Theorem muinv 26342

Description: The Möbius inversion formula. If 𝐺(𝑛) = Σ𝑘 ∥ 𝑛𝐹(𝑘) for every 𝑛 ∈ ℕ, then 𝐹(𝑛) = Σ𝑘 ∥ 𝑛 μ(𝑘)𝐺(𝑛 / 𝑘) = Σ𝑘 ∥ 𝑛μ(𝑛 / 𝑘)𝐺(𝑘), i.e. the Möbius function is the Dirichlet convolution inverse of the constant function 1. Theorem 2.9 in [ApostolNT] p. 32. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
muinv.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
muinv.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
muinv	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑗,𝑛,𝐹   𝑥,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem muinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muinv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
2	1	feqmptd 6837	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑚)))
3		muinv.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘)))
4	3	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘)))
5	4	fveq1d 6776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)))
6		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 ∥ 𝑚 ↔ 𝑗 ∥ 𝑚))
7	6	elrab 3624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∥ 𝑚))
8	7	simprbi 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} → 𝑗 ∥ 𝑚)
9	8	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑗 ∥ 𝑚)
10		elrabi 3618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} → 𝑗 ∈ ℕ)
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑗 ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑗 ∈ ℤ)
13	11	nnne0d 12023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑗 ≠ 0)
14		nnz 12342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
15	14	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑚 ∈ ℤ)
16		dvdsval2 15966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ≠ 0 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑗 ∥ 𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ))
17	12, 13, 15, 16	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑗 ∥ 𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ))
18	9, 17	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ)
19		nnre 11980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
20		nngt0 12004	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
21	19, 20	jca 512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚))
22	21	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚))
23		nnre 11980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
24		nngt0 12004	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 𝑗)
25	23, 24	jca 512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
26	11, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
27		divgt0 11843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗)) → 0 < (𝑚 / 𝑗))
28	22, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 0 < (𝑚 / 𝑗))
29		elnnz 12329	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ ↔ ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑚 / 𝑗)))
30	18, 28, 29	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ)
31		breq2 5078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → (𝑥 ∥ 𝑛 ↔ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)))
32	31	rabbidv 3414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})
33	32	sumeq1d 15413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘))
34		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘))
35		sumex 15399	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘) ∈ V
36	33, 34, 35	fvmpt 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘))
37	30, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘))
38	5, 37	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘))
39	38	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = ((μ‘𝑗) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘)))
40		fzfid 13693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (1...(𝑚 / 𝑗)) ∈ Fin)
41		dvdsssfz1 16027	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑗)))
42	30, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑗)))
43	40, 42	ssfid 9042	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ∈ Fin)
44		mucl 26290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
45	11, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
46	45	zcnd 12427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
47	1	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
48		elrabi 3618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} → 𝑘 ∈ ℕ)
49		ffvelrn 6959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
50	47, 48, 49	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)}) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
51	43, 46, 50	fsummulc2 15496	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((μ‘𝑗) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)))
52	39, 51	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)))
53	52	sumeq2dv 15415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)))
54		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
55	46	adantrr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
56	50	anasss 467	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
57	55, 56	mulcld 10995	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
58	54, 57	fsumdvdsdiag 26333	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)))
59		ssrab2 4013	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ⊆ ℕ
60		dvdsdivcl 16025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
61	60	adantll 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
62	59, 61	sselid 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ)
63		musum 26340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0))
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0))
65	64	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹‘𝑘)))
66		fzfid 13693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (1...(𝑚 / 𝑘)) ∈ Fin)
67		dvdsssfz1 16027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑘)))
68	62, 67	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑘)))
69	66, 68	ssfid 9042	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ∈ Fin)
70	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
71		elrabi 3618	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} → 𝑘 ∈ ℕ)
72	70, 71, 49	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
73		ssrab2 4013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ ℕ
74		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)})
75	73, 74	sselid 3919	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → 𝑗 ∈ ℕ)
76	75, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
77	76	zcnd 12427	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
78	69, 72, 77	fsummulc1 15497	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)))
79		ovif 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹‘𝑘)) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, (1 · (𝐹‘𝑘)), (0 · (𝐹‘𝑘)))
80		nncn 11981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
81	80	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑚 ∈ ℂ)
82	71	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑘 ∈ ℕ)
83	82	nncnd 11989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑘 ∈ ℂ)
84		1cnd 10970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 1 ∈ ℂ)
85	82	nnne0d 12023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑘 ≠ 0)
86	81, 83, 84, 85	divmuld 11773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((𝑚 / 𝑘) = 1 ↔ (𝑘 · 1) = 𝑚))
87	83	mulid1d 10992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑘 · 1) = 𝑘)
88	87	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((𝑘 · 1) = 𝑚 ↔ 𝑘 = 𝑚))
89	86, 88	bitrd 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((𝑚 / 𝑘) = 1 ↔ 𝑘 = 𝑚))
90	72	mulid2d 10993	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (1 · (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
91	72	mul02d 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (0 · (𝐹‘𝑘)) = 0)
92	89, 90, 91	ifbieq12d 4487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → if((𝑚 / 𝑘) = 1, (1 · (𝐹‘𝑘)), (0 · (𝐹‘𝑘))) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0))
93	79, 92	eqtrid 2790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0))
94	65, 78, 93	3eqtr3d 2786	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0))
95	94	sumeq2dv 15415	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0))
96		breq1 5077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (𝑥 ∥ 𝑚 ↔ 𝑚 ∥ 𝑚))
97	54	nnzd 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
98		iddvds 15979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∥ 𝑚)
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∥ 𝑚)
100	96, 54, 99	elrabd 3626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
101	100	snssd 4742	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → {𝑚} ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
102	101	sselda 3921	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
103	102, 72	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
104		0cn 10967	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
105		ifcl 4504	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) ∈ ℂ)
106	103, 104, 105	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) ∈ ℂ)
107		eldifsni 4723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∖ {𝑚}) → 𝑘 ≠ 𝑚)
108	107	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∖ {𝑚})) → 𝑘 ≠ 𝑚)
109	108	neneqd 2948	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∖ {𝑚})) → ¬ 𝑘 = 𝑚)
110	109	iffalsed 4470	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∖ {𝑚})) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = 0)
111		fzfid 13693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1...𝑚) ∈ Fin)
112		dvdsssfz1 16027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ⊆ (1...𝑚))
113	112	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ⊆ (1...𝑚))
114	111, 113	ssfid 9042	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∈ Fin)
115	101, 106, 110, 114	fsumss 15437	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0))
116	1	ffvelrnda 6961	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ)
117		iftrue 4465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = (𝐹‘𝑘))
118		fveq2 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚))
119	117, 118	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = (𝐹‘𝑚))
120	119	sumsn 15458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = (𝐹‘𝑚))
121	54, 116, 120	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = (𝐹‘𝑚))
122	95, 115, 121	3eqtr2d 2784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑚))
123	53, 58, 122	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = (𝐹‘𝑚))
124	123	mpteq2dva 5174	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑚)))
125	2, 124	eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  {crab 3068   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  ifcif 4459  {csn 4561   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009   / cdiv 11632  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ...cfz 13239  Σcsu 15397   ∥ cdvds 15963  μcmu 26244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-pc 16538  df-mu 26250

This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem1  26643  logsqvma2  26691