Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itg2addnclem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2addnclem3 36181
Description: Lemma incomprehensible in isolation split off to shorten proof of itg2addnc 36182. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2addnc.f1 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ MblFn)
itg2addnc.f2 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
itg2addnc.f3 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜๐น) โˆˆ โ„)
itg2addnc.g2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
itg2addnc.g3 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜๐บ) โˆˆ โ„)
Assertion
Ref Expression
itg2addnclem3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒโ„Ž โˆˆ dom โˆซ1(โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆง ๐‘  = (โˆซ1โ€˜โ„Ž)) โ†’ โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข))))
Distinct variable groups:   ๐‘ก,๐‘ ,๐‘ข,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘,๐‘‘,๐น   ๐บ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘,๐‘‘   ๐œ‘,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘,๐‘‘

Proof of Theorem itg2addnclem3
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2addnc.f1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ MblFn)
2 itg2addnc.f2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
31, 2itg2addnclem2 36180 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ dom โˆซ1)
43adantrr 716 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ dom โˆซ1)
5 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1)
6 i1fsub 25096 . . . . . . . . 9 ((โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ dom โˆซ1) โ†’ (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ dom โˆซ1)
75, 3, 6syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ dom โˆซ1)
87adantrr 716 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ))) โ†’ (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ dom โˆซ1)
9 3rp 12929 . . . . . . . . . . . 12 3 โˆˆ โ„+
10 rpdivcl 12948 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง 3 โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„+)
119, 10mpan2 690 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„+)
1211adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„+)
13 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ง))
1413fvoveq1d 7383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) = (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))))
1514oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) = ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1))
1615oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)))
17 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) = (โ„Žโ€˜๐‘ง))
1816, 17breq12d 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ†” (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)))
1917neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0 โ†” (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0))
2018, 19anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0) โ†” ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)))
2120, 16, 17ifbieq12d 4518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)))
22 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
23 ovex 7394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ V
24 fvex 6859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆˆ V
2523, 24ifex 4540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โˆˆ V
2621, 22, 25fvmpt 6952 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)))
2726eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0 โ†” if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0))
2826oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) = (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)))
2927, 28ifbieq2d 4516 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) = if(if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0, 0, (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3))))
3029adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) = if(if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0, 0, (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3))))
31 breq1 5112 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0, 0, (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3))) โ†’ (0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง) โ†” if(if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0, 0, (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)))
32 breq1 5112 . . . . . . . . . . . . . 14 ((if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) = if(if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0, 0, (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3))) โ†’ ((if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง) โ†” if(if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0, 0, (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)))
332ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐น:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
3433ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ (0[,)+โˆž))
35 elrege0 13380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)))
3634, 35sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)))
3736simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
3837adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
39 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ‰  0 โ†” ยฌ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0)
40 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰  0 โ†” if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ‰  0))
41 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) = (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)))
4241breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง) โ†” (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)))
4340, 42imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰  0 โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)) โ†” (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ‰  0 โ†’ (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))))
44 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0 โ†” if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ‰  0))
45 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) = (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)))
4645breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง) โ†” (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)))
4744, 46imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0 โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)) โ†” (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ‰  0 โ†’ (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))))
48 rge0ssre 13382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0[,)+โˆž) โŠ† โ„
4948, 34sselid 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
5011ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„+)
5149, 50rerpdivcld 12996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
52 reflcl 13710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ โ„)
53 peano2rem 11476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
5451, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
5511rpred 12965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„)
5655ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„)
5754, 56remulcld 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
