MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muinv 26686
Description: The MΓΆbius inversion formula. If 𝐺(𝑛) = Ξ£π‘˜ βˆ₯ 𝑛𝐹(π‘˜) for every 𝑛 ∈ β„•, then 𝐹(𝑛) = Ξ£π‘˜ βˆ₯ 𝑛 ΞΌ(π‘˜)𝐺(𝑛 / π‘˜) = Ξ£π‘˜ βˆ₯ 𝑛μ(𝑛 / π‘˜)𝐺(π‘˜), i.e. the MΓΆbius function is the Dirichlet convolution inverse of the constant function 1. Theorem 2.9 in [ApostolNT] p. 32. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
muinv.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„‚)
muinv.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
muinv (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘š ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗)))))
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘š,𝑗,𝑛,𝐹   π‘₯,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘š
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛)

Proof of Theorem muinv
StepHypRef Expression
1 muinv.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„‚)
21feqmptd 6957 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘š ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘š)))
3 muinv.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜)))
43ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜)))
54fveq1d 6890 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗)) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜))β€˜(π‘š / 𝑗)))
6 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑗 β†’ (π‘₯ βˆ₯ π‘š ↔ 𝑗 βˆ₯ π‘š))
76elrab 3682 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ↔ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑗 βˆ₯ π‘š))
87simprbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} β†’ 𝑗 βˆ₯ π‘š)
98adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝑗 βˆ₯ π‘š)
10 elrabi 3676 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} β†’ 𝑗 ∈ β„•)
1110adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
1211nnzd 12581 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
1311nnne0d 12258 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝑗 β‰  0)
14 nnz 12575 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„€)
1514ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ π‘š ∈ β„€)
16 dvdsval2 16196 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ 𝑗 β‰  0 ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (𝑗 βˆ₯ π‘š ↔ (π‘š / 𝑗) ∈ β„€))
1712, 13, 15, 16syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (𝑗 βˆ₯ π‘š ↔ (π‘š / 𝑗) ∈ β„€))
189, 17mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š / 𝑗) ∈ β„€)
19 nnre 12215 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ ℝ)
20 nngt0 12239 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ 0 < π‘š)
2119, 20jca 512 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• β†’ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š))
2221ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š))
23 nnre 12215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
24 nngt0 12239 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑗)
2523, 24jca 512 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
2611, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
27 divgt0 12078 . . . . . . . . . . 11 (((π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗)) β†’ 0 < (π‘š / 𝑗))
2822, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 0 < (π‘š / 𝑗))
29 elnnz 12564 . . . . . . . . . 10 ((π‘š / 𝑗) ∈ β„• ↔ ((π‘š / 𝑗) ∈ β„€ ∧ 0 < (π‘š / 𝑗)))
3018, 28, 29sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š / 𝑗) ∈ β„•)
31 breq2 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (π‘š / 𝑗) β†’ (π‘₯ βˆ₯ 𝑛 ↔ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)))
3231rabbidv 3440 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (π‘š / 𝑗) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)})
3332sumeq1d 15643 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (π‘š / 𝑗) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜))
34 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜))
35 sumex 15630 . . . . . . . . . 10 Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜) ∈ V
3633, 34, 35fvmpt 6995 . . . . . . . . 9 ((π‘š / 𝑗) ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜))β€˜(π‘š / 𝑗)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜))
3730, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜))β€˜(π‘š / 𝑗)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜))
385, 37eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜))
3938oveq2d 7421 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗))) = ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜)))
40 fzfid 13934 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (1...(π‘š / 𝑗)) ∈ Fin)
41 dvdsssfz1 16257 . . . . . . . . 9 ((π‘š / 𝑗) ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} βŠ† (1...(π‘š / 𝑗)))
4230, 41syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} βŠ† (1...(π‘š / 𝑗)))
4340, 42ssfid 9263 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} ∈ Fin)
44 mucl 26634 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„€)
4511, 44syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„€)
4645zcnd 12663 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
471ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„‚)
48 elrabi 3676 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} β†’ π‘˜ ∈ β„•)
49 ffvelcdm 7080 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5047, 48, 49syl2an 596 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)}) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5143, 46, 50fsummulc2 15726 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
5239, 51eqtrd 2772 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗))) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
5352sumeq2dv 15645 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗))) = Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
54 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„•)
5546adantrr 715 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
5650anasss 467 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)})) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5755, 56mulcld 11230 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)})) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
5854, 57fsumdvdsdiag 26677 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
59 ssrab2 4076 . . . . . . . . . 10 {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βŠ† β„•
60 dvdsdivcl 16255 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š / π‘˜) ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š})
6160adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š / π‘˜) ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š})
6259, 61sselid 3979 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š / π‘˜) ∈ β„•)
63 musum 26684 . . . . . . . . 9 ((π‘š / π‘˜) ∈ β„• β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} (ΞΌβ€˜π‘—) = if((π‘š / π‘˜) = 1, 1, 0))
6462, 63syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} (ΞΌβ€˜π‘—) = if((π‘š / π‘˜) = 1, 1, 0))
