Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itg2addnclem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2addnclem3 34826
Description: Lemma incomprehensible in isolation split off to shorten proof of itg2addnc 34827. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2addnc.f1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2addnc.f2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2addnc.f3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2addnc.g2 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2addnc.g3 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2addnclem3 (𝜑 → (∃ ∈ dom ∫1(∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1)) → ∃𝑡𝑢(∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑢,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,,𝑐,𝑑,𝐹   𝐺,𝑠,𝑡,𝑢,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,,𝑐,𝑑   𝜑,𝑠,𝑡,𝑢,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,,𝑐,𝑑

Proof of Theorem itg2addnclem3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2addnc.f1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
2 itg2addnc.f2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
31, 2itg2addnclem2 34825 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∈ dom ∫1)
43adantrr 713 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∈ dom ∫1)
5 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∈ dom ∫1)
6 i1fsub 24236 . . . . . . . . 9 (( ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∈ dom ∫1) → (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∈ dom ∫1)
75, 3, 6syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∈ dom ∫1)
87adantrr 713 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺))) → (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∈ dom ∫1)
9 3nn 11704 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ
10 nnrp 12388 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ+
12 rpdivcl 12402 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
1311, 12mpan2 687 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
1413adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
15 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
1615fvoveq1d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑧 → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) = (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))))
1716oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧 → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) = ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1))
1817oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)))
19 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥) = (𝑧))
2018, 19breq12d 5070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ↔ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)))
2119neeq1d 3072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑧) ≠ 0))
2220, 21anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ↔ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)))
2322, 18, 19ifbieq12d 4490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)))
24 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))
25 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ V
26 fvex 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧) ∈ V
2725, 26ifex 4511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) ∈ V
2823, 24, 27fvmpt 6761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)))
2928eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0 ↔ if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0))
3028oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)) = (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)))
3129, 30ifbieq2d 4488 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ → if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) = if(if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3))))
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) = if(if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3))))
33 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3))) → (0 ≤ (𝐹𝑧) ↔ if(if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹𝑧)))
34 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . . 14 ((if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) = if(if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3))) → ((if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧) ↔ if(if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹𝑧)))
352ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3635ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ (0[,)+∞))
37 elrege0 12830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑧) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑧)))
3836, 37sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑧)))
3938simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑧))
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0) → 0 ≤ (𝐹𝑧))
41 df-ne 3014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) ≠ 0 ↔ ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0)
42 neeq1 3075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≠ 0 ↔ if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) ≠ 0))
43 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) = (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)))
4443breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧) ↔ (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)))
4542, 44imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≠ 0 → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) ≠ 0 → (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))))
46 neeq1 3075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((𝑧) ≠ 0 ↔ if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) ≠ 0))
47 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) = (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)))
4847breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → (((𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧) ↔ (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)))
4946, 48imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → (((𝑧) ≠ 0 → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) ≠ 0 → (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))))
50 rge0ssre 12832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5150, 36sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
5213ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
5351, 52rerpdivcld 12450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
54 reflcl 13154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ)
55 peano2rem 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
5653, 54, 553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
5713rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 3) ∈ ℝ)
5857ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ)
5956, 58remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
60 peano2rem 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ∈ ℝ)
6153, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ∈ ℝ)
6261, 58remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
6353, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ)
64 1red 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
65 flle 13157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ≤ ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)))
6653, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ≤ ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)))
6763, 53, 64, 66lesub1dd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) ≤ (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1))
6856, 61, 52lemul1d 12462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) ≤ (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ↔ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3))))
6967, 68mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)))
7059, 62, 58, 69leadd1dd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)))
7153recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
72 ax-1cn 10583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℂ
73 subcl 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ∈ ℂ)
