Theorem vtsval 34671

Description: Value of the Vinogradov trigonometric sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtsval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
vtsval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
vtsval.l	⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
vtsval	⊢ (𝜑 → ((𝐿vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝐿,𝑎   𝑁,𝑎   𝑋,𝑎

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑎)

Proof of Theorem vtsval

Dummy variables 𝑙 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtsval.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℂ)
2		cnex 11094	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
3		nnex 12138	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
4	2, 3	elmap 8801	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ 𝐿:ℕ⟶ℂ)
5	1, 4	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℂ ↑m ℕ))
6		vtsval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		fveq1 6827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑙‘𝑎) = (𝐿‘𝑎))
8	7	oveq1d 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → ((𝑙‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = ((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))))
9	8	sumeq2sdv 15612	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝑙‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))))
10	9	mpteq2dv 5187	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝑙‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
11		oveq2 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
12	11	sumeq1d 15609	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))))
13	12	mpteq2dv 5187	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
14		df-vts 34670	. . . 4 ⊢ vts = (𝑙 ∈ (ℂ ↑m ℕ), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝑙‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
15	2	mptex 7163	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))) ∈ V
16	10, 13, 14, 15	ovmpo 7512	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℂ ↑m ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿vts𝑁) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
17	5, 6, 16	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿vts𝑁) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
18		oveq2 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑥) = (𝑎 · 𝑋))
19	18	oveq2d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))
20	19	fveq2d 6832	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋))))
21	20	oveq2d 7368	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = ((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
22	21	sumeq2sdv 15612	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
23	22	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
24		vtsval.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
25		sumex 15597	. . 3 ⊢ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))) ∈ V
26	25	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))) ∈ V)
27	17, 23, 24, 26	fvmptd 6942	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ↦ cmpt 5174  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ↑_m cmap 8756  ℂcc 11011  1c1 11014  ici 11015   · cmul 11018  ℕcn 12132  2c2 12187  ℕ₀cn0 12388  ...cfz 13409  Σcsu 15595  expce 15970  πcpi 15975  vtscvts 34669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-1cn 11071  ax-addcl 11073

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-map 8758  df-nn 12133  df-seq 13911  df-sum 15596  df-vts 34670

This theorem is referenced by:  vtscl  34672  vtsprod  34673