Theorem vtsval 34269

Description: Value of the Vinogradov trigonometric sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtsval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
vtsval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
vtsval.l	⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
vtsval	⊢ (𝜑 → ((𝐿vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝐿,𝑎   𝑁,𝑎   𝑋,𝑎

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑎)

Proof of Theorem vtsval

Dummy variables 𝑙 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtsval.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℂ)
2		cnex 11220	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
3		nnex 12249	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
4	2, 3	elmap 8890	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ 𝐿:ℕ⟶ℂ)
5	1, 4	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℂ ↑m ℕ))
6		vtsval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		fveq1 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑙‘𝑎) = (𝐿‘𝑎))
8	7	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → ((𝑙‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = ((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))))
9	8	sumeq2sdv 15683	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝑙‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))))
10	9	mpteq2dv 5250	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝑙‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
11		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
12	11	sumeq1d 15680	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))))
13	12	mpteq2dv 5250	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
14		df-vts 34268	. . . 4 ⊢ vts = (𝑙 ∈ (ℂ ↑m ℕ), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝑙‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
15	2	mptex 7235	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))) ∈ V
16	10, 13, 14, 15	ovmpo 7581	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℂ ↑m ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿vts𝑁) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
17	5, 6, 16	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿vts𝑁) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
18		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑥) = (𝑎 · 𝑋))
19	18	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))
20	19	fveq2d 6901	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋))))
21	20	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = ((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
22	21	sumeq2sdv 15683	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
23	22	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
24		vtsval.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
25		sumex 15667	. . 3 ⊢ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))) ∈ V
26	25	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))) ∈ V)
27	17, 23, 24, 26	fvmptd 7012	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8845  ℂcc 11137  1c1 11140  ici 11141   · cmul 11144  ℕcn 12243  2c2 12298  ℕ₀cn0 12503  ...cfz 13517  Σcsu 15665  expce 16038  πcpi 16043  vtscvts 34267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-seq 14000  df-sum 15666  df-vts 34268

This theorem is referenced by:  vtscl  34270  vtsprod  34271