7471, 72, 73sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ∈ ℂ)
7572a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
7652rpcnd 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ∈ ℂ)
7774, 75, 76adddird 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) + 1) · (𝑦 / 3)) = (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (1 · (𝑦 / 3))))
78 npcan 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) + 1) = ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)))
7971, 72, 78sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) + 1) = ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)))
8079oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) + 1) · (𝑦 / 3)) = (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)))
8176mulid2d 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (1 · (𝑦 / 3)) = (𝑦 / 3))
8281oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (1 · (𝑦 / 3))) = (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)))
8377, 80, 823eqtr3rd 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) = (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)))
8451recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
8552rpne0d 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ≠ 0)
8684, 76, 85divcan1d 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)) = (𝐹𝑧))
8783, 86eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) = (𝐹𝑧))
8870, 87breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))
8988adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))
9089a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≠ 0 → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)))
91 ianor 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∨ ¬ (𝑧) ≠ 0))
9291anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑧) ≠ 0) ↔ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∨ ¬ (𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑧) ≠ 0))
93 oranabs 993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∨ ¬ (𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑧) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0))
9492, 93bitri 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑧) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0))
95 i1ff 24204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ( ∈ dom ∫1:ℝ⟶ℝ)
9695ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → :ℝ⟶ℝ)
9796ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧) ∈ ℝ)
9897, 58readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
9998adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
10051adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
10159, 58readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
102101adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
10397adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → (𝑧) ∈ ℝ)
10459adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
10557ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ)
10697, 59ltnled 10775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧) < (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)))
107106biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → (𝑧) < (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)))
108103, 104, 105, 107ltadd1dd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) < ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)))
10988adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))
11099, 102, 100, 108, 109ltletrd 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) < (𝐹𝑧))
11199, 100, 110ltled 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))
112111adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))
11394, 112sylan2b 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))
114113expr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → ((𝑧) ≠ 0 → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)))
11545, 49, 90, 114ifbothda 4500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) ≠ 0 → (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)))
11641, 115syl5bir 244 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0 → (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)))
117116imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0) → (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))
11833, 34, 40, 117ifbothda 4500 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹𝑧))
11932, 118eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹𝑧))
120119ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ℝ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹𝑧))
121 reex 10616 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ℝ ∈ V)
123 c0ex 10623 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
124 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ∈ V
125123, 124ifex 4511 . . . . . . . . . . . . 13 if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ∈ V
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ∈ V)
127 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))))
1282feqmptd 6726 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑧)))
129128ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑧)))
130122, 126, 36, 127, 129ofrfval2 7416 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹𝑧)))
131120, 130mpbird 258 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r𝐹)
132 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = (𝑦 / 3) → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))
133132ifeq2d 4482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = (𝑦 / 3) → if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐)) = if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))))
134133mpteq2dv 5153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝑦 / 3) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))))
135134breq1d 5067 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = (𝑦 / 3) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r𝐹))
136135rspcev 3620 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 / 3) ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r𝐹) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹)
13714, 131, 136syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹)
138137adantrr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺))) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹)
13913ad2antrl 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺))) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
14095ffnd 6508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( ∈ dom ∫1 Fn ℝ)
141140ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → Fn ℝ)
142 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ V
143 fvex 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥) ∈ V
144142, 143ifex 4511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)) ∈ V
145144, 24fnmpti 6484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) Fn ℝ
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) Fn ℝ)
147 inidm 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
148 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧) = (𝑧))
14928adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)))
150141, 146, 122, 122, 147, 148, 149ofval 7407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))))
151150eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0 ↔ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0))
152150oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)) = (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)))
153151, 152ifbieq2d 4488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) = if(((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0, 0, (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3))))
154153adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) = if(((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0, 0, (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3))))
155 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = if(((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0, 0, (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3))) → (0 ≤ (𝐺𝑧) ↔ if(((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0, 0, (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧)))
