Theorem aaliou3lem5 26477

Description: Lemma for aaliou3 26481. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d	⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
aaliou3lem.e	⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem5	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻‘𝐴) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aaliou3lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7419	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (1...𝑐) = (1...𝐴))
2	1	sumeq1d 15751	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏))
3		aaliou3lem.e	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))
4		sumex 15739	. . 3 ⊢ Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6990	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻‘𝐴) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏))
6		fzfid 14009	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1...𝐴) ∈ Fin)
7		elfznn 13581	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (1...𝐴) → 𝑏 ∈ ℕ)
8	7	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ)
9		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (!‘𝑎) = (!‘𝑏))
10	9	negeqd 11451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑏))
11	10	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑏)))
12		aaliou3lem.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
13		ovex 7444	. . . . . 6 ⊢ (2↑-(!‘𝑏)) ∈ V
14	11, 12, 13	fvmpt 6990	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
15		2rp 13021	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
16		nnnn0 12511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
17	16	faccld 14320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (!‘𝑏) ∈ ℕ)
18	17	nnzd 12617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (!‘𝑏) ∈ ℤ)
19	18	znegcld 12702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → -(!‘𝑏) ∈ ℤ)
20		rpexpcl 14116	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝑏) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
21	15, 19, 20	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
22	21	rpred 13060	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ)
23	14, 22	eqeltrd 2869	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
24	8, 23	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
25	6, 24	fsumrecl 15785	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
26	5, 25	eqeltrd 2869	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  1c1 11101  -cneg 11442  ℕcn 12233  2c2 12295  ℤcz 12591  ℝ⁺crp 13016  ...cfz 13535  ↑cexp 14097  !cfa 14309  Σcsu 15737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-sum 15738

This theorem is referenced by:  aaliou3lem7  26479  aaliou3lem9  26480