Theorem coemul 26137

Description: A coefficient of a product of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
coefv0.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
coeadd.2	⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
coemul	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑁 − 𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘

Proof of Theorem coemul

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coefv0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2		coeadd.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐺)
3		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
4		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (deg‘𝐺) = (deg‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	coemullem 26135	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)))) ∧ (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ≤ ((deg‘𝐹) + (deg‘𝐺))))
6	5	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)))))
7	6	fveq1d 6886	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))‘𝑁) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))))‘𝑁))
8		oveq2 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (0...𝑛) = (0...𝑁))
9		fvoveq1 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)) = (𝐵‘(𝑁 − 𝑘)))
10	9	oveq2d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) = ((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑁 − 𝑘))))
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) = ((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑁 − 𝑘))))
12	8, 11	sumeq12dv 15656	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑁 − 𝑘))))
13		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))))
14		sumex 15638	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑁 − 𝑘))) ∈ V
15	12, 13, 14	fvmpt 6991	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))))‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑁 − 𝑘))))
16	7, 15	sylan9eq 2786	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑁 − 𝑘))))
17	16	3impa 1107	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))‘𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑁 − 𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘_f cof 7664  0cc0 11109   + caddc 11112   · cmul 11114   ≤ cle 11250   − cmin 11445  ℕ₀cn0 12473  ...cfz 13487  Σcsu 15636  Polycply 26069  coeffccoe 26071  degcdgr 26072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25550  df-ply 26073  df-coe 26075  df-dgr 26076

This theorem is referenced by:  coemulhi  26139  coemulc  26140  vieta1lem2  26197  plymulx0  34088