Theorem aaliou3lem5 26313

Description: Lemma for aaliou3 26317. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d	⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
aaliou3lem.e	⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem5	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻‘𝐴) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aaliou3lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7375	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (1...𝑐) = (1...𝐴))
2	1	sumeq1d 15662	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏))
3		aaliou3lem.e	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))
4		sumex 15650	. . 3 ⊢ Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6947	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻‘𝐴) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏))
6		fzfid 13935	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1...𝐴) ∈ Fin)
7		elfznn 13507	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (1...𝐴) → 𝑏 ∈ ℕ)
8	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ)
9		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (!‘𝑎) = (!‘𝑏))
10	9	negeqd 11387	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑏))
11	10	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑏)))
12		aaliou3lem.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
13		ovex 7400	. . . . . 6 ⊢ (2↑-(!‘𝑏)) ∈ V
14	11, 12, 13	fvmpt 6947	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
15		2rp 12947	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
16		nnnn0 12444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
17	16	faccld 14246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (!‘𝑏) ∈ ℕ)
18	17	nnzd 12550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (!‘𝑏) ∈ ℤ)
19	18	znegcld 12635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → -(!‘𝑏) ∈ ℤ)
20		rpexpcl 14042	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝑏) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
21	15, 19, 20	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
22	21	rpred 12986	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ)
23	14, 22	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
24	8, 23	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
25	6, 24	fsumrecl 15696	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
26	5, 25	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  1c1 11039  -cneg 11378  ℕcn 12174  2c2 12236  ℤcz 12524  ℝ⁺crp 12942  ...cfz 13461  ↑cexp 14023  !cfa 14235  Σcsu 15648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649

This theorem is referenced by:  aaliou3lem7  26315  aaliou3lem9  26316