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Theorem vtsval 33587
Description: Value of the Vinogradov trigonometric sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtsval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
vtsval.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
vtsval.l (𝜑𝐿:ℕ⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
vtsval (𝜑 → ((𝐿vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝐿,𝑎   𝑁,𝑎   𝑋,𝑎
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑎)

Proof of Theorem vtsval
Dummy variables 𝑙 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtsval.l . . . 4 (𝜑𝐿:ℕ⟶ℂ)
2 cnex 11187 . . . . 5 ℂ ∈ V
3 nnex 12214 . . . . 5 ℕ ∈ V
42, 3elmap 8861 . . . 4 (𝐿 ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ 𝐿:ℕ⟶ℂ)
51, 4sylibr 233 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ (ℂ ↑m ℕ))
6 vtsval.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
7 fveq1 6887 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (𝑙𝑎) = (𝐿𝑎))
87oveq1d 7419 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑙𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = ((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))))
98sumeq2sdv 15646 . . . . 5 (𝑙 = 𝐿 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝑙𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))))
109mpteq2dv 5249 . . . 4 (𝑙 = 𝐿 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝑙𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
11 oveq2 7412 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
1211sumeq1d 15643 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))))
1312mpteq2dv 5249 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
14 df-vts 33586 . . . 4 vts = (𝑙 ∈ (ℂ ↑m ℕ), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝑙𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
152mptex 7220 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))) ∈ V
1610, 13, 14, 15ovmpo 7563 . . 3 ((𝐿 ∈ (ℂ ↑m ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿vts𝑁) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
175, 6, 16syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (𝐿vts𝑁) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
18 oveq2 7412 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑥) = (𝑎 · 𝑋))
1918oveq2d 7420 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))
2019fveq2d 6892 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋))))
2120oveq2d 7420 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = ((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
2221sumeq2sdv 15646 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
2322adantl 483 . 2 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
24 vtsval.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
25 sumex 15630 . . 3 Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))) ∈ V
2625a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))) ∈ V)
2717, 23, 24, 26fvmptd 7001 1 (𝜑 → ((𝐿vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cmpt 5230  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  m cmap 8816  cc 11104  1c1 11107  ici 11108   · cmul 11111  cn 12208  2c2 12263  0cn0 12468  ...cfz 13480  Σcsu 15628  expce 16001  πcpi 16006  vtscvts 33585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-sum 15629  df-vts 33586
This theorem is referenced by:  vtscl  33588  vtsprod  33589
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