Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeid2 24394
 Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to the degree of the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
coeid2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑆,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋

Proof of Theorem coeid2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrub.1 . . . 4 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2 dgrub.2 . . . 4 𝑁 = (deg‘𝐹)
31, 2coeid 24393 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
43fveq1d 6435 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹𝑋) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑋))
5 oveq1 6912 . . . . 5 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧𝑘) = (𝑋𝑘))
65oveq2d 6921 . . . 4 (𝑧 = 𝑋 → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))
76sumeq2sdv 14812 . . 3 (𝑧 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))
8 eqid 2825 . . 3 (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
9 sumex 14795 . . 3 Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 6529 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))
114, 10sylan9eq 2881 1 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ↦ cmpt 4952  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  0cc0 10252   · cmul 10257  ...cfz 12619  ↑cexp 13154  Σcsu 14793  Polycply 24339  coeffccoe 24341  degcdgr 24342 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-0p 23836  df-ply 24343  df-coe 24345  df-dgr 24346 This theorem is referenced by:  coeid3  24395  coefv0  24403  plyrecj  24434  vieta1  24466  elqaalem3  24475  aareccl  24480  aalioulem1  24486  ftalem1  25212  ftalem5  25216  signsplypnf  31174  cnsrplycl  38580  elaa2lem  41244  etransclem46  41291
 Copyright terms: Public domain W3C validator