MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muinv 25210
Description: The Möbius inversion formula. If 𝐺(𝑛) = Σ𝑘𝑛𝐹(𝑘) for every 𝑛 ∈ ℕ, then 𝐹(𝑛) = Σ𝑘𝑛 μ(𝑘)𝐺(𝑛 / 𝑘) = Σ𝑘𝑛μ(𝑛 / 𝑘)𝐺(𝑘), i.e. the Möbius function is the Dirichlet convolution inverse of the constant function 1. Theorem 2.9 in [ApostolNT] p. 32. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
muinv.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
muinv.2 (𝜑𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
muinv (𝜑𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑗,𝑛,𝐹   𝑥,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem muinv
StepHypRef Expression
1 muinv.1 . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
21feqmptd 6438 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑚)))
3 muinv.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘)))
43ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘)))
54fveq1d 6377 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)))
6 breq1 4812 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑗 → (𝑥𝑚𝑗𝑚))
76elrab 3519 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑗𝑚))
87simprbi 490 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} → 𝑗𝑚)
98adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑗𝑚)
10 elrabi 3514 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} → 𝑗 ∈ ℕ)
1110adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑗 ∈ ℕ)
1211nnzd 11728 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑗 ∈ ℤ)
1311nnne0d 11322 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑗 ≠ 0)
14 nnz 11646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
1514ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑚 ∈ ℤ)
16 dvdsval2 15270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ≠ 0 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑗𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ))
1712, 13, 15, 16syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑗𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ))
189, 17mpbid 223 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ)
19 nnre 11282 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
20 nngt0 11306 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
2119, 20jca 507 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚))
2221ad2antlr 718 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚))
23 nnre 11282 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
24 nngt0 11306 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 𝑗)
2523, 24jca 507 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
2611, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
27 divgt0 11145 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗)) → 0 < (𝑚 / 𝑗))
2822, 26, 27syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 0 < (𝑚 / 𝑗))
29 elnnz 11634 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ ↔ ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑚 / 𝑗)))
3018, 28, 29sylanbrc 578 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ)
31 breq2 4813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → (𝑥𝑛𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)))
3231rabbidv 3338 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})
3332sumeq1d 14718 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘))
34 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘))
35 sumex 14705 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘) ∈ V
3633, 34, 35fvmpt 6471 . . . . . . . . 9 ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘))
3730, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘))
385, 37eqtrd 2799 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘))
3938oveq2d 6858 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = ((μ‘𝑗) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘)))
40 fzfid 12980 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (1...(𝑚 / 𝑗)) ∈ Fin)
41 dvdsssfz1 15327 . . . . . . . . 9 ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑗)))
4230, 41syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑗)))
43 ssfi 8387 . . . . . . . 8 (((1...(𝑚 / 𝑗)) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑗))) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ∈ Fin)
4440, 42, 43syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ∈ Fin)
45 mucl 25158 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
4611, 45syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
4746zcnd 11730 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
481ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
49 elrabi 3514 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} → 𝑘 ∈ ℕ)
50 ffvelrn 6547 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5148, 49, 50syl2an 589 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)}) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5244, 47, 51fsummulc2 14802 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((μ‘𝑗) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)))
5339, 52eqtrd 2799 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)))
5453sumeq2dv 14720 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)))
55 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
5647adantrr 708 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
5751anasss 458 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5856, 57mulcld 10314 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
5955, 58fsumdvdsdiag 25201 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)))
60 ssrab2 3847 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ⊆ ℕ
61 dvdsdivcl 15325 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚})
6261adantll 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚})
6360, 62sseldi 3759 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ)
64 musum 25208 . . . . . . . . 9 ((𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0))
6563, 64syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0))
6665oveq1d 6857 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹𝑘)))
67 fzfid 12980 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (1...(𝑚 / 𝑘)) ∈ Fin)
