Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vtsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtsval 31807
Description: Value of the Vinogradov trigonometric sums (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtsval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
vtsval.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
vtsval.l (𝜑𝐿:ℕ⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
vtsval (𝜑 → ((𝐿vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝐿,𝑎   𝑁,𝑎   𝑋,𝑎
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑎)

Proof of Theorem vtsval
Dummy variables 𝑙 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtsval.l . . . 4 (𝜑𝐿:ℕ⟶ℂ)
2 cnex 10606 . . . . 5 ℂ ∈ V
3 nnex 11632 . . . . 5 ℕ ∈ V
42, 3elmap 8424 . . . 4 (𝐿 ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ 𝐿:ℕ⟶ℂ)
51, 4sylibr 235 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ (ℂ ↑m ℕ))
6 vtsval.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
7 fveq1 6662 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (𝑙𝑎) = (𝐿𝑎))
87oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑙𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = ((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))))
98sumeq2sdv 15049 . . . . 5 (𝑙 = 𝐿 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝑙𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))))
109mpteq2dv 5153 . . . 4 (𝑙 = 𝐿 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝑙𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
11 oveq2 7153 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
1211sumeq1d 15046 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))))
1312mpteq2dv 5153 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
14 df-vts 31806 . . . 4 vts = (𝑙 ∈ (ℂ ↑m ℕ), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑛)((𝑙𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
152mptex 6977 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))) ∈ V
1610, 13, 14, 15ovmpo 7299 . . 3 ((𝐿 ∈ (ℂ ↑m ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿vts𝑁) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
175, 6, 16syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐿vts𝑁) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))))))
18 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑥) = (𝑎 · 𝑋))
1918oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))
2019fveq2d 6667 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋))))
2120oveq2d 7161 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = ((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
2221sumeq2sdv 15049 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
2322adantl 482 . 2 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑥)))) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
24 vtsval.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
25 sumex 15032 . . 3 Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))) ∈ V
2625a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))) ∈ V)
2717, 23, 24, 26fvmptd 6767 1 (𝜑 → ((𝐿vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  cc 10523  1c1 10526  ici 10527   · cmul 10530  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  ...cfz 12880  Σcsu 15030  expce 15403  πcpi 15408  vtscvts 31805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-seq 13358  df-sum 15031  df-vts 31806
This theorem is referenced by:  vtscl  31808  vtsprod  31809
  Copyright terms: Public domain W3C validator