Theorem itg2addnclem3 37652

Description: Lemma incomprehensible in isolation split off to shorten proof of itg2addnc 37653. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2addnc.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2addnc.f2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2addnc.f3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2addnc.g2	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2addnc.g3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itg2addnclem3	⊢ (𝜑 → (∃ℎ ∈ dom ∫1(∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1‘ℎ)) → ∃𝑡∃𝑢(∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑢,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑐,𝑑,𝐹   𝐺,𝑠,𝑡,𝑢,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑐,𝑑   𝜑,𝑠,𝑡,𝑢,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑐,𝑑

Proof of Theorem itg2addnclem3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2addnc.f1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
2		itg2addnc.f2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3	1, 2	itg2addnclem2 37651	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ dom ∫1)
4	3	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ dom ∫1)
5		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ℎ ∈ dom ∫1)
6		i1fsub 25625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ dom ∫1) → (ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) ∈ dom ∫1)
7	5, 3, 6	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) ∈ dom ∫1)
8	7	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺))) → (ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) ∈ dom ∫1)
9		3rp 12917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ+
10		rpdivcl 12938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
11	9, 10	mpan2 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
13		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
14	13	fvoveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) = (⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))))
15	14	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) = ((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1))
16	15	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)))
17		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (ℎ‘𝑥) = (ℎ‘𝑧))
18	16, 17	breq12d 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ↔ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)))
19	17	neeq1d 2984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ (ℎ‘𝑧) ≠ 0))
20	18, 19	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ↔ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)))
21	20, 16, 17	ifbieq12d 4507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)))
22		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))
23		ovex 7386	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ V
24		fvex 6839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ‘𝑧) ∈ V
25	23, 24	ifex 4529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) ∈ V
26	21, 22, 25	fvmpt 6934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)))
27	26	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0 ↔ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0))
28	26	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)) = (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)))
29	27, 28	ifbieq2d 4505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) = if(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3))))
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) = if(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3))))
31		breq1 5098	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 = if(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3))) → (0 ≤ (𝐹‘𝑧) ↔ if(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹‘𝑧)))
32		breq1 5098	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) = if(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3))) → ((if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧) ↔ if(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹‘𝑧)))
33	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
34	33	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ (0[,)+∞))
35		elrege0 13375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑧)))
36	34, 35	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑧)))
37	36	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑧))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0) → 0 ≤ (𝐹‘𝑧))
39		df-ne 2926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) ≠ 0 ↔ ¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0)
40		neeq1 2987	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≠ 0 ↔ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) ≠ 0))
41		oveq1 7360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) = (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)))
42	41	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧) ↔ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧)))
43	40, 42	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≠ 0 → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) ≠ 0 → (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧))))
44		neeq1 2987	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℎ‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → ((ℎ‘𝑧) ≠ 0 ↔ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) ≠ 0))
45		oveq1 7360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((ℎ‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → ((ℎ‘𝑧) + (𝑦 / 3)) = (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)))
46	45	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℎ‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → (((ℎ‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧) ↔ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧)))
47	44, 46	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℎ‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → (((ℎ‘𝑧) ≠ 0 → ((ℎ‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) ≠ 0 → (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧))))
48		rge0ssre 13377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
49	48, 34	sselid 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
50	11	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
51	49, 50	rerpdivcld 12986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
52		reflcl 13718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ)
53		peano2rem 11449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
54	51, 52, 53	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
55	11	rpred 12955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 3) ∈ ℝ)
56	55	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ)
57	54, 56	remulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
58		peano2rem 11449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ∈ ℝ)
59	51, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ∈ ℝ)
60	59, 56	remulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
61	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ)
62		1red 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
63		flle 13721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) ≤ ((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)))
64	51, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) ≤ ((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)))
