Theorem pythagtriplem1 16853

Description: Lemma for pythagtrip 16871. Prove a weaker version of one direction of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 28-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem1	⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑚,𝑘   𝐵,𝑛,𝑚,𝑘   𝐶,𝑛,𝑚,𝑘

Proof of Theorem pythagtriplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 12219	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
2		nncn 12219	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
3		nncn 12219	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
4		sqcl 14132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚↑2) ∈ ℂ)
5	4	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚↑2) ∈ ℂ)
6	5	sqcld 14158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((𝑚↑2)↑2) ∈ ℂ)
7		2cn 12294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		sqcl 14132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
9		mulcl 11158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑛↑2) ∈ ℂ) → ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
10	4, 8, 9	syl2anr 606	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
11		mulcl 11158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)) ∈ ℂ) → (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) ∈ ℂ)
12	7, 10, 11	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) ∈ ℂ)
13	6, 12	subcld 11543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) ∈ ℂ)
14	8	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
15	14	sqcld 14158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((𝑛↑2)↑2) ∈ ℂ)
16		mulcl 11158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ)
17	16	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ)
18		mulcl 11158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ) → (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∈ ℂ)
19	7, 17, 18	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∈ ℂ)
20	19	sqcld 14158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
21	13, 15, 20	add32d 11412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) + ((𝑛↑2)↑2)))
22	6, 12, 20	subadd23d 11565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((𝑚↑2)↑2) + (((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))))
23		sqmul 14133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) = ((2↑2) · ((𝑚 · 𝑛)↑2)))
24	7, 17, 23	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) = ((2↑2) · ((𝑚 · 𝑛)↑2)))
25		sq2 14211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2↑2) = 4
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (2↑2) = 4)
27		sqmul 14133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑚 · 𝑛)↑2) = ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))
28	27	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((𝑚 · 𝑛)↑2) = ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))
29	26, 28	oveq12d 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((2↑2) · ((𝑚 · 𝑛)↑2)) = (4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))
30	24, 29	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) = (4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))
31	30	oveq1d 7412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) = ((4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
32		4cn 12304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		subdir 11622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)) ∈ ℂ) → ((4 − 2) · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) = ((4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
34	32, 7, 10, 33	mp3an12i 1487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((4 − 2) · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) = ((4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
35		2p2e4 12353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 + 2) = 4
36	32, 7, 7, 35	subaddrii 11521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 − 2) = 2
37	36	oveq1i 7407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((4 − 2) · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) = (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))
38	34, 37	eqtr3di 2813	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) = (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))
39	31, 38	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) = (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))
40	39	oveq2d 7413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2)↑2) + (((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))) = (((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
41	22, 40	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
42	41	oveq1d 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) + ((𝑛↑2)↑2)) = ((((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
43	21, 42	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = ((((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
44		binom2sub 14234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑚↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑛↑2) ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) = ((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
45	4, 8, 44	syl2anr 606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) = ((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
46	45	oveq1d 7412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)))
47		binom2 14231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑛↑2) ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2) = ((((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
48	4, 8, 47	syl2anr 606	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2) = ((((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
49	43, 46, 48	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2))
50	49	3adant3 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2))
51	50	oveq2d 7413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘↑2) · ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))) = ((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2)))
52		simp3 1152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
53	4	3ad2ant2 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑚↑2) ∈ ℂ)
54	8	3ad2ant1 1147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
55	53, 54	subcld 11543	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
56	52, 55	sqmuld 14172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) = ((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2)))
57	17	3adant3 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ)
58	7, 57, 18	sylancr 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∈ ℂ)
59	52, 58	sqmuld 14172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2) = ((𝑘↑2) · ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)))
60	56, 59	oveq12d 7415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = (((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2)) + ((𝑘↑2) · ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))))
61		sqcl 14132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
62	61	3ad2ant3 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
63	55	sqcld 14158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) ∈ ℂ)
64	58	sqcld 14158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
65	62, 63, 64	adddid 11207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘↑2) · ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))) = (((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2)) + ((𝑘↑2) · ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))))
66	60, 65	eqtr4d 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = ((𝑘↑2) · ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))))
67	53, 54	addcld 11202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
68	52, 67	sqmuld 14172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2) = ((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2)))
69	51, 66, 68	3eqtr4d 2808	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2))
70	1, 2, 3, 69	syl3an 1174	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2))
71		oveq1 7404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) → (𝐴↑2) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2))
72		oveq1 7404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) → (𝐵↑2) = ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2))
73	71, 72	oveqan12d 7416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)))
74	73	3adant3 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)))
75		oveq1 7404	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))) → (𝐶↑2) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2))
76	75	3ad2ant3 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → (𝐶↑2) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2))
77	74, 76	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ↔ (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2)))
78	70, 77	syl5ibrcom 249	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
79	78	3expa 1132	. . 3 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
80	79	rexlimdva 3164	. 2 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
81	80	rexlimivv 3205	1 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3087  (class class class)co 7397  ℂcc 11072   + caddc 11077   · cmul 11079   − cmin 11415  ℕcn 12211  2c2 12273  4c4 12275  ↑cexp 14075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-seq 14016  df-exp 14076

This theorem is referenced by:  pythagtriplem2  16854