MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  selberglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem selberglem1 27589
Description: Lemma for selberg 27592. Estimation of the asymptotic part of selberglem3 27591. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
selberglem1.t 𝑇 = ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) + (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) / 𝑛)
Assertion
Ref Expression
selberglem1 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) · 𝑇) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem selberglem1
StepHypRef Expression
1 fzfid 14014 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
2 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
32adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
4 mucl 27184 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
65zred 12722 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℝ)
76, 3nndivred 12320 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
87recnd 11289 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
92nnrpd 13075 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
10 rpdivcl 13060 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
119, 10sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
12 relogcl 26617 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+ → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1413recnd 11289 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
1514sqcld 14184 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
168, 15mulcld 11281 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) ∈ ℂ)
171, 16fsumcl 15769 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) ∈ ℂ)
18 2cn 12341 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
1918a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
2019, 14mulcld 11281 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
2119, 20subcld 11620 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
228, 21mulcld 11281 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ ℂ)
231, 22fsumcl 15769 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ ℂ)
24 relogcl 26617 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
2524recnd 11289 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
26 mulcl 11239 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ∈ ℂ) → (2 · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
2718, 25, 26sylancr 587 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → (2 · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
2817, 23, 27addsubd 11641 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))) − (2 · (log‘𝑥))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥))) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))))
29 selberglem1.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) + (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) / 𝑛)
3029oveq2i 7442 . . . . . . . 8 ((μ‘𝑛) · 𝑇) = ((μ‘𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) + (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) / 𝑛))
315zcnd 12723 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℂ)
3215, 21addcld 11280 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) + (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ ℂ)
333nnrpd 13075 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
3433rpcnne0d 13086 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
35 divass 11940 . . . . . . . . . . 11 (((μ‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) + (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (((μ‘𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) + (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))) / 𝑛) = ((μ‘𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) + (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) / 𝑛)))
36 div23 11941 . . . . . . . . . . 11 (((μ‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) + (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (((μ‘𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) + (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))) / 𝑛) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) + (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))))
3735, 36eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 (((μ‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) + (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → ((μ‘𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) + (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) / 𝑛)) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) + (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))))
3831, 32, 34, 37syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) + (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) / 𝑛)) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) + (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))))
398, 15, 21adddid 11285 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) + (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) + (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))))
4038, 39eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) + (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) / 𝑛)) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) + (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))))
4130, 40eqtrid 2789 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) · 𝑇) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) + (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))))
4241sumeq2dv 15738 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) · 𝑇) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) + (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))))
431, 16, 22fsumadd 15776 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) + (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))))
4442, 43eqtrd 2777 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) · 𝑇) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))))
4544oveq1d 7446 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) · 𝑇) − (2 · (log‘𝑥))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))) − (2 · (log‘𝑥))))
4618a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
478, 14mulcld 11281 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
488, 47subcld 11620 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
491, 46, 48fsummulc2 15820 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))))
501, 8, 47fsumsub 15824 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
5150oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) = (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))))
5219, 8mulcomd 11282 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 2))
5319, 8, 14mul12d 11470 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
5452, 53oveq12d 7449 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((2 · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) − (2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · 2) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛))))))
5519, 8, 47subdid 11719 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) = ((2 · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) − (2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))))
568, 19, 20subdid 11719 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · 2) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛))))))
5754, 55, 563eqtr4d 2787 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛))))))
5857sumeq2dv 15738 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛))))))
5949, 51, 583eqtr3d 2785 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛))))))
6059oveq2d 7447 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥))) + (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥))) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 − (2 · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))))
6128, 45, 603eqtr4d 2787 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ+ → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) · 𝑇) − (2 · (log‘𝑥))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥))) + (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))))
6261mpteq2ia 5245 . 2 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) · 𝑇) − (2 · (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥))) + (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))))
63 ovexd 7466 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥))) ∈ V)
64 ovexd 7466 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ V)
65 mulog2sum 27581 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)
6665a1i 11 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
67 2ex 12343 . . . . . 6 2 ∈ V
6867a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ V)
69 ovexd 7466 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ V)
70 rpssre 13042 . . . . . . 7 + ⊆ ℝ
71 o1const 15656 . . . . . . 7 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
7270, 18, 71mp2an 692 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1)
7372a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
74 reex 11246 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
7574, 70ssexi 5322 . . . . . . . 8 + ∈ V
7675a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℝ+ ∈ V)
77 sumex 15724 . . . . . . . 8 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ V
7877a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ V)
79 sumex 15724 . . . . . . . 8 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ V
8079a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ V)
81 eqidd 2738 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛)))
82 eqidd 2738 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
8376, 78, 80, 81, 82offval2 7717 . . . . . 6 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∘f − (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))))
84 mudivsum 27574 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1)
85 mulogsum 27576 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1)
86 o1sub 15652 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∘f − (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1))
8784, 85, 86mp2an 692 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∘f − (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1)
8883, 87eqeltrrdi 2850 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1))
8968, 69, 73, 88o1mul2 15661 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))) ∈ 𝑂(1))
9063, 64, 66, 89o1add2 15660 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥))) + (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))))) ∈ 𝑂(1))
9190mptru 1547 . 2 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥))) + (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))))) ∈ 𝑂(1)
9262, 91eqeltri 2837 1 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) · 𝑇) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  wss 3951  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  cz 12613  +crp 13034  ...cfz 13547  cfl 13830  cexp 14102  𝑂(1)co1 15522  Σcsu 15722  logclog 26596  μcmu 27138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-o1 15526  df-lo1 15527  df-sum 15723  df-ef 16103  df-e 16104  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-ulm 26420  df-log 26598  df-cxp 26599  df-atan 26910  df-em 27036  df-mu 27144
This theorem is referenced by:  selberglem2  27590
  Copyright terms: Public domain W3C validator