MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efcvgfsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efcvgfsum 16122
Description: Exponential function convergence in terms of a sequence of partial finite sums. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efcvgfsum.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
Assertion
Ref Expression
efcvgfsum (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (exp‘𝐴))
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem efcvgfsum
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → (0...𝑛) = (0...𝑗))
21sumeq1d 15736 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
3 efcvgfsum.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
4 sumex 15724 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ V
52, 3, 4fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
65adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
7 elfznn0 13660 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
87adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
109eftval 16112 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
118, 10syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
12 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
13 nn0uz 12920 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
1412, 13eleqtrdi 2851 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ‘0))
15 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16 eftcl 16109 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
1715, 8, 16syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
1811, 14, 17fsumser 15766 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
196, 18eqtrd 2777 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
2019ralrimiva 3146 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝐹𝑗) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
21 sumex 15724 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ V
2221, 3fnmpti 6711 . . . 4 𝐹 Fn ℕ0
23 0z 12624 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
24 seqfn 14054 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn (ℤ‘0))
2523, 24ax-mp 5 . . . . 5 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn (ℤ‘0)
2613fneq2i 6666 . . . . 5 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn (ℤ‘0))
2725, 26mpbir 231 . . . 4 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn ℕ0
28 eqfnfv 7051 . . . 4 ((𝐹 Fn ℕ0 ∧ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn ℕ0) → (𝐹 = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝐹𝑗) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗)))
2922, 27, 28mp2an 692 . . 3 (𝐹 = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝐹𝑗) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
3020, 29sylibr 234 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))))
319efcvg 16121 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘𝐴))
3230, 31eqbrtrd 5165 1 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (exp‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061   class class class wbr 5143  cmpt 5225   Fn wfn 6556  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155   + caddc 11158   / cdiv 11920  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  seqcseq 14042  cexp 14102  !cfa 14312  cli 15520  Σcsu 15722  expce 16097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator