Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vtsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtsval 34178
Description: Value of the Vinogradov trigonometric sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtsval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
vtsval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
vtsval.l (πœ‘ β†’ 𝐿:β„•βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
vtsval (πœ‘ β†’ ((𝐿vts𝑁)β€˜π‘‹) = Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝐿,π‘Ž   𝑁,π‘Ž   𝑋,π‘Ž
Allowed substitution hint:   πœ‘(π‘Ž)

Proof of Theorem vtsval
Dummy variables 𝑙 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtsval.l . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„•βŸΆβ„‚)
2 cnex 11190 . . . . 5 β„‚ ∈ V
3 nnex 12219 . . . . 5 β„• ∈ V
42, 3elmap 8864 . . . 4 (𝐿 ∈ (β„‚ ↑m β„•) ↔ 𝐿:β„•βŸΆβ„‚)
51, 4sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (β„‚ ↑m β„•))
6 vtsval.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7 fveq1 6883 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 β†’ (π‘™β€˜π‘Ž) = (πΏβ€˜π‘Ž))
87oveq1d 7419 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 β†’ ((π‘™β€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))) = ((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))))
98sumeq2sdv 15654 . . . . 5 (𝑙 = 𝐿 β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑛)((π‘™β€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))) = Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑛)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))))
109mpteq2dv 5243 . . . 4 (𝑙 = 𝐿 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑛)((π‘™β€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑛)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))))
11 oveq2 7412 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ (1...𝑛) = (1...𝑁))
1211sumeq1d 15651 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑛)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))) = Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))))
1312mpteq2dv 5243 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑛)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))))
14 df-vts 34177 . . . 4 vts = (𝑙 ∈ (β„‚ ↑m β„•), 𝑛 ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑛)((π‘™β€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))))
152mptex 7219 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))) ∈ V
1610, 13, 14, 15ovmpo 7563 . . 3 ((𝐿 ∈ (β„‚ ↑m β„•) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐿vts𝑁) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))))
175, 6, 16syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐿vts𝑁) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))))
18 oveq2 7412 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘Ž Β· π‘₯) = (π‘Ž Β· 𝑋))
1918oveq2d 7420 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)) = ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))
2019fveq2d 6888 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋))))
2120oveq2d 7420 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))) = ((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))))
2221sumeq2sdv 15654 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))) = Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))))
2322adantl 481 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))) = Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))))
24 vtsval.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
25 sumex 15638 . . 3 Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))) ∈ V
2625a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))) ∈ V)
2717, 23, 24, 26fvmptd 6998 1 (πœ‘ β†’ ((𝐿vts𝑁)β€˜π‘‹) = Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑m cmap 8819  β„‚cc 11107  1c1 11110  ici 11111   Β· cmul 11114  β„•cn 12213  2c2 12268  β„•0cn0 12473  ...cfz 13487  Ξ£csu 15636  expce 16009  Ο€cpi 16014  vtscvts 34176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-seq 13970  df-sum 15637  df-vts 34177
This theorem is referenced by:  vtscl  34179  vtsprod  34180
  Copyright terms: Public domain W3C validator