Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vtsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtsval 33649
Description: Value of the Vinogradov trigonometric sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtsval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
vtsval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
vtsval.l (πœ‘ β†’ 𝐿:β„•βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
vtsval (πœ‘ β†’ ((𝐿vts𝑁)β€˜π‘‹) = Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝐿,π‘Ž   𝑁,π‘Ž   𝑋,π‘Ž
Allowed substitution hint:   πœ‘(π‘Ž)

Proof of Theorem vtsval
Dummy variables 𝑙 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtsval.l . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„•βŸΆβ„‚)
2 cnex 11191 . . . . 5 β„‚ ∈ V
3 nnex 12218 . . . . 5 β„• ∈ V
42, 3elmap 8865 . . . 4 (𝐿 ∈ (β„‚ ↑m β„•) ↔ 𝐿:β„•βŸΆβ„‚)
51, 4sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (β„‚ ↑m β„•))
6 vtsval.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7 fveq1 6891 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 β†’ (π‘™β€˜π‘Ž) = (πΏβ€˜π‘Ž))
87oveq1d 7424 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 β†’ ((π‘™β€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))) = ((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))))
98sumeq2sdv 15650 . . . . 5 (𝑙 = 𝐿 β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑛)((π‘™β€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))) = Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑛)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))))
109mpteq2dv 5251 . . . 4 (𝑙 = 𝐿 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑛)((π‘™β€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑛)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))))
11 oveq2 7417 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ (1...𝑛) = (1...𝑁))
1211sumeq1d 15647 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑛)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))) = Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))))
1312mpteq2dv 5251 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑛)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))))
14 df-vts 33648 . . . 4 vts = (𝑙 ∈ (β„‚ ↑m β„•), 𝑛 ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑛)((π‘™β€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))))
152mptex 7225 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))) ∈ V
1610, 13, 14, 15ovmpo 7568 . . 3 ((𝐿 ∈ (β„‚ ↑m β„•) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐿vts𝑁) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))))
175, 6, 16syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐿vts𝑁) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))))))
18 oveq2 7417 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘Ž Β· π‘₯) = (π‘Ž Β· 𝑋))
1918oveq2d 7425 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)) = ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))
2019fveq2d 6896 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯))) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋))))
2120oveq2d 7425 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))) = ((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))))
2221sumeq2sdv 15650 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))) = Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))))
2322adantl 483 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· π‘₯)))) = Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))))
24 vtsval.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
25 sumex 15634 . . 3 Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))) ∈ V
2625a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))) ∈ V)
2717, 23, 24, 26fvmptd 7006 1 (πœ‘ β†’ ((𝐿vts𝑁)β€˜π‘‹) = Ξ£π‘Ž ∈ (1...𝑁)((πΏβ€˜π‘Ž) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘Ž Β· 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„‚cc 11108  1c1 11111  ici 11112   Β· cmul 11115  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  ...cfz 13484  Ξ£csu 15632  expce 16005  Ο€cpi 16010  vtscvts 33647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-sum 15633  df-vts 33648
This theorem is referenced by:  vtscl  33650  vtsprod  33651
  Copyright terms: Public domain W3C validator