Theorem aaliou3lem5 26683

Description: Lemma for aaliou3 26687. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑ -(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d	⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
aaliou3lem.e	⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem5	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻‘𝐴) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎, 𝑏, 𝑐)   𝐿(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem aaliou3lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7432	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (1...𝑐) = (1...𝐴))
2	1	sumeq1d 15876	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏))
3		aaliou3lem.e	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))
4		sumex 15864	. . 3 ⊢ Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6998	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻‘𝐴) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏))
6		fzfid 14123	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1...𝐴) ∈ Fin)
7		elfznn 13694	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (1...𝐴) → 𝑏 ∈ ℕ)
8	7	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ)
9		fveq2 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (!‘𝑎) = (!‘𝑏))
10	9	negeqd 11558	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑏))
11	10	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (2↑ -(!‘𝑎)) = (2↑ -(!‘𝑏)))
12		aaliou3lem.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑ -(!‘𝑎)))
13		ovex 7457	. . . . . 6 ⊢ (2↑ -(!‘𝑏)) ∈ V
14	11, 12, 13	fvmpt 6998	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑏) = (2↑ -(!‘𝑏)))
15		2rp 13132	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
16		nnnn0 12620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
17	16	faccld 14435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (!‘𝑏) ∈ ℕ)
18	17	nnzd 12726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (!‘𝑏) ∈ ℤ)
19	18	znegcld 12812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → -(!‘𝑏) ∈ ℤ)
20		rpexpcl 14230	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝑏) ∈ ℤ) → (2↑ -(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
21	15, 19, 20	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2↑ -(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
22	21	rpred 13171	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2↑ -(!‘𝑏)) ∈ ℝ)
23	14, 22	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
24	8, 23	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
25	6, 24	fsumrecl 15909	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
26	5, 25	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  1c1 11208   -cneg 11549  ℕcn 12342  2c2 12404  ℤcz 12700  ℝ⁺crp 13127  ...cfz 13646  ↑cexp 14211  !cfa 14424  Σcsu 15862

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9441  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-sum 15863

This theorem is used by:  aaliou3lem7  26685  aaliou3lem9  26686