MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem5 26256
Description: Lemma for aaliou3 26260. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏)
aaliou3lem.e 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem5 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻𝐴) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aaliou3lem5
StepHypRef Expression
1 oveq2 7422 . . . 4 (𝑐 = 𝐴 → (1...𝑐) = (1...𝐴))
21sumeq1d 15665 . . 3 (𝑐 = 𝐴 → Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏))
3 aaliou3lem.e . . 3 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
4 sumex 15652 . . 3 Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) ∈ V
52, 3, 4fvmpt 6999 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻𝐴) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏))
6 fzfid 13956 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (1...𝐴) ∈ Fin)
7 elfznn 13548 . . . . 5 (𝑏 ∈ (1...𝐴) → 𝑏 ∈ ℕ)
87adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ)
9 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (!‘𝑎) = (!‘𝑏))
109negeqd 11470 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑏))
1110oveq2d 7430 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑏)))
12 aaliou3lem.c . . . . . 6 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
13 ovex 7447 . . . . . 6 (2↑-(!‘𝑏)) ∈ V
1411, 12, 13fvmpt 6999 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
15 2rp 12997 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
16 nnnn0 12495 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
1716faccld 14261 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℕ → (!‘𝑏) ∈ ℕ)
1817nnzd 12601 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℕ → (!‘𝑏) ∈ ℤ)
1918znegcld 12684 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℕ → -(!‘𝑏) ∈ ℤ)
20 rpexpcl 14063 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝑏) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
2115, 19, 20sylancr 586 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
2221rpred 13034 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ)
2314, 22eqeltrd 2828 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
248, 23syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
256, 24fsumrecl 15698 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) ∈ ℝ)
265, 25eqeltrd 2828 1 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  cmpt 5225  cfv 6542  (class class class)co 7414  cr 11123  1c1 11125  -cneg 11461  cn 12228  2c2 12283  cz 12574  +crp 12992  ...cfz 13502  cexp 14044  !cfa 14250  Σcsu 15650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-sum 15651
This theorem is referenced by:  aaliou3lem7  26258  aaliou3lem9  26259
  Copyright terms: Public domain W3C validator