58 peano2rem 11476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„ โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
5951, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
6059, 56remulcld 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
6151, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ โ„)
62 1red 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
63 flle 13713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)))
6451, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)))
6561, 51, 62, 64lesub1dd 11779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) โ‰ค (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1))
6654, 59, 50lemul1d 13008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) โ‰ค (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) โ†” (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))))
6765, 66mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)))
6857, 60, 56, 67leadd1dd 11777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)))
6951recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„‚)
70 ax-1cn 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 โˆˆ โ„‚
71 subcl 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
7269, 70, 71sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
7370a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
7450rpcnd 12967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„‚)
7572, 73, 74adddird 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) + 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = (((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (1 ยท (๐‘ฆ / 3))))
76 npcan 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) + 1) = ((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)))
7769, 70, 76sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) + 1) = ((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)))
7877oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) + 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) ยท (๐‘ฆ / 3)))
7974mulid2d 11181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (1 ยท (๐‘ฆ / 3)) = (๐‘ฆ / 3))
8079oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (1 ยท (๐‘ฆ / 3))) = (((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)))
8175, 78, 803eqtr3rd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) = (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) ยท (๐‘ฆ / 3)))
8249recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
8350rpne0d 12970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ / 3) โ‰  0)
8482, 74, 83divcan1d 11940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) ยท (๐‘ฆ / 3)) = (๐นโ€˜๐‘ง))
8581, 84eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) = (๐นโ€˜๐‘ง))
8668, 85breqtrd 5135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
8786adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
8887a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰  0 โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)))
89 ianor 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โ†” (ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆจ ยฌ (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0))
9089anbi1i 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โ†” ((ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆจ ยฌ (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0))
91 oranabs 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆจ ยฌ (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โ†” (ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0))
9290, 91bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โ†” (ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0))
93 i1ff 25063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1 โ†’ โ„Ž:โ„โŸถโ„)
9493ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โ„Ž:โ„โŸถโ„)
9594ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
9695, 56readdcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
9796adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
9849adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
9957, 56readdcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
10099adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
10195adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
10257adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
10355ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„)
10495, 57ltnled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) < (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ†” ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)))
105104biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ง) < (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)))
106101, 102, 103, 105ltadd1dd 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) < ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)))
10786adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
10897, 100, 98, 106, 107ltletrd 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) < (๐นโ€˜๐‘ง))
10997, 98, 108ltled 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
110109adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (ยฌ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
11192, 110sylan2b 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
112111expr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0 โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)))
11343, 47, 88, 112ifbothda 4528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ‰  0 โ†’ (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)))
11439, 113biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0 โ†’ (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)))
115114imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0) โ†’ (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
11631, 32, 38, 115ifbothda 4528 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ if(if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0, 0, (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
11730, 116eqbrtrd 5131 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
118117ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง))
119 reex 11150 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ โˆˆ V
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โ„ โˆˆ V)
121 c0ex 11157 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ V
122 ovex 7394 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ V
123121, 122ifex 4540 . . . . . . . . . . . . 13 if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ V
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ V)
125 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) = (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))))
1262feqmptd 6914 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐นโ€˜๐‘ง)))
127126ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐นโ€˜๐‘ง)))
128120, 124, 34, 125, 127ofrfval2 7642 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘ง)))
129118, 128mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) โˆ˜r โ‰ค ๐น)
130 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ = (๐‘ฆ / 3) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘) = (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))
131130ifeq2d 4510 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = (๐‘ฆ / 3) โ†’ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘)) = if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))))
