Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itg2addnclem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2addnclem3 37068
Description: Lemma incomprehensible in isolation split off to shorten proof of itg2addnc 37069. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2addnc.f1 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ MblFn)
itg2addnc.f2 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
itg2addnc.f3 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜๐น) โˆˆ โ„)
itg2addnc.g2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
itg2addnc.g3 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜๐บ) โˆˆ โ„)
Assertion
Ref Expression
itg2addnclem3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒโ„Ž โˆˆ dom โˆซ1(โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆง ๐‘  = (โˆซ1โ€˜โ„Ž)) โ†’ โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข))))
Distinct variable groups:   ๐‘ก,๐‘ ,๐‘ข,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘,๐‘‘,๐น   ๐บ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘,๐‘‘   ๐œ‘,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘,๐‘‘

Proof of Theorem itg2addnclem3
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2addnc.f1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ MblFn)
2 itg2addnc.f2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
31, 2itg2addnclem2 37067 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ dom โˆซ1)
43adantrr 716 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ dom โˆซ1)
5 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1)
6 i1fsub 25612 . . . . . . . . 9 ((โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ dom โˆซ1) โ†’ (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ dom โˆซ1)
75, 3, 6syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ dom โˆซ1)
87adantrr 716 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ))) โ†’ (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ dom โˆซ1)
9 3rp 12998 . . . . . . . . . . . 12 3 โˆˆ โ„+
10 rpdivcl 13017 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง 3 โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„+)
119, 10mpan2 690 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„+)
1211adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„+)
13 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ง))
1413fvoveq1d 7436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) = (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))))
1514oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) = ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1))
1615oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)))
17 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) = (โ„Žโ€˜๐‘ง))
1816, 17breq12d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ†” (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)))
1917neeq1d 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0 โ†” (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0))
2018, 19anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0) โ†” ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)))
2120, 16, 17ifbieq12d 4552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)))
22 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
23 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ V
24 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆˆ V
2523, 24ifex 4574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โˆˆ V
2621, 22, 25fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)))
2726eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0 โ†” if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0))
2826oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) = (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)))
2927, 28ifbieq2d 4550 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) = if(if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0, 0, (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3))))
3029adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) = if(if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0, 0, (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3))))
31 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0, 0, (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3))) โ†’ (0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง) โ†” if(if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0, 0, (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)))
32 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . 14 ((if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) = if(if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0, 0, (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3))) โ†’ ((if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง) โ†” if(if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0, 0, (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)))
332ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
3433ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ (0[,)+โˆž))
35 elrege0 13449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)))
3634, 35sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)))
3736simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
39 df-ne 2936 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ‰  0 โ†” ยฌ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0)
40 neeq1 2998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰  0 โ†” if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ‰  0))
41 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) = (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)))
4241breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง) โ†” (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)))
4340, 42imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰  0 โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)) โ†” (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ‰  0 โ†’ (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))))
44 neeq1 2998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0 โ†” if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ‰  0))
45 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) = (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)))
4645breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง) โ†” (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)))
4744, 46imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0 โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)) โ†” (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ‰  0 โ†’ (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))))
48 rge0ssre 13451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0[,)+โˆž) โІ โ„
4948, 34sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
5011ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„+)
5149, 50rerpdivcld 13065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
52 reflcl 13779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ โ„)
53 peano2rem 11543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
5451, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
5511rpred 13034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„)
5655ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„)
5754, 56remulcld 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
58 peano2rem 11543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„ โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
5951, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
6059, 56remulcld 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
6151, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ โ„)
62 1red 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
63 flle 13782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)))
6451, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)))
6561, 51, 62, 64lesub1dd 11846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) โ‰ค (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1))
6654, 59, 50lemul1d 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) โ‰ค (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) โ†” (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))))
6765, 66mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)))
6857, 60, 56, 67leadd1dd 11844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)))
6951recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„‚)
