MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muinv 27170
Description: The Möbius inversion formula. If 𝐺(𝑛) = Σ𝑘𝑛𝐹(𝑘) for every 𝑛 ∈ ℕ, then 𝐹(𝑛) = Σ𝑘𝑛 μ(𝑘)𝐺(𝑛 / 𝑘) = Σ𝑘𝑛μ(𝑛 / 𝑘)𝐺(𝑘), i.e. the Möbius function is the Dirichlet convolution inverse of the constant function 1. Theorem 2.9 in [ApostolNT] p. 32. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
muinv.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
muinv.2 (𝜑𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
muinv (𝜑𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑗,𝑛,𝐹   𝑥,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem muinv
StepHypRef Expression
1 muinv.1 . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
21feqmptd 6966 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑚)))
3 muinv.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘)))
43ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘)))
54fveq1d 6898 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)))
6 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑗 → (𝑥𝑚𝑗𝑚))
76elrab 3679 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑗𝑚))
87simprbi 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} → 𝑗𝑚)
98adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑗𝑚)
10 elrabi 3673 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} → 𝑗 ∈ ℕ)
1110adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑗 ∈ ℕ)
1211nnzd 12618 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑗 ∈ ℤ)
1311nnne0d 12295 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑗 ≠ 0)
14 nnz 12612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
1514ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑚 ∈ ℤ)
16 dvdsval2 16237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ≠ 0 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑗𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ))
1712, 13, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑗𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ))
189, 17mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ)
19 nnre 12252 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
20 nngt0 12276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
2119, 20jca 510 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚))
2221ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚))
23 nnre 12252 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
24 nngt0 12276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 𝑗)
2523, 24jca 510 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
2611, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
27 divgt0 12115 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗)) → 0 < (𝑚 / 𝑗))
2822, 26, 27syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 0 < (𝑚 / 𝑗))
29 elnnz 12601 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ ↔ ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑚 / 𝑗)))
3018, 28, 29sylanbrc 581 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ)
31 breq2 5153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → (𝑥𝑛𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)))
3231rabbidv 3426 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})
3332sumeq1d 15683 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘))
34 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘))
35 sumex 15670 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘) ∈ V
3633, 34, 35fvmpt 7004 . . . . . . . . 9 ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘))
3730, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (𝐹𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘))
385, 37eqtrd 2765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘))
3938oveq2d 7435 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = ((μ‘𝑗) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘)))
40 fzfid 13974 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (1...(𝑚 / 𝑗)) ∈ Fin)
41 dvdsssfz1 16298 . . . . . . . . 9 ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑗)))
4230, 41syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑗)))
4340, 42ssfid 9292 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ∈ Fin)
44 mucl 27118 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
4511, 44syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
4645zcnd 12700 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
471ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
48 elrabi 3673 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} → 𝑘 ∈ ℕ)
49 ffvelcdm 7090 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5047, 48, 49syl2an 594 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)}) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5143, 46, 50fsummulc2 15766 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((μ‘𝑗) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)))
5239, 51eqtrd 2765 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)))
5352sumeq2dv 15685 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)))
54 simpr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
5546adantrr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
5650anasss 465 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5755, 56mulcld 11266 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
5854, 57fsumdvdsdiag 27161 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)))
59 ssrab2 4073 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ⊆ ℕ
60 dvdsdivcl 16296 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚})
6160adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚})
6259, 61sselid 3974 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ)
63 musum 27168 . . . . . . . . 9 ((𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0))
6462, 63syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0))
6564oveq1d 7434 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹𝑘)))
66 fzfid 13974 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (1...(𝑚 / 𝑘)) ∈ Fin)
67 dvdsssfz1 16298 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑘)))
6862, 67syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑘)))
6966, 68ssfid 9292 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ∈ Fin)
701adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
71 elrabi 3673 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} → 𝑘 ∈ ℕ)
7270, 71, 49syl2an 594 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
73 ssrab2 4073 . . . . . . . . . . 11 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ ℕ
74 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)})
7573, 74sselid 3974 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → 𝑗 ∈ ℕ)
7675, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
7776zcnd 12700 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
7869, 72, 77fsummulc1 15767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)))
79 ovif 7518 . . . . . . . 8 (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹𝑘)) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, (1 · (𝐹𝑘)), (0 · (𝐹𝑘)))
80 nncn 12253 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
8180ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑚 ∈ ℂ)
8271adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑘 ∈ ℕ)
8382nncnd 12261 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑘 ∈ ℂ)
84 1cnd 11241 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 1 ∈ ℂ)
8582nnne0d 12295 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → 𝑘 ≠ 0)
8681, 83, 84, 85divmuld 12045 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((𝑚 / 𝑘) = 1 ↔ (𝑘 · 1) = 𝑚))
8783mulridd 11263 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (𝑘 · 1) = 𝑘)
8887eqeq1d 2727 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((𝑘 · 1) = 𝑚𝑘 = 𝑚))
8986, 88bitrd 278 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → ((𝑚 / 𝑘) = 1 ↔ 𝑘 = 𝑚))
9072mullidd 11264 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (1 · (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
9172mul02d 11444 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (0 · (𝐹𝑘)) = 0)
9289, 90, 91ifbieq12d 4558 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → if((𝑚 / 𝑘) = 1, (1 · (𝐹𝑘)), (0 · (𝐹𝑘))) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0))
9379, 92eqtrid 2777 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹𝑘)) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0))
9465, 78, 933eqtr3d 2773 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0))
9594sumeq2dv 15685 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0))
96 breq1 5152 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑚 → (𝑥𝑚𝑚𝑚))
9754nnzd 12618 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
98 iddvds 16250 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚𝑚)
9997, 98syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚𝑚)
10096, 54, 99elrabd 3681 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚})
101100snssd 4814 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → {𝑚} ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚})
102101sselda 3976 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚})
103102, 72syldan 589 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
104 0cn 11238 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
105 ifcl 4575 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) ∈ ℂ)
106103, 104, 105sylancl 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) ∈ ℂ)
107 eldifsni 4795 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∖ {𝑚}) → 𝑘𝑚)
108107adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∖ {𝑚})) → 𝑘𝑚)
109108neneqd 2934 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∖ {𝑚})) → ¬ 𝑘 = 𝑚)
110109iffalsed 4541 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∖ {𝑚})) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = 0)
111 fzfid 13974 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (1...𝑚) ∈ Fin)
112 dvdsssfz1 16298 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ⊆ (1...𝑚))
113112adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ⊆ (1...𝑚))
114111, 113ssfid 9292 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ∈ Fin)
115101, 106, 110, 114fsumss 15707 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0))
1161ffvelcdmda 7093 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
117 iftrue 4536 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑘))
118 fveq2 6896 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
119117, 118eqtrd 2765 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑚))
120119sumsn 15728 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑚) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑚))
12154, 116, 120syl2anc 582 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑚))
12295, 115, 1213eqtr2d 2771 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑚))
12353, 58, 1223eqtrd 2769 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = (𝐹𝑚))
124123mpteq2dva 5249 . 2 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑚)))
1252, 124eqtr4d 2768 1 (𝜑𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  {crab 3418  cdif 3941  wss 3944  ifcif 4530  {csn 4630   class class class wbr 5149  cmpt 5232  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   · cmul 11145   < clt 11280   / cdiv 11903  cn 12245  cz 12591  ...cfz 13519  Σcsu 15668  cdvds 16234  μcmu 27072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-dvds 16235  df-gcd 16473  df-prm 16646  df-pc 16809  df-mu 27078
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem1  27473  logsqvma2  27521
  Copyright terms: Public domain W3C validator