156 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)) = if(((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0, 0, (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3))) → ((((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧) ↔ if(((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0, 0, (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧)))
157 itg2addnc.g2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
158157ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
159158ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺𝑧) ∈ (0[,)+∞))
160 elrege0 12830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺𝑧) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐺𝑧)))
161159, 160sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐺𝑧)))
162161simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐺𝑧))
163162ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) → 0 ≤ (𝐺𝑧))
164 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) = ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))))
165164oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) = (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)))
166165breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧) ↔ (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧)))
167 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((𝑧) − (𝑧)) = ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))))
168167oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → (((𝑧) − (𝑧)) + (𝑦 / 3)) = (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)))
169168breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((((𝑧) − (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧) ↔ (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧)))
170 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧) = 0 → (𝑧) = 0)
171 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0) → (𝑧) ≠ 0)
172171necon2bi 3043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧) = 0 → ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0))
173 iffalse 4472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0) → if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = (𝑧))
174172, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = (𝑧))
175174, 170eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0)
176170, 175oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧) = 0 → ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = (0 − 0))
177 0m0e0 11745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 − 0) = 0
178176, 177syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧) = 0 → ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0)
179178con3i 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0 → ¬ (𝑧) = 0)
180 iffalse 4472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ (𝑧) = 0 → if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) = ((𝑧) + 𝑦))
181180breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ (𝑧) = 0 → (if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ↔ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))))
182179, 181syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0 → (if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ↔ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))))
183182adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) → (if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ↔ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))))
18497recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧) ∈ ℂ)
18559recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
186184, 185, 76subsubd 11013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧) − ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) = (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)))
187186adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → ((𝑧) − ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) = (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)))
18859, 58resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
189 rpre 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
190189ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
191188, 190readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) ∈ ℝ)
19250, 159sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
193 1re 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1 ∈ ℝ
194193, 193readdcli 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (1 + 1) ∈ ℝ
195 resubcl 10938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ ∧ (1 + 1) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) ∈ ℝ)
19653, 194, 195sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) ∈ ℝ)
197196, 58remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
198 peano2re 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℝ)
19963, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℝ)
200 resubcl 10938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℝ ∧ (1 + 1) ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) ∈ ℝ)
201199, 194, 200sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) ∈ ℝ)
202201, 58remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
20357, 189resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑦 / 3) − 𝑦) ∈ ℝ)
204203ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 / 3) − 𝑦) ∈ ℝ)
205194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (1 + 1) ∈ ℝ)
206 fllep1 13159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ → ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ≤ ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1))
20753, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ≤ ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1))
20853, 199, 205, 207lesub1dd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) ≤ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)))
209196, 201, 52lemul1d 12462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) ≤ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) ↔ ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) ≤ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3))))
210208, 209mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) ≤ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)))
211197, 202, 204, 210lesub1dd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) ≤ (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)))
21272, 72addcli 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (1 + 1) ∈ ℂ
213212negcli 10942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 -(1 + 1) ∈ ℂ
214213a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(1 + 1) ∈ ℂ)
21571, 214, 76adddird 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) + -(1 + 1)) · (𝑦 / 3)) = ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)) + (-(1 + 1) · (𝑦 / 3))))
216 negsub 10922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℂ ∧ (1 + 1) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) + -(1 + 1)) = (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)))
21771, 212, 216sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) + -(1 + 1)) = (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)))
218217oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) + -(1 + 1)) · (𝑦 / 3)) = ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)))
219 df-2 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2 = (1 + 1)
220219negeqi 10867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 -2 = -(1 + 1)
221220oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (-2 · (𝑦 / 3)) = (-(1 + 1) · (𝑦 / 3))
222 2cn 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 ∈ ℂ
22313rpcnd 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 3) ∈ ℂ)
224 mulneg1 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑦 / 3) ∈ ℂ) → (-2 · (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3)))
225222, 223, 224sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ ℝ+ → (-2 · (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3)))
226221, 225syl5eqr 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ ℝ+ → (-(1 + 1) · (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3)))
