Theorem pythagtriplem1 16688

Description: Lemma for pythagtrip 16706. Prove a weaker version of one direction of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 28-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem1	⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑚,𝑘   𝐵,𝑛,𝑚,𝑘   𝐶,𝑛,𝑚,𝑘

Proof of Theorem pythagtriplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 12161	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
2		nncn 12161	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
3		nncn 12161	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
4		sqcl 14023	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚↑2) ∈ ℂ)
5	4	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚↑2) ∈ ℂ)
6	5	sqcld 14049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((𝑚↑2)↑2) ∈ ℂ)
7		2cn 12228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		sqcl 14023	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
9		mulcl 11135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑛↑2) ∈ ℂ) → ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
10	4, 8, 9	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
11		mulcl 11135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)) ∈ ℂ) → (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) ∈ ℂ)
12	7, 10, 11	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) ∈ ℂ)
13	6, 12	subcld 11512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) ∈ ℂ)
14	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
15	14	sqcld 14049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((𝑛↑2)↑2) ∈ ℂ)
16		mulcl 11135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ)
17	16	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ)
18		mulcl 11135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ) → (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∈ ℂ)
19	7, 17, 18	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∈ ℂ)
20	19	sqcld 14049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
21	13, 15, 20	add32d 11382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) + ((𝑛↑2)↑2)))
22	6, 12, 20	subadd23d 11534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((𝑚↑2)↑2) + (((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))))
23		sqmul 14024	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) = ((2↑2) · ((𝑚 · 𝑛)↑2)))
24	7, 17, 23	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) = ((2↑2) · ((𝑚 · 𝑛)↑2)))
25		sq2 14101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2↑2) = 4
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (2↑2) = 4)
27		sqmul 14024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑚 · 𝑛)↑2) = ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))
28	27	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((𝑚 · 𝑛)↑2) = ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))
29	26, 28	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((2↑2) · ((𝑚 · 𝑛)↑2)) = (4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))
30	24, 29	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) = (4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))
31	30	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) = ((4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
32		4cn 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		subdir 11589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)) ∈ ℂ) → ((4 − 2) · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) = ((4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
34	32, 7, 10, 33	mp3an12i 1465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((4 − 2) · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) = ((4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
35		2p2e4 12288	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 + 2) = 4
36	32, 7, 7, 35	subaddrii 11490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 − 2) = 2
37	36	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((4 − 2) · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) = (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))
38	34, 37	eqtr3di 2791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) = (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))
39	31, 38	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) = (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))
40	39	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2)↑2) + (((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))) = (((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
41	22, 40	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
42	41	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) + ((𝑛↑2)↑2)) = ((((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
43	21, 42	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = ((((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
44		binom2sub 14123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑚↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑛↑2) ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) = ((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
45	4, 8, 44	syl2anr 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) = ((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
46	45	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)))
47		binom2 14121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑛↑2) ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2) = ((((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
48	4, 8, 47	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2) = ((((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
49	43, 46, 48	3eqtr4d 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2))
50	49	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2))
51	50	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘↑2) · ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))) = ((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2)))
52		simp3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
53	4	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑚↑2) ∈ ℂ)
54	8	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
55	53, 54	subcld 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
56	52, 55	sqmuld 14063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) = ((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2)))
57	17	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ)
58	7, 57, 18	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∈ ℂ)
59	52, 58	sqmuld 14063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2) = ((𝑘↑2) · ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)))
60	56, 59	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = (((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2)) + ((𝑘↑2) · ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))))
61		sqcl 14023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
62	61	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
63	55	sqcld 14049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) ∈ ℂ)
64	58	sqcld 14049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
65	62, 63, 64	adddid 11179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘↑2) · ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))) = (((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2)) + ((𝑘↑2) · ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))))
66	60, 65	eqtr4d 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = ((𝑘↑2) · ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))))
67	53, 54	addcld 11174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
68	52, 67	sqmuld 14063	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2) = ((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2)))
69	51, 66, 68	3eqtr4d 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2))
70	1, 2, 3, 69	syl3an 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2))
71		oveq1 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) → (𝐴↑2) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2))
72		oveq1 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) → (𝐵↑2) = ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2))
73	71, 72	oveqan12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)))
74	73	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)))
75		oveq1 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))) → (𝐶↑2) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2))
76	75	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → (𝐶↑2) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2))
77	74, 76	eqeq12d 2752	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ↔ (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2)))
78	70, 77	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
79	78	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
80	79	rexlimdva 3152	. 2 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
81	80	rexlimivv 3196	1 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073  (class class class)co 7357  ℂcc 11049   + caddc 11054   · cmul 11056   − cmin 11385  ℕcn 12153  2c2 12208  4c4 12210  ↑cexp 13967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-exp 13968

This theorem is referenced by:  pythagtriplem2  16689