MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muinv 27124
Description: The MΓΆbius inversion formula. If 𝐺(𝑛) = Ξ£π‘˜ βˆ₯ 𝑛𝐹(π‘˜) for every 𝑛 ∈ β„•, then 𝐹(𝑛) = Ξ£π‘˜ βˆ₯ 𝑛 ΞΌ(π‘˜)𝐺(𝑛 / π‘˜) = Ξ£π‘˜ βˆ₯ 𝑛μ(𝑛 / π‘˜)𝐺(π‘˜), i.e. the MΓΆbius function is the Dirichlet convolution inverse of the constant function 1. Theorem 2.9 in [ApostolNT] p. 32. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
muinv.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„‚)
muinv.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
muinv (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘š ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗)))))
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘š,𝑗,𝑛,𝐹   π‘₯,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘š
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛)

Proof of Theorem muinv
StepHypRef Expression
1 muinv.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„‚)
21feqmptd 6967 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘š ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘š)))
3 muinv.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜)))
43ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜)))
54fveq1d 6899 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗)) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜))β€˜(π‘š / 𝑗)))
6 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑗 β†’ (π‘₯ βˆ₯ π‘š ↔ 𝑗 βˆ₯ π‘š))
76elrab 3682 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ↔ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑗 βˆ₯ π‘š))
87simprbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} β†’ 𝑗 βˆ₯ π‘š)
98adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝑗 βˆ₯ π‘š)
10 elrabi 3676 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} β†’ 𝑗 ∈ β„•)
1110adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
1211nnzd 12615 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
1311nnne0d 12292 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝑗 β‰  0)
14 nnz 12609 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„€)
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ π‘š ∈ β„€)
16 dvdsval2 16233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ 𝑗 β‰  0 ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (𝑗 βˆ₯ π‘š ↔ (π‘š / 𝑗) ∈ β„€))
1712, 13, 15, 16syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (𝑗 βˆ₯ π‘š ↔ (π‘š / 𝑗) ∈ β„€))
189, 17mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š / 𝑗) ∈ β„€)
19 nnre 12249 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ ℝ)
20 nngt0 12273 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ 0 < π‘š)
2119, 20jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• β†’ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š))
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š))
23 nnre 12249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
24 nngt0 12273 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑗)
2523, 24jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
2611, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗))
27 divgt0 12112 . . . . . . . . . . 11 (((π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑗)) β†’ 0 < (π‘š / 𝑗))
2822, 26, 27syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 0 < (π‘š / 𝑗))
29 elnnz 12598 . . . . . . . . . 10 ((π‘š / 𝑗) ∈ β„• ↔ ((π‘š / 𝑗) ∈ β„€ ∧ 0 < (π‘š / 𝑗)))
3018, 28, 29sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š / 𝑗) ∈ β„•)
31 breq2 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (π‘š / 𝑗) β†’ (π‘₯ βˆ₯ 𝑛 ↔ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)))
3231rabbidv 3437 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (π‘š / 𝑗) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)})
3332sumeq1d 15679 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (π‘š / 𝑗) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜))
34 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜))
35 sumex 15666 . . . . . . . . . 10 Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜) ∈ V
3633, 34, 35fvmpt 7005 . . . . . . . . 9 ((π‘š / 𝑗) ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜))β€˜(π‘š / 𝑗)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜))
3730, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (πΉβ€˜π‘˜))β€˜(π‘š / 𝑗)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜))
385, 37eqtrd 2768 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜))
3938oveq2d 7436 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗))) = ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜)))
40 fzfid 13970 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (1...(π‘š / 𝑗)) ∈ Fin)
41 dvdsssfz1 16294 . . . . . . . . 9 ((π‘š / 𝑗) ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} βŠ† (1...(π‘š / 𝑗)))
4230, 41syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} βŠ† (1...(π‘š / 𝑗)))
4340, 42ssfid 9291 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} ∈ Fin)
44 mucl 27072 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„€)
4511, 44syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„€)
4645zcnd 12697 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
471ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„‚)
48 elrabi 3676 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} β†’ π‘˜ ∈ β„•)
49 ffvelcdm 7091 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5047, 48, 49syl2an 595 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)}) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5143, 46, 50fsummulc2 15762 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} (πΉβ€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
5239, 51eqtrd 2768 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗))) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
5352sumeq2dv 15681 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗))) = Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
54 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„•)
5546adantrr 716 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
5650anasss 466 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)})) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5755, 56mulcld 11264 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)})) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
5854, 57fsumdvdsdiag 27115 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / 𝑗)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
59 ssrab2 4075 . . . . . . . . . 10 {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βŠ† β„•
60 dvdsdivcl 16292 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š / π‘˜) ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š})
6160adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š / π‘˜) ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š})
6259, 61sselid 3978 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘š / π‘˜) ∈ β„•)
63 musum 27122 . . . . . . . . 9 ((π‘š / π‘˜) ∈ β„• β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} (ΞΌβ€˜π‘—) = if((π‘š / π‘˜) = 1, 1, 0))
6462, 63syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} (ΞΌβ€˜π‘—) = if((π‘š / π‘˜) = 1, 1, 0))
