MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem5 26295
Description: Lemma for aaliou3 26299. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏)
aaliou3lem.e 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem5 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻𝐴) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aaliou3lem5
StepHypRef Expression
1 oveq2 7421 . . . 4 (𝑐 = 𝐴 → (1...𝑐) = (1...𝐴))
21sumeq1d 15674 . . 3 (𝑐 = 𝐴 → Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏))
3 aaliou3lem.e . . 3 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
4 sumex 15661 . . 3 Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) ∈ V
52, 3, 4fvmpt 6998 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻𝐴) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏))
6 fzfid 13965 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (1...𝐴) ∈ Fin)
7 elfznn 13557 . . . . 5 (𝑏 ∈ (1...𝐴) → 𝑏 ∈ ℕ)
87adantl 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ)
9 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (!‘𝑎) = (!‘𝑏))
109negeqd 11479 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑏))
1110oveq2d 7429 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑏)))
12 aaliou3lem.c . . . . . 6 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
13 ovex 7446 . . . . . 6 (2↑-(!‘𝑏)) ∈ V
1411, 12, 13fvmpt 6998 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
15 2rp 13006 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
16 nnnn0 12504 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
1716faccld 14270 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℕ → (!‘𝑏) ∈ ℕ)
1817nnzd 12610 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℕ → (!‘𝑏) ∈ ℤ)
1918znegcld 12693 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℕ → -(!‘𝑏) ∈ ℤ)
20 rpexpcl 14072 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝑏) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
2115, 19, 20sylancr 585 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
2221rpred 13043 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ)
2314, 22eqeltrd 2825 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
248, 23syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
256, 24fsumrecl 15707 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) ∈ ℝ)
265, 25eqeltrd 2825 1 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cmpt 5227  cfv 6543  (class class class)co 7413  cr 11132  1c1 11134  -cneg 11470  cn 12237  2c2 12292  cz 12583  +crp 13001  ...cfz 13511  cexp 14053  !cfa 14259  Σcsu 15659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660
This theorem is referenced by:  aaliou3lem7  26297  aaliou3lem9  26298
  Copyright terms: Public domain W3C validator