MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeid2 25410
Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to the degree of the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
coeid2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑆,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋

Proof of Theorem coeid2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrub.1 . . . 4 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2 dgrub.2 . . . 4 𝑁 = (deg‘𝐹)
31, 2coeid 25409 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
43fveq1d 6768 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹𝑋) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑋))
5 oveq1 7274 . . . . 5 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧𝑘) = (𝑋𝑘))
65oveq2d 7283 . . . 4 (𝑧 = 𝑋 → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))
76sumeq2sdv 15426 . . 3 (𝑧 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))
8 eqid 2738 . . 3 (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
9 sumex 15409 . . 3 Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 6867 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))
114, 10sylan9eq 2798 1 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  cmpt 5156  cfv 6426  (class class class)co 7267  cc 10879  0cc0 10881   · cmul 10886  ...cfz 13249  cexp 13792  Σcsu 15407  Polycply 25355  coeffccoe 25357  degcdgr 25358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-inf2 9386  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-pm 8605  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-sup 9188  df-inf 9189  df-oi 9256  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-rp 12741  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-fl 13522  df-seq 13732  df-exp 13793  df-hash 14055  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-clim 15207  df-rlim 15208  df-sum 15408  df-0p 24844  df-ply 25359  df-coe 25361  df-dgr 25362
This theorem is referenced by:  coeid3  25411  coefv0  25419  plyrecj  25450  vieta1  25482  elqaalem3  25491  aareccl  25496  aalioulem1  25502  ftalem1  26232  ftalem5  26236  signsplypnf  32537  cnsrplycl  41000  elaa2lem  43755  etransclem46  43802
  Copyright terms: Public domain W3C validator