MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem5 26390
Description: Lemma for aaliou3 26394. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏)
aaliou3lem.e 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem5 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻𝐴) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aaliou3lem5
StepHypRef Expression
1 oveq2 7440 . . . 4 (𝑐 = 𝐴 → (1...𝑐) = (1...𝐴))
21sumeq1d 15737 . . 3 (𝑐 = 𝐴 → Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏))
3 aaliou3lem.e . . 3 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
4 sumex 15725 . . 3 Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) ∈ V
52, 3, 4fvmpt 7015 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻𝐴) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏))
6 fzfid 14015 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (1...𝐴) ∈ Fin)
7 elfznn 13594 . . . . 5 (𝑏 ∈ (1...𝐴) → 𝑏 ∈ ℕ)
87adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ)
9 fveq2 6905 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (!‘𝑎) = (!‘𝑏))
109negeqd 11503 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑏))
1110oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑏)))
12 aaliou3lem.c . . . . . 6 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
13 ovex 7465 . . . . . 6 (2↑-(!‘𝑏)) ∈ V
1411, 12, 13fvmpt 7015 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
15 2rp 13040 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
16 nnnn0 12535 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
1716faccld 14324 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℕ → (!‘𝑏) ∈ ℕ)
1817nnzd 12642 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℕ → (!‘𝑏) ∈ ℤ)
1918znegcld 12726 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℕ → -(!‘𝑏) ∈ ℤ)
20 rpexpcl 14122 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝑏) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
2115, 19, 20sylancr 587 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
2221rpred 13078 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ)
2314, 22eqeltrd 2840 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
248, 23syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
256, 24fsumrecl 15771 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) ∈ ℝ)
265, 25eqeltrd 2840 1 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  cr 11155  1c1 11157  -cneg 11494  cn 12267  2c2 12322  cz 12615  +crp 13035  ...cfz 13548  cexp 14103  !cfa 14313  Σcsu 15723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724
This theorem is referenced by:  aaliou3lem7  26392  aaliou3lem9  26393
  Copyright terms: Public domain W3C validator