132131mpteq2dv 5211 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = (๐‘ฆ / 3) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) = (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))))
133132breq1d 5119 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = (๐‘ฆ / 3) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) โˆ˜r โ‰ค ๐น))
134133rspcev 3583 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) โˆ˜r โ‰ค ๐น) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น)
13512, 129, 134syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น)
136135adantrr 716 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น)
13711ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ))) โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„+)
13893ffnd 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1 โ†’ โ„Ž Fn โ„)
139138ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โ„Ž Fn โ„)
140 ovex 7394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ V
141 fvex 6859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V
142140, 141ifex 4540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ V
143142, 22fnmpti 6648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) Fn โ„
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) Fn โ„)
145 inidm 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โ„ โˆฉ โ„) = โ„
146 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ง) = (โ„Žโ€˜๐‘ง))
14726adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)))
148139, 144, 120, 120, 145, 146, 147ofval 7632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))))
149148eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0 โ†” ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0))
150148oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) = (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3)))
151149, 150ifbieq2d 4516 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) = if(((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0, 0, (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3))))
152151adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โ†’ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) = if(((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0, 0, (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3))))
153 breq1 5112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = if(((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0, 0, (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3))) โ†’ (0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” if(((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0, 0, (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
154 breq1 5112 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3)) = if(((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0, 0, (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3))) โ†’ ((((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” if(((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0, 0, (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
155 itg2addnc.g2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
156155ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐บ:โ„โŸถ(0[,)+โˆž))
157156ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ (0[,)+โˆž))
158 elrege0 13380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
159157, 158sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
160159simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
161160ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0) โ†’ 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
162 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) = ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))))
163162oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) + (๐‘ฆ / 3)) = (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3)))
164163breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
165 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))))
166165oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) = (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3)))
167166breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
168 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0 โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0)
169 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)
170169necon2bi 2971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0 โ†’ ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0))
171 iffalse 4499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โ†’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = (โ„Žโ€˜๐‘ง))
172170, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0 โ†’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = (โ„Žโ€˜๐‘ง))
173172, 168eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0 โ†’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0)
174168, 173oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0 โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = (0 โˆ’ 0))
175 0m0e0 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 โˆ’ 0) = 0
176174, 175eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0 โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0)
177 iffalse 4499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ยฌ (โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0 โ†’ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) = ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))
178177breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ยฌ (โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0 โ†’ (if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ†” ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))))
179176, 178nsyl5 159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ยฌ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0 โ†’ (if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ†” ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))))
180179adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0) โ†’ (if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ†” ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))))
18195recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
18257recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„‚)
183181, 182, 74subsubd 11548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) = (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) + (๐‘ฆ / 3)))
184183adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) = (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) + (๐‘ฆ / 3)))
18557, 56resubcld 11591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
186 rpre 12931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
187186ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
188185, 187readdcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
18948, 157sselid 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
190 1re 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1 โˆˆ โ„
191190, 190readdcli 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (1 + 1) โˆˆ โ„
192 resubcl 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„ โˆง (1 + 1) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) โˆˆ โ„)
19351, 191, 192sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) โˆˆ โ„)
194193, 56remulcld 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
195 peano2re 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆˆ โ„)
19661, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆˆ โ„)