70 ax-1cn 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 โˆˆ โ„‚
71 subcl 11475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
7269, 70, 71sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
7370a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
7450rpcnd 13036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„‚)
7572, 73, 74adddird 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) + 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = (((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (1 ยท (๐‘ฆ / 3))))
76 npcan 11485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) + 1) = ((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)))
7769, 70, 76sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) + 1) = ((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)))
7877oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) + 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) ยท (๐‘ฆ / 3)))
7974mullidd 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (1 ยท (๐‘ฆ / 3)) = (๐‘ฆ / 3))
8079oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (1 ยท (๐‘ฆ / 3))) = (((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)))
8175, 78, 803eqtr3rd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) = (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) ยท (๐‘ฆ / 3)))
8249recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
8350rpne0d 13039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ / 3) โ‰  0)
8482, 74, 83divcan1d 12007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) ยท (๐‘ฆ / 3)) = (๐นโ€˜๐‘ง))
8581, 84eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) = (๐นโ€˜๐‘ง))
8668, 85breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
8887a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰  0 โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)))
89 ianor 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โ†” (ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆจ ยฌ (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0))
9089anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โ†” ((ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆจ ยฌ (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0))
91 oranabs 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆจ ยฌ (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โ†” (ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0))
9290, 91bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โ†” (ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0))
93 i1ff 25579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1 โ†’ โ„Ž:โ„โŸถโ„)
9493ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โ„Ž:โ„โŸถโ„)
9594ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
9695, 56readdcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
9796adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
9849adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
9957, 56readdcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
10099adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
10195adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
10257adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
10355ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„)
10495, 57ltnled 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) < (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ†” ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)))
105104biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ง) < (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)))
106101, 102, 103, 105ltadd1dd 11841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) < ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)))
10786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
10897, 100, 98, 106, 107ltletrd 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) < (๐นโ€˜๐‘ง))
10997, 98, 108ltled 11378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
110109adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
11192, 110sylan2b 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
112111expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0 โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)))
11343, 47, 88, 112ifbothda 4562 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ‰  0 โ†’ (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)))
11439, 113biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0 โ†’ (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)))
115114imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0) โ†’ (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
11631, 32, 38, 115ifbothda 4562 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ if(if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0, 0, (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
11730, 116eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
118117ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
119 reex 11215 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ โˆˆ V
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โ„ โˆˆ V)
121 c0ex 11224 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ V
122 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ V
123121, 122ifex 4574 . . . . . . . . . . . . 13 if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ V
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ V)
125 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) = (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))))
1262feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐นโ€˜๐‘ง)))
127126ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐นโ€˜๐‘ง)))
128120, 124, 34, 125, 127ofrfval2 7698 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)))
129118, 128mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) โˆ˜r โ‰ค ๐น)
130 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ = (๐‘ฆ / 3) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘) = (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))
131130ifeq2d 4544 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = (๐‘ฆ / 3) โ†’ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘)) = if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))))
132131mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = (๐‘ฆ / 3) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) = (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))))
133132breq1d 5152 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = (๐‘ฆ / 3) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) โˆ˜r โ‰ค ๐น))
134133rspcev 3607 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) โˆ˜r โ‰ค ๐น) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น)
13512, 129, 134syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น)
136135adantrr 716 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น)
13711ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ))) โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„+)
13893ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1 โ†’ โ„Ž Fn โ„)
139138ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โ„Ž Fn โ„)
140 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ V
141 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V
142140, 141ifex 4574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ V
143142, 22fnmpti 6692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) Fn โ„
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) Fn โ„)
145 inidm 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โ„ โˆฉ โ„) = โ„
146 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ง) = (โ„Žโ€˜๐‘ง))
14726adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)))
148139, 144, 120, 120, 145, 146, 147ofval 7688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))))
149148eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0 โ†” ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0))
150148oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) = (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3)))
151149, 150ifbieq2d 4550 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) = if(((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0, 0, (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3))))
152151adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โ†’ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) = if(((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0, 0, (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3))))
