MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythagtriplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pythagtriplem1 16755
Description: Lemma for pythagtrip 16773. Prove a weaker version of one direction of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 28-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem1 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›,๐‘š,๐‘˜   ๐ต,๐‘›,๐‘š,๐‘˜   ๐ถ,๐‘›,๐‘š,๐‘˜

Proof of Theorem pythagtriplem1
StepHypRef Expression
1 nncn 12226 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
2 nncn 12226 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
3 nncn 12226 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
4 sqcl 14089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘šโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
54adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘šโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
65sqcld 14115 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7 2cn 12293 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„‚
8 sqcl 14089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
9 mulcl 11198 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘šโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
104, 8, 9syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
11 mulcl 11198 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
127, 10, 11sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
136, 12subcld 11577 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) โˆˆ โ„‚)
148adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1514sqcld 14115 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
16 mulcl 11198 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
1716ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
18 mulcl 11198 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘š ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
197, 17, 18sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
2019sqcld 14115 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2113, 15, 20add32d 11447 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2)) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2)) = (((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2)) + ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2)))
226, 12, 20subadd23d 11599 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2)) = (((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) + (((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))))))
23 sqmul 14090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘š ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท ((๐‘š ยท ๐‘›)โ†‘2)))
247, 17, 23sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท ((๐‘š ยท ๐‘›)โ†‘2)))
25 sq2 14167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2โ†‘2) = 4
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (2โ†‘2) = 4)
27 sqmul 14090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘›)โ†‘2) = ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))
2827ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘›)โ†‘2) = ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))
2926, 28oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2โ†‘2) ยท ((๐‘š ยท ๐‘›)โ†‘2)) = (4 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))))
3024, 29eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2) = (4 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))))
3130oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) = ((4 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))))
32 4cn 12303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 โˆˆ โ„‚
33 subdir 11654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((4 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((4 โˆ’ 2) ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))) = ((4 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))))
3432, 7, 10, 33mp3an12i 1463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((4 โˆ’ 2) ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))) = ((4 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))))
35 2p2e4 12353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 + 2) = 4
3632, 7, 7, 35subaddrii 11555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 โˆ’ 2) = 2
3736oveq1i 7423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((4 โˆ’ 2) ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))) = (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))
3834, 37eqtr3di 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((4 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) = (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))))
3931, 38eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) = (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))))
4039oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) + (((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))))) = (((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) + (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))))
4122, 40eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2)) = (((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) + (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))))
4241oveq1d 7428 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2)) + ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2)) = ((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) + (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2)))
4321, 42eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2)) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2)) = ((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) + (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2)))
44 binom2sub 14189 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘šโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2) = ((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2)))
454, 8, 44syl2anr 595 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2) = ((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2)))
4645oveq1d 7428 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2)) = (((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2)) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2)))
47 binom2 14187 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘šโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))โ†‘2) = ((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) + (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2)))
484, 8, 47syl2anr 595 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))โ†‘2) = ((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) + (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2)))
4943, 46, 483eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2)) = (((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))โ†‘2))
50493adant3 1130 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2)) = (((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))โ†‘2))
5150oveq2d 7429 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜โ†‘2) ยท ((((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2))) = ((๐‘˜โ†‘2) ยท (((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))โ†‘2)))
52 simp3 1136 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
5343ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘šโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
5483ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
5553, 54subcld 11577 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
5652, 55sqmuld 14129 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2) = ((๐‘˜โ†‘2) ยท (((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2)))
57173adant3 1130 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
587, 57, 18sylancr 585 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
5952, 58sqmuld 14129 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))โ†‘2) = ((๐‘˜โ†‘2) ยท ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2)))
6056, 59oveq12d 7431 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2) + ((๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))โ†‘2)) = (((๐‘˜โ†‘2) ยท (((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2)) + ((๐‘˜โ†‘2) ยท ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2))))
61 sqcl 14089 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
62613ad2ant3 1133 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6355sqcld 14115 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6458sqcld 14115 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6562, 63, 64adddid 11244 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜โ†‘2) ยท ((((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2))) = (((๐‘˜โ†‘2) ยท (((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2)) + ((๐‘˜โ†‘2) ยท ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2))))
6660, 65eqtr4d 2773 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2) + ((๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))โ†‘2)) = ((๐‘˜โ†‘2) ยท ((((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2))))
6753, 54addcld 11239 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
6852, 67sqmuld 14129 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2) = ((๐‘˜โ†‘2) ยท (((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))โ†‘2)))
6951, 66, 683eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2) + ((๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))โ†‘2)) = ((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2))
701, 2, 3, 69syl3an 1158 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2) + ((๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))โ†‘2)) = ((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2))
71 oveq1 7420 . . . . . . . 8 (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โ†’ (๐ดโ†‘2) = ((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2))
72 oveq1 7420 . . . . . . . 8 (๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โ†’ (๐ตโ†‘2) = ((๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))โ†‘2))
7371, 72oveqan12d 7432 . . . . . . 7 ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2) + ((๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))โ†‘2)))
74733adant3 1130 . . . . . 6 ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2) + ((๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))โ†‘2)))
75 oveq1 7420 . . . . . . 7 (๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))) โ†’ (๐ถโ†‘2) = ((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2))
76753ad2ant3 1133 . . . . . 6 ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†’ (๐ถโ†‘2) = ((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2))
7774, 76eqeq12d 2746 . . . . 5 ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โ†” (((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2) + ((๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))โ†‘2)) = ((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2)))
7870, 77syl5ibrcom 246 . . . 4 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)))
79783expa 1116 . . 3 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)))
8079rexlimdva 3153 . 2 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)))
8180rexlimivv 3197 1 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆƒwrex 3068  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11112   + caddc 11117   ยท cmul 11119   โˆ’ cmin 11450  โ„•cn 12218  2c2 12273  4c4 12275  โ†‘cexp 14033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-seq 13973  df-exp 14034
This theorem is referenced by:  pythagtriplem2  16756
  Copyright terms: Public domain W3C validator