MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  selberglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem selberglem1 27284
Description: Lemma for selberg 27287. Estimation of the asymptotic part of selberglem3 27286. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
selberglem1.t 𝑇 = ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) / 𝑛)
Assertion
Ref Expression
selberglem1 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem selberglem1
StepHypRef Expression
1 fzfid 13942 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
2 elfznn 13534 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
32adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
4 mucl 26881 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
65zred 12670 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
76, 3nndivred 12270 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
87recnd 11246 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
92nnrpd 13018 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
10 rpdivcl 13003 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
119, 10sylan2 591 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
12 relogcl 26320 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
1413recnd 11246 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„‚)
1514sqcld 14113 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) ∈ β„‚)
168, 15mulcld 11238 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) ∈ β„‚)
171, 16fsumcl 15683 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) ∈ β„‚)
18 2cn 12291 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„‚
1918a1i 11 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 2 ∈ β„‚)
2019, 14mulcld 11238 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
2119, 20subcld 11575 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ β„‚)
228, 21mulcld 11238 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ β„‚)
231, 22fsumcl 15683 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ β„‚)
24 relogcl 26320 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2524recnd 11246 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
26 mulcl 11196 . . . . . 6 ((2 ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
2718, 25, 26sylancr 585 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
2817, 23, 27addsubd 11596 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) + Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))) + Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))))
29 selberglem1.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) / 𝑛)
3029oveq2i 7422 . . . . . . . 8 ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) = ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) / 𝑛))
315zcnd 12671 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
3215, 21addcld 11237 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ β„‚)
333nnrpd 13018 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
3433rpcnne0d 13029 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0))
35 divass 11894 . . . . . . . . . . 11 (((ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚ ∧ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))) / 𝑛) = ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) / 𝑛)))
36 div23 11895 . . . . . . . . . . 11 (((ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚ ∧ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))) / 𝑛) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))))
3735, 36eqtr3d 2772 . . . . . . . . . 10 (((ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚ ∧ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) / 𝑛)) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))))
3831, 32, 34, 37syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) / 𝑛)) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))))
398, 15, 21adddid 11242 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))) = ((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) + (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))))
4038, 39eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) / 𝑛)) = ((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) + (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))))
4130, 40eqtrid 2782 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) = ((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) + (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))))
4241sumeq2dv 15653 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) + (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))))
431, 16, 22fsumadd 15690 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) + (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) + Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))))
4442, 43eqtrd 2770 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) + Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))))
4544oveq1d 7426 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) + Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))))
4618a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ 2 ∈ β„‚)
478, 14mulcld 11238 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
488, 47subcld 11575 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ β„‚)
491, 46, 48fsummulc2 15734 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(2 Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))))
501, 8, 47fsumsub 15738 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))
5150oveq2d 7427 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) = (2 Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))))
5219, 8mulcomd 11239 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 2))
5319, 8, 14mul12d 11427 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))
5452, 53oveq12d 7429 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((2 Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (2 Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) = ((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 2) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))))
5519, 8, 47subdid 11674 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) = ((2 Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (2 Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))))
568, 19, 20subdid 11674 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) = ((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 2) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))))
5754, 55, 563eqtr4d 2780 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))))
5857sumeq2dv 15653 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(2 Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))))
5949, 51, 583eqtr3d 2778 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (2 Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))))
6059oveq2d 7427 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))) + (2 Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))) + Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))))
6128, 45, 603eqtr4d 2780 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))) + (2 Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))))
6261mpteq2ia 5250 . 2 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))) + (2 Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))))
63 ovexd 7446 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ V)
64 ovexd 7446 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ V)
65 mulog2sum 27276 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1)
6665a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1))
67 2ex 12293 . . . . . 6 2 ∈ V
6867a1i 11 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ V)
69 ovexd 7446 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ V)
70 rpssre 12985 . . . . . . 7 ℝ+ βŠ† ℝ
71 o1const 15568 . . . . . . 7 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
7270, 18, 71mp2an 688 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1)
7372a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
74 reex 11203 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
7574, 70ssexi 5321 . . . . . . . 8 ℝ+ ∈ V
7675a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ ℝ+ ∈ V)
77 sumex 15638 . . . . . . . 8 Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ V
7877a1i 11 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ V)
79 sumex 15638 . . . . . . . 8 Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ V
8079a1i 11 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ V)
81 eqidd 2731 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)))
82 eqidd 2731 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))
8376, 78, 80, 81, 82offval2 7692 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∘f βˆ’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))))
84 mudivsum 27269 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1)
85 mulogsum 27271 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1)
86 o1sub 15564 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∘f βˆ’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1))
8784, 85, 86mp2an 688 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∘f βˆ’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1)
8883, 87eqeltrrdi 2840 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1))
8968, 69, 73, 88o1mul2 15573 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))) ∈ 𝑂(1))
9063, 64, 66, 89o1add2 15572 . . 3 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))) + (2 Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))))) ∈ 𝑂(1))
9190mptru 1546 . 2 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))) + (2 Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))))) ∈ 𝑂(1)
9262, 91eqeltri 2827 1 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  βŠ€wtru 1540   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„€cz 12562  β„+crp 12978  ...cfz 13488  βŒŠcfl 13759  β†‘cexp 14031  π‘‚(1)co1 15434  Ξ£csu 15636  logclog 26299  ΞΌcmu 26835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-o1 15438  df-lo1 15439  df-sum 15637  df-ef 16015  df-e 16016  df-sin 16017  df-cos 16018  df-tan 16019  df-pi 16020  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16774  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-ulm 26125  df-log 26301  df-cxp 26302  df-atan 26608  df-em 26733  df-mu 26841
This theorem is referenced by:  selberglem2  27285
  Copyright terms: Public domain W3C validator