153 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = if(((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0, 0, (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3))) โ†’ (0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” if(((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0, 0, (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
154 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3)) = if(((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0, 0, (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3))) โ†’ ((((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” if(((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0, 0, (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
155 itg2addnc.g2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
156155ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐บ:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
157156ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ (0[,)+โˆž))
158 elrege0 13449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
159157, 158sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
160159simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
161160ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0) โ†’ 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
162 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) = ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))))
163162oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) + (๐‘ฆ / 3)) = (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3)))
164163breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
165 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))))
166165oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) = (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3)))
167166breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
168 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0 โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0)
169 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)
170169necon2bi 2966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0 โ†’ ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0))
171 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โ†’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = (โ„Žโ€˜๐‘ง))
172170, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0 โ†’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = (โ„Žโ€˜๐‘ง))
173172, 168eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0 โ†’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0)
174168, 173oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0 โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = (0 โˆ’ 0))
175 0m0e0 12348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 โˆ’ 0) = 0
176174, 175eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0 โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0)
177 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ยฌ (โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0 โ†’ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) = ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))
178177breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ยฌ (โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0 โ†’ (if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ†” ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))))
179176, 178nsyl5 159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ยฌ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0 โ†’ (if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ†” ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))))
180179adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0) โ†’ (if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ†” ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))))
18195recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
18257recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„‚)
183181, 182, 74subsubd 11615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) = (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) + (๐‘ฆ / 3)))
184183adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) = (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) + (๐‘ฆ / 3)))
18557, 56resubcld 11658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
186 rpre 13000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
187186ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
188185, 187readdcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
18948, 157sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
190 1re 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1 โˆˆ โ„
191190, 190readdcli 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (1 + 1) โˆˆ โ„
192 resubcl 11540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„ โˆง (1 + 1) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) โˆˆ โ„)
19351, 191, 192sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) โˆˆ โ„)
194193, 56remulcld 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
195 peano2re 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆˆ โ„)
19661, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆˆ โ„)
197 resubcl 11540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆˆ โ„ โˆง (1 + 1) โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)) โˆˆ โ„)
198196, 191, 197sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)) โˆˆ โ„)
199198, 56remulcld 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
20055, 186resubcld 11658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
201200ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
202191a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (1 + 1) โˆˆ โ„)
203 fllep1 13784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1))
20451, 203syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1))
20551, 196, 202, 204lesub1dd 11846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) โ‰ค (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)))
206193, 198, 50lemul1d 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) โ‰ค (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)) โ†” ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3))))
207205, 206mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)))
208194, 199, 201, 207lesub1dd 11846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ)) โ‰ค (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ)))
20970, 70addcli 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (1 + 1) โˆˆ โ„‚
210209negcli 11544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 -(1 + 1) โˆˆ โ„‚
211210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ -(1 + 1) โˆˆ โ„‚)
21269, 211, 74adddird 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) + -(1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) = ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (-(1 + 1) ยท (๐‘ฆ / 3))))
213 negsub 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) + -(1 + 1)) = (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)))
21469, 209, 213sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) + -(1 + 1)) = (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)))
215214oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) + -(1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) = ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)))
216 df-2 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2 = (1 + 1)
217216negeqi 11469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 -2 = -(1 + 1)
218217oveq1i 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (-2 ยท (๐‘ฆ / 3)) = (-(1 + 1) ยท (๐‘ฆ / 3))
219 2cn 12303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 โˆˆ โ„‚
22011rpcnd 13036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„‚)
221 mulneg1 11666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-2 ยท (๐‘ฆ / 3)) = -(2 ยท (๐‘ฆ / 3)))
222219, 220, 221sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (-2 ยท (๐‘ฆ / 3)) = -(2 ยท (๐‘ฆ / 3)))
223218, 222eqtr3id 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (-(1 + 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = -(2 ยท (๐‘ฆ / 3)))
224223ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (-(1 + 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = -(2 ยท (๐‘ฆ / 3)))