65	61, 51, 62, 64	lesub1dd 11754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) ≤ (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1))
66	54, 59, 50	lemul1d 12998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) ≤ (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ↔ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3))))
67	65, 66	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)))
68	57, 60, 56, 67	leadd1dd 11752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)))
69	51	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
70		ax-1cn 11086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℂ
71		subcl 11380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ∈ ℂ)
72	69, 70, 71	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ∈ ℂ)
73	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
74	50	rpcnd 12957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ∈ ℂ)
75	72, 73, 74	adddird 11159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) + 1) · (𝑦 / 3)) = (((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (1 · (𝑦 / 3))))
76		npcan 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) + 1) = ((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)))
77	69, 70, 76	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) + 1) = ((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)))
78	77	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) + 1) · (𝑦 / 3)) = (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)))
79	74	mullidd 11152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (1 · (𝑦 / 3)) = (𝑦 / 3))
80	79	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (1 · (𝑦 / 3))) = (((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)))
81	75, 78, 80	3eqtr3rd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) = (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)))
82	49	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
83	50	rpne0d 12960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ≠ 0)
84	82, 74, 83	divcan1d 11919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)) = (𝐹‘𝑧))
85	81, 84	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) = (𝐹‘𝑧))
86	68, 85	breqtrd 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧))
87	86	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧))
88	87	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≠ 0 → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧)))
89		ianor 983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∨ ¬ (ℎ‘𝑧) ≠ 0))
90	89	anbi1i 624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) ↔ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∨ ¬ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0))
91		oranabs 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∨ ¬ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0))
92	90, 91	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0))
93		i1ff 25593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ:ℝ⟶ℝ)
94	93	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ℎ:ℝ⟶ℝ)
95	94	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (ℎ‘𝑧) ∈ ℝ)
96	95, 56	readdcld 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((ℎ‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
97	96	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)) → ((ℎ‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
98	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
99	57, 56	readdcld 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
100	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
101	95	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)) → (ℎ‘𝑧) ∈ ℝ)
102	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)) → (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
103	55	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ)
104	95, 57	ltnled 11281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((ℎ‘𝑧) < (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)))
105	104	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)) → (ℎ‘𝑧) < (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)))
106	101, 102, 103, 105	ltadd1dd 11749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)) → ((ℎ‘𝑧) + (𝑦 / 3)) < ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)))
107	86	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧))
108	97, 100, 98, 106, 107	ltletrd 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)) → ((ℎ‘𝑧) + (𝑦 / 3)) < (𝐹‘𝑧))
109	97, 98, 108	ltled 11282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)) → ((ℎ‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧))
110	109	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) → ((ℎ‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧))
111	92, 110	sylan2b 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) → ((ℎ‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧))
112	111	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) → ((ℎ‘𝑧) ≠ 0 → ((ℎ‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧)))
113	43, 47, 88, 112	ifbothda 4517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) ≠ 0 → (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧)))
114	39, 113	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0 → (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧)))
115	114	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0) → (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧))
116	31, 32, 38, 115	ifbothda 4517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹‘𝑧))
117	30, 116	eqbrtrd 5117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹‘𝑧))
118	117	ralrimiva 3121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ℝ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹‘𝑧))
119		reex 11119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ∈ V
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ℝ ∈ V)
121		c0ex 11128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
122		ovex 7386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ∈ V
123	121, 122	ifex 4529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ∈ V
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ∈ V)
125		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))))
126	2	feqmptd 6895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑧)))
127	126	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑧)))
128	120, 124, 34, 125, 127	ofrfval2 7638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹‘𝑧)))
129	118, 128	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r ≤ 𝐹)
130		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = (𝑦 / 3) → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))
131	130	ifeq2d 4499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = (𝑦 / 3) → if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐)) = if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))))
132	131	mpteq2dv 5189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = (𝑦 / 3) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))))
133	132	breq1d 5105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = (𝑦 / 3) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r ≤ 𝐹))
134	133	rspcev 3579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 / 3) ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r ≤ 𝐹) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹)
135	12, 129, 134	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹)
