Theorem pythagtriplem1 16911

Description: Lemma for pythagtrip 16929. Prove a weaker version of one direction of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 28-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem1	⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑚,𝑘   𝐵,𝑛,𝑚,𝑘   𝐶,𝑛,𝑚,𝑘

Proof of Theorem pythagtriplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 12268	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
2		nncn 12268	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
3		nncn 12268	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
4		sqcl 14185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚↑2) ∈ ℂ)
5	4	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚↑2) ∈ ℂ)
6	5	sqcld 14211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((𝑚↑2)↑2) ∈ ℂ)
7		2cn 12343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		sqcl 14185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
9		mulcl 11211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑛↑2) ∈ ℂ) → ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
10	4, 8, 9	syl2anr 609	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
11		mulcl 11211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)) ∈ ℂ) → (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) ∈ ℂ)
12	7, 10, 11	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) ∈ ℂ)
13	6, 12	subcld 11596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) ∈ ℂ)
14	8	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
15	14	sqcld 14211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((𝑛↑2)↑2) ∈ ℂ)
16		mulcl 11211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ)
17	16	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ)
18		mulcl 11211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ) → (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∈ ℂ)
19	7, 17, 18	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∈ ℂ)
20	19	sqcld 14211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
21	13, 15, 20	add32d 11465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) + ((𝑛↑2)↑2)))
22	6, 12, 20	subadd23d 11618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((𝑚↑2)↑2) + (((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))))
23		sqmul 14186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) = ((2↑2) · ((𝑚 · 𝑛)↑2)))
24	7, 17, 23	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) = ((2↑2) · ((𝑚 · 𝑛)↑2)))
25		sq2 14264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2↑2) = 4
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (2↑2) = 4)
27		sqmul 14186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑚 · 𝑛)↑2) = ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))
28	27	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((𝑚 · 𝑛)↑2) = ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))
29	26, 28	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((2↑2) · ((𝑚 · 𝑛)↑2)) = (4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))
30	24, 29	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) = (4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))
31	30	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) = ((4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
32		4cn 12353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		subdir 11675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)) ∈ ℂ) → ((4 − 2) · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) = ((4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
34	32, 7, 10, 33	mp3an12i 1494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((4 − 2) · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) = ((4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
35		2p2e4 12402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 + 2) = 4
36	32, 7, 7, 35	subaddrii 11574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 − 2) = 2
37	36	oveq1i 7424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((4 − 2) · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) = (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))
38	34, 37	eqtr3di 2810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) = (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))
39	31, 38	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) = (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))
40	39	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2)↑2) + (((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))) = (((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
41	22, 40	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
42	41	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) + ((𝑛↑2)↑2)) = ((((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
43	21, 42	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = ((((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
44		binom2sub 14287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑚↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑛↑2) ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) = ((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
45	4, 8, 44	syl2anr 609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) = ((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
46	45	oveq1d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)))
47		binom2 14284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑛↑2) ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2) = ((((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
48	4, 8, 47	syl2anr 609	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2) = ((((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
49	43, 46, 48	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2))
50	49	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2))
51	50	oveq2d 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘↑2) · ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))) = ((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2)))
52		simp3 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
53	4	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑚↑2) ∈ ℂ)
54	8	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
55	53, 54	subcld 11596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
56	52, 55	sqmuld 14225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) = ((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2)))
57	17	3adant3 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ)
58	7, 57, 18	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∈ ℂ)
59	52, 58	sqmuld 14225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2) = ((𝑘↑2) · ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)))
60	56, 59	oveq12d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = (((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2)) + ((𝑘↑2) · ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))))
61		sqcl 14185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
62	61	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
63	55	sqcld 14211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) ∈ ℂ)
64	58	sqcld 14211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
65	62, 63, 64	adddid 11260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘↑2) · ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))) = (((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2)) + ((𝑘↑2) · ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))))
66	60, 65	eqtr4d 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = ((𝑘↑2) · ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))))
67	53, 54	addcld 11255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
68	52, 67	sqmuld 14225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2) = ((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2)))
69	51, 66, 68	3eqtr4d 2805	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2))
70	1, 2, 3, 69	syl3an 1178	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2))
71		oveq1 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) → (𝐴↑2) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2))
72		oveq1 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) → (𝐵↑2) = ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2))
73	71, 72	oveqan12d 7433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)))
74	73	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)))
75		oveq1 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))) → (𝐶↑2) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2))
76	75	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → (𝐶↑2) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2))
77	74, 76	eqeq12d 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ↔ (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2)))
78	70, 77	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
79	78	3expa 1136	. . 3 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
80	79	rexlimdva 3163	. 2 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
81	80	rexlimivv 3204	1 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  (class class class)co 7414  ℂcc 11125   + caddc 11130   · cmul 11132   − cmin 11468  ℕcn 12260  2c2 12322  4c4 12324  ↑cexp 14128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-seq 14069  df-exp 14129

This theorem is used by:  pythagtriplem2  16912