22584, 224oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (-(1 + 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) = ((๐นโ€˜๐‘ง) + -(2 ยท (๐‘ฆ / 3))))
226212, 215, 2253eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) = ((๐นโ€˜๐‘ง) + -(2 ยท (๐‘ฆ / 3))))
227 rpcn 13002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
228227, 220negsubdi2d 11603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ -(๐‘ฆ โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) = ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ))
229 3cn 12309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 โˆˆ โ„‚
230 3ne0 12334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 โ‰  0
231 divcan2 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โ‰  0) โ†’ (3 ยท (๐‘ฆ / 3)) = ๐‘ฆ)
232229, 230, 231mp3an23 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (3 ยท (๐‘ฆ / 3)) = ๐‘ฆ)
233227, 232syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (3 ยท (๐‘ฆ / 3)) = ๐‘ฆ)
234220mullidd 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (1 ยท (๐‘ฆ / 3)) = (๐‘ฆ / 3))
235233, 234oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ ((3 ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 ยท (๐‘ฆ / 3))) = (๐‘ฆ โˆ’ (๐‘ฆ / 3)))
236 subdir 11664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = ((3 ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 ยท (๐‘ฆ / 3))))
237229, 70, 220, 236mp3an12i 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ ((3 โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = ((3 ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 ยท (๐‘ฆ / 3))))
238 3m1e2 12356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (3 โˆ’ 1) = 2
239238oveq1i 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((3 โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = (2 ยท (๐‘ฆ / 3))
240237, 239eqtr3di 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ ((3 ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 ยท (๐‘ฆ / 3))) = (2 ยท (๐‘ฆ / 3)))
241235, 240eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) = (2 ยท (๐‘ฆ / 3)))
242241negeqd 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ -(๐‘ฆ โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) = -(2 ยท (๐‘ฆ / 3)))
243228, 242eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ) = -(2 ยท (๐‘ฆ / 3)))
244243ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ) = -(2 ยท (๐‘ฆ / 3)))
245226, 244oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ)) = (((๐นโ€˜๐‘ง) + -(2 ยท (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ -(2 ยท (๐‘ฆ / 3))))
246 rpcn 13002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„‚)
247 mulcl 11208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„‚)
248219, 246, 247sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„+ โ†’ (2 ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„‚)
24911, 248syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (2 ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„‚)
250249negcld 11574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ -(2 ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„‚)
251250ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ -(2 ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„‚)
25282, 251pncand 11588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ง) + -(2 ยท (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ -(2 ยท (๐‘ฆ / 3))) = (๐นโ€˜๐‘ง))
253245, 252eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ)) = (๐นโ€˜๐‘ง))
25461recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ โ„‚)
255 peano2cn 11402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆˆ โ„‚)
256 subsub4 11509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ 1) โˆ’ 1) = (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)))
25770, 70, 256mp3an23 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ 1) โˆ’ 1) = (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)))
258254, 255, 2573syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ 1) โˆ’ 1) = (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)))
259 pncan 11482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))))
260254, 70, 259sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))))
261260oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ 1) โˆ’ 1) = ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1))
262258, 261eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)) = ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1))
263262oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) = (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)))
264263oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ)) = ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ)))
265187recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
266182, 74, 265subsubd 11615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ)) = (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) + ๐‘ฆ))
267264, 266eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ)) = (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) + ๐‘ฆ))
268208, 253, 2673brtr3d 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โ‰ค (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) + ๐‘ฆ))
26949, 188, 189, 268leadd1dd 11844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ‰ค ((((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) + ๐‘ฆ) + (๐บโ€˜๐‘ง)))
270189recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
271185recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„‚)
272227ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
273271, 272addcld 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
274270, 271, 272addassd 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ) = ((๐บโ€˜๐‘ง) + (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) + ๐‘ฆ)))
275270, 273, 274comraddd 11444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ) = ((((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) + ๐‘ฆ) + (๐บโ€˜๐‘ง)))
276269, 275breqtrrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ‰ค (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ))
27795, 187readdcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
27849, 189readdcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„)
279189, 185readdcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ โ„)
280279, 187readdcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
281 letr 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„ โˆง (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„) โ†’ ((((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โˆง ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ‰ค (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ)))
282277, 278, 280, 281syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โˆง ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ‰ค (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ)))
283276, 282mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ)))
284283imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ))
28595, 185, 189lesubaddd 11827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3)))))
28695, 279, 187leadd1d 11824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) โ†” ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ)))
287285, 286bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ)))
288287adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ)))
289284, 288mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
290184, 289eqbrtrrd 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
291290ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
292291adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
293180, 292sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0) โ†’ (if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
294293imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
295294an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โˆง ยฌ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
296295adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โˆง ยฌ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0) โˆง ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
297171oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (โ„Žโ€˜๐‘ง)))
298181subidd 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0)
299298adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0)