136	135	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺))) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹)
137	11	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺))) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
138	93	ffnd 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ Fn ℝ)
139	138	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ℎ Fn ℝ)
140		ovex 7386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ V
141		fvex 6839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ‘𝑥) ∈ V
142	140, 141	ifex 4529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ V
143	142, 22	fnmpti 6629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) Fn ℝ
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) Fn ℝ)
145		inidm 4180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
146		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (ℎ‘𝑧) = (ℎ‘𝑧))
147	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)))
148	139, 144, 120, 120, 145, 146, 147	ofval 7628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))))
149	148	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0 ↔ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0))
150	148	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)) = (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3)))
151	149, 150	ifbieq2d 4505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) = if(((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0, 0, (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3))))
152	151	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) → if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) = if(((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0, 0, (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3))))
153		breq1 5098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 = if(((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0, 0, (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3))) → (0 ≤ (𝐺‘𝑧) ↔ if(((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0, 0, (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧)))
154		breq1 5098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3)) = if(((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0, 0, (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3))) → ((((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧) ↔ if(((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0, 0, (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧)))
155		itg2addnc.g2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
156	155	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
157	156	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑧) ∈ (0[,)+∞))
158		elrege0 13375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺‘𝑧) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐺‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐺‘𝑧)))
159	157, 158	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐺‘𝑧)))
160	159	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐺‘𝑧))
161	160	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) ∧ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0) → 0 ≤ (𝐺‘𝑧))
162		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → ((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) = ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))))
163	162	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → (((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) = (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3)))
164	163	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → ((((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧) ↔ (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧)))
165		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℎ‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → ((ℎ‘𝑧) − (ℎ‘𝑧)) = ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))))
166	165	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℎ‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → (((ℎ‘𝑧) − (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) = (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3)))
167	166	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℎ‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → ((((ℎ‘𝑧) − (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧) ↔ (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧)))
168		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ℎ‘𝑧) = 0 → (ℎ‘𝑧) = 0)
169		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) → (ℎ‘𝑧) ≠ 0)
170	169	necon2bi 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((ℎ‘𝑧) = 0 → ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0))
171		iffalse 4487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = (ℎ‘𝑧))
172	170, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℎ‘𝑧) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = (ℎ‘𝑧))
173	172, 168	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ℎ‘𝑧) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0)
174	168, 173	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((ℎ‘𝑧) = 0 → ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = (0 − 0))
175		0m0e0 12261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0 − 0) = 0
176	174, 175	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((ℎ‘𝑧) = 0 → ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0)
177		iffalse 4487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ (ℎ‘𝑧) = 0 → if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) = ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))
178	177	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ (ℎ‘𝑧) = 0 → (if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ↔ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))))
179	176, 178	nsyl5 159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0 → (if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ↔ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))))
180	179	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0) → (if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ↔ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))))
181	95	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (ℎ‘𝑧) ∈ ℂ)
182	57	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
183	181, 182, 74	subsubd 11521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((ℎ‘𝑧) − ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) = (((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)))
184	183	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) → ((ℎ‘𝑧) − ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) = (((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)))
185	57, 56	resubcld 11566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
186		rpre 12920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
187	186	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
188	185, 187	readdcld 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) ∈ ℝ)
189	48, 157	sselid 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ)
190		1re 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 1 ∈ ℝ
191	190, 190	readdcli 11149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (1 + 1) ∈ ℝ
192		resubcl 11446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ ∧ (1 + 1) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) ∈ ℝ)
