Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vtsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtsval 32917
Description: Value of the Vinogradov trigonometric sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtsval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
vtsval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
vtsval.l (πœ‘ β†’ 𝐿:β„•βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
vtsval (πœ‘ β†’ ((𝐿vts𝑁)β€˜π‘‹) = Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝐿,π‘Ž   𝑁,π‘Ž   𝑋,π‘Ž
Allowed substitution hint:   πœ‘(π‘Ž)

Proof of Theorem vtsval
Dummy variables 𝑙 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtsval.l . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„•βŸΆβ„‚)
2 cnex 11053 . . . . 5 β„‚ ∈ V
3 nnex 12080 . . . . 5 β„• ∈ V
42, 3elmap 8730 . . . 4 (𝐿 ∈ (β„‚ ↑m β„•) ↔ 𝐿:β„•βŸΆβ„‚)
51, 4sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (β„‚ ↑m β„•))
6 vtsval.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7 fveq1 6824 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 β†’ (π‘™β€˜π‘Ž) = (πΏβ€˜π‘Ž))
87oveq1d 7352 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 β†’ ((π‘™β€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))) = ((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))))
98sumeq2sdv 15515 . . . . 5 (𝑙 = 𝐿 β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑛)((π‘™β€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))) = Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑛)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))))
109mpteq2dv 5194 . . . 4 (𝑙 = 𝐿 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑛)((π‘™β€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑛)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))))
11 oveq2 7345 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ (1...𝑛) = (1...𝑁))
1211sumeq1d 15512 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑛)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))) = Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))))
1312mpteq2dv 5194 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑛)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))))
14 df-vts 32916 . . . 4 vts = (𝑙 ∈ (β„‚ ↑m β„•), 𝑛 ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑛)((π‘™β€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))))
152mptex 7155 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))) ∈ V
1610, 13, 14, 15ovmpo 7495 . . 3 ((𝐿 ∈ (β„‚ ↑m β„•) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐿vts𝑁) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))))
175, 6, 16syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐿vts𝑁) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))))
18 oveq2 7345 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘Ž Β· π‘₯) = (π‘Ž Β· 𝑋))
1918oveq2d 7353 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)) = ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))
2019fveq2d 6829 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋))))
2120oveq2d 7353 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))) = ((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))))
2221sumeq2sdv 15515 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))) = Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))))
2322adantl 482 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))) = Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))))
24 vtsval.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
25 sumex 15498 . . 3 Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))) ∈ V
2625a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))) ∈ V)
2717, 23, 24, 26fvmptd 6938 1 (πœ‘ β†’ ((𝐿vts𝑁)β€˜π‘‹) = Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5175  βŸΆwf 6475  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337   ↑m cmap 8686  β„‚cc 10970  1c1 10973  ici 10974   Β· cmul 10977  β„•cn 12074  2c2 12129  β„•0cn0 12334  ...cfz 13340  Ξ£csu 15496  expce 15870  Ο€cpi 15875  vtscvts 32915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-seq 13823  df-sum 15497  df-vts 32916
This theorem is referenced by:  vtscl  32918  vtsprod  32919
  Copyright terms: Public domain W3C validator