MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coemul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coemul 25541
Description: A coefficient of a product of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coefv0.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
coeadd.2 𝐵 = (coeff‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
coemul ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coeff‘(𝐹f · 𝐺))‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑁𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘

Proof of Theorem coemul
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coefv0.1 . . . . . 6 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2 coeadd.2 . . . . . 6 𝐵 = (coeff‘𝐺)
3 eqid 2738 . . . . . 6 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
4 eqid 2738 . . . . . 6 (deg‘𝐺) = (deg‘𝐺)
51, 2, 3, 4coemullem 25539 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((coeff‘(𝐹f · 𝐺)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘)))) ∧ (deg‘(𝐹f · 𝐺)) ≤ ((deg‘𝐹) + (deg‘𝐺))))
65simpld 496 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹f · 𝐺)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘)))))
76fveq1d 6840 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((coeff‘(𝐹f · 𝐺))‘𝑁) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))))‘𝑁))
8 oveq2 7358 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (0...𝑛) = (0...𝑁))
9 fvoveq1 7373 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (𝐵‘(𝑛𝑘)) = (𝐵‘(𝑁𝑘)))
109oveq2d 7366 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) = ((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑁𝑘))))
1110adantr 482 . . . . 5 ((𝑛 = 𝑁𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) = ((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑁𝑘))))
128, 11sumeq12dv 15527 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑁𝑘))))
13 eqid 2738 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))))
14 sumex 15508 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑁𝑘))) ∈ V
1512, 13, 14fvmpt 6944 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))))‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑁𝑘))))
167, 15sylan9eq 2798 . 2 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coeff‘(𝐹f · 𝐺))‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑁𝑘))))
17163impa 1111 1 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coeff‘(𝐹f · 𝐺))‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑁𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5104  cmpt 5187  cfv 6492  (class class class)co 7350  f cof 7606  0cc0 10985   + caddc 10988   · cmul 10990  cle 11124  cmin 11319  0cn0 12347  ...cfz 13354  Σcsu 15506  Polycply 25473  coeffccoe 25475  degcdgr 25476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-map 8701  df-pm 8702  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12698  df-rp 12846  df-fz 13355  df-fzo 13498  df-fl 13627  df-seq 13837  df-exp 13898  df-hash 14160  df-cj 14919  df-re 14920  df-im 14921  df-sqrt 15055  df-abs 15056  df-clim 15306  df-rlim 15307  df-sum 15507  df-0p 24962  df-ply 25477  df-coe 25479  df-dgr 25480
This theorem is referenced by:  coemulhi  25543  coemulc  25544  vieta1lem2  25599  plymulx0  32939
  Copyright terms: Public domain W3C validator