197 resubcl 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆˆ โ„ โˆง (1 + 1) โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)) โˆˆ โ„)
198196, 191, 197sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)) โˆˆ โ„)
199198, 56remulcld 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
20055, 186resubcld 11591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
201200ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
202191a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (1 + 1) โˆˆ โ„)
203 fllep1 13715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1))
20451, 203syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1))
20551, 196, 202, 204lesub1dd 11779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) โ‰ค (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)))
206193, 198, 50lemul1d 13008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) โ‰ค (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)) โ†” ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3))))
207205, 206mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)))
208194, 199, 201, 207lesub1dd 11779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ)) โ‰ค (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ)))
20970, 70addcli 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (1 + 1) โˆˆ โ„‚
210209negcli 11477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 -(1 + 1) โˆˆ โ„‚
211210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ -(1 + 1) โˆˆ โ„‚)
21269, 211, 74adddird 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) + -(1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) = ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (-(1 + 1) ยท (๐‘ฆ / 3))))
213 negsub 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 + 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) + -(1 + 1)) = (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)))
21469, 209, 213sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) + -(1 + 1)) = (((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)))
215214oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) + -(1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) = ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)))
216 df-2 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2 = (1 + 1)
217216negeqi 11402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 -2 = -(1 + 1)
218217oveq1i 7371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (-2 ยท (๐‘ฆ / 3)) = (-(1 + 1) ยท (๐‘ฆ / 3))
219 2cn 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 โˆˆ โ„‚
22011rpcnd 12967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„‚)
221 mulneg1 11599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-2 ยท (๐‘ฆ / 3)) = -(2 ยท (๐‘ฆ / 3)))
222219, 220, 221sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (-2 ยท (๐‘ฆ / 3)) = -(2 ยท (๐‘ฆ / 3)))
223218, 222eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (-(1 + 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = -(2 ยท (๐‘ฆ / 3)))
224223ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (-(1 + 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = -(2 ยท (๐‘ฆ / 3)))
22584, 224oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) ยท (๐‘ฆ / 3)) + (-(1 + 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) = ((๐นโ€˜๐‘ง) + -(2 ยท (๐‘ฆ / 3))))
226212, 215, 2253eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) = ((๐นโ€˜๐‘ง) + -(2 ยท (๐‘ฆ / 3))))
227 rpcn 12933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
228227, 220negsubdi2d 11536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ -(๐‘ฆ โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) = ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ))
229 3cn 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 โˆˆ โ„‚
230 3ne0 12267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 โ‰  0
231 divcan2 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โ‰  0) โ†’ (3 ยท (๐‘ฆ / 3)) = ๐‘ฆ)
232229, 230, 231mp3an23 1454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (3 ยท (๐‘ฆ / 3)) = ๐‘ฆ)
233227, 232syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (3 ยท (๐‘ฆ / 3)) = ๐‘ฆ)
234220mulid2d 11181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (1 ยท (๐‘ฆ / 3)) = (๐‘ฆ / 3))
235233, 234oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ ((3 ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 ยท (๐‘ฆ / 3))) = (๐‘ฆ โˆ’ (๐‘ฆ / 3)))
236 subdir 11597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = ((3 ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 ยท (๐‘ฆ / 3))))
237229, 70, 220, 236mp3an12i 1466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ ((3 โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = ((3 ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 ยท (๐‘ฆ / 3))))
238 3m1e2 12289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (3 โˆ’ 1) = 2
239238oveq1i 7371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((3 โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) = (2 ยท (๐‘ฆ / 3))
240237, 239eqtr3di 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ ((3 ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 ยท (๐‘ฆ / 3))) = (2 ยท (๐‘ฆ / 3)))
241235, 240eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) = (2 ยท (๐‘ฆ / 3)))
242241negeqd 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ -(๐‘ฆ โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) = -(2 ยท (๐‘ฆ / 3)))
243228, 242eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ) = -(2 ยท (๐‘ฆ / 3)))
244243ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ) = -(2 ยท (๐‘ฆ / 3)))
245226, 244oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ)) = (((๐นโ€˜๐‘ง) + -(2 ยท (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ -(2 ยท (๐‘ฆ / 3))))
246 rpcn 12933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„‚)
247 mulcl 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„‚)
248219, 246, 247sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„+ โ†’ (2 ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„‚)
24911, 248syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ (2 ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„‚)
250249negcld 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ -(2 ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„‚)
251250ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ -(2 ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„‚)
25282, 251pncand 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ง) + -(2 ยท (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ -(2 ยท (๐‘ฆ / 3))) = (๐นโ€˜๐‘ง))
253245, 252eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ)) = (๐นโ€˜๐‘ง))
25461recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ โ„‚)
255 peano2cn 11335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆˆ โ„‚)
256 subsub4 11442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ 1) โˆ’ 1) = (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)))
25770, 70, 256mp3an23 1454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ 1) โˆ’ 1) = (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)))
258254, 255, 2573syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ 1) โˆ’ 1) = (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)))
259 pncan 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))))
260254, 70, 259sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))))
261260oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ 1) โˆ’ 1) = ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1))