300297, 299sylan9eqr 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โˆง ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0)
301300pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โˆง ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)) โ†’ (ยฌ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0 โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
302301imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โˆง ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)) โˆง ยฌ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
303302an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โˆง ยฌ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0) โˆง ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
304164, 167, 296, 303ifbothda 4562 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โˆง ยฌ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
305153, 154, 161, 304ifbothda 4562 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โ†’ if(((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0, 0, (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
306152, 305eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โ†’ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
307306ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ†’ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
308307ralimdva 3162 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
309119a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โ„ โˆˆ V)
310 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โˆˆ V
311121, 310ifex 4574 . . . . . . . . . . . . . 14 if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โˆˆ V
312311a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โˆˆ V)
3132ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ (0[,)+โˆž))
31448, 313sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
315155ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ (0[,)+โˆž))
31648, 315sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
317314, 316readdcld 11259 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„)
318 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) = (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))))
319155feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐บโ€˜๐‘ง)))
320309, 313, 315, 126, 319offval2 7697 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆ˜f + ๐บ) = (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))))
321309, 312, 317, 318, 320ofrfval2 7698 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))))
322321ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))))
323 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ V
324121, 323ifex 4574 . . . . . . . . . . . . . 14 if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ V
325324a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ V)
326 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) = (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))))
327309, 325, 315, 326, 319ofrfval2 7698 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
328327ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
329308, 322, 3283imtr4d 294 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ))
330329impr 454 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ))) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ)
331 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‘ = (๐‘ฆ / 3) โ†’ (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘) = (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))
332331ifeq2d 4544 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‘ = (๐‘ฆ / 3) โ†’ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘)) = if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))))
333332mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‘ = (๐‘ฆ / 3) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) = (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))))
334333breq1d 5152 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ = (๐‘ฆ / 3) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ))
335334rspcev 3607 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ)
336137, 330, 335syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ))) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ)
33733ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
33848, 337sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
33911ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„+)
340338, 339rerpdivcld 13065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
341 reflcl 13779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ โ„)
342 peano2rem 11543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
343340, 341, 3423syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
34455ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„)
345343, 344remulcld 11260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
34694ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
347345, 346ifcld 4570 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
348347recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
349346recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
350348, 349pncan3d 11590 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)) + ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) = (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))
351350mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)) + ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
352346, 347resubcld 11658 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
353 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
35493feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1 โ†’ โ„Ž = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
355354ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โ„Ž = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
356120, 346, 347, 355, 353offval2 7697 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))
357120, 347, 352, 353, 356offval2 7697 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โˆ˜f + (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)) + ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))
358351, 357, 3553eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โˆ˜f + (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) = โ„Ž)
359358fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆซ1โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โˆ˜f + (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))) = (โˆซ1โ€˜โ„Ž))
3603, 7itg1add 25605 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆซ1โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โˆ˜f + (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))) = ((โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) + (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))))
361359, 360eqtr3d 2769 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = ((โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) + (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))))
362361adantrr 716 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ))) โ†’ (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = ((โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) + (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))))
363 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ V
364 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆˆ V
365 iba 527 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โ†” (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))))
366 iba 527 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โ†’ (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โ†” (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))))
367365, 366bi2anan9 637 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))) โ†’ ((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ) โ†” ((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))))))
368367bicomd 222 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))) โ†’ (((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))) โ†” (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ)))
369 oveq12 7423 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))) โ†’ (๐‘ก + ๐‘ข) = ((โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) + (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))))