193	51, 191, 192	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) ∈ ℝ)
194	193, 56	remulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
195		peano2re 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℝ)
196	61, 195	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℝ)
197		resubcl 11446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℝ ∧ (1 + 1) ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) ∈ ℝ)
198	196, 191, 197	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) ∈ ℝ)
199	198, 56	remulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
200	55, 186	resubcld 11566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑦 / 3) − 𝑦) ∈ ℝ)
201	200	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 / 3) − 𝑦) ∈ ℝ)
202	191	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (1 + 1) ∈ ℝ)
203		fllep1 13723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ≤ ((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1))
204	51, 203	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ≤ ((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1))
205	51, 196, 202, 204	lesub1dd 11754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) ≤ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)))
206	193, 198, 50	lemul1d 12998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) ≤ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) ↔ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) ≤ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3))))
207	205, 206	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) ≤ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)))
208	194, 199, 201, 207	lesub1dd 11754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) ≤ (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)))
209	70, 70	addcli 11140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (1 + 1) ∈ ℂ
210	209	negcli 11450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ -(1 + 1) ∈ ℂ
211	210	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(1 + 1) ∈ ℂ)
212	69, 211, 74	adddird 11159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) + -(1 + 1)) · (𝑦 / 3)) = ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)) + (-(1 + 1) · (𝑦 / 3))))
213		negsub 11430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℂ ∧ (1 + 1) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) + -(1 + 1)) = (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)))
214	69, 209, 213	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) + -(1 + 1)) = (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)))
215	214	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) + -(1 + 1)) · (𝑦 / 3)) = ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)))
216		df-2 12209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ 2 = (1 + 1)
217	216	negeqi 11374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ -2 = -(1 + 1)
218	217	oveq1i 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (-2 · (𝑦 / 3)) = (-(1 + 1) · (𝑦 / 3))
219		2cn 12221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ 2 ∈ ℂ
220	11	rpcnd 12957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 3) ∈ ℂ)
221		mulneg1 11574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑦 / 3) ∈ ℂ) → (-2 · (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3)))
222	219, 220, 221	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (-2 · (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3)))
223	218, 222	eqtr3id 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (-(1 + 1) · (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3)))
224	223	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-(1 + 1) · (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3)))
225	84, 224	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)) + (-(1 + 1) · (𝑦 / 3))) = ((𝐹‘𝑧) + -(2 · (𝑦 / 3))))
226	212, 215, 225	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) = ((𝐹‘𝑧) + -(2 · (𝑦 / 3))))
227		rpcn 12922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℂ)
228	227, 220	negsubdi2d 11509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → -(𝑦 − (𝑦 / 3)) = ((𝑦 / 3) − 𝑦))
229		3cn 12227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ 3 ∈ ℂ
230		3ne0 12252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ 3 ≠ 0
231		divcan2 11805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (3 · (𝑦 / 3)) = 𝑦)
232	229, 230, 231	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (3 · (𝑦 / 3)) = 𝑦)
233	227, 232	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (3 · (𝑦 / 3)) = 𝑦)
234	220	mullidd 11152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 · (𝑦 / 3)) = (𝑦 / 3))
235	233, 234	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((3 · (𝑦 / 3)) − (1 · (𝑦 / 3))) = (𝑦 − (𝑦 / 3)))
236		subdir 11572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑦 / 3) ∈ ℂ) → ((3 − 1) · (𝑦 / 3)) = ((3 · (𝑦 / 3)) − (1 · (𝑦 / 3))))
237	229, 70, 220, 236	mp3an12i 1467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((3 − 1) · (𝑦 / 3)) = ((3 · (𝑦 / 3)) − (1 · (𝑦 / 3))))
238		3m1e2 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (3 − 1) = 2
239	238	oveq1i 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((3 − 1) · (𝑦 / 3)) = (2 · (𝑦 / 3))
240	237, 239	eqtr3di 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((3 · (𝑦 / 3)) − (1 · (𝑦 / 3))) = (2 · (𝑦 / 3)))
241	235, 240	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 − (𝑦 / 3)) = (2 · (𝑦 / 3)))
242	241	negeqd 11375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → -(𝑦 − (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3)))
243	228, 242	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑦 / 3) − 𝑦) = -(2 · (𝑦 / 3)))
244	243	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 / 3) − 𝑦) = -(2 · (𝑦 / 3)))
245	226, 244	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = (((𝐹‘𝑧) + -(2 · (𝑦 / 3))) − -(2 · (𝑦 / 3))))
246		rpcn 12922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑦 / 3) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 3) ∈ ℂ)
247		mulcl 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑦 / 3) ∈ ℂ) → (2 · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
248	219, 246, 247	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑦 / 3) ∈ ℝ+ → (2 · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
249	11, 248	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (2 · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
250	249	negcld 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → -(2 · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
251	250	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(2 · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
252	82, 251	pncand 11494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑧) + -(2 · (𝑦 / 3))) − -(2 · (𝑦 / 3))) = (𝐹‘𝑧))
253	245, 252	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = (𝐹‘𝑧))
254	61	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℂ)
255		peano2cn 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℂ → ((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℂ)
256		subsub4 11415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) − 1) = (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)))
257	70, 70, 256	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℂ → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) − 1) = (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)))
