Theorem aaliou3lem5 26404

Description: Lemma for aaliou3 26408. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d	⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
aaliou3lem.e	⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem5	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻‘𝐴) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aaliou3lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (1...𝑐) = (1...𝐴))
2	1	sumeq1d 15733	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏))
3		aaliou3lem.e	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))
4		sumex 15721	. . 3 ⊢ Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 7016	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻‘𝐴) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏))
6		fzfid 14011	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1...𝐴) ∈ Fin)
7		elfznn 13590	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (1...𝐴) → 𝑏 ∈ ℕ)
8	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ)
9		fveq2 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (!‘𝑎) = (!‘𝑏))
10	9	negeqd 11500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑏))
11	10	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑏)))
12		aaliou3lem.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
13		ovex 7464	. . . . . 6 ⊢ (2↑-(!‘𝑏)) ∈ V
14	11, 12, 13	fvmpt 7016	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
15		2rp 13037	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
16		nnnn0 12531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
17	16	faccld 14320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (!‘𝑏) ∈ ℕ)
18	17	nnzd 12638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (!‘𝑏) ∈ ℤ)
19	18	znegcld 12722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → -(!‘𝑏) ∈ ℤ)
20		rpexpcl 14118	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝑏) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
21	15, 19, 20	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
22	21	rpred 13075	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ)
23	14, 22	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
24	8, 23	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
25	6, 24	fsumrecl 15767	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
26	5, 25	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  1c1 11154  -cneg 11491  ℕcn 12264  2c2 12319  ℤcz 12611  ℝ⁺crp 13032  ...cfz 13544  ↑cexp 14099  !cfa 14309  Σcsu 15719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720

This theorem is referenced by:  aaliou3lem7  26406  aaliou3lem9  26407