Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsplypnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsplypnf 32974
Description: The quotient of a polynomial 𝐹 by a monic monomial of same degree 𝐺 converges to the highest coefficient of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsply0.d 𝐷 = (deg‘𝐹)
signsply0.c 𝐶 = (coeff‘𝐹)
signsply0.b 𝐵 = (𝐶𝐷)
signsplypnf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))
Assertion
Ref Expression
signsplypnf (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹f / 𝐺) ⇝𝑟 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem signsplypnf
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyf 25511 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
21ffnd 6666 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹 Fn ℂ)
3 ovex 7384 . . . . . 6 (𝑥𝐷) ∈ V
43rgenw 3066 . . . . 5 𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥𝐷) ∈ V
5 signsplypnf.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))
65fnmpt 6638 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥𝐷) ∈ V → 𝐺 Fn ℝ+)
74, 6mp1i 13 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐺 Fn ℝ+)
8 cnex 11090 . . . . 5 ℂ ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℂ ∈ V)
10 reex 11100 . . . . . 6 ℝ ∈ V
11 rpssre 12876 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
1210, 11ssexi 5277 . . . . 5 + ∈ V
1312a1i 11 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℝ+ ∈ V)
14 ax-resscn 11066 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
1511, 14sstri 3951 . . . . 5 + ⊆ ℂ
16 sseqin2 4173 . . . . 5 (ℝ+ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ+) = ℝ+)
1715, 16mpbi 229 . . . 4 (ℂ ∩ ℝ+) = ℝ+
18 signsply0.c . . . . 5 𝐶 = (coeff‘𝐹)
19 signsply0.d . . . . 5 𝐷 = (deg‘𝐹)
2018, 19coeid2 25552 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹𝑥) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)))
215fvmpt2 6956 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝐷) ∈ V) → (𝐺𝑥) = (𝑥𝐷))
223, 21mpan2 689 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝐺𝑥) = (𝑥𝐷))
2322adantl 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑥) = (𝑥𝐷))
242, 7, 9, 13, 17, 20, 23offval 7618 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹f / 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))))
25 fzfid 13832 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0...𝐷) ∈ Fin)
2615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℝ+ ⊆ ℂ)
2726sselda 3942 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
28 dgrcl 25546 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
2919, 28eqeltrid 2842 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐷 ∈ ℕ0)
3029adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
3127, 30expcld 14005 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝐷) ∈ ℂ)
3218coef3 25545 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐶:ℕ0⟶ℂ)
3332ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → 𝐶:ℕ0⟶ℂ)
34 elfznn0 13488 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝐷) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3534adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3633, 35ffvelcdmd 7032 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
3727adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3837, 35expcld 14005 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
3936, 38mulcld 11133 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → ((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) ∈ ℂ)
40 rpne0 12885 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
4140adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
4229nn0zd 12483 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐷 ∈ ℤ)
4342adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
4427, 41, 43expne0d 14011 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝐷) ≠ 0)
4525, 31, 39, 44fsumdivc 15631 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)))
46 fzosn 13597 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷..^(𝐷 + 1)) = {𝐷})
4746ineq2d 4170 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → ((0..^𝐷) ∩ (𝐷..^(𝐷 + 1))) = ((0..^𝐷) ∩ {𝐷}))
48 fzodisj 13560 . . . . . . . 8 ((0..^𝐷) ∩ (𝐷..^(𝐷 + 1))) = ∅
4947, 48eqtr3di 2792 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → ((0..^𝐷) ∩ {𝐷}) = ∅)
5043, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((0..^𝐷) ∩ {𝐷}) = ∅)
51 fzval3 13595 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℤ → (0...𝐷) = (0..^(𝐷 + 1)))
5242, 51syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0...𝐷) = (0..^(𝐷 + 1)))
53 nn0uz 12759 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
5429, 53eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐷 ∈ (ℤ‘0))
55 fzosplitsn 13634 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(𝐷 + 1)) = ((0..^𝐷) ∪ {𝐷}))
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0..^(𝐷 + 1)) = ((0..^𝐷) ∪ {𝐷}))
5752, 56eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0...𝐷) = ((0..^𝐷) ∪ {𝐷}))
5857adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0...𝐷) = ((0..^𝐷) ∪ {𝐷}))