262258, 261eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)) = ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1))
263262oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) = (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)))
264263oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ)) = ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ)))
265187recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
266182, 74, 265subsubd 11548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ)) = (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) + ๐‘ฆ))
267264, 266eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) + 1) โˆ’ (1 + 1)) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ ((๐‘ฆ / 3) โˆ’ ๐‘ฆ)) = (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) + ๐‘ฆ))
268208, 253, 2673brtr3d 5140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โ‰ค (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) + ๐‘ฆ))
26949, 188, 189, 268leadd1dd 11777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ‰ค ((((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) + ๐‘ฆ) + (๐บโ€˜๐‘ง)))
270189recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
271185recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„‚)
272227ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
273271, 272addcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
274270, 271, 272addassd 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ) = ((๐บโ€˜๐‘ง) + (((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) + ๐‘ฆ)))
275270, 273, 274comraddd 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ) = ((((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3)) + ๐‘ฆ) + (๐บโ€˜๐‘ง)))
276269, 275breqtrrd 5137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ‰ค (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ))
27795, 187readdcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
27849, 189readdcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„)
279189, 185readdcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ โ„)
280279, 187readdcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
281 letr 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„ โˆง (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„) โ†’ ((((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โˆง ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ‰ค (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ)))
282277, 278, 280, 281syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โˆง ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ‰ค (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ)))
283276, 282mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ)))
284283imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ))
28595, 185, 189lesubaddd 11760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3)))))
28695, 279, 187leadd1d 11757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) โ†” ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ)))
287285, 286bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ)))
288287adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค (((๐บโ€˜๐‘ง) + ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) + ๐‘ฆ)))
289284, 288mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆ’ (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
290184, 289eqbrtrrd 5133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
291290ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
292291adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
293180, 292sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0) โ†’ (if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
294293imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ยฌ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
295294an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โˆง ยฌ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
296295adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โˆง ยฌ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0) โˆง ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
297171oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (โ„Žโ€˜๐‘ง)))
298181subidd 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0)
299298adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (โ„Žโ€˜๐‘ง)) = 0)
300297, 299sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โˆง ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0)
301300pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โˆง ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)) โ†’ (ยฌ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0 โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
302301imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โˆง ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)) โˆง ยฌ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
303302an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โˆง ยฌ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0) โˆง ยฌ ((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ (โ„Žโ€˜๐‘ง)) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
304164, 167, 296, 303ifbothda 4528 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โˆง ยฌ ((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
305153, 154, 161, 304ifbothda 4528 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โ†’ if(((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) = 0, 0, (((โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ง) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ง))) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
306152, 305eqbrtrd 5131 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))) โ†’ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง))
307306ex 414 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ†’ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
308307ralimdva 3161 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
309119a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โ„ โˆˆ V)
310 ovex 7394 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ) โˆˆ V
311121, 310ifex 4540 . . . . . . . . . . . . . 14 if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โˆˆ V
312311a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โˆˆ V)
3132ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ (0[,)+โˆž))
31448, 313sselid 3946 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
315155ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ (0[,)+โˆž))
31648, 315sselid 3946 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
317314, 316readdcld 11192 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„)
318 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) = (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))))
319155feqmptd 6914 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐บโ€˜๐‘ง)))
320309, 313, 315, 126, 319offval2 7641 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆ˜f + ๐บ) = (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))))
321309, 312, 317, 318, 320ofrfval2 7642 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))))
322321ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ)) โ‰ค ((๐นโ€˜๐‘ง) + (๐บโ€˜๐‘ง))))
323 ovex 7394 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ V
324121, 323ifex 4540 . . . . . . . . . . . . . 14 if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ V