6564oveq1d 7420 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} (ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (if((π‘š / π‘˜) = 1, 1, 0) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
66 fzfid 13934 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (1...(π‘š / π‘˜)) ∈ Fin)
67 dvdsssfz1 16257 . . . . . . . . . 10 ((π‘š / π‘˜) ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} βŠ† (1...(π‘š / π‘˜)))
6862, 67syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} βŠ† (1...(π‘š / π‘˜)))
6966, 68ssfid 9263 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ∈ Fin)
701adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„‚)
71 elrabi 3676 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} β†’ π‘˜ ∈ β„•)
7270, 71, 49syl2an 596 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
73 ssrab2 4076 . . . . . . . . . . 11 {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} βŠ† β„•
74 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)}) β†’ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)})
7573, 74sselid 3979 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)}) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
7675, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„€)
7776zcnd 12663 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
7869, 72, 77fsummulc1 15727 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} (ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
79 ovif 7502 . . . . . . . 8 (if((π‘š / π‘˜) = 1, 1, 0) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = if((π‘š / π‘˜) = 1, (1 Β· (πΉβ€˜π‘˜)), (0 Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
80 nncn 12216 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„‚)
8180ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ π‘š ∈ β„‚)
8271adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
8382nncnd 12224 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
84 1cnd 11205 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 1 ∈ β„‚)
8582nnne0d 12258 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ π‘˜ β‰  0)
8681, 83, 84, 85divmuld 12008 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((π‘š / π‘˜) = 1 ↔ (π‘˜ Β· 1) = π‘š))
8783mulridd 11227 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘˜ Β· 1) = π‘˜)
8887eqeq1d 2734 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((π‘˜ Β· 1) = π‘š ↔ π‘˜ = π‘š))
8986, 88bitrd 278 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((π‘š / π‘˜) = 1 ↔ π‘˜ = π‘š))
9072mullidd 11228 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (1 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘˜))
9172mul02d 11408 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (0 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = 0)
9289, 90, 91ifbieq12d 4555 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ if((π‘š / π‘˜) = 1, (1 Β· (πΉβ€˜π‘˜)), (0 Β· (πΉβ€˜π‘˜))) = if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0))
9379, 92eqtrid 2784 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (if((π‘š / π‘˜) = 1, 1, 0) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0))
9465, 78, 933eqtr3d 2780 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0))
9594sumeq2dv 15645 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0))
96 breq1 5150 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘š β†’ (π‘₯ βˆ₯ π‘š ↔ π‘š βˆ₯ π‘š))
9754nnzd 12581 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„€)
98 iddvds 16209 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„€ β†’ π‘š βˆ₯ π‘š)
9997, 98syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š βˆ₯ π‘š)
10096, 54, 99elrabd 3684 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š})
101100snssd 4811 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ {π‘š} βŠ† {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š})
102101sselda 3981 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š}) β†’ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š})
103102, 72syldan 591 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š}) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
104 0cn 11202 . . . . . . 7 0 ∈ β„‚
105 ifcl 4572 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) ∈ β„‚)
106103, 104, 105sylancl 586 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š}) β†’ if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) ∈ β„‚)
107 eldifsni 4792 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ({π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βˆ– {π‘š}) β†’ π‘˜ β‰  π‘š)
108107adantl 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ({π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βˆ– {π‘š})) β†’ π‘˜ β‰  π‘š)
109108neneqd 2945 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ({π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βˆ– {π‘š})) β†’ Β¬ π‘˜ = π‘š)
110109iffalsed 4538 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ({π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βˆ– {π‘š})) β†’ if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = 0)
111 fzfid 13934 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (1...π‘š) ∈ Fin)
112 dvdsssfz1 16257 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βŠ† (1...π‘š))
113112adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βŠ† (1...π‘š))
114111, 113ssfid 9263 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ∈ Fin)
115101, 106, 110, 114fsumss 15667 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘š}if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0))
1161ffvelcdmda 7083 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
117 iftrue 4533 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = (πΉβ€˜π‘˜))
118 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘š))
119117, 118eqtrd 2772 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = (πΉβ€˜π‘š))
120119sumsn 15688 . . . . . 6 ((π‘š ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘š}if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = (πΉβ€˜π‘š))
12154, 116, 120syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘š}if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = (πΉβ€˜π‘š))
12295, 115, 1213eqtr2d 2778 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘š))
12353, 58, 1223eqtrd 2776 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗))) = (πΉβ€˜π‘š))
124123mpteq2dva 5247 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗)))) = (π‘š ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘š)))
1252, 124eqtr4d 2775 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘š ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {crab 3432   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111   < clt 11244   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„€cz 12554  ...cfz 13480  Ξ£csu 15628   βˆ₯ cdvds 16193  ΞΌcmu 26588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-pc 16766  df-mu 26594
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem1  26987  logsqvma2  27035
  Copyright terms: Public domain W3C validator