Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem11 45537
Description: This lemma is used to prove that there is a function 𝑔 as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 92 (at the top of page 92): this lemma proves that g(t) < ( j + 1 / 3 ) * ε. Here 𝐸 is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem11.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem11.2 (𝜑𝑡𝑇)
stoweidlem11.3 (𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁))
stoweidlem11.4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
stoweidlem11.5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
stoweidlem11.6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
stoweidlem11.7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem11.8 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem11 (𝜑 → ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗   𝑡,𝑖,𝐸   𝑖,𝑁,𝑡   𝜑,𝑖   𝑡,𝑇   𝑡,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑗)   𝑇(𝑖,𝑗)   𝐸(𝑗)   𝑁(𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem stoweidlem11
StepHypRef Expression
1 stoweidlem11.2 . . 3 (𝜑𝑡𝑇)
2 sumex 15670 . . 3 Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ V
3 eqid 2725 . . . 4 (𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))
43fvmpt2 7015 . . 3 ((𝑡𝑇 ∧ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ V) → ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))
51, 2, 4sylancl 584 . 2 (𝜑 → ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))
6 fzfid 13974 . . . 4 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
7 stoweidlem11.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
87rpred 13051 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
98adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
10 stoweidlem11.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
111adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑡𝑇)
1210, 11ffvelcdmd 7094 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
139, 12remulcld 11276 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ ℝ)
146, 13fsumrecl 15716 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ ℝ)
15 stoweidlem11.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁))
1615elfzelzd 13537 . . . . . 6 (𝜑𝑗 ∈ ℤ)
1716zred 12699 . . . . 5 (𝜑𝑗 ∈ ℝ)
188, 17remulcld 11276 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 · 𝑗) ∈ ℝ)
19 stoweidlem11.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2019nnred 12260 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2120, 17resubcld 11674 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑗) ∈ ℝ)
22 1red 11247 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2321, 22readdcld 11275 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑗) + 1) ∈ ℝ)
248, 19nndivred 12299 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 / 𝑁) ∈ ℝ)
258, 24remulcld 11276 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℝ)
2623, 25remulcld 11276 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))) ∈ ℝ)
2718, 26readdcld 11275 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))) ∈ ℝ)
28 3re 12325 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
30 3ne0 12351 . . . . . . 7 3 ≠ 0
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ≠ 0)
3229, 31rereccld 12074 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
3317, 32readdcld 11275 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 + (1 / 3)) ∈ ℝ)
3433, 8remulcld 11276 . . 3 (𝜑 → ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
35 fzfid 13974 . . . . . 6 (𝜑 → (0...(𝑗 − 1)) ∈ Fin)
368adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → 𝐸 ∈ ℝ)
37 elfzelz 13536 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
38 peano2zm 12638 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
3915, 37, 383syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
4019nnzd 12618 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4117, 22resubcld 11674 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
4217lem1d 12180 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑗 − 1) ≤ 𝑗)
43 elfzuz3 13533 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑗))
44 eluzle 12868 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑗𝑁)
4515, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑗𝑁)
4641, 17, 20, 42, 45letrd 11403 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 − 1) ≤ 𝑁)
47 eluz2 12861 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑗 − 1)) ↔ ((𝑗 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑁))
4839, 40, 46, 47syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑗 − 1)))
49 fzss2 13576 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑗 − 1)) → (0...(𝑗 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0...(𝑗 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
5150sselda 3976 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
5251, 12syldan 589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
5336, 52remulcld 11276 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ ℝ)
5435, 53fsumrecl 15716 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ ℝ)
5554, 26readdcld 11275 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))) ∈ ℝ)
5617ltm1d 12179 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑗 − 1) < 𝑗)
57 fzdisj 13563 . . . . . . 7 ((𝑗 − 1) < 𝑗 → ((0...(𝑗 − 1)) ∩ (𝑗...𝑁)) = ∅)
5856, 57syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((0...(𝑗 − 1)) ∩ (𝑗...𝑁)) = ∅)
59 fzssp1 13579 . . . . . . . . . 10 (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
6019nncnd 12261 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
61 1cnd 11241 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6260, 61npcand 11607 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6362oveq2d 7435 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
6459, 63sseqtrid 4029 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
65 1zzd 12626 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
66 fzsubel 13572 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
6765, 40, 16, 65, 66syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
6815, 67mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
69 1m1e0 12317 . . . . . . . . . . 11 (1 − 1) = 0
7069oveq1i 7429 . . . . . . . . . 10 ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
7168, 70eleqtrdi 2835 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑗 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
7264, 71sseldd 3977 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑁))
73 fzsplit 13562 . . . . . . . 8 ((𝑗 − 1) ∈ (0...𝑁) → (0...𝑁) = ((0...(𝑗 − 1)) ∪ (((𝑗 − 1) + 1)...𝑁)))
7472, 73syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) = ((0...(𝑗 − 1)) ∪ (((𝑗 − 1) + 1)...𝑁)))