227226ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-(1 + 1) · (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3)))
22886, 227oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)) + (-(1 + 1) · (𝑦 / 3))) = ((𝐹𝑧) + -(2 · (𝑦 / 3))))
229215, 218, 2283eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) = ((𝐹𝑧) + -(2 · (𝑦 / 3))))
230 rpcn 12387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℂ)
231230, 223negsubdi2d 11001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 ∈ ℝ+ → -(𝑦 − (𝑦 / 3)) = ((𝑦 / 3) − 𝑦))
232 3cn 11706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 ∈ ℂ
233 3ne0 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 ≠ 0
234 divcan2 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (3 · (𝑦 / 3)) = 𝑦)
235232, 233, 234mp3an23 1444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑦 ∈ ℂ → (3 · (𝑦 / 3)) = 𝑦)
236230, 235syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ ℝ+ → (3 · (𝑦 / 3)) = 𝑦)
237223mulid2d 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 · (𝑦 / 3)) = (𝑦 / 3))
238236, 237oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((3 · (𝑦 / 3)) − (1 · (𝑦 / 3))) = (𝑦 − (𝑦 / 3)))
239 3m1e2 11753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (3 − 1) = 2
240239oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((3 − 1) · (𝑦 / 3)) = (2 · (𝑦 / 3))
241 subdir 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑦 / 3) ∈ ℂ) → ((3 − 1) · (𝑦 / 3)) = ((3 · (𝑦 / 3)) − (1 · (𝑦 / 3))))
242232, 72, 241mp3an12 1442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑦 / 3) ∈ ℂ → ((3 − 1) · (𝑦 / 3)) = ((3 · (𝑦 / 3)) − (1 · (𝑦 / 3))))
243223, 242syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((3 − 1) · (𝑦 / 3)) = ((3 · (𝑦 / 3)) − (1 · (𝑦 / 3))))
244240, 243syl5reqr 2868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((3 · (𝑦 / 3)) − (1 · (𝑦 / 3))) = (2 · (𝑦 / 3)))
245238, 244eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 − (𝑦 / 3)) = (2 · (𝑦 / 3)))
246245negeqd 10868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 ∈ ℝ+ → -(𝑦 − (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3)))
247231, 246eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑦 / 3) − 𝑦) = -(2 · (𝑦 / 3)))
248247ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 / 3) − 𝑦) = -(2 · (𝑦 / 3)))
249229, 248oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = (((𝐹𝑧) + -(2 · (𝑦 / 3))) − -(2 · (𝑦 / 3))))
250 rpcn 12387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑦 / 3) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 3) ∈ ℂ)
251 mulcl 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑦 / 3) ∈ ℂ) → (2 · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
252222, 250, 251sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑦 / 3) ∈ ℝ+ → (2 · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
25313, 252syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 ∈ ℝ+ → (2 · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
254253negcld 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑦 ∈ ℝ+ → -(2 · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
255254ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(2 · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
25684, 255pncand 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) + -(2 · (𝑦 / 3))) − -(2 · (𝑦 / 3))) = (𝐹𝑧))
257249, 256eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = (𝐹𝑧))
25863recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℂ)
259 peano2cn 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℂ → ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℂ)
260 subsub4 10907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) − 1) = (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)))
26172, 72, 260mp3an23 1444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℂ → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) − 1) = (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)))
262258, 259, 2613syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) − 1) = (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)))
263 pncan 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) = (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))))
264258, 72, 263sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) = (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))))
265264oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) − 1) = ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1))
266262, 265eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) = ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1))
267266oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) = (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)))
268267oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)))
269190recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
270185, 76, 269subsubd 11013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦))
271268, 270eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦))
272211, 257, 2713brtr3d 5088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ≤ (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦))
27351, 191, 192, 272leadd1dd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ≤ ((((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) + (𝐺𝑧)))
274192recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
275188recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
276230ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
277274, 275, 276addassd 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦) = ((𝐺𝑧) + (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦)))
278275, 276addcld 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) ∈ ℂ)
279274, 278addcomd 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑧) + (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦)) = ((((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) + (𝐺𝑧)))
280277, 279eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦) = ((((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) + (𝐺𝑧)))
281273, 280breqtrrd 5085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦))
28297, 190readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧) + 𝑦) ∈ ℝ)
28351, 192readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
284192, 188readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ∈ ℝ)
285284, 190readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦) ∈ ℝ)
286 letr 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑧) + 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ∈ ℝ ∧ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦) ∈ ℝ) → ((((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ∧ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)) → ((𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
287282, 283, 285, 286syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ∧ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)) → ((𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
288281, 287mpan2d 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) → ((𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
289288imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → ((𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦))
29097, 188, 192lesubaddd 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑧) − ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧) ↔ (𝑧) ≤ ((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)))))
29197, 284, 190leadd1d 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧) ≤ ((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ↔ ((𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
292290, 291bitrd 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑧) − ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧) ↔ ((𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
293292adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → (((𝑧) − ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧) ↔ ((𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
294289, 293mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → ((𝑧) − ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧))
295187, 294eqbrtrrd 5081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧))
