MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muinv 27065
Description: The MΓΆbius inversion formula. If 𝐺(𝑛) = Ξ£π‘˜ βˆ₯ 𝑛𝐹(π‘˜) for every 𝑛 ∈ β„•, then 𝐹(𝑛) = Ξ£π‘˜ βˆ₯ 𝑛 ΞΌ(π‘˜)𝐺(𝑛 / π‘˜) = Ξ£π‘˜ βˆ₯ 𝑛μ(𝑛 / π‘˜)𝐺(π‘˜), i.e. the MΓΆbius function is the Dirichlet convolution inverse of the constant function 1. Theorem 2.9 in [ApostolNT] p. 32. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
muinv.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„‚)
muinv.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
muinv (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘š ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗)))))
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘š,𝑗,𝑛,𝐹   π‘₯,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘š
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛)

Proof of Theorem muinv
StepHypRef Expression
1 muinv.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„‚)
21feqmptd 6951 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘š ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘š)))
3 muinv.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜)))
43ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜)))
54fveq1d 6884 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗)) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜))β€˜(π‘š / 𝑗)))
6 breq1 5142 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑗 β†’ (π‘₯ βˆ₯ π‘š ↔ 𝑗 βˆ₯ π‘š))
76elrab 3676 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ↔ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑗 βˆ₯ π‘š))
87simprbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} β†’ 𝑗 βˆ₯ π‘š)
98adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝑗 βˆ₯ π‘š)
10 elrabi 3670 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} β†’ 𝑗 ∈ β„•)
1110adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
1211nnzd 12584 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
1311nnne0d 12261 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝑗 β‰  0)
14 nnz 12578 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„€)
1514ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ π‘š ∈ β„€)
16 dvdsval2 16203 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ 𝑗 β‰  0 ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (𝑗 βˆ₯ π‘š ↔ (π‘š / 𝑗) ∈ β„€))
1712, 13, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (𝑗 βˆ₯ π‘š ↔ (π‘š / 𝑗) ∈ β„€))
189, 17mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š / 𝑗) ∈ β„€)
19 nnre 12218 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ ℝ)
20 nngt0 12242 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ 0 < π‘š)
2119, 20jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• β†’ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š))
2221ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š))
23 nnre 12218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
24 nngt0 12242 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑗)
2523, 24jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
2611, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
27 divgt0 12081 . . . . . . . . . . 11 (((π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗)) β†’ 0 < (π‘š / 𝑗))
2822, 26, 27syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 0 < (π‘š / 𝑗))
29 elnnz 12567 . . . . . . . . . 10 ((π‘š / 𝑗) ∈ β„• ↔ ((π‘š / 𝑗) ∈ β„€ ∧ 0 < (π‘š / 𝑗)))
3018, 28, 29sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š / 𝑗) ∈ β„•)
31 breq2 5143 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (π‘š / 𝑗) β†’ (π‘₯ βˆ₯ 𝑛 ↔ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)))
3231rabbidv 3432 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (π‘š / 𝑗) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)})
3332sumeq1d 15649 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (π‘š / 𝑗) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜))
34 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜))
35 sumex 15636 . . . . . . . . . 10 Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜) ∈ V
3633, 34, 35fvmpt 6989 . . . . . . . . 9 ((π‘š / 𝑗) ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜))β€˜(π‘š / 𝑗)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜))
3730, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜))β€˜(π‘š / 𝑗)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜))
385, 37eqtrd 2764 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜))
3938oveq2d 7418 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗))) = ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜)))
40 fzfid 13939 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (1...(π‘š / 𝑗)) ∈ Fin)
41 dvdsssfz1 16264 . . . . . . . . 9 ((π‘š / 𝑗) ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} βŠ† (1...(π‘š / 𝑗)))
4230, 41syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} βŠ† (1...(π‘š / 𝑗)))
4340, 42ssfid 9264 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} ∈ Fin)
44 mucl 27013 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„€)
4511, 44syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„€)
4645zcnd 12666 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
471ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„‚)
48 elrabi 3670 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} β†’ π‘˜ ∈ β„•)
49 ffvelcdm 7074 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5047, 48, 49syl2an 595 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)}) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5143, 46, 50fsummulc2 15732 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
5239, 51eqtrd 2764 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗))) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
5352sumeq2dv 15651 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗))) = Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
54 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„•)
5546adantrr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
5650anasss 466 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)})) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5755, 56mulcld 11233 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)})) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
5854, 57fsumdvdsdiag 27056 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
59 ssrab2 4070 . . . . . . . . . 10 {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βŠ† β„•
60 dvdsdivcl 16262 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š / π‘˜) ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š})
6160adantll 711 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š / π‘˜) ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š})
6259, 61sselid 3973 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š / π‘˜) ∈ β„•)
63 musum 27063 . . . . . . . . 9 ((π‘š / π‘˜) ∈ β„• β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} (ΞΌβ€˜π‘—) = if((π‘š / π‘˜) = 1, 1, 0))
6462, 63syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} (ΞΌβ€˜π‘—) = if((π‘š / π‘˜) = 1, 1, 0))
6564oveq1d 7417 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} (ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (if((π‘š / π‘˜) = 1, 1, 0) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
66 fzfid 13939 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (1...(π‘š / π‘˜)) ∈ Fin)
67 dvdsssfz1 16264 . . . . . . . . . 10 ((π‘š / π‘˜) ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} βŠ† (1...(π‘š / π‘˜)))
6862, 67syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} βŠ† (1...(π‘š / π‘˜)))
6966, 68ssfid 9264 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ∈ Fin)
701adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„‚)
71 elrabi 3670 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} β†’ π‘˜ ∈ β„•)
7270, 71, 49syl2an 595 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
73 ssrab2 4070 . . . . . . . . . . 11 {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} βŠ† β„•
74 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)}) β†’ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)})
7573, 74sselid 3973 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)}) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
7675, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„€)
7776zcnd 12666 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
7869, 72, 77fsummulc1 15733 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} (ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
79 ovif 7499 . . . . . . . 8 (if((π‘š / π‘˜) = 1, 1, 0) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = if((π‘š / π‘˜) = 1, (1 Β· (πΉβ€˜π‘˜)), (0 Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
80 nncn 12219 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„‚)
8180ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ π‘š ∈ β„‚)
8271adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
8382nncnd 12227 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
84 1cnd 11208 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 1 ∈ β„‚)
8582nnne0d 12261 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ π‘˜ β‰  0)
8681, 83, 84, 85divmuld 12011 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((π‘š / π‘˜) = 1 ↔ (π‘˜ Β· 1) = π‘š))
8783mulridd 11230 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘˜ Β· 1) = π‘˜)
8887eqeq1d 2726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((π‘˜ Β· 1) = π‘š ↔ π‘˜ = π‘š))
8986, 88bitrd 279 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((π‘š / π‘˜) = 1 ↔ π‘˜ = π‘š))
9072mullidd 11231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (1 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘˜))
9172mul02d 11411 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (0 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = 0)
9289, 90, 91ifbieq12d 4549 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ if((π‘š / π‘˜) = 1, (1 Β· (πΉβ€˜π‘˜)), (0 Β· (πΉβ€˜π‘˜))) = if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0))
9379, 92eqtrid 2776 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (if((π‘š / π‘˜) = 1, 1, 0) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0))
9465, 78, 933eqtr3d 2772 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0))
9594sumeq2dv 15651 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0))
96 breq1 5142 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘š β†’ (π‘₯ βˆ₯ π‘š ↔ π‘š βˆ₯ π‘š))
9754nnzd 12584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„€)
98 iddvds 16216 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„€ β†’ π‘š βˆ₯ π‘š)
9997, 98syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š βˆ₯ π‘š)
10096, 54, 99elrabd 3678 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š})
101100snssd 4805 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ {π‘š} βŠ† {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š})
102101sselda 3975 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š}) β†’ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š})
103102, 72syldan 590 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š}) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
104 0cn 11205 . . . . . . 7 0 ∈ β„‚
105 ifcl 4566 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) ∈ β„‚)
106103, 104, 105sylancl 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š}) β†’ if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) ∈ β„‚)
107 eldifsni 4786 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ({π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βˆ– {π‘š}) β†’ π‘˜ β‰  π‘š)
108107adantl 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ({π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βˆ– {π‘š})) β†’ π‘˜ β‰  π‘š)
109108neneqd 2937 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ({π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βˆ– {π‘š})) β†’ Β¬ π‘˜ = π‘š)
110109iffalsed 4532 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ({π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βˆ– {π‘š})) β†’ if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = 0)
111 fzfid 13939 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (1...π‘š) ∈ Fin)
112 dvdsssfz1 16264 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βŠ† (1...π‘š))
113112adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βŠ† (1...π‘š))
114111, 113ssfid 9264 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ∈ Fin)
115101, 106, 110, 114fsumss 15673 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘š}if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0))
1161ffvelcdmda 7077 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
117 iftrue 4527 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = (πΉβ€˜π‘˜))
118 fveq2 6882 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘š))
119117, 118eqtrd 2764 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = (πΉβ€˜π‘š))
120119sumsn 15694 . . . . . 6 ((π‘š ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘š}if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = (πΉβ€˜π‘š))
12154, 116, 120syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘š}if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = (πΉβ€˜π‘š))
12295, 115, 1213eqtr2d 2770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘š))
12353, 58, 1223eqtrd 2768 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗))) = (πΉβ€˜π‘š))
124123mpteq2dva 5239 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗)))) = (π‘š ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘š)))
1252, 124eqtr4d 2767 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘š ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  {crab 3424   βˆ– cdif 3938   βŠ† wss 3941  ifcif 4521  {csn 4621   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   Β· cmul 11112   < clt 11247   / cdiv 11870  β„•cn 12211  β„€cz 12557  ...cfz 13485  Ξ£csu 15634   βˆ₯ cdvds 16200  ΞΌcmu 26967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-disj 5105  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-mod 13836  df-seq 13968  df-exp 14029  df-fac 14235  df-bc 14264  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-dvds 16201  df-gcd 16439  df-prm 16612  df-pc 16775  df-mu 26973
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem1  27368  logsqvma2  27416
  Copyright terms: Public domain W3C validator