68 dvdsssfz1 15327 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑘)))
6963, 68syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑘)))
70 ssfi 8387 . . . . . . . . 9 (((1...(𝑚 / 𝑘)) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑘))) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ∈ Fin)
7167, 69, 70syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ∈ Fin)
721adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
73 elrabi 3514 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} → 𝑘 ∈ ℕ)
7472, 73, 50syl2an 589 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
75 ssrab2 3847 . . . . . . . . . . 11 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ ℕ
76 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)})
7775, 76sseldi 3759 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → 𝑗 ∈ ℕ)
7877, 45syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
7978zcnd 11730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
8071, 74, 79fsummulc1 14803 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)))
81 ovif 6935 . . . . . . . 8 (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹𝑘)) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, (1 · (𝐹𝑘)), (0 · (𝐹𝑘)))
82 nncn 11283 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
8382ad2antlr 718 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑚 ∈ ℂ)
8473adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑘 ∈ ℕ)
8584nncnd 11292 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑘 ∈ ℂ)
86 1cnd 10288 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 1 ∈ ℂ)
8784nnne0d 11322 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑘 ≠ 0)
8883, 85, 86, 87divmuld 11077 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((𝑚 / 𝑘) = 1 ↔ (𝑘 · 1) = 𝑚))
8985mulid1d 10311 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑘 · 1) = 𝑘)
9089eqeq1d 2767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((𝑘 · 1) = 𝑚𝑘 = 𝑚))
9188, 90bitrd 270 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((𝑚 / 𝑘) = 1 ↔ 𝑘 = 𝑚))
9274mulid2d 10312 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (1 · (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
9374mul02d 10488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (0 · (𝐹𝑘)) = 0)
9491, 92, 93ifbieq12d 4270 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → if((𝑚 / 𝑘) = 1, (1 · (𝐹𝑘)), (0 · (𝐹𝑘))) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0))
9581, 94syl5eq 2811 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹𝑘)) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0))
9666, 80, 953eqtr3d 2807 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0))
9796sumeq2dv 14720 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0))
9855nnzd 11728 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
99 iddvds 15282 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚𝑚)
10098, 99syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚𝑚)
101 breq1 4812 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑚 → (𝑥𝑚𝑚𝑚))
102101elrab 3519 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑚))
10355, 100, 102sylanbrc 578 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚})
104103snssd 4494 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → {𝑚} ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚})
105104sselda 3761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚})
106105, 74syldan 585 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
107 0cn 10285 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
108 ifcl 4287 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) ∈ ℂ)
109106, 107, 108sylancl 580 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) ∈ ℂ)
110 eldifsni 4476 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∖ {𝑚}) → 𝑘𝑚)
111110adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∖ {𝑚})) → 𝑘𝑚)
112111neneqd 2942 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∖ {𝑚})) → ¬ 𝑘 = 𝑚)
113112iffalsed 4254 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∖ {𝑚})) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = 0)
114 fzfid 12980 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (1...𝑚) ∈ Fin)
115 dvdsssfz1 15327 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ⊆ (1...𝑚))
116115adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ⊆ (1...𝑚))
117 ssfi 8387 . . . . . . 7 (((1...𝑚) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ⊆ (1...𝑚)) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∈ Fin)
118114, 116, 117syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∈ Fin)
119104, 109, 113, 118fsumss 14743 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0))
1201ffvelrnda 6549 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
121 iftrue 4249 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑘))
122 fveq2 6375 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
123121, 122eqtrd 2799 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑚))
124123sumsn 14762 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑚) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑚))
12555, 120, 124syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑚))
12697, 119, 1253eqtr2d 2805 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑚))
12754, 59, 1263eqtrd 2803 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = (𝐹𝑚))
128127mpteq2dva 4903 . 2 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑚)))
1292, 128eqtr4d 2802 1 (𝜑𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  {crab 3059  cdif 3729  wss 3732  ifcif 4243  {csn 4334   class class class wbr 4809  cmpt 4888  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  Fincfn 8160  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   · cmul 10194   < clt 10328   / cdiv 10938  cn 11274  cz 11624  ...cfz 12533  Σcsu 14703  cdvds 15267  μcmu 25112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-sum 14704  df-dvds 15268  df-gcd 15500  df-prm 15668  df-pc 15823  df-mu 25118
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem1  25475  logsqvma2  25523
  Copyright terms: Public domain W3C validator