296295ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧)))
297296adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) → (((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧)))
298183, 297sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) → (if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧)))
299298imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧))
300299an32s 648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧))
301300adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧))
302173oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0) → ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = ((𝑧) − (𝑧)))
303184subidd 10973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧) − (𝑧)) = 0)
304303adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → ((𝑧) − (𝑧)) = 0)
305302, 304sylan9eqr 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0)
306305pm2.24d 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → (¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0 → (((𝑧) − (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧)))
307306imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) → (((𝑧) − (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧))
308307an32s 648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → (((𝑧) − (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧))
309166, 169, 301, 308ifbothda 4500 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) → (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧))
310155, 156, 163, 309ifbothda 4500 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → if(((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0, 0, (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧))
311154, 310eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧))
312311ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) → if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧)))
313312ralimdva 3174 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧)))
314121a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ∈ V)
315 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧) + 𝑦) ∈ V
316123, 315ifex 4511 . . . . . . . . . . . . . 14 if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ∈ V
317316a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ∈ V)
3182ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ (0[,)+∞))
31950, 318sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
320157ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺𝑧) ∈ (0[,)+∞))
32150, 320sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
322319, 321readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
323 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))))
324157feqmptd 6726 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐺𝑧)))
325314, 318, 320, 128, 324offval2 7415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))))
326314, 317, 322, 323, 325ofrfval2 7416 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))))
327326ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))))
328 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ∈ V
329123, 328ifex 4511 . . . . . . . . . . . . . 14 if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ∈ V
330329a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ∈ V)
331 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))))
332314, 330, 320, 331, 324ofrfval2 7416 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r𝐺 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧)))
333332ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r𝐺 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧)))
334313, 327, 3333imtr4d 295 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r𝐺))
335334impr 455 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺))) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r𝐺)
336 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = (𝑦 / 3) → (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑) = (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))
337336ifeq2d 4482 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝑦 / 3) → if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑)) = if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))))
338337mpteq2dv 5153 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝑦 / 3) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))))
339338breq1d 5067 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝑦 / 3) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r𝐺))
340339rspcev 3620 . . . . . . . . 9 (((𝑦 / 3) ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘r𝐺) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺)
341139, 335, 340syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺)
34235ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
34350, 342sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
34413ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
345343, 344rerpdivcld 12450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
346 reflcl 13154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ)
347 peano2rem 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
348345, 346, 3473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
34957ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ)
350348, 349remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
35196ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ∈ ℝ)
352350, 351ifcld 4508 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)) ∈ ℝ)
353352recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)) ∈ ℂ)
354351recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ∈ ℂ)
355353, 354pncan3d 10988 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)) + ((𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) = (𝑥))
356355mpteq2dva 5152 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)) + ((𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)))
357351, 352resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∈ ℝ)
358 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))
35995feqmptd 6726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ dom ∫1 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)))
360359ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)))
361122, 351, 352, 360, 358offval2 7415 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))
362122, 352, 357, 358, 361offval2 7415 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∘f + (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)) + ((𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))
363356, 362, 3603eqtr4d 2863 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∘f + (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) = )
364363fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∘f + (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))) = (∫1))
3653, 7itg1add 24229 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∘f + (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) + (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))
366364, 365eqtr3d 2855 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∫1) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) + (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))
367366adantrr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺))) → (∫1) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) + (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))
368 fvex 6676 . . . . . . . . 9 (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∈ V
369 fvex 6676 . . . . . . . . 9 (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∈ V
370 iba 528 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹 ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))
371 iba 528 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺 ↔ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))))
372370, 371bi2anan9 635 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))) → ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺) ↔ ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))))
373372bicomd 224 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))) → (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺)))