325324a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ V)
326 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) = (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))))
327309, 325, 315, 326, 319ofrfval2 7642 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
328327ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))) โ‰ค (๐บโ€˜๐‘ง)))
329308, 322, 3283imtr4d 294 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ))
330329impr 456 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ))) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ)
331 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‘ = (๐‘ฆ / 3) โ†’ (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘) = (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))
332331ifeq2d 4510 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‘ = (๐‘ฆ / 3) โ†’ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘)) = if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3))))
333332mpteq2dv 5211 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‘ = (๐‘ฆ / 3) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) = (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))))
334333breq1d 5119 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ = (๐‘ฆ / 3) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ))
335334rspcev 3583 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + (๐‘ฆ / 3)))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ)
336137, 330, 335syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ))) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ)
33733ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
33848, 337sselid 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
33911ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„+)
340338, 339rerpdivcld 12996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
341 reflcl 13710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ โ„)
342 peano2rem 11476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
343340, 341, 3423syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
34455ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ / 3) โˆˆ โ„)
345343, 344remulcld 11193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โˆˆ โ„)
34694ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
347345, 346ifcld 4536 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
348347recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
349346recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
350348, 349pncan3d 11523 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)) + ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) = (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))
351350mpteq2dva 5209 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)) + ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
352346, 347resubcld 11591 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
353 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
35493feqmptd 6914 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1 โ†’ โ„Ž = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
355354ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โ„Ž = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
356120, 346, 347, 355, 353offval2 7641 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))
357120, 347, 352, 353, 356offval2 7641 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โˆ˜f + (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)) + ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))
358351, 357, 3553eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โˆ˜f + (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) = โ„Ž)
359358fveq2d 6850 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆซ1โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โˆ˜f + (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))) = (โˆซ1โ€˜โ„Ž))
3603, 7itg1add 25089 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆซ1โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โˆ˜f + (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))) = ((โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) + (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))))
361359, 360eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = ((โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) + (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))))
362361adantrr 716 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ))) โ†’ (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = ((โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) + (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))))
363 fvex 6859 . . . . . . . . 9 (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ V
364 fvex 6859 . . . . . . . . 9 (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆˆ V
365 iba 529 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โ†” (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))))
366 iba 529 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โ†’ (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โ†” (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))))
367365, 366bi2anan9 638 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))) โ†’ ((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ) โ†” ((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))))))
368367bicomd 222 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))) โ†’ (((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))) โ†” (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ)))
369 oveq12 7370 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))) โ†’ (๐‘ก + ๐‘ข) = ((โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) + (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))))
370369eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))) โ†’ ((โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข) โ†” (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = ((โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) + (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))))
371368, 370anbi12d 632 . . . . . . . . 9 ((๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))) โ†’ ((((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” ((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = ((โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) + (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))))))
372363, 364, 371spc2ev 3568 . . . . . . . 8 (((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = ((โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) + (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))) โ†’ โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข)))
373136, 336, 362, 372syl21anc 837 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ))) โ†’ โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข)))
374 fveq1 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ง) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง))
375374eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0))
376374oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘) = (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))
377375, 376ifbieq2d 4516 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘)) = if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘)))
378377mpteq2dv 5211 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) = (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))))
379378breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น))
