MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muinv 26542
Description: The Möbius inversion formula. If 𝐺(𝑛) = Σ𝑘𝑛𝐹(𝑘) for every 𝑛 ∈ ℕ, then 𝐹(𝑛) = Σ𝑘𝑛 μ(𝑘)𝐺(𝑛 / 𝑘) = Σ𝑘𝑛μ(𝑛 / 𝑘)𝐺(𝑘), i.e. the Möbius function is the Dirichlet convolution inverse of the constant function 1. Theorem 2.9 in [ApostolNT] p. 32. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
muinv.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
muinv.2 (𝜑𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
muinv (𝜑𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑗,𝑛,𝐹   𝑥,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem muinv
StepHypRef Expression
1 muinv.1 . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
21feqmptd 6910 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑚)))
3 muinv.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘)))
43ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘)))
54fveq1d 6844 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)))
6 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑗 → (𝑥𝑚𝑗𝑚))
76elrab 3645 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑗𝑚))
87simprbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} → 𝑗𝑚)
98adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑗𝑚)
10 elrabi 3639 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} → 𝑗 ∈ ℕ)
1110adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑗 ∈ ℕ)
1211nnzd 12526 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑗 ∈ ℤ)
1311nnne0d 12203 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑗 ≠ 0)
14 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
1514ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑚 ∈ ℤ)
16 dvdsval2 16139 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ≠ 0 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑗𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ))
1712, 13, 15, 16syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑗𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ))
189, 17mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ)
19 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
20 nngt0 12184 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
2119, 20jca 512 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚))
2221ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚))
23 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
24 nngt0 12184 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 𝑗)
2523, 24jca 512 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
2611, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
27 divgt0 12023 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗)) → 0 < (𝑚 / 𝑗))
2822, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 0 < (𝑚 / 𝑗))
29 elnnz 12509 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ ↔ ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑚 / 𝑗)))
3018, 28, 29sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ)
31 breq2 5109 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → (𝑥𝑛𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)))
3231rabbidv 3415 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})
3332sumeq1d 15586 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘))
34 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘))
35 sumex 15572 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘) ∈ V
3633, 34, 35fvmpt 6948 . . . . . . . . 9 ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘))
3730, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘))
385, 37eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘))
3938oveq2d 7373 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = ((μ‘𝑗) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘)))
40 fzfid 13878 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (1...(𝑚 / 𝑗)) ∈ Fin)
41 dvdsssfz1 16200 . . . . . . . . 9 ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑗)))
4230, 41syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑗)))
4340, 42ssfid 9211 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ∈ Fin)
44 mucl 26490 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
4511, 44syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
4645zcnd 12608 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
471ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
48 elrabi 3639 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} → 𝑘 ∈ ℕ)
49 ffvelcdm 7032 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5047, 48, 49syl2an 596 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)}) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5143, 46, 50fsummulc2 15669 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((μ‘𝑗) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)))
5239, 51eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)))
5352sumeq2dv 15588 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)))
54 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
5546adantrr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
5650anasss 467 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5755, 56mulcld 11175 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
5854, 57fsumdvdsdiag 26533 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)))
59 ssrab2 4037 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ⊆ ℕ
60 dvdsdivcl 16198 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚})
6160adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚})
6259, 61sselid 3942 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ)
63 musum 26540 . . . . . . . . 9 ((𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0))
6462, 63syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0))
6564oveq1d 7372 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹𝑘)))
66 fzfid 13878 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (1...(𝑚 / 𝑘)) ∈ Fin)
67 dvdsssfz1 16200 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑘)))
6862, 67syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑘)))
6966, 68ssfid 9211 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ∈ Fin)
701adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
71 elrabi 3639 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} → 𝑘 ∈ ℕ)
7270, 71, 49syl2an 596 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
73 ssrab2 4037 . . . . . . . . . . 11 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ ℕ
74 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)})
7573, 74sselid 3942 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → 𝑗 ∈ ℕ)
7675, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
7776zcnd 12608 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
7869, 72, 77fsummulc1 15670 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)))
79 ovif 7454 . . . . . . . 8 (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹𝑘)) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, (1 · (𝐹𝑘)), (0 · (𝐹𝑘)))
80 nncn 12161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
8180ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑚 ∈ ℂ)
8271adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑘 ∈ ℕ)
8382nncnd 12169 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑘 ∈ ℂ)
84 1cnd 11150 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 1 ∈ ℂ)
8582nnne0d 12203 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑘 ≠ 0)
8681, 83, 84, 85divmuld 11953 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((𝑚 / 𝑘) = 1 ↔ (𝑘 · 1) = 𝑚))
8783mulid1d 11172 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑘 · 1) = 𝑘)
8887eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((𝑘 · 1) = 𝑚𝑘 = 𝑚))
8986, 88bitrd 278 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((𝑚 / 𝑘) = 1 ↔ 𝑘 = 𝑚))
9072mulid2d 11173 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (1 · (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
9172mul02d 11353 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (0 · (𝐹𝑘)) = 0)
9289, 90, 91ifbieq12d 4514 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → if((𝑚 / 𝑘) = 1, (1 · (𝐹𝑘)), (0 · (𝐹𝑘))) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0))
9379, 92eqtrid 2788 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹𝑘)) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0))
9465, 78, 933eqtr3d 2784 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0))
9594sumeq2dv 15588 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0))
96 breq1 5108 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑚 → (𝑥𝑚𝑚𝑚))
9754nnzd 12526 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
98 iddvds 16152 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚𝑚)
9997, 98syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚𝑚)
10096, 54, 99elrabd 3647 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚})
101100snssd 4769 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → {𝑚} ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚})
102101sselda 3944 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚})
103102, 72syldan 591 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
104 0cn 11147 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
105 ifcl 4531 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) ∈ ℂ)
106103, 104, 105sylancl 586 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) ∈ ℂ)
107 eldifsni 4750 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∖ {𝑚}) → 𝑘𝑚)
108107adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∖ {𝑚})) → 𝑘𝑚)
109108neneqd 2948 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∖ {𝑚})) → ¬ 𝑘 = 𝑚)
110109iffalsed 4497 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∖ {𝑚})) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = 0)
111 fzfid 13878 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (1...𝑚) ∈ Fin)
112 dvdsssfz1 16200 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ⊆ (1...𝑚))
113112adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ⊆ (1...𝑚))
114111, 113ssfid 9211 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∈ Fin)
115101, 106, 110, 114fsumss 15610 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0))
1161ffvelcdmda 7035 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
117 iftrue 4492 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑘))
118 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
119117, 118eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑚))
120119sumsn 15631 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑚) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑚))
12154, 116, 120syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑚))
12295, 115, 1213eqtr2d 2782 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑚))
12353, 58, 1223eqtrd 2780 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = (𝐹𝑚))
124123mpteq2dva 5205 . 2 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑚)))
1252, 124eqtr4d 2779 1 (𝜑𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  {crab 3407  cdif 3907  wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   < clt 11189   / cdiv 11812  cn 12153  cz 12499  ...cfz 13424  Σcsu 15570  cdvds 16136  μcmu 26444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709  df-mu 26450
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem1  26843  logsqvma2  26891
  Copyright terms: Public domain W3C validator