MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muinv 25781
Description: The Möbius inversion formula. If 𝐺(𝑛) = Σ𝑘𝑛𝐹(𝑘) for every 𝑛 ∈ ℕ, then 𝐹(𝑛) = Σ𝑘𝑛 μ(𝑘)𝐺(𝑛 / 𝑘) = Σ𝑘𝑛μ(𝑛 / 𝑘)𝐺(𝑘), i.e. the Möbius function is the Dirichlet convolution inverse of the constant function 1. Theorem 2.9 in [ApostolNT] p. 32. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
muinv.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
muinv.2 (𝜑𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
muinv (𝜑𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑗,𝑛,𝐹   𝑥,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem muinv
StepHypRef Expression
1 muinv.1 . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
21feqmptd 6712 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑚)))
3 muinv.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘)))
43ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘)))
54fveq1d 6651 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)))
6 breq1 5036 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑗 → (𝑥𝑚𝑗𝑚))
76elrab 3631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑗𝑚))
87simprbi 500 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} → 𝑗𝑚)
98adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑗𝑚)
10 elrabi 3626 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} → 𝑗 ∈ ℕ)
1110adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑗 ∈ ℕ)
1211nnzd 12078 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑗 ∈ ℤ)
1311nnne0d 11679 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑗 ≠ 0)
14 nnz 11996 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑚 ∈ ℤ)
16 dvdsval2 15605 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ≠ 0 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑗𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ))
1712, 13, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑗𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ))
189, 17mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ)
19 nnre 11636 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
20 nngt0 11660 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
2119, 20jca 515 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚))
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚))
23 nnre 11636 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
24 nngt0 11660 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 𝑗)
2523, 24jca 515 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
2611, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
27 divgt0 11501 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗)) → 0 < (𝑚 / 𝑗))
2822, 26, 27syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 0 < (𝑚 / 𝑗))
29 elnnz 11983 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ ↔ ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑚 / 𝑗)))
3018, 28, 29sylanbrc 586 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ)
31 breq2 5037 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → (𝑥𝑛𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)))
3231rabbidv 3430 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})
3332sumeq1d 15053 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘))
34 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘))
35 sumex 15039 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘) ∈ V
3633, 34, 35fvmpt 6749 . . . . . . . . 9 ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘))
3730, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘))
385, 37eqtrd 2836 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘))
3938oveq2d 7155 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = ((μ‘𝑗) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘)))
40 fzfid 13340 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (1...(𝑚 / 𝑗)) ∈ Fin)
41 dvdsssfz1 15663 . . . . . . . . 9 ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑗)))
4230, 41syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑗)))
4340, 42ssfid 8729 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ∈ Fin)
44 mucl 25729 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
4511, 44syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
4645zcnd 12080 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
471ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
48 elrabi 3626 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} → 𝑘 ∈ ℕ)
49 ffvelrn 6830 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5047, 48, 49syl2an 598 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)}) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5143, 46, 50fsummulc2 15134 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((μ‘𝑗) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)))
5239, 51eqtrd 2836 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)))
5352sumeq2dv 15055 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)))
54 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
5546adantrr 716 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
5650anasss 470 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5755, 56mulcld 10654 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
5854, 57fsumdvdsdiag 25772 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)))
59 ssrab2 4010 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ⊆ ℕ
60 dvdsdivcl 15661 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚})
6160adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚})
6259, 61sseldi 3916 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ)
63 musum 25779 . . . . . . . . 9 ((𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0))
6462, 63syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0))
6564oveq1d 7154 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹𝑘)))
66 fzfid 13340 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (1...(𝑚 / 𝑘)) ∈ Fin)
67 dvdsssfz1 15663 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑘)))
6862, 67syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑘)))
6966, 68ssfid 8729 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ∈ Fin)
701adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
71 elrabi 3626 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} → 𝑘 ∈ ℕ)
7270, 71, 49syl2an 598 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
73 ssrab2 4010 . . . . . . . . . . 11 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ ℕ
74 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)})
7573, 74sseldi 3916 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → 𝑗 ∈ ℕ)
7675, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
7776zcnd 12080 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
7869, 72, 77fsummulc1 15135 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)))
79 ovif 7234 . . . . . . . 8 (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹𝑘)) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, (1 · (𝐹𝑘)), (0 · (𝐹𝑘)))
80 nncn 11637 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
8180ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑚 ∈ ℂ)
8271adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑘 ∈ ℕ)
8382nncnd 11645 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑘 ∈ ℂ)
84 1cnd 10629 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 1 ∈ ℂ)
8582nnne0d 11679 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑘 ≠ 0)
8681, 83, 84, 85divmuld 11431 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((𝑚 / 𝑘) = 1 ↔ (𝑘 · 1) = 𝑚))
8783mulid1d 10651 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑘 · 1) = 𝑘)
8887eqeq1d 2803 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((𝑘 · 1) = 𝑚𝑘 = 𝑚))
8986, 88bitrd 282 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((𝑚 / 𝑘) = 1 ↔ 𝑘 = 𝑚))
9072mulid2d 10652 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (1 · (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
9172mul02d 10831 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (0 · (𝐹𝑘)) = 0)
9289, 90, 91ifbieq12d 4455 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → if((𝑚 / 𝑘) = 1, (1 · (𝐹𝑘)), (0 · (𝐹𝑘))) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0))
9379, 92syl5eq 2848 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹𝑘)) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0))
9465, 78, 933eqtr3d 2844 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0))
9594sumeq2dv 15055 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0))
96 breq1 5036 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑚 → (𝑥𝑚𝑚𝑚))
9754nnzd 12078 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
98 iddvds 15618 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚𝑚)
9997, 98syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚𝑚)
10096, 54, 99elrabd 3633 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚})
101100snssd 4705 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → {𝑚} ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚})
102101sselda 3918 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚})
103102, 72syldan 594 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
104 0cn 10626 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
105 ifcl 4472 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) ∈ ℂ)
106103, 104, 105sylancl 589 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) ∈ ℂ)
107 eldifsni 4686 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∖ {𝑚}) → 𝑘𝑚)
108107adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∖ {𝑚})) → 𝑘𝑚)
109108neneqd 2995 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∖ {𝑚})) → ¬ 𝑘 = 𝑚)
110109iffalsed 4439 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∖ {𝑚})) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = 0)
111 fzfid 13340 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (1...𝑚) ∈ Fin)
112 dvdsssfz1 15663 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ⊆ (1...𝑚))
113112adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ⊆ (1...𝑚))
114111, 113ssfid 8729 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∈ Fin)
115101, 106, 110, 114fsumss 15077 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0))
1161ffvelrnda 6832 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
117 iftrue 4434 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑘))
118 fveq2 6649 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
119117, 118eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑚))
120119sumsn 15096 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑚) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑚))
12154, 116, 120syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑚))
12295, 115, 1213eqtr2d 2842 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑚))
12353, 58, 1223eqtrd 2840 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = (𝐹𝑚))
124123mpteq2dva 5128 . 2 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑚)))
1252, 124eqtr4d 2839 1 (𝜑𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  {crab 3113  cdif 3881  wss 3884  ifcif 4428  {csn 4528   class class class wbr 5033  cmpt 5113  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   · cmul 10535   < clt 10668   / cdiv 11290  cn 11629  cz 11973  ...cfz 12889  Σcsu 15037  cdvds 15602  μcmu 25683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-dvds 15603  df-gcd 15837  df-prm 16009  df-pc 16167  df-mu 25689
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem1  26082  logsqvma2  26130
  Copyright terms: Public domain W3C validator