Theorem aaliou3lem5 26282

Description: Lemma for aaliou3 26286. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d	⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
aaliou3lem.e	⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem5	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻‘𝐴) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aaliou3lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7354	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (1...𝑐) = (1...𝐴))
2	1	sumeq1d 15607	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏))
3		aaliou3lem.e	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))
4		sumex 15595	. . 3 ⊢ Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6929	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻‘𝐴) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏))
6		fzfid 13880	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1...𝐴) ∈ Fin)
7		elfznn 13453	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (1...𝐴) → 𝑏 ∈ ℕ)
8	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ)
9		fveq2 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (!‘𝑎) = (!‘𝑏))
10	9	negeqd 11354	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑏))
11	10	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑏)))
12		aaliou3lem.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
13		ovex 7379	. . . . . 6 ⊢ (2↑-(!‘𝑏)) ∈ V
14	11, 12, 13	fvmpt 6929	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
15		2rp 12895	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
16		nnnn0 12388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
17	16	faccld 14191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (!‘𝑏) ∈ ℕ)
18	17	nnzd 12495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (!‘𝑏) ∈ ℤ)
19	18	znegcld 12579	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → -(!‘𝑏) ∈ ℤ)
20		rpexpcl 13987	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝑏) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
21	15, 19, 20	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
22	21	rpred 12934	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ)
23	14, 22	eqeltrd 2831	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
24	8, 23	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
25	6, 24	fsumrecl 15641	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
26	5, 25	eqeltrd 2831	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  1c1 11007  -cneg 11345  ℕcn 12125  2c2 12180  ℤcz 12468  ℝ⁺crp 12890  ...cfz 13407  ↑cexp 13968  !cfa 14180  Σcsu 15593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594

This theorem is referenced by:  aaliou3lem7  26284  aaliou3lem9  26285