7516zcnd 12700 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑗 ∈ ℂ)
7675, 61npcand 11607 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
7776oveq1d 7434 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑗 − 1) + 1)...𝑁) = (𝑗...𝑁))
7877uneq2d 4160 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0...(𝑗 − 1)) ∪ (((𝑗 − 1) + 1)...𝑁)) = ((0...(𝑗 − 1)) ∪ (𝑗...𝑁)))
7974, 78eqtrd 2765 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝑁) = ((0...(𝑗 − 1)) ∪ (𝑗...𝑁)))
807rpcnd 13053 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
8180adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℂ)
8212recnd 11274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ∈ ℂ)
8381, 82mulcld 11266 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ ℂ)
8458, 79, 6, 83fsumsplit 15723 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) + Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡))))
85 fzfid 13974 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑗...𝑁) ∈ Fin)
868adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
87 0zd 12603 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
88 0red 11249 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
89 0le1 11769 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 1
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ 1)
91 elfzuz 13532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
9215, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘1))
93 eluz2 12861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
9492, 93sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
9594simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ 𝑗)
9688, 22, 17, 90, 95letrd 11403 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ 𝑗)
97 eluz2 12861 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑗))
9887, 16, 96, 97syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘0))
99 fzss1 13575 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ‘0) → (𝑗...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
101100sselda 3976 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
102101, 10syldan 589 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
1031adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡𝑇)
104102, 103ffvelcdmd 7094 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
10586, 104remulcld 11276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ ℝ)
10685, 105fsumrecl 15716 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ ℝ)
107 eluzfz2 13544 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑁 ∈ (𝑗...𝑁))
108 ne0i 4334 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (𝑗...𝑁) → (𝑗...𝑁) ≠ ∅)
10915, 43, 107, 1084syl 19 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑗...𝑁) ≠ ∅)
11019adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11186, 110nndivred 12299 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐸 / 𝑁) ∈ ℝ)
11286, 111remulcld 11276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℝ)
113 stoweidlem11.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
1147rpgt0d 13054 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝐸)
115114adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 < 𝐸)
116 ltmul2 12098 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ↔ (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
117104, 111, 86, 115, 116syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ↔ (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
118113, 117mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))
11985, 109, 105, 112, 118fsumlt 15782 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))
12019nnne0d 12295 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ≠ 0)
12180, 60, 120divcld 12023 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 / 𝑁) ∈ ℂ)
12280, 121mulcld 11266 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℂ)
123 fsumconst 15772 . . . . . . . . 9 (((𝑗...𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · (𝐸 / 𝑁)) = ((♯‘(𝑗...𝑁)) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
12485, 122, 123syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · (𝐸 / 𝑁)) = ((♯‘(𝑗...𝑁)) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
125 hashfz 14422 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑗) → (♯‘(𝑗...𝑁)) = ((𝑁𝑗) + 1))
12615, 43, 1253syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(𝑗...𝑁)) = ((𝑁𝑗) + 1))
127126oveq1d 7434 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(𝑗...𝑁)) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))) = (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
128124, 127eqtrd 2765 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · (𝐸 / 𝑁)) = (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
129119, 128breqtrd 5175 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
130106, 26, 54, 129ltadd2dd 11405 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) + Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡))) < (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))))
13184, 130eqbrtrd 5171 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))))
132 stoweidlem11.5 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
13351, 132syldan 589 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
134 1red 11247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
135114adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → 0 < 𝐸)
136 lemul2 12100 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1 ↔ (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ≤ (𝐸 · 1)))
13752, 134, 36, 135, 136syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → (((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1 ↔ (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ≤ (𝐸 · 1)))
138133, 137mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ≤ (𝐸 · 1))
13980mulridd 11263 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 · 1) = 𝐸)
140139adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → (𝐸 · 1) = 𝐸)
141138, 140breqtrd 5175 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ≤ 𝐸)
14235, 53, 36, 141fsumle 15781 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))𝐸)
143 fsumconst 15772 . . . . . . . 8 (((0...(𝑗 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))𝐸 = ((♯‘(0...(𝑗 − 1))) · 𝐸))
14435, 80, 143syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))𝐸 = ((♯‘(0...(𝑗 − 1))) · 𝐸))
145 0z 12602 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
146 1e0p1 12752 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (0 + 1)
147146fveq2i 6899 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘1) = (ℤ‘(0 + 1))
14892, 147eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