258	254, 255, 257	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) − 1) = (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)))
259		pncan 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))))
260	254, 70, 259	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))))
261	260	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) − 1) = ((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1))
262	258, 261	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) = ((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1))
263	262	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) = (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)))
264	263	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)))
265	187	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
266	182, 74, 265	subsubd 11521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦))
267	264, 266	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦))
268	208, 253, 267	3brtr3d 5126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ≤ (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦))
269	49, 188, 189, 268	leadd1dd 11752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ≤ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) + (𝐺‘𝑧)))
270	189	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
271	185	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
272	227	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
273	271, 272	addcld 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) ∈ ℂ)
274	270, 271, 272	addassd 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦) = ((𝐺‘𝑧) + (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦)))
275	270, 273, 274	comraddd 11348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦) = ((((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) + (𝐺‘𝑧)))
276	269, 275	breqtrrd 5123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ≤ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦))
277	95, 187	readdcld 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ∈ ℝ)
278	49, 189	readdcld 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
279	189, 185	readdcld 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ∈ ℝ)
280	279, 187	readdcld 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦) ∈ ℝ)
281		letr 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦) ∈ ℝ) → ((((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ∧ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ≤ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)) → ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
282	277, 278, 280, 281	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ∧ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ≤ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)) → ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
283	276, 282	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) → ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
284	283	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) → ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦))
285	95, 185, 189	lesubaddd 11735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((ℎ‘𝑧) − ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧) ↔ (ℎ‘𝑧) ≤ ((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)))))
286	95, 279, 187	leadd1d 11732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((ℎ‘𝑧) ≤ ((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ↔ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
287	285, 286	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((ℎ‘𝑧) − ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧) ↔ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
288	287	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) → (((ℎ‘𝑧) − ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧) ↔ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
289	284, 288	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) → ((ℎ‘𝑧) − ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧))
290	184, 289	eqbrtrrd 5119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) → (((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧))
291	290	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) → (((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧)))
292	291	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0) → (((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) → (((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧)))
293	180, 292	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0) → (if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) → (((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧)))
294	293	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) → (((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧))
295	294	an32s 652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) ∧ ¬ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0) → (((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧))
296	295	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) ∧ ¬ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) → (((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧))
297	171	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) → ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = ((ℎ‘𝑧) − (ℎ‘𝑧)))
298	181	subidd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((ℎ‘𝑧) − (ℎ‘𝑧)) = 0)
299	298	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) → ((ℎ‘𝑧) − (ℎ‘𝑧)) = 0)
300	297, 299	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) → ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0)
301	300	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) → (¬ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0 → (((ℎ‘𝑧) − (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧)))
302	301	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) ∧ ¬ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0) → (((ℎ‘𝑧) − (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧))
303	302	an32s 652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) ∧ ¬ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) → (((ℎ‘𝑧) − (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧))
304	164, 167, 296, 303	ifbothda 4517	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) ∧ ¬ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0) → (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧))
305	153, 154, 161, 304	ifbothda 4517	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) → if(((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0, 0, (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧))
306	152, 305	eqbrtrd 5117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) → if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧))
307	306	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) → if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧)))
308	307	ralimdva 3141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ ℝ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧)))
309	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
310		ovex 7386	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ∈ V
311	121, 310	ifex 4529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ∈ V
312	311	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ∈ V)
