Theorem vtsval 32596

Description: Value of the Vinogradov trigonometric sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtsval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
vtsval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
vtsval.l	⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
vtsval	⊢ (𝜑 → ((𝐿vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝐿,𝑎   𝑁,𝑎   𝑋,𝑎

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑎)

Proof of Theorem vtsval

Dummy variables 𝑙 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtsval.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℂ)
2		cnex 10936	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
3		nnex 11962	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
4	2, 3	elmap 8633	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ 𝐿:ℕ⟶ℂ)
5	1, 4	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℂ ↑m ℕ))
6		vtsval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		fveq1 6767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑙‘𝑎) = (𝐿‘𝑎))
8	7	oveq1d 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → ((𝑙‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = ((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))))
9	8	sumeq2sdv 15397	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝑙‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))))
10	9	mpteq2dv 5180	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝑙‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
11		oveq2 7276	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
12	11	sumeq1d 15394	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))))
13	12	mpteq2dv 5180	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
14		df-vts 32595	. . . 4 ⊢ vts = (𝑙 ∈ (ℂ ↑m ℕ), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝑙‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
15	2	mptex 7093	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))) ∈ V
16	10, 13, 14, 15	ovmpo 7424	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℂ ↑m ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿vts𝑁) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
17	5, 6, 16	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿vts𝑁) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
18		oveq2 7276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑥) = (𝑎 · 𝑋))
19	18	oveq2d 7284	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))
20	19	fveq2d 6772	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋))))
21	20	oveq2d 7284	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = ((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
22	21	sumeq2sdv 15397	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
23	22	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
24		vtsval.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
25		sumex 15380	. . 3 ⊢ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))) ∈ V
26	25	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))) ∈ V)
27	17, 23, 24, 26	fvmptd 6876	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3430   ↦ cmpt 5161  ⟶wf 6426  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268   ↑_m cmap 8589  ℂcc 10853  1c1 10856  ici 10857   · cmul 10860  ℕcn 11956  2c2 12011  ℕ₀cn0 12216  ...cfz 13221  Σcsu 15378  expce 15752  πcpi 15757  vtscvts 32594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222  df-seq 13703  df-sum 15379  df-vts 32595

This theorem is referenced by:  vtscl  32597  vtsprod  32598