380379rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น))
381 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โˆซ1โ€˜๐‘“) = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))
382381eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“) โ†” ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))
383380, 382anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โ†” (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))))
384383anbi1d 631 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โ†” ((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”)))))
385384anbi1d 631 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” (((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข))))
3863852exbidv 1928 . . . . . . . 8 (๐‘“ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข))))
387 fveq1 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘ง) = ((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง))
388387eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0 โ†” ((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0))
389387oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘) = (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))
390388, 389ifbieq2d 4516 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘)) = if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘)))
391390mpteq2dv 5211 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) = (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))))
392391breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ))
393392rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โ†” โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ))
394 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ (โˆซ1โ€˜๐‘”) = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))
395394eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ (๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”) โ†” ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))))
396393, 395anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ ((โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”)) โ†” (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))))
397396anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ (((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โ†” ((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))))))
398397anbi1d 631 . . . . . . . . 9 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ ((((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” (((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข))))
3993982exbidv 1928 . . . . . . . 8 (๐‘” = (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ (โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข))))
400386, 399rspc2ev 3594 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ dom โˆซ1 โˆง (โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ dom โˆซ1 โˆง โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) = 0, 0, (((โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜(โ„Ž โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(((((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)) โ‰ค (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆง (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0), (((โŒŠโ€˜((๐นโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฆ / 3))) โˆ’ 1) ยท (๐‘ฆ / 3)), (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข))) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข)))
4014, 8, 373, 400syl3anc 1372 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ))) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข)))
402 eqeq1 2737 . . . . . . . . 9 (๐‘  = (โˆซ1โ€˜โ„Ž) โ†’ (๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข) โ†” (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข)))
403402anbi2d 630 . . . . . . . 8 (๐‘  = (โˆซ1โ€˜โ„Ž) โ†’ ((((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” (((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข))))
4044032exbidv 1928 . . . . . . 7 (๐‘  = (โˆซ1โ€˜โ„Ž) โ†’ (โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข))))
4054042rexbidv 3210 . . . . . 6 (๐‘  = (โˆซ1โ€˜โ„Ž) โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง (โˆซ1โ€˜โ„Ž) = (๐‘ก + ๐‘ข))))
406401, 405syl5ibrcom 247 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ))) โ†’ (๐‘  = (โˆซ1โ€˜โ„Ž) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข))))
407406rexlimdvaa 3150 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ) โ†’ (๐‘  = (โˆซ1โ€˜โ„Ž) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))))
408407impd 412 . . 3 ((๐œ‘ โˆง โ„Ž โˆˆ dom โˆซ1) โ†’ ((โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆง ๐‘  = (โˆซ1โ€˜โ„Ž)) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข))))
409408rexlimdva 3149 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒโ„Ž โˆˆ dom โˆซ1(โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆง ๐‘  = (โˆซ1โ€˜โ„Ž)) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข))))
410 rexcom4 3270 . . . . 5 (โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
411410rexbii 3094 . . . 4 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
412 rexcom4 3270 . . . 4 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
413411, 412bitri 275 . . 3 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
414 rexcom4 3270 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
415414rexbii 3094 . . . . 5 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
416 rexcom4 3270 . . . . 5 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
417415, 416bitri 275 . . . 4 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
418417exbii 1851 . . 3 (โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
419 r19.41vv 3214 . . . 4 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” (โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
4204192exbii 1852 . . 3 (โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
421413, 418, 4203bitrri 298 . 2 (โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข)))
422409, 421syl6ibr 252 1 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒโ„Ž โˆˆ dom โˆซ1(โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((โ„Žโ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((โ„Žโ€˜๐‘ง) + ๐‘ฆ))) โˆ˜r โ‰ค (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆง ๐‘  = (โˆซ1โ€˜โ„Ž)) โ†’ โˆƒ๐‘กโˆƒ๐‘ข(โˆƒ๐‘“ โˆˆ dom โˆซ1โˆƒ๐‘” โˆˆ dom โˆซ1((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘“โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘“โ€˜๐‘ง) + ๐‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐น โˆง ๐‘ก = (โˆซ1โ€˜๐‘“)) โˆง (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘”โ€˜๐‘ง) = 0, 0, ((๐‘”โ€˜๐‘ง) + ๐‘‘))) โˆ˜r โ‰ค ๐บ โˆง ๐‘ข = (โˆซ1โ€˜๐‘”))) โˆง ๐‘  = (๐‘ก + ๐‘ข))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  Vcvv 3447  ifcif 4490   class class class wbr 5109   โ†ฆ cmpt 5192  dom cdm 5637   Fn wfn 6495  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆ˜f cof 7619   โˆ˜r cofr 7620  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064  +โˆžcpnf 11194   < clt 11197   โ‰ค cle 11198   โˆ’ cmin 11393  -cneg 11394   / cdiv 11820  2c2 12216  3c3 12217  โ„+crp 12923  [,)cico 13275  โŒŠcfl 13704  MblFncmbf 25001  โˆซ1citg1 25002  โˆซ2citg2 25003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cmp 22761  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007
This theorem is referenced by:  itg2addnc  36182
  Copyright terms: Public domain W3C validator