374 oveq12 7154 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))) → (𝑡 + 𝑢) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) + (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))
375374eqeq2d 2829 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))) → ((∫1) = (𝑡 + 𝑢) ↔ (∫1) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) + (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))))
376373, 375anbi12d 630 . . . . . . . . 9 ((𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))) → ((((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺) ∧ (∫1) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) + (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))))
377368, 369, 376spc2ev 3605 . . . . . . . 8 (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺) ∧ (∫1) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) + (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) → ∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)))
378138, 341, 367, 377syl21anc 833 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺))) → ∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)))
379 fveq1 6662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → (𝑓𝑧) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧))
380379eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → ((𝑓𝑧) = 0 ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0))
381379oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → ((𝑓𝑧) + 𝑐) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))
382380, 381ifbieq2d 4488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐)) = if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐)))
383382mpteq2dv 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))))
384383breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹))
385384rexbidv 3294 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹))
386 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → (∫1𝑓) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))
387386eqeq2d 2829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → (𝑡 = (∫1𝑓) ↔ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))
388385, 387anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))
389388anbi1d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ↔ ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔)))))
390389anbi1d 629 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → ((((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)) ↔ (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))))
3913902exbidv 1916 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → (∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))))
392 fveq1 6662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (𝑔𝑧) = ((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧))
393392eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → ((𝑔𝑧) = 0 ↔ ((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0))
394392oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → ((𝑔𝑧) + 𝑑) = (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))
395393, 394ifbieq2d 4488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑)) = if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑)))
396395mpteq2dv 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))))
397396breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺))
398397rexbidv 3294 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺))
399 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (∫1𝑔) = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))
400399eqeq2d 2829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (𝑢 = (∫1𝑔) ↔ 𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))
401398, 400anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → ((∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔)) ↔ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))))
402401anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ↔ ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))))
403402anbi1d 629 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → ((((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)) ↔ (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))))
4044032exbidv 1916 . . . . . . . 8 (𝑔 = (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))))
405391, 404rspc2ev 3632 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∈ dom ∫1 ∧ (f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∈ dom ∫1 ∧ ∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1‘(f − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)))
4064, 8, 378, 405syl3anc 1363 . . . . . 6 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺))) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)))
407 eqeq1 2822 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (∫1) → (𝑠 = (𝑡 + 𝑢) ↔ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)))
408407anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑠 = (∫1) → ((((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))))
4094082exbidv 1916 . . . . . . 7 (𝑠 = (∫1) → (∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))))
4104092rexbidv 3297 . . . . . 6 (𝑠 = (∫1) → (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))))
411406, 410syl5ibrcom 248 . . . . 5 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺))) → (𝑠 = (∫1) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))))
412411rexlimdvaa 3282 . . . 4 ((𝜑 ∈ dom ∫1) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺) → (𝑠 = (∫1) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))))
413412impd 411 . . 3 ((𝜑 ∈ dom ∫1) → ((∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1)) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))))
414413rexlimdva 3281 . 2 (𝜑 → (∃ ∈ dom ∫1(∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1)) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))))
415 rexcom4 3246 . . . . 5 (∃𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
416415rexbii 3244 . . . 4 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑡𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
417 rexcom4 3246 . . . 4 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑡𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
418416, 417bitri 276 . . 3 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
419 rexcom4 3246 . . . . . 6 (∃𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑢𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
420419rexbii 3244 . . . . 5 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑢𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
421 rexcom4 3246 . . . . 5 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑢𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑢𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
422420, 421bitri 276 . . . 4 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑢𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
423422exbii 1839 . . 3 (∃𝑡𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑢𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
424 r19.41vv 3346 . . . 4 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
4254242exbii 1840 . . 3 (∃𝑡𝑢𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑢(∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
426418, 423, 4253bitrri 299 . 2 (∃𝑡𝑢(∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
427414, 426syl6ibr 253 1 (𝜑 → (∃ ∈ dom ∫1(∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1)) → ∃𝑡𝑢(∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘r𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘r𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  r cofr 7397  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  +∞cpnf 10660   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  3c3 11681  +crp 12377  [,)cico 12728  cfl 13148  MblFncmbf 24142  1citg1 24143  2citg2 24144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-rest 16684  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482  df-cmp 21923  df-ovol 23992  df-vol 23993  df-mbf 24147  df-itg1 24148
This theorem is referenced by:  itg2addnc  34827
  Copyright terms: Public domain W3C validator