Theorem muinv 27136

Description: The Möbius inversion formula. If 𝐺(𝑛) = Σ𝑘 ∥ 𝑛𝐹(𝑘) for every 𝑛 ∈ ℕ, then 𝐹(𝑛) = Σ𝑘 ∥ 𝑛 μ(𝑘)𝐺(𝑛 / 𝑘) = Σ𝑘 ∥ 𝑛μ(𝑛 / 𝑘)𝐺(𝑘), i.e. the Möbius function is the Dirichlet convolution inverse of the constant function 1. Theorem 2.9 in [ApostolNT] p. 32. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
muinv.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
muinv.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
muinv	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑗,𝑛,𝐹   𝑥,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem muinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muinv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
2	1	feqmptd 6911	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑚)))
3		muinv.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘)))
4	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘)))
5	4	fveq1d 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)))
6		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 ∥ 𝑚 ↔ 𝑗 ∥ 𝑚))
7	6	elrab 3656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∥ 𝑚))
8	7	simprbi 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} → 𝑗 ∥ 𝑚)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑗 ∥ 𝑚)
10		elrabi 3651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} → 𝑗 ∈ ℕ)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑗 ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑗 ∈ ℤ)
13	11	nnne0d 12212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑗 ≠ 0)
14		nnz 12526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
15	14	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑚 ∈ ℤ)
16		dvdsval2 16201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ≠ 0 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑗 ∥ 𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ))
17	12, 13, 15, 16	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑗 ∥ 𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ))
18	9, 17	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ)
19		nnre 12169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
20		nngt0 12193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
21	19, 20	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚))
22	21	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚))
23		nnre 12169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
24		nngt0 12193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 𝑗)
25	23, 24	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
26	11, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
27		divgt0 12027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗)) → 0 < (𝑚 / 𝑗))
28	22, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 0 < (𝑚 / 𝑗))
29		elnnz 12515	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ ↔ ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑚 / 𝑗)))
30	18, 28, 29	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ)
31		breq2 5106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → (𝑥 ∥ 𝑛 ↔ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)))
32	31	rabbidv 3410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})
33	32	sumeq1d 15642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘))
34		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘))
35		sumex 15630	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘) ∈ V
36	33, 34, 35	fvmpt 6950	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘))
37	30, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘))
38	5, 37	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘))
39	38	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = ((μ‘𝑗) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘)))
40		fzfid 13914	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (1...(𝑚 / 𝑗)) ∈ Fin)
41		dvdsssfz1 16264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑗)))
42	30, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑗)))
43	40, 42	ssfid 9188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ∈ Fin)
44		mucl 27084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
45	11, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
46	45	zcnd 12615	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
47	1	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
48		elrabi 3651	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} → 𝑘 ∈ ℕ)
49		ffvelcdm 7035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
50	47, 48, 49	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)}) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
51	43, 46, 50	fsummulc2 15726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((μ‘𝑗) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)))
52	39, 51	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)))
53	52	sumeq2dv 15644	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)))
54		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
55	46	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
56	50	anasss 466	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
57	55, 56	mulcld 11170	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
58	54, 57	fsumdvdsdiag 27127	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)))
59		ssrab2 4039	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ⊆ ℕ
60		dvdsdivcl 16262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
61	60	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
62	59, 61	sselid 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ)
63		musum 27134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0))
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0))
65	64	oveq1d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹‘𝑘)))
66		fzfid 13914	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (1...(𝑚 / 𝑘)) ∈ Fin)
67		dvdsssfz1 16264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑘)))
68	62, 67	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑘)))
69	66, 68	ssfid 9188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ∈ Fin)
70	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
71		elrabi 3651	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} → 𝑘 ∈ ℕ)
72	70, 71, 49	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
73		ssrab2 4039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ ℕ
74		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)})
75	73, 74	sselid 3941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → 𝑗 ∈ ℕ)
76	75, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
77	76	zcnd 12615	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
78	69, 72, 77	fsummulc1 15727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)))
79		ovif 7467	. . . . . . . 8 ⊢ (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹‘𝑘)) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, (1 · (𝐹‘𝑘)), (0 · (𝐹‘𝑘)))
80		nncn 12170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
81	80	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑚 ∈ ℂ)
82	71	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑘 ∈ ℕ)
83	82	nncnd 12178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑘 ∈ ℂ)
84		1cnd 11145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 1 ∈ ℂ)
85	82	nnne0d 12212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑘 ≠ 0)
86	81, 83, 84, 85	divmuld 11956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((𝑚 / 𝑘) = 1 ↔ (𝑘 · 1) = 𝑚))
87	83	mulridd 11167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑘 · 1) = 𝑘)
88	87	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((𝑘 · 1) = 𝑚 ↔ 𝑘 = 𝑚))
89	86, 88	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((𝑚 / 𝑘) = 1 ↔ 𝑘 = 𝑚))
90	72	mullidd 11168	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (1 · (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
91	72	mul02d 11348	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (0 · (𝐹‘𝑘)) = 0)
92	89, 90, 91	ifbieq12d 4513	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → if((𝑚 / 𝑘) = 1, (1 · (𝐹‘𝑘)), (0 · (𝐹‘𝑘))) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0))
93	79, 92	eqtrid 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0))
94	65, 78, 93	3eqtr3d 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0))
95	94	sumeq2dv 15644	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0))
96		breq1 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (𝑥 ∥ 𝑚 ↔ 𝑚 ∥ 𝑚))
97	54	nnzd 12532	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
98		iddvds 16215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∥ 𝑚)
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∥ 𝑚)
100	96, 54, 99	elrabd 3658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
101	100	snssd 4769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → {𝑚} ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
102	101	sselda 3943	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
103	102, 72	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
104		0cn 11142	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
105		ifcl 4530	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) ∈ ℂ)
106	103, 104, 105	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) ∈ ℂ)
107		eldifsni 4750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∖ {𝑚}) → 𝑘 ≠ 𝑚)
108	107	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∖ {𝑚})) → 𝑘 ≠ 𝑚)
109	108	neneqd 2930	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∖ {𝑚})) → ¬ 𝑘 = 𝑚)
110	109	iffalsed 4495	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∖ {𝑚})) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = 0)
111		fzfid 13914	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1...𝑚) ∈ Fin)
112		dvdsssfz1 16264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ⊆ (1...𝑚))
113	112	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ⊆ (1...𝑚))
114	111, 113	ssfid 9188	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∈ Fin)
115	101, 106, 110, 114	fsumss 15667	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0))
116	1	ffvelcdmda 7038	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ)
117		iftrue 4490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = (𝐹‘𝑘))
118		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚))
119	117, 118	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = (𝐹‘𝑚))
120	119	sumsn 15688	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = (𝐹‘𝑚))
121	54, 116, 120	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = (𝐹‘𝑚))
122	95, 115, 121	3eqtr2d 2770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑚))
123	53, 58, 122	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = (𝐹‘𝑚))
124	123	mpteq2dva 5195	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑚)))
125	2, 124	eqtr4d 2767	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3402   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  ifcif 4484  {csn 4585   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049   < clt 11184   / cdiv 11811  ℕcn 12162  ℤcz 12505  ...cfz 13444  Σcsu 15628   ∥ cdvds 16198  μcmu 27038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-prm 16618  df-pc 16784  df-mu 27044

This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem1  27439  logsqvma2  27487