5931adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → (𝑥𝐷) ∈ ℂ)
6041adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → 𝑥 ≠ 0)
6143adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
6237, 60, 61expne0d 14011 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → (𝑥𝐷) ≠ 0)
6339, 59, 62divcld 11889 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ ℂ)
6450, 58, 25, 63fsumsplit 15586 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))))
6545, 64eqtrd 2777 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))))
6665mpteq2dva 5203 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)))))
6724, 66eqtrd 2777 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹f / 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)))))
68 sumex 15532 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ V
6968a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ V)
70 sumex 15532 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ V
7170a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ V)
7211a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℝ+ ⊆ ℝ)
73 fzofi 13833 . . . . . . 7 (0..^𝐷) ∈ Fin
7473a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0..^𝐷) ∈ Fin)
75 ovexd 7386 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ (0..^𝐷))) → (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ V)
7632ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶:ℕ0⟶ℂ)
77 elfzonn0 13571 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^𝐷) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7877ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7976, 78ffvelcdmd 7032 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
8027adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
8180, 78expcld 14005 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
8231adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝐷) ∈ ℂ)
8340adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
8443adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
8580, 83, 84expne0d 14011 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝐷) ≠ 0)
8679, 81, 82, 85divassd 11924 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = ((𝐶𝑘) · ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷))))
8786mpteq2dva 5203 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐶𝑘) · ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)))))
88 fvexd 6854 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶𝑘) ∈ V)
89 ovexd 7386 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)) ∈ V)
9032adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝐶:ℕ0⟶ℂ)
9177adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9290, 91ffvelcdmd 7032 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
93 rlimconst 15386 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶𝑘)) ⇝𝑟 (𝐶𝑘))
9411, 92, 93sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶𝑘)) ⇝𝑟 (𝐶𝑘))
9578nn0zd 12483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℤ)
9684, 95zsubcld 12570 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐷𝑘) ∈ ℤ)
9780, 83, 96cxpexpzd 26018 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(𝐷𝑘)) = (𝑥↑(𝐷𝑘)))
9897oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘))) = (1 / (𝑥↑(𝐷𝑘))))
9980, 83, 96expnegd 14012 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑-(𝐷𝑘)) = (1 / (𝑥↑(𝐷𝑘))))
10084zcnd 12566 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
10178nn0cnd 12433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℂ)
102100, 101negsubdi2d 11486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → -(𝐷𝑘) = (𝑘𝐷))
103102oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑-(𝐷𝑘)) = (𝑥↑(𝑘𝐷)))
10498, 99, 1033eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘))) = (𝑥↑(𝑘𝐷)))
10580, 83, 84, 95expsubd 14016 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑(𝑘𝐷)) = ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)))
106104, 105eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘))) = ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)))
107106mpteq2dva 5203 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷))))
10891nn0red 12432 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝑘 ∈ ℝ)
10929adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
110109nn0red 12432 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
111 elfzolt2 13535 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0..^𝐷) → 𝑘 < 𝐷)
112111adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝑘 < 𝐷)
113 difrp 12907 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝑘 < 𝐷 ↔ (𝐷𝑘) ∈ ℝ+))
114113biimpa 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 < 𝐷) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ+)
115108, 110, 112, 114syl21anc 836 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ+)
116 cxplim 26273 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷𝑘) ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘)))) ⇝𝑟 0)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘)))) ⇝𝑟 0)
118107, 117eqbrtrrd 5127 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 0)