370369eqeq2d 2738 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))) โ†’ ((โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข) โ†” (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = ((โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) + (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))))
371368, 370anbi12d 630 . . . . . . . . 9 ((๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))) โ†’ ((((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” ((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = ((โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) + (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))))))
372363, 364, 371spc2ev 3592 . . . . . . . 8 (((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = ((โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) + (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))) โ†’ โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข)))
373136, 336, 362, 372syl21anc 837 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ))) โ†’ โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข)))
374 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ง) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง))
375374eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0))
376374oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘) = (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))
377375, 376ifbieq2d 4550 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘)) = if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘)))
378377mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) = (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))))
379378breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น))
380379rexbidv 3173 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น))
381 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โˆซ1โ€˜๐‘“) = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))
382381eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“) โ†” ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))
383380, 382anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โ†” (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))))
384383anbi1d 629 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โ†” ((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”)))))
385384anbi1d 629 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” (((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข))))
3863852exbidv 1920 . . . . . . . 8 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข))))
387 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘ง) = ((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง))
388387eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0 โ†” ((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0))
389387oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘) = (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))
390388, 389ifbieq2d 4550 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘)) = if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘)))
391390mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) = (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))))
392391breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ))
393392rexbidv 3173 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โ†” โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ))
394 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ (โˆซ1โ€˜๐‘”) = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))
395394eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ (๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”) โ†” ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))))
396393, 395anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ ((โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”)) โ†” (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))))
397396anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ (((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โ†” ((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))))))
398397anbi1d 629 . . . . . . . . 9 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ ((((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” (((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข))))
3993982exbidv 1920 . . . . . . . 8 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ (โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข))))
400386, 399rspc2ev 3620 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ dom โˆซ1 โˆง (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ dom โˆซ1 โˆง โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข))) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข)))
4014, 8, 373, 400syl3anc 1369 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ))) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข)))
402 eqeq1 2731 . . . . . . . . 9 (๐‘  = (โˆซ1โ€˜โ„Ž) โ†’ (๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข) โ†” (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข)))
403402anbi2d 628 . . . . . . . 8 (๐‘  = (โˆซ1โ€˜โ„Ž) โ†’ ((((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” (((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข))))
4044032exbidv 1920 . . . . . . 7 (๐‘  = (โˆซ1โ€˜โ„Ž) โ†’ (โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข))))
4054042rexbidv 3214 . . . . . 6 (๐‘  = (โˆซ1โ€˜โ„Ž) โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข))))
406401, 405syl5ibrcom 246 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ))) โ†’ (๐‘  = (โˆซ1โ€˜โ„Ž) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข))))
407406rexlimdvaa 3151 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ) โ†’ (๐‘  = (โˆซ1โ€˜โ„Ž) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))))
408407impd 410 . . 3 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โ†’ ((โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆง ๐‘  = (โˆซ1โ€˜โ„Ž)) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข))))
409408rexlimdva 3150 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒโ„Ž โˆˆ dom โˆซ1(โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆง ๐‘  = (โˆซ1โ€˜โ„Ž)) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข))))
410 rexcom4 3280 . . . . 5 (โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
411410rexbii 3089 . . . 4 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
412 rexcom4 3280 . . . 4 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
413411, 412bitri 275 . . 3 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
414 rexcom4 3280 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
415414rexbii 3089 . . . . 5 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
416 rexcom4 3280 . . . . 5 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
417415, 416bitri 275 . . . 4 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
418417exbii 1843 . . 3 (โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
419 r19.41vv 3219 . . . 4 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” (โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
4204192exbii 1844 . . 3 (โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
421413, 418, 4203bitrri 298 . 2 (โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
422409, 421imbitrrdi 251 1 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒโ„Ž โˆˆ dom โˆซ1(โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆง ๐‘  = (โˆซ1โ€˜โ„Ž)) โ†’ โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   = wceq 1534  โˆƒwex 1774   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โˆ€wral 3056  โˆƒwrex 3065  Vcvv 3469  ifcif 4524   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  dom cdm 5672   Fn wfn 6537  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โˆ˜f cof 7675   โˆ˜r cofr 7676  โ„‚cc 11122  โ„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129  +โˆžcpnf 11261   < clt 11264   โ‰ค cle 11265   โˆ’ cmin 11460  -cneg 11461   / cdiv 11887  2c2 12283  3c3 12284  โ„+crp 12992  [,)cico 13344  โŒŠcfl 13773  MblFncmbf 25517  โˆซ1citg1 25518  โˆซ2citg2 25519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-sum 15651  df-rest 17389  df-topgen 17410  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-top 22770  df-topon 22787  df-bases 22823  df-cmp 23265  df-ovol 25367  df-vol 25368  df-mbf 25522  df-itg1 25523
This theorem is referenced by:  itg2addnc  37069
  Copyright terms: Public domain W3C validator