149 eluzp1m1 12881 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0))
150145, 148, 149sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0))
151 hashfz 14422 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘(0...(𝑗 − 1))) = (((𝑗 − 1) − 0) + 1))
152150, 151syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(0...(𝑗 − 1))) = (((𝑗 − 1) − 0) + 1))
15375, 61subcld 11603 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
154153subid1d 11592 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑗 − 1) − 0) = (𝑗 − 1))
155154oveq1d 7434 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑗 − 1) − 0) + 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
156152, 155, 763eqtrd 2769 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(0...(𝑗 − 1))) = 𝑗)
157156oveq1d 7434 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘(0...(𝑗 − 1))) · 𝐸) = (𝑗 · 𝐸))
15875, 80mulcomd 11267 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑗 · 𝐸) = (𝐸 · 𝑗))
159144, 157, 1583eqtrd 2769 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))𝐸 = (𝐸 · 𝑗))
160142, 159breqtrd 5175 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ≤ (𝐸 · 𝑗))
16154, 18, 26, 160leadd1dd 11860 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))) ≤ ((𝐸 · 𝑗) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))))
16214, 55, 27, 131, 161ltletrd 11406 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < ((𝐸 · 𝑗) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))))
1638, 8remulcld 11276 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 · 𝐸) ∈ ℝ)
16418, 163readdcld 11275 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · 𝐸)) ∈ ℝ)
16560, 75subcld 11603 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑗) ∈ ℂ)
166165, 61addcld 11265 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑗) + 1) ∈ ℂ)
16780, 166, 121mul12d 11455 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁))) = (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
168167oveq2d 7435 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁)))) = ((𝐸 · 𝑗) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))))
16923, 24remulcld 11276 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℝ)
1708, 169remulcld 11276 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁))) ∈ ℝ)
171166, 80, 60, 120div12d 12059 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁)) = (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁)))
17222, 17resubcld 11674 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 − 𝑗) ∈ ℝ)
173 elfzle1 13539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝑗)
17415, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≤ 𝑗)
17522, 17suble0d 11837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((1 − 𝑗) ≤ 0 ↔ 1 ≤ 𝑗))
176174, 175mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 − 𝑗) ≤ 0)
177172, 88, 20, 176leadd2dd 11861 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + (1 − 𝑗)) ≤ (𝑁 + 0))
17860, 61, 75addsub12d 11626 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 + (1 − 𝑗)) = (1 + (𝑁𝑗)))
17961, 165addcomd 11448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 + (𝑁𝑗)) = ((𝑁𝑗) + 1))
180178, 179eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + (1 − 𝑗)) = ((𝑁𝑗) + 1))
18160addridd 11446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
182177, 180, 1813brtr3d 5180 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁𝑗) + 1) ≤ 𝑁)
18319nngt0d 12294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 𝑁)
184 lediv1 12112 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝑁𝑗) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁) ≤ (𝑁 / 𝑁)))
18523, 20, 20, 183, 184syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁) ≤ (𝑁 / 𝑁)))
186182, 185mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁) ≤ (𝑁 / 𝑁))
18760, 120dividd 12021 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 / 𝑁) = 1)
188186, 187breqtrd 5175 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁) ≤ 1)
18923, 19nndivred 12299 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
190189, 22, 7lemul2d 13095 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁) ≤ 1 ↔ (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁)) ≤ (𝐸 · 1)))
191188, 190mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁)) ≤ (𝐸 · 1))
192191, 139breqtrd 5175 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁)) ≤ 𝐸)
193171, 192eqbrtrd 5171 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁)) ≤ 𝐸)
194169, 8, 7lemul2d 13095 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁)) ≤ 𝐸 ↔ (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁))) ≤ (𝐸 · 𝐸)))
195193, 194mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁))) ≤ (𝐸 · 𝐸))
196170, 163, 18, 195leadd2dd 11861 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁)))) ≤ ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · 𝐸)))
197168, 196eqbrtrrd 5173 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))) ≤ ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · 𝐸)))
19880, 75mulcomd 11267 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 · 𝑗) = (𝑗 · 𝐸))
199198oveq1d 7434 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · 𝐸)) = ((𝑗 · 𝐸) + (𝐸 · 𝐸)))
20075, 80, 80adddird 11271 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑗 + 𝐸) · 𝐸) = ((𝑗 · 𝐸) + (𝐸 · 𝐸)))
201199, 200eqtr4d 2768 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · 𝐸)) = ((𝑗 + 𝐸) · 𝐸))
20217, 8readdcld 11275 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 + 𝐸) ∈ ℝ)
203 stoweidlem11.8 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
2048, 32, 17, 203ltadd2dd 11405 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 + 𝐸) < (𝑗 + (1 / 3)))
205202, 33, 7, 204ltmul1dd 13106 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗 + 𝐸) · 𝐸) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
206201, 205eqbrtrd 5171 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · 𝐸)) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
20727, 164, 34, 197, 206lelttrd 11404 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
20814, 27, 34, 162, 207lttrd 11407 . 2 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
2095, 208eqbrtrd 5171 1 (𝜑 → ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  Vcvv 3461  cun 3942  cin 3943  wss 3944  c0 4322   class class class wbr 5149  cmpt 5232  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476   / cdiv 11903  cn 12245  3c3 12301  cz 12591  cuz 12855  +crp 13009  ...cfz 13519  chash 14325  Σcsu 15668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-ico 13365  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669
This theorem is referenced by:  stoweidlem34  45560
  Copyright terms: Public domain W3C validator