MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efcvgfsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efcvgfsum 16036
Description: Exponential function convergence in terms of a sequence of partial finite sums. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efcvgfsum.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
Assertion
Ref Expression
efcvgfsum (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (exp‘𝐴))
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem efcvgfsum
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → (0...𝑛) = (0...𝑗))
21sumeq1d 15653 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
3 efcvgfsum.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
4 sumex 15640 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ V
52, 3, 4fvmpt 6992 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
65adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
7 elfznn0 13600 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
87adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
109eftval 16026 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
118, 10syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
12 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
13 nn0uz 12868 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
1412, 13eleqtrdi 2837 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ‘0))
15 simpll 764 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16 eftcl 16023 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
1715, 8, 16syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
1811, 14, 17fsumser 15682 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑗)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
196, 18eqtrd 2766 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
2019ralrimiva 3140 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝐹𝑗) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
21 sumex 15640 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ V
2221, 3fnmpti 6687 . . . 4 𝐹 Fn ℕ0
23 0z 12573 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
24 seqfn 13984 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn (ℤ‘0))
2523, 24ax-mp 5 . . . . 5 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn (ℤ‘0)
2613fneq2i 6641 . . . . 5 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn (ℤ‘0))
2725, 26mpbir 230 . . . 4 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn ℕ0
28 eqfnfv 7026 . . . 4 ((𝐹 Fn ℕ0 ∧ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) Fn ℕ0) → (𝐹 = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝐹𝑗) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗)))
2922, 27, 28mp2an 689 . . 3 (𝐹 = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝐹𝑗) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
3020, 29sylibr 233 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))))
319efcvg 16035 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘𝐴))
3230, 31eqbrtrd 5163 1 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (exp‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055   class class class wbr 5141  cmpt 5224   Fn wfn 6532  cfv 6537  (class class class)co 7405  cc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115   / cdiv 11875  0cn0 12476  cz 12562  cuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972  cexp 14032  !cfa 14238  cli 15434  Σcsu 15638  expce 16011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator