5211 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ = (โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โ (๐ง โ โ โฆ if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) = (๐ง โ โ โฆ if(((โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐)))) |
392 | 391 | breq1d 5119 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = (โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โ ((๐ง โ โ โฆ if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โ (๐ง โ โ โฆ if(((โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ)) |
393 | 392 | rexbidv 3172 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = (โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โ (โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โ โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if(((โ โf
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ)) |
394 | | fveq2 6846 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = (โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โ (โซ1โ๐) =
(โซ1โ(โ
โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))))) |
395 | 394 | eqeq2d 2744 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = (โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โ (๐ข = (โซ1โ๐) โ ๐ข = (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))))) |
396 | 393, 395 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = (โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โ ((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐)) โ (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if(((โ โf
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))))))) |
397 | 396 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = (โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โ (((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))) โง (โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โ ((โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))) โง (โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((โ โf
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))))))) |
398 | 397 | anbi1d 631 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = (โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โ ((((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))) โง (โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง
(โซ1โโ)
= (๐ก + ๐ข)) โ (((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))) โง (โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((โ โf
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))))) โง (โซ1โโ) = (๐ก + ๐ข)))) |
399 | 398 | 2exbidv 1928 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = (โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โ (โ๐กโ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))) โง (โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง
(โซ1โโ)
= (๐ก + ๐ข)) โ โ๐กโ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))) โง (โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((โ โf
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))))) โง (โซ1โโ) = (๐ก + ๐ข)))) |
400 | 386, 399 | rspc2ev 3594 |
. . . . . . 7
โข (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))) โ dom โซ1 โง (โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))) โ dom โซ1 โง
โ๐กโ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) = 0, 0, (((๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ)))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))) โง (โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if(((โ โf
โ (๐ฅ โ โ
โฆ if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) = 0, 0, (((โ โf โ (๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ(โ โf โ
(๐ฅ โ โ โฆ
if(((((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)) โค (โโ๐ฅ) โง (โโ๐ฅ) โ 0), (((โโ((๐นโ๐ฅ) / (๐ฆ / 3))) โ 1) ยท (๐ฆ / 3)), (โโ๐ฅ))))))) โง (โซ1โโ) = (๐ก + ๐ข))) โ โ๐ โ dom โซ1โ๐ โ dom
โซ1โ๐กโ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง
(โซ1โโ)
= (๐ก + ๐ข))) |
401 | 4, 8, 373, 400 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง (๐ฆ โ โ+
โง (๐ง โ โ
โฆ if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ))) โr โค (๐น โf + ๐บ))) โ โ๐ โ dom
โซ1โ๐
โ dom โซ1โ๐กโ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง
(โซ1โโ)
= (๐ก + ๐ข))) |
402 | | eqeq1 2737 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ =
(โซ1โโ)
โ (๐ = (๐ก + ๐ข) โ (โซ1โโ) = (๐ก + ๐ข))) |
403 | 402 | anbi2d 630 |
. . . . . . . 8
โข (๐ =
(โซ1โโ)
โ ((((โ๐ โ
โ+ (๐ง
โ โ โฆ if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข)) โ (((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง
(โซ1โโ)
= (๐ก + ๐ข)))) |
404 | 403 | 2exbidv 1928 |
. . . . . . 7
โข (๐ =
(โซ1โโ)
โ (โ๐กโ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข)) โ โ๐กโ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง
(โซ1โโ)
= (๐ก + ๐ข)))) |
405 | 404 | 2rexbidv 3210 |
. . . . . 6
โข (๐ =
(โซ1โโ)
โ (โ๐ โ dom
โซ1โ๐
โ dom โซ1โ๐กโ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข)) โ โ๐ โ dom โซ1โ๐ โ dom
โซ1โ๐กโ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง
(โซ1โโ)
= (๐ก + ๐ข)))) |
406 | 401, 405 | syl5ibrcom 247 |
. . . . 5
โข (((๐ โง โ โ dom โซ1) โง (๐ฆ โ โ+
โง (๐ง โ โ
โฆ if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ))) โr โค (๐น โf + ๐บ))) โ (๐ = (โซ1โโ) โ โ๐ โ dom
โซ1โ๐
โ dom โซ1โ๐กโ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข)))) |
407 | 406 | rexlimdvaa 3150 |
. . . 4
โข ((๐ โง โ โ dom โซ1) โ
(โ๐ฆ โ
โ+ (๐ง
โ โ โฆ if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ))) โr โค (๐น โf + ๐บ) โ (๐ = (โซ1โโ) โ โ๐ โ dom
โซ1โ๐
โ dom โซ1โ๐กโ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข))))) |
408 | 407 | impd 412 |
. . 3
โข ((๐ โง โ โ dom โซ1) โ
((โ๐ฆ โ
โ+ (๐ง
โ โ โฆ if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ))) โr โค (๐น โf + ๐บ) โง ๐ = (โซ1โโ)) โ โ๐ โ dom
โซ1โ๐
โ dom โซ1โ๐กโ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข)))) |
409 | 408 | rexlimdva 3149 |
. 2
โข (๐ โ (โโ โ dom โซ1(โ๐ฆ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ))) โr โค (๐น โf + ๐บ) โง ๐ = (โซ1โโ)) โ โ๐ โ dom
โซ1โ๐
โ dom โซ1โ๐กโ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข)))) |
410 | | rexcom4 3270 |
. . . . 5
โข
(โ๐ โ dom
โซ1โ๐กโ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข)) โ โ๐กโ๐ โ dom โซ1โ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข))) |
411 | 410 | rexbii 3094 |
. . . 4
โข
(โ๐ โ dom
โซ1โ๐
โ dom โซ1โ๐กโ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข)) โ โ๐ โ dom โซ1โ๐กโ๐ โ dom โซ1โ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข))) |
412 | | rexcom4 3270 |
. . . 4
โข
(โ๐ โ dom
โซ1โ๐กโ๐ โ dom โซ1โ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข)) โ โ๐กโ๐ โ dom โซ1โ๐ โ dom
โซ1โ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข))) |
413 | 411, 412 | bitri 275 |
. . 3
โข
(โ๐ โ dom
โซ1โ๐
โ dom โซ1โ๐กโ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข)) โ โ๐กโ๐ โ dom โซ1โ๐ โ dom
โซ1โ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข))) |
414 | | rexcom4 3270 |
. . . . . 6
โข
(โ๐ โ dom
โซ1โ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข)) โ โ๐ขโ๐ โ dom โซ1(((โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข))) |
415 | 414 | rexbii 3094 |
. . . . 5
โข
(โ๐ โ dom
โซ1โ๐
โ dom โซ1โ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข)) โ โ๐ โ dom โซ1โ๐ขโ๐ โ dom โซ1(((โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข))) |
416 | | rexcom4 3270 |
. . . . 5
โข
(โ๐ โ dom
โซ1โ๐ขโ๐ โ dom โซ1(((โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข)) โ โ๐ขโ๐ โ dom โซ1โ๐ โ dom
โซ1(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข))) |
417 | 415, 416 | bitri 275 |
. . . 4
โข
(โ๐ โ dom
โซ1โ๐
โ dom โซ1โ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข)) โ โ๐ขโ๐ โ dom โซ1โ๐ โ dom
โซ1(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข))) |
418 | 417 | exbii 1851 |
. . 3
โข
(โ๐กโ๐ โ dom โซ1โ๐ โ dom
โซ1โ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข)) โ โ๐กโ๐ขโ๐ โ dom โซ1โ๐ โ dom
โซ1(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข))) |
419 | | r19.41vv 3214 |
. . . 4
โข
(โ๐ โ dom
โซ1โ๐
โ dom โซ1(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข)) โ (โ๐ โ dom โซ1โ๐ โ dom
โซ1((โ๐
โ โ+ (๐ง โ โ โฆ if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข))) |
420 | 419 | 2exbii 1852 |
. . 3
โข
(โ๐กโ๐ขโ๐ โ dom โซ1โ๐ โ dom
โซ1(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข)) โ โ๐กโ๐ข(โ๐ โ dom โซ1โ๐ โ dom
โซ1((โ๐
โ โ+ (๐ง โ โ โฆ if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข))) |
421 | 413, 418,
420 | 3bitrri 298 |
. 2
โข
(โ๐กโ๐ข(โ๐ โ dom โซ1โ๐ โ dom
โซ1((โ๐
โ โ+ (๐ง โ โ โฆ if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข)) โ โ๐ โ dom โซ1โ๐ โ dom
โซ1โ๐กโ๐ข(((โ๐ โ โ+ (๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข))) |
422 | 409, 421 | syl6ibr 252 |
1
โข (๐ โ (โโ โ dom โซ1(โ๐ฆ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((โโ๐ง) = 0, 0, ((โโ๐ง) + ๐ฆ))) โr โค (๐น โf + ๐บ) โง ๐ = (โซ1โโ)) โ โ๐กโ๐ข(โ๐ โ dom โซ1โ๐ โ dom
โซ1((โ๐
โ โ+ (๐ง โ โ โฆ if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐น โง ๐ก = (โซ1โ๐)) โง (โ๐ โ โ+
(๐ง โ โ โฆ
if((๐โ๐ง) = 0, 0, ((๐โ๐ง) + ๐))) โr โค ๐บ โง ๐ข = (โซ1โ๐))) โง ๐ = (๐ก + ๐ข)))) |