6564oveq1d 7435 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} (ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (if((π‘š / π‘˜) = 1, 1, 0) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
66 fzfid 13970 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (1...(π‘š / π‘˜)) ∈ Fin)
67 dvdsssfz1 16294 . . . . . . . . . 10 ((π‘š / π‘˜) ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} βŠ† (1...(π‘š / π‘˜)))
6862, 67syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} βŠ† (1...(π‘š / π‘˜)))
6966, 68ssfid 9291 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ∈ Fin)
701adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„‚)
71 elrabi 3676 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} β†’ π‘˜ ∈ β„•)
7270, 71, 49syl2an 595 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
73 ssrab2 4075 . . . . . . . . . . 11 {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} βŠ† β„•
74 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)}) β†’ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)})
7573, 74sselid 3978 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)}) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
7675, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„€)
7776zcnd 12697 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
7869, 72, 77fsummulc1 15763 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} (ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
79 ovif 7518 . . . . . . . 8 (if((π‘š / π‘˜) = 1, 1, 0) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = if((π‘š / π‘˜) = 1, (1 Β· (πΉβ€˜π‘˜)), (0 Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
80 nncn 12250 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„‚)
8180ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ π‘š ∈ β„‚)
8271adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
8382nncnd 12258 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
84 1cnd 11239 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ 1 ∈ β„‚)
8582nnne0d 12292 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ π‘˜ β‰  0)
8681, 83, 84, 85divmuld 12042 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((π‘š / π‘˜) = 1 ↔ (π‘˜ Β· 1) = π‘š))
8783mulridd 11261 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (π‘˜ Β· 1) = π‘˜)
8887eqeq1d 2730 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((π‘˜ Β· 1) = π‘š ↔ π‘˜ = π‘š))
8986, 88bitrd 279 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ ((π‘š / π‘˜) = 1 ↔ π‘˜ = π‘š))
9072mullidd 11262 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (1 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘˜))
9172mul02d 11442 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (0 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = 0)
9289, 90, 91ifbieq12d 4557 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ if((π‘š / π‘˜) = 1, (1 Β· (πΉβ€˜π‘˜)), (0 Β· (πΉβ€˜π‘˜))) = if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0))
9379, 92eqtrid 2780 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ (if((π‘š / π‘˜) = 1, 1, 0) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0))
9465, 78, 933eqtr3d 2776 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}) β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0))
9594sumeq2dv 15681 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0))
96 breq1 5151 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘š β†’ (π‘₯ βˆ₯ π‘š ↔ π‘š βˆ₯ π‘š))
9754nnzd 12615 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„€)
98 iddvds 16246 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„€ β†’ π‘š βˆ₯ π‘š)
9997, 98syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š βˆ₯ π‘š)
10096, 54, 99elrabd 3684 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š})
101100snssd 4813 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ {π‘š} βŠ† {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š})
102101sselda 3980 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š}) β†’ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š})
103102, 72syldan 590 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š}) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
104 0cn 11236 . . . . . . 7 0 ∈ β„‚
105 ifcl 4574 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) ∈ β„‚)
106103, 104, 105sylancl 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š}) β†’ if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) ∈ β„‚)
107 eldifsni 4794 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ({π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βˆ– {π‘š}) β†’ π‘˜ β‰  π‘š)
108107adantl 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ({π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βˆ– {π‘š})) β†’ π‘˜ β‰  π‘š)
109108neneqd 2942 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ({π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βˆ– {π‘š})) β†’ Β¬ π‘˜ = π‘š)
110109iffalsed 4540 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ({π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βˆ– {π‘š})) β†’ if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = 0)
111 fzfid 13970 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (1...π‘š) ∈ Fin)
112 dvdsssfz1 16294 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βŠ† (1...π‘š))
113112adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} βŠ† (1...π‘š))
114111, 113ssfid 9291 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ∈ Fin)
115101, 106, 110, 114fsumss 15703 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘š}if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0))
1161ffvelcdmda 7094 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
117 iftrue 4535 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = (πΉβ€˜π‘˜))
118 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘š))
119117, 118eqtrd 2768 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = (πΉβ€˜π‘š))
120119sumsn 15724 . . . . . 6 ((π‘š ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘š}if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = (πΉβ€˜π‘š))
12154, 116, 120syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘š}if(π‘˜ = π‘š, (πΉβ€˜π‘˜), 0) = (πΉβ€˜π‘š))
12295, 115, 1213eqtr2d 2774 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š}Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (π‘š / π‘˜)} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘š))
12353, 58, 1223eqtrd 2772 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗))) = (πΉβ€˜π‘š))
124123mpteq2dva 5248 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗)))) = (π‘š ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘š)))
1252, 124eqtr4d 2771 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘š ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· (πΊβ€˜(π‘š / 𝑗)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  {crab 3429   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   Β· cmul 11143   < clt 11278   / cdiv 11901  β„•cn 12242  β„€cz 12588  ...cfz 13516  Ξ£csu 15664   βˆ₯ cdvds 16230  ΞΌcmu 27026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-pc 16805  df-mu 27032
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem1  27427  logsqvma2  27475
  Copyright terms: Public domain W3C validator