Theorem muinv 25772

Description: The Möbius inversion formula. If 𝐺(𝑛) = Σ𝑘 ∥ 𝑛𝐹(𝑘) for every 𝑛 ∈ ℕ, then 𝐹(𝑛) = Σ𝑘 ∥ 𝑛 μ(𝑘)𝐺(𝑛 / 𝑘) = Σ𝑘 ∥ 𝑛μ(𝑛 / 𝑘)𝐺(𝑘), i.e. the Möbius function is the Dirichlet convolution inverse of the constant function 1. Theorem 2.9 in [ApostolNT] p. 32. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
muinv.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
muinv.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
muinv	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑗,𝑛,𝐹   𝑥,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem muinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muinv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
2	1	feqmptd 6735	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑚)))
3		muinv.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘)))
4	3	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘)))
5	4	fveq1d 6674	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)))
6		breq1 5071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 ∥ 𝑚 ↔ 𝑗 ∥ 𝑚))
7	6	elrab 3682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∥ 𝑚))
8	7	simprbi 499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} → 𝑗 ∥ 𝑚)
9	8	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑗 ∥ 𝑚)
10		elrabi 3677	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} → 𝑗 ∈ ℕ)
11	10	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑗 ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑗 ∈ ℤ)
13	11	nnne0d 11690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑗 ≠ 0)
14		nnz 12007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
15	14	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑚 ∈ ℤ)
16		dvdsval2 15612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ≠ 0 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑗 ∥ 𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ))
17	12, 13, 15, 16	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑗 ∥ 𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ))
18	9, 17	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ)
19		nnre 11647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
20		nngt0 11671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
21	19, 20	jca 514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚))
22	21	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚))
23		nnre 11647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
24		nngt0 11671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 𝑗)
25	23, 24	jca 514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
26	11, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
27		divgt0 11510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗)) → 0 < (𝑚 / 𝑗))
28	22, 26, 27	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 0 < (𝑚 / 𝑗))
29		elnnz 11994	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ ↔ ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑚 / 𝑗)))
30	18, 28, 29	sylanbrc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ)
31		breq2 5072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → (𝑥 ∥ 𝑛 ↔ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)))
32	31	rabbidv 3482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})
33	32	sumeq1d 15060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 / 𝑗) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘))
34		eqid 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘))
35		sumex 15046	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘) ∈ V
36	33, 34, 35	fvmpt 6770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘))
37	30, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (𝐹‘𝑘))‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘))
38	5, 37	eqtrd 2858	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘))
39	38	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = ((μ‘𝑗) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘)))
40		fzfid 13344	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (1...(𝑚 / 𝑗)) ∈ Fin)
41		dvdsssfz1 15670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 / 𝑗) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑗)))
42	30, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑗)))
43	40, 42	ssfid 8743	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ∈ Fin)
44		mucl 25720	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
45	11, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
46	45	zcnd 12091	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
47	1	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
48		elrabi 3677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} → 𝑘 ∈ ℕ)
49		ffvelrn 6851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
50	47, 48, 49	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)}) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
51	43, 46, 50	fsummulc2 15141	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((μ‘𝑗) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} (𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)))
52	39, 51	eqtrd 2858	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)))
53	52	sumeq2dv 15062	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)))
54		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
55	46	adantrr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
56	50	anasss 469	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
57	55, 56	mulcld 10663	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)})) → ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
58	54, 57	fsumdvdsdiag 25763	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑗)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)))
59		ssrab2 4058	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ⊆ ℕ
60		dvdsdivcl 15668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
61	60	adantll 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
62	59, 61	sseldi 3967	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ)
63		musum 25770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0))
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0))
65	64	oveq1d 7173	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹‘𝑘)))
66		fzfid 13344	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (1...(𝑚 / 𝑘)) ∈ Fin)
67		dvdsssfz1 15670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 / 𝑘) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑘)))
68	62, 67	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑚 / 𝑘)))
69	66, 68	ssfid 8743	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ∈ Fin)
70	1	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
71		elrabi 3677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} → 𝑘 ∈ ℕ)
72	70, 71, 49	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
73		ssrab2 4058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ⊆ ℕ
74		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)})
75	73, 74	sseldi 3967	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → 𝑗 ∈ ℕ)
76	75, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → (μ‘𝑗) ∈ ℤ)
77	76	zcnd 12091	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)}) → (μ‘𝑗) ∈ ℂ)
78	69, 72, 77	fsummulc1 15142	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} (μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)))
79		ovif 7253	. . . . . . . 8 ⊢ (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹‘𝑘)) = if((𝑚 / 𝑘) = 1, (1 · (𝐹‘𝑘)), (0 · (𝐹‘𝑘)))
80		nncn 11648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
81	80	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑚 ∈ ℂ)
82	71	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑘 ∈ ℕ)
83	82	nncnd 11656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑘 ∈ ℂ)
84		1cnd 10638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 1 ∈ ℂ)
85	82	nnne0d 11690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → 𝑘 ≠ 0)
86	81, 83, 84, 85	divmuld 11440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((𝑚 / 𝑘) = 1 ↔ (𝑘 · 1) = 𝑚))
87	83	mulid1d 10660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (𝑘 · 1) = 𝑘)
88	87	eqeq1d 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((𝑘 · 1) = 𝑚 ↔ 𝑘 = 𝑚))
89	86, 88	bitrd 281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → ((𝑚 / 𝑘) = 1 ↔ 𝑘 = 𝑚))
90	72	mulid2d 10661	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (1 · (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
91	72	mul02d 10840	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (0 · (𝐹‘𝑘)) = 0)
92	89, 90, 91	ifbieq12d 4496	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → if((𝑚 / 𝑘) = 1, (1 · (𝐹‘𝑘)), (0 · (𝐹‘𝑘))) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0))
93	79, 92	syl5eq 2870	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → (if((𝑚 / 𝑘) = 1, 1, 0) · (𝐹‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0))
94	65, 78, 93	3eqtr3d 2866	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0))
95	94	sumeq2dv 15062	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0))
96		breq1 5071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (𝑥 ∥ 𝑚 ↔ 𝑚 ∥ 𝑚))
97	54	nnzd 12089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
98		iddvds 15625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∥ 𝑚)
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∥ 𝑚)
100	96, 54, 99	elrabd 3684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
101	100	snssd 4744	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → {𝑚} ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
102	101	sselda 3969	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
103	102, 72	syldan 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
104		0cn 10635	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
105		ifcl 4513	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) ∈ ℂ)
106	103, 104, 105	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑚}) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) ∈ ℂ)
107		eldifsni 4724	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∖ {𝑚}) → 𝑘 ≠ 𝑚)
108	107	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∖ {𝑚})) → 𝑘 ≠ 𝑚)
109	108	neneqd 3023	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∖ {𝑚})) → ¬ 𝑘 = 𝑚)
110	109	iffalsed 4480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∖ {𝑚})) → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = 0)
111		fzfid 13344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1...𝑚) ∈ Fin)
112		dvdsssfz1 15670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ⊆ (1...𝑚))
113	112	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ⊆ (1...𝑚))
114	111, 113	ssfid 8743	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ∈ Fin)
115	101, 106, 110, 114	fsumss 15084	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0))
116	1	ffvelrnda 6853	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ)
117		iftrue 4475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = (𝐹‘𝑘))
118		fveq2 6672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚))
119	117, 118	eqtrd 2858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = (𝐹‘𝑚))
120	119	sumsn 15103	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = (𝐹‘𝑚))
121	54, 116, 120	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}if(𝑘 = 𝑚, (𝐹‘𝑘), 0) = (𝐹‘𝑚))
122	95, 115, 121	3eqtr2d 2864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚}Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑚 / 𝑘)} ((μ‘𝑗) · (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑚))
123	53, 58, 122	3eqtrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗))) = (𝐹‘𝑚))
124	123	mpteq2dva 5163	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑚)))
125	2, 124	eqtr4d 2861	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((μ‘𝑗) · (𝐺‘(𝑚 / 𝑗)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  {crab 3144   ∖ cdif 3935   ⊆ wss 3938  ifcif 4469  {csn 4569   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   · cmul 10544   < clt 10677   / cdiv 11299  ℕcn 11640  ℤcz 11984  ...cfz 12895  Σcsu 15044   ∥ cdvds 15609  μcmu 25674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-disj 5034  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-sum 15045  df-dvds 15610  df-gcd 15846  df-prm 16018  df-pc 16176  df-mu 25680

This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem1  26073  logsqvma2  26121