MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muinv 26558
Description: The MΓΆbius inversion formula. If 𝐺(𝑛) = Ξ£π‘˜ βˆ₯ 𝑛𝐹(π‘˜) for every 𝑛 ∈ β„•, then 𝐹(𝑛) = Ξ£π‘˜ βˆ₯ 𝑛 ΞΌ(π‘˜)𝐺(𝑛 / π‘˜) = Ξ£π‘˜ βˆ₯ 𝑛μ(𝑛 / π‘˜)𝐺(π‘˜), i.e. the MΓΆbius function is the Dirichlet convolution inverse of the constant function 1. Theorem 2.9 in [ApostolNT] p. 32. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
muinv.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„‚)
muinv.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
muinv (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘š ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗)))))
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘š,𝑗,𝑛,𝐹   π‘₯,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘š
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛)

Proof of Theorem muinv
StepHypRef Expression
1 muinv.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„‚)
21feqmptd 6915 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘š ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘š)))
3 muinv.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜)))
43ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜)))
54fveq1d 6849 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗)) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜))β€˜(π‘š / 𝑗)))
6 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑗 β†’ (π‘₯ βˆ₯ π‘š ↔ 𝑗 βˆ₯ π‘š))
76elrab 3650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ↔ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑗 βˆ₯ π‘š))
87simprbi 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} β†’ 𝑗 βˆ₯ π‘š)
98adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝑗 βˆ₯ π‘š)
10 elrabi 3644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} β†’ 𝑗 ∈ β„•)
1110adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
1211nnzd 12533 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
1311nnne0d 12210 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝑗 β‰  0)
14 nnz 12527 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„€)
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ π‘š ∈ β„€)
16 dvdsval2 16146 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ 𝑗 β‰  0 ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (𝑗 βˆ₯ π‘š ↔ (π‘š / 𝑗) ∈ β„€))
1712, 13, 15, 16syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (𝑗 βˆ₯ π‘š ↔ (π‘š / 𝑗) ∈ β„€))
189, 17mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š / 𝑗) ∈ β„€)
19 nnre 12167 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ ℝ)
20 nngt0 12191 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ 0 < π‘š)
2119, 20jca 513 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• β†’ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š))
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š))
23 nnre 12167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
24 nngt0 12191 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑗)
2523, 24jca 513 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
2611, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
27 divgt0 12030 . . . . . . . . . . 11 (((π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗)) β†’ 0 < (π‘š / 𝑗))
2822, 26, 27syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 0 < (π‘š / 𝑗))
29 elnnz 12516 . . . . . . . . . 10 ((π‘š / 𝑗) ∈ β„• ↔ ((π‘š / 𝑗) ∈ β„€ ∧ 0 < (π‘š / 𝑗)))
3018, 28, 29sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š / 𝑗) ∈ β„•)
31 breq2 5114 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (π‘š / 𝑗) β†’ (π‘₯ βˆ₯ 𝑛 ↔ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)))
3231rabbidv 3418 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (π‘š / 𝑗) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)})
3332sumeq1d 15593 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (π‘š / 𝑗) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜))
34 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜))
35 sumex 15579 . . . . . . . . . 10 Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜) ∈ V
3633, 34, 35fvmpt 6953 . . . . . . . . 9 ((π‘š / 𝑗) ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜))β€˜(π‘š / 𝑗)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜))
3730, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜))β€˜(π‘š / 𝑗)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜))
385, 37eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜))
3938oveq2d 7378 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗))) = ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜)))
40 fzfid 13885 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (1...(π‘š / 𝑗)) ∈ Fin)
41 dvdsssfz1 16207 . . . . . . . . 9 ((π‘š / 𝑗) ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} βŠ† (1...(π‘š / 𝑗)))
4230, 41syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} βŠ† (1...(π‘š / 𝑗)))
4340, 42ssfid 9218 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} ∈ Fin)
44 mucl 26506 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„€)
4511, 44syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„€)
4645zcnd 12615 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
471ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„‚)
48 elrabi 3644 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} β†’ π‘˜ ∈ β„•)
49 ffvelcdm 7037 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5047, 48, 49syl2an 597 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)}) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5143, 46, 50fsummulc2 15676 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
5239, 51eqtrd 2777 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗))) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
5352sumeq2dv 15595 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗))) = Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
54 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„•)
5546adantrr 716 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
5650anasss 468 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)})) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5755, 56mulcld 11182 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)})) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
5854, 57fsumdvdsdiag 26549 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
59 ssrab2 4042 . . . . . . . . . 10 {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βŠ† β„•
60 dvdsdivcl 16205 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š / π‘˜) ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š})
6160adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š / π‘˜) ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š})
6259, 61sselid 3947 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š / π‘˜) ∈ β„•)
63 musum 26556 . . . . . . . . 9 ((π‘š / π‘˜) ∈ β„• β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} (ΞΌβ€˜π‘—) = if((π‘š / π‘˜) = 1, 1, 0))
6462, 63syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} (ΞΌβ€˜π‘—) = if((π‘š / π‘˜) = 1, 1, 0))
