Theorem efcvgfsum 15795

Description: Exponential function convergence in terms of a sequence of partial finite sums. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
efcvgfsum.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
efcvgfsum	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (exp‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem efcvgfsum

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (0...𝑛) = (0...𝑗))
2	1	sumeq1d 15413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
3		efcvgfsum.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4		sumex 15399	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6875	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
6	5	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
7		elfznn0 13349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8	7	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
10	9	eftval 15786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11	8, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
12		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
13		nn0uz 12620	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
14	12, 13	eleqtrdi 2849	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
15		simpll 764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16		eftcl 15783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
17	15, 8, 16	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
18	11, 14, 17	fsumser 15442	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
19	6, 18	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑗) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
20	19	ralrimiva 3103	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑗) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
21		sumex 15399	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ V
22	21, 3	fnmpti 6576	. . . 4 ⊢ 𝐹 Fn ℕ0
23		0z 12330	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
24		seqfn 13733	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn (ℤ≥‘0))
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn (ℤ≥‘0)
26	13	fneq2i 6531	. . . . 5 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn (ℤ≥‘0))
27	25, 26	mpbir 230	. . . 4 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn ℕ0
28		eqfnfv 6909	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn ℕ0 ∧ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn ℕ0) → (𝐹 = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑗) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗)))
29	22, 27, 28	mp2an 689	. . 3 ⊢ (𝐹 = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑗) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
30	20, 29	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))))
31	9	efcvg 15794	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘𝐴))
32	30, 31	eqbrtrd 5096	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871   + caddc 10874   / cdiv 11632  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  seqcseq 13721  ↑cexp 13782  !cfa 13987   ⇝ cli 15193  Σcsu 15397  expce 15771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777

This theorem is referenced by: (None)