Theorem vtsval 34814

Description: Value of the Vinogradov trigonometric sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtsval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
vtsval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
vtsval.l	⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
vtsval	⊢ (𝜑 → ((𝐿vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝐿,𝑎   𝑁,𝑎   𝑋,𝑎

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑎)

Proof of Theorem vtsval

Dummy variables 𝑙 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtsval.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℂ)
2		cnex 11119	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
3		nnex 12163	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
4	2, 3	elmap 8821	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ 𝐿:ℕ⟶ℂ)
5	1, 4	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℂ ↑m ℕ))
6		vtsval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		fveq1 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑙‘𝑎) = (𝐿‘𝑎))
8	7	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → ((𝑙‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = ((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))))
9	8	sumeq2sdv 15638	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝑙‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))))
10	9	mpteq2dv 5194	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝑙‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
11		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
12	11	sumeq1d 15635	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))))
13	12	mpteq2dv 5194	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
14		df-vts 34813	. . . 4 ⊢ vts = (𝑙 ∈ (ℂ ↑m ℕ), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝑙‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
15	2	mptex 7179	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))) ∈ V
16	10, 13, 14, 15	ovmpo 7528	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℂ ↑m ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿vts𝑁) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
17	5, 6, 16	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿vts𝑁) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
18		oveq2 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑥) = (𝑎 · 𝑋))
19	18	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))
20	19	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋))))
21	20	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = ((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
22	21	sumeq2sdv 15638	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
23	22	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
24		vtsval.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
25		sumex 15623	. . 3 ⊢ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))) ∈ V
26	25	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))) ∈ V)
27	17, 23, 24, 26	fvmptd 6957	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775  ℂcc 11036  1c1 11039  ici 11040   · cmul 11043  ℕcn 12157  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ...cfz 13435  Σcsu 15621  expce 15996  πcpi 16001  vtscvts 34812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-map 8777  df-nn 12158  df-seq 13937  df-sum 15622  df-vts 34813

This theorem is referenced by:  vtscl  34815  vtsprod  34816