Theorem vtsval 34828

Description: Value of the Vinogradov trigonometric sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtsval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
vtsval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
vtsval.l	⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
vtsval	⊢ (𝜑 → ((𝐿vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝐿,𝑎   𝑁,𝑎   𝑋,𝑎

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑎)

Proof of Theorem vtsval

Dummy variables 𝑙 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtsval.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℂ)
2		cnex 11117	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
3		nnex 12178	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
4	2, 3	elmap 8816	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ 𝐿:ℕ⟶ℂ)
5	1, 4	sylibr 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℂ ↑m ℕ))
6		vtsval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		fveq1 6833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑙‘𝑎) = (𝐿‘𝑎))
8	7	oveq1d 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → ((𝑙‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = ((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))))
9	8	sumeq2sdv 15663	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝑙‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))))
10	9	mpteq2dv 5173	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝑙‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
11		oveq2 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
12	11	sumeq1d 15660	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))))
13	12	mpteq2dv 5173	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
14		df-vts 34827	. . . 4 ⊢ vts = (𝑙 ∈ (ℂ ↑m ℕ), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝑙‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
15	2	mptex 7174	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))) ∈ V
16	10, 13, 14, 15	ovmpo 7523	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℂ ↑m ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿vts𝑁) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
17	5, 6, 16	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿vts𝑁) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
18		oveq2 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑥) = (𝑎 · 𝑋))
19	18	oveq2d 7379	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))
20	19	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋))))
21	20	oveq2d 7379	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = ((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
22	21	sumeq2sdv 15663	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
23	22	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
24		vtsval.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
25		sumex 15648	. . 3 ⊢ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))) ∈ V
26	25	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))) ∈ V)
27	17, 23, 24, 26	fvmptd 6950	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ↦ cmpt 5160  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↑_m cmap 8770  ℂcc 11034  1c1 11037  ici 11038   · cmul 11041  ℕcn 12172  2c2 12234  ℕ₀cn0 12435  ...cfz 13459  Σcsu 15646  expce 16024  πcpi 16029  vtscvts 34826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-1cn 11094  ax-addcl 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-map 8772  df-nn 12173  df-seq 13962  df-sum 15647  df-vts 34827

This theorem is referenced by:  vtscl  34829  vtsprod  34830