6564oveq1d 7377 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} (ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (if((π‘š / π‘˜) = 1, 1, 0) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
66 fzfid 13885 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (1...(π‘š / π‘˜)) ∈ Fin)
67 dvdsssfz1 16207 . . . . . . . . . 10 ((π‘š / π‘˜) ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} βŠ† (1...(π‘š / π‘˜)))
6862, 67syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} βŠ† (1...(π‘š / π‘˜)))
6966, 68ssfid 9218 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ∈ Fin)
701adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„‚)
71 elrabi 3644 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} β†’ π‘˜ ∈ β„•)
7270, 71, 49syl2an 597 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
73 ssrab2 4042 . . . . . . . . . . 11 {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} βŠ† β„•
74 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)}) β†’ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)})
7573, 74sselid 3947 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)}) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
7675, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„€)
7776zcnd 12615 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
7869, 72, 77fsummulc1 15677 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} (ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
79 ovif 7459 . . . . . . . 8 (if((π‘š / π‘˜) = 1, 1, 0) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = if((π‘š / π‘˜) = 1, (1 Β· (πΉβ€˜π‘˜)), (0 Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
80 nncn 12168 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„‚)
8180ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ π‘š ∈ β„‚)
8271adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
8382nncnd 12176 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
84 1cnd 11157 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 1 ∈ β„‚)
8582nnne0d 12210 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ π‘˜ β‰  0)
8681, 83, 84, 85divmuld 11960 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((π‘š / π‘˜) = 1 ↔ (π‘˜ Β· 1) = π‘š))
8783mulid1d 11179 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘˜ Β· 1) = π‘˜)
8887eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((π‘˜ Β· 1) = π‘š ↔ π‘˜ = π‘š))
8986, 88bitrd 279 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((π‘š / π‘˜) = 1 ↔ π‘˜ = π‘š))
9072mulid2d 11180 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (1 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘˜))
9172mul02d 11360 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (0 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = 0)
9289, 90, 91ifbieq12d 4519 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ if((π‘š / π‘˜) = 1, (1 Β· (πΉβ€˜π‘˜)), (0 Β· (πΉβ€˜π‘˜))) = if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0))
9379, 92eqtrid 2789 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (if((π‘š / π‘˜) = 1, 1, 0) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0))
9465, 78, 933eqtr3d 2785 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0))
9594sumeq2dv 15595 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0))
96 breq1 5113 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘š β†’ (π‘₯ βˆ₯ π‘š ↔ π‘š βˆ₯ π‘š))
9754nnzd 12533 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„€)
98 iddvds 16159 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„€ β†’ π‘š βˆ₯ π‘š)
9997, 98syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š βˆ₯ π‘š)
10096, 54, 99elrabd 3652 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š})
101100snssd 4774 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ {π‘š} βŠ† {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š})
102101sselda 3949 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š}) β†’ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š})
103102, 72syldan 592 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š}) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
104 0cn 11154 . . . . . . 7 0 ∈ β„‚
105 ifcl 4536 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) ∈ β„‚)
106103, 104, 105sylancl 587 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š}) β†’ if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) ∈ β„‚)
107 eldifsni 4755 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ({π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βˆ– {π‘š}) β†’ π‘˜ β‰  π‘š)
108107adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ({π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βˆ– {π‘š})) β†’ π‘˜ β‰  π‘š)
109108neneqd 2949 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ({π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βˆ– {π‘š})) β†’ Β¬ π‘˜ = π‘š)
110109iffalsed 4502 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ({π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βˆ– {π‘š})) β†’ if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = 0)
111 fzfid 13885 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (1...π‘š) ∈ Fin)
112 dvdsssfz1 16207 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βŠ† (1...π‘š))
113112adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βŠ† (1...π‘š))
114111, 113ssfid 9218 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ∈ Fin)
115101, 106, 110, 114fsumss 15617 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘š}if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0))
1161ffvelcdmda 7040 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
117 iftrue 4497 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = (πΉβ€˜π‘˜))
118 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘š))
119117, 118eqtrd 2777 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = (πΉβ€˜π‘š))
120119sumsn 15638 . . . . . 6 ((π‘š ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘š}if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = (πΉβ€˜π‘š))
12154, 116, 120syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘š}if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = (πΉβ€˜π‘š))
12295, 115, 1213eqtr2d 2783 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘š))
12353, 58, 1223eqtrd 2781 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗))) = (πΉβ€˜π‘š))
124123mpteq2dva 5210 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗)))) = (π‘š ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘š)))
1252, 124eqtr4d 2780 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘š ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  {crab 3410   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  ifcif 4491  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063   < clt 11196   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„€cz 12506  ...cfz 13431  Ξ£csu 15577   βˆ₯ cdvds 16143  ΞΌcmu 26460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-mu 26466
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem1  26859  logsqvma2  26907
  Copyright terms: Public domain W3C validator