313	2	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ (0[,)+∞))
314	48, 313	sselid 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
315	155	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑧) ∈ (0[,)+∞))
316	48, 315	sselid 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ)
317	314, 316	readdcld 11163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
318		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))))
319	155	feqmptd 6895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑧)))
320	309, 313, 315, 126, 319	offval2 7637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))))
321	309, 312, 317, 318, 320	ofrfval2 7638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))))
322	321	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))))
323		ovex 7386	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ∈ V
324	121, 323	ifex 4529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ∈ V
325	324	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ∈ V)
326		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))))
327	309, 325, 315, 326, 319	ofrfval2 7638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧)))
328	327	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧)))
329	308, 322, 328	3imtr4d 294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r ≤ 𝐺))
330	329	impr 454	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺))) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r ≤ 𝐺)
331		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = (𝑦 / 3) → (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑) = (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))
332	331	ifeq2d 4499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (𝑦 / 3) → if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑)) = if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))))
333	332	mpteq2dv 5189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (𝑦 / 3) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))))
334	333	breq1d 5105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (𝑦 / 3) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r ≤ 𝐺))
335	334	rspcev 3579	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 / 3) ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r ≤ 𝐺) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺)
336	137, 330, 335	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺)
337	33	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
338	48, 337	sselid 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
339	11	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
340	338, 339	rerpdivcld 12986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
341		reflcl 13718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ)
342		peano2rem 11449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
343	340, 341, 342	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
344	55	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ)
345	343, 344	remulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
346	94	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
347	345, 346	ifcld 4525	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
348	347	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ ℂ)
349	346	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℎ‘𝑥) ∈ ℂ)
350	348, 349	pncan3d 11496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)) + ((ℎ‘𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) = (ℎ‘𝑥))
351	350	mpteq2dva 5188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)) + ((ℎ‘𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)))
352	346, 347	resubcld 11566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℎ‘𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ ℝ)
353		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))
354	93	feqmptd 6895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)))
355	354	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ℎ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)))
356	120, 346, 347, 355, 353	offval2 7637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((ℎ‘𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))
357	120, 347, 352, 353, 356	offval2 7637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∘f + (ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)) + ((ℎ‘𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))
358	351, 357, 355	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∘f + (ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) = ℎ)
359	358	fveq2d 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∘f + (ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))) = (∫1‘ℎ))
360	3, 7	itg1add 25618	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∘f + (ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) + (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))))
361	359, 360	eqtr3d 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∫1‘ℎ) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) + (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))))
362	361	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺))) → (∫1‘ℎ) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) + (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))))
363		fvex 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) ∈ V
364		fvex 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∈ V
365		iba 527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))))
366		iba 527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ↔ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))))
367	365, 366	bi2anan9 638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))) → ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺) ↔ ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))))))
368	367	bicomd 223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))) → (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺)))
369		oveq12 7362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))) → (𝑡 + 𝑢) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) + (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))))
370	369	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))) → ((∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢) ↔ (∫1‘ℎ) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) + (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))))
371	368, 370	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))) → ((((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺) ∧ (∫1‘ℎ) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) + (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))))))
372	363, 364, 371	spc2ev 3564	. . . . . . . 8 ⊢ (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺) ∧ (∫1‘ℎ) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) + (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) → ∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢)))
373	136, 336, 362, 372	syl21anc 837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺))) → ∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢)))
374		fveq1 6825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → (𝑓‘𝑧) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧))
375	374	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → ((𝑓‘𝑧) = 0 ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0))
