Theorem muinv 27513

Description: The Möbius inversion formula. If 𝐺(𝑛) = Σ𝑘 ∥ 𝑛𝐹(𝑘) for every 𝑛 ∈ ℕ, then 𝐹(𝑛) = Σ𝑘 ∥ 𝑛 μ(𝑘)𝐺(𝑛 / 𝑘) = Σ𝑘 ∥ 𝑛μ(𝑛 / 𝑘)𝐺(𝑘), i.e. the Möbius function is the Dirichlet convolution inverse of the constant function 1. Theorem 2.9 in [ApostolNT] p. 32. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
muinv.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
muinv.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
muinv	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑗,𝑛,𝐹   𝑥,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑛)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑛)

Proof of Theorem muinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muinv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
2	1	feqmptd 6951	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑚)))
3		muinv.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘)))
4	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘)))
5	4	fveq1d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)))
6		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 ∥ 𝑚 ↔ 𝑗 ∥ 𝑚))
7	6	elrab 3645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∥ 𝑚))
8	7	simprbi 503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} → 𝑗 ∥ 𝑚)
9	8	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑗 ∥ 𝑚)
10		elrabi 3641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} → 𝑗 ∈ ℕ)
11	10	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑗 ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑗 ∈ ℤ)
13	11	nnne0d 12381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑗 ≠ 0)
14		nnz 12707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
15	14	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑚 ∈ ℤ)
16		dvdsval2 16418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ≠ 0 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑗 ∥ 𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ))
17	12, 13, 15, 16	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑗 ∥ 𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ))
18	9, 17	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ)
19		nnre 12335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
20		nngt0 12362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
21	19, 20	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚))
22	21	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚))
23		nnre 12335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
24		nngt0 12362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 𝑗)
25	23, 24	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
26	11, 25	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
27		divgt0 12178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗)) → 0 < (𝑚 / 𝑗))
28	22, 26, 27	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 0 < (𝑚 / 𝑗))
29		elnnz 12696	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ ↔ ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑚 / 𝑗)))
30	18, 28, 29	sylanbrc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ)
31		breq2 5107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → (𝑥 ∥ 𝑛 ↔ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)))
32	31	rabbidv 3420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})
33	32	sumeq1d 15860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘))
34		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘))
35		sumex 15848	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘) ∈ V
36	33, 34, 35	fvmpt 6991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘))
37	30, 36	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘))
38	5, 37	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘))
39	38	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = ((μ‘𝑗) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘)))
40		fzfid 14109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (1...(𝑚 / 𝑗)) ∈ Fin)
41		dvdsssfz1 16481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑗)))
42	30, 41	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑗)))
43	40, 42	ssfid 9253	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ∈ Fin)
44		mucl 27461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
45	11, 44	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
46	45	zcnd 12797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
47	1	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
48		elrabi 3641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} → 𝑘 ∈ ℕ)
49		ffvelcdm 7079	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
50	47, 48, 49	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)}) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
51	43, 46, 50	fsummulc2 15943	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((μ‘𝑗) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)))
52	39, 51	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)))
53	52	sumeq2dv 15862	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)))
54		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
55	46	adantrr 730	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
56	50	anasss 472	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
57	55, 56	mulcld 11322	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
58	54, 57	fsumdvdsdiag 27504	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)))
59		ssrab2 4028	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ⊆ ℕ
60		dvdsdivcl 16479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
61	60	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
62	59, 61	sselid 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ)
63		musum 27511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0))
64	62, 63	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0))
65	64	oveq1d 7433	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹‘𝑘)))
66		fzfid 14109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (1...(𝑚 / 𝑘)) ∈ Fin)
67		dvdsssfz1 16481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑘)))
68	62, 67	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑘)))
69	66, 68	ssfid 9253	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ∈ Fin)
70	1	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
71		elrabi 3641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} → 𝑘 ∈ ℕ)
72	70, 71, 49	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
73		ssrab2 4028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ ℕ
74		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)})
75	73, 74	sselid 3929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → 𝑗 ∈ ℕ)
76	75, 44	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
77	76	zcnd 12797	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
78	69, 72, 77	fsummulc1 15944	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)))
79		ovif 7516	. . . . . . . 8 ⊢ (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹‘𝑘)) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, (1 · (𝐹‘𝑘)), (0 · (𝐹‘𝑘)))
80		nncn 12336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
81	80	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑚 ∈ ℂ)
82	71	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑘 ∈ ℕ)
83	82	nncnd 12344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑘 ∈ ℂ)
84		1cnd 11295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 1 ∈ ℂ)
85	82	nnne0d 12381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑘 ≠ 0)
86	81, 83, 84, 85	divmuld 12108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((𝑚 / 𝑘) = 1 ↔ (𝑘 · 1) = 𝑚))
87	83	mulridd 11319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑘 · 1) = 𝑘)
88	87	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((𝑘 · 1) = 𝑚 ↔ 𝑘 = 𝑚))
89	86, 88	bitrd 282	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((𝑚 / 𝑘) = 1 ↔ 𝑘 = 𝑚))
90	72	mullidd 11320	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (1 · (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
91	72	mul02d 11501	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (0 · (𝐹‘𝑘)) = 0)
92	89, 90, 91	ifbieq12d 4511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → if((𝑚 / 𝑘) = 1, (1 · (𝐹‘𝑘)), (0 · (𝐹‘𝑘))) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0))
93	79, 92	eqtrid 2808	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0))
94	65, 78, 93	3eqtr3d 2804	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0))
95	94	sumeq2dv 15862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0))
96		breq1 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (𝑥 ∥ 𝑚 ↔ 𝑚 ∥ 𝑚))
97	54	nnzd 12712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
98		iddvds 16432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∥ 𝑚)
99	97, 98	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∥ 𝑚)
100	96, 54, 99	elrabd 3647	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
101	100	snssd 4747	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → {𝑚} ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
102	101	sselda 3931	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
103	102, 72	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
104		0cn 11291	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
105		ifcl 4528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) ∈ ℂ)
106	103, 104, 105	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) ∈ ℂ)
107		eldifsni 4753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∖ {𝑚}) → 𝑘 ≠ 𝑚)
108	107	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∖ {𝑚})) → 𝑘 ≠ 𝑚)
109	108	neneqd 2961	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∖ {𝑚})) → ¬ 𝑘 = 𝑚)
110	109	iffalsed 4493	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∖ {𝑚})) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = 0)
111		fzfid 14109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1...𝑚) ∈ Fin)
112		dvdsssfz1 16481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ⊆ (1...𝑚))
113	112	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ⊆ (1...𝑚))
114	111, 113	ssfid 9253	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∈ Fin)
115	101, 106, 110, 114	fsumss 15884	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0))
116	1	ffvelcdmda 7082	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ)
117		iftrue 4488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = (𝐹‘𝑘))
118		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚))
119	117, 118	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = (𝐹‘𝑚))
120	119	sumsn 15905	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = (𝐹‘𝑚))
121	54, 116, 120	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = (𝐹‘𝑚))
122	95, 115, 121	3eqtr2d 2802	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑚))
123	53, 58, 122	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = (𝐹‘𝑚))
124	123	mpteq2dva 5198	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑚)))
125	2, 124	eqtr4d 2799	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  {crab 3413   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ifcif 4482  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   · cmul 11198   < clt 11336   / cdiv 11966  ℕcn 12328  ℤcz 12686  ...cfz 13632  Σcsu 15846   ∥ cdvds 16415  μcmu 27415

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-dju 9975  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-fac 14411  df-bc 14440  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-sum 15847  df-dvds 16416  df-gcd 16658  df-prm 16840  df-pc 17008  df-mu 27421

This theorem is used by:  dchrvmasumlem1  27815  logsqvma2  27863