376	374	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → ((𝑓‘𝑧) + 𝑐) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))
377	375, 376	ifbieq2d 4505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐)) = if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐)))
378	377	mpteq2dv 5189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))))
379	378	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹))
380	379	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹))
381		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → (∫1‘𝑓) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))
382	381	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → (𝑡 = (∫1‘𝑓) ↔ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))
383	380, 382	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))))
384	383	anbi1d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ↔ ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔)))))
385	384	anbi1d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → ((((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢)) ↔ (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢))))
386	385	2exbidv 1924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → (∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢))))
387		fveq1 6825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = (ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → (𝑔‘𝑧) = ((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧))
388	387	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 = (ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → ((𝑔‘𝑧) = 0 ↔ ((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0))
389	387	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 = (ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → ((𝑔‘𝑧) + 𝑑) = (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))
390	388, 389	ifbieq2d 4505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 = (ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑)) = if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑)))
391	390	mpteq2dv 5189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = (ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))))
392	391	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = (ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺))
393	392	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺))
394		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = (ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → (∫1‘𝑔) = (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))
395	394	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → (𝑢 = (∫1‘𝑔) ↔ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))))
396	393, 395	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → ((∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔)) ↔ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))))
397	396	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ↔ ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))))))
398	397	anbi1d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → ((((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢)) ↔ (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢))))
399	398	2exbidv 1924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → (∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢))))
400	386, 399	rspc2ev 3592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ dom ∫1 ∧ (ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) ∈ dom ∫1 ∧ ∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢))) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢)))
401	4, 8, 373, 400	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺))) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢)))
402		eqeq1 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (∫1‘ℎ) → (𝑠 = (𝑡 + 𝑢) ↔ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢)))
403	402	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (∫1‘ℎ) → ((((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢))))
404	403	2exbidv 1924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (∫1‘ℎ) → (∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢))))
405	404	2rexbidv 3194	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (∫1‘ℎ) → (∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢))))
406	401, 405	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺))) → (𝑠 = (∫1‘ℎ) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))))
407	406	rexlimdvaa 3131	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺) → (𝑠 = (∫1‘ℎ) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))))
408	407	impd 410	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) → ((∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1‘ℎ)) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))))
409	408	rexlimdva 3130	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃ℎ ∈ dom ∫1(∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1‘ℎ)) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))))
410		rexcom4 3256	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
411	410	rexbii 3076	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
412		rexcom4 3256	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
413	411, 412	bitri 275	. . 3 ⊢ (∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
414		rexcom4 3256	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑢∃𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
415	414	rexbii 3076	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑢∃𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
416		rexcom4 3256	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑢∃𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑢∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
417	415, 416	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑢∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
418	417	exbii 1848	. . 3 ⊢ (∃𝑡∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡∃𝑢∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
419		r19.41vv 3199	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ (∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
420	419	2exbii 1849	. . 3 ⊢ (∃𝑡∃𝑢∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡∃𝑢(∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
421	413, 418, 420	3bitrri 298	. 2 ⊢ (∃𝑡∃𝑢(∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
422	409, 421	imbitrrdi 252	1 ⊢ (𝜑 → (∃ℎ ∈ dom ∫1(∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1‘ℎ)) → ∃𝑡∃𝑢(∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom ∫1((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3438  ifcif 4478   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5623   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615   ∘_r cofr 7616  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033  +∞cpnf 11165   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11365  -cneg 11366   / cdiv 11795  2c2 12201  3c3 12202  ℝ⁺crp 12911  [,)cico 13268  ⌊cfl 13712  MblFncmbf 25531  ∫₁citg1 25532  ∫₂citg2 25533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-rest 17344  df-topgen 17365  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22797  df-topon 22814  df-bases 22849  df-cmp 23290  df-ovol 25381  df-vol 25382  df-mbf 25536  df-itg1 25537

This theorem is referenced by:  itg2addnc  37653