11988, 89, 94, 118rlimmul 15488 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐶𝑘) · ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)))) ⇝𝑟 ((𝐶𝑘) · 0))
12092mul01d 11312 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → ((𝐶𝑘) · 0) = 0)
121119, 120breqtrd 5129 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐶𝑘) · ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)))) ⇝𝑟 0)
12287, 121eqbrtrd 5125 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 0)
12372, 74, 75, 122fsumrlim 15656 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)0)
12474olcd 872 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ((0..^𝐷) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0..^𝐷) ∈ Fin))
125 sumz 15567 . . . . . 6 (((0..^𝐷) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0..^𝐷) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)0 = 0)
126124, 125syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)0 = 0)
127123, 126breqtrd 5129 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 0)
12832, 29ffvelcdmd 7032 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐶𝐷) ∈ ℂ)
129128adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶𝐷) ∈ ℂ)
130129, 31mulcld 11133 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) ∈ ℂ)
131130, 31, 44divcld 11889 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)) ∈ ℂ)
132 fveq2 6839 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐷 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝐷))
133 oveq2 7359 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐷 → (𝑥𝑘) = (𝑥𝐷))
134132, 133oveq12d 7369 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐷 → ((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) = ((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)))
135134oveq1d 7366 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐷 → (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)))
136135sumsn 15591 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℕ0 ∧ (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)))
13730, 131, 136syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)))
138129, 31, 44divcan4d 11895 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)) = (𝐶𝐷))
139137, 138eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (𝐶𝐷))
140139mpteq2dva 5203 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶𝐷)))
141 rlimconst 15386 . . . . . 6 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (𝐶𝐷) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶𝐷)) ⇝𝑟 (𝐶𝐷))
14211, 128, 141sylancr 587 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶𝐷)) ⇝𝑟 (𝐶𝐷))
143140, 142eqbrtrd 5125 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 (𝐶𝐷))
14469, 71, 127, 143rlimadd 15485 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)))) ⇝𝑟 (0 + (𝐶𝐷)))
145128addid2d 11314 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0 + (𝐶𝐷)) = (𝐶𝐷))
146 signsply0.b . . . 4 𝐵 = (𝐶𝐷)
147145, 146eqtr4di 2795 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0 + (𝐶𝐷)) = 𝐵)
148144, 147breqtrd 5129 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)))) ⇝𝑟 𝐵)
14967, 148eqbrtrd 5125 1 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹f / 𝐺) ⇝𝑟 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  Vcvv 3443  cun 3906  cin 3907  wss 3908  c0 4280  {csn 4584   class class class wbr 5103  cmpt 5186   Fn wfn 6488  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  f cof 7607  Fincfn 8841  cc 11007  cr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   < clt 11147  cmin 11343  -cneg 11344   / cdiv 11770  0cn0 12371  cz 12457  cuz 12721  +crp 12869  ...cfz 13378  ..^cfzo 13521  cexp 13921  𝑟 crli 15327  Σcsu 15530  Polycply 25497  coeffccoe 25499  degcdgr 25500  𝑐ccxp 25863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ioo 13222  df-ioc 13223  df-ico 13224  df-icc 13225  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-fl 13651  df-mod 13729  df-seq 13861  df-exp 13922  df-fac 14128  df-bc 14157  df-hash 14185  df-shft 14912  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-limsup 15313  df-clim 15330  df-rlim 15331  df-sum 15531  df-ef 15910  df-sin 15912  df-cos 15913  df-pi 15915  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-hom 17117  df-cco 17118  df-rest 17264  df-topn 17265  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-topgen 17285  df-pt 17286  df-prds 17289  df-xrs 17344  df-qtop 17349  df-imas 17350  df-xps 17352  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-mulg 18832  df-cntz 19056  df-cmn 19523  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-fbas 20746  df-fg 20747  df-cnfld 20750  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-cld 22322  df-ntr 22323  df-cls 22324  df-nei 22401  df-lp 22439  df-perf 22440  df-cn 22530  df-cnp 22531  df-haus 22618  df-tx 22865  df-hmeo 23058  df-fil 23149  df-fm 23241  df-flim 23242  df-flf 23243  df-xms 23625  df-ms 23626  df-tms 23627  df-cncf 24193  df-0p 24986  df-limc 25182  df-dv 25183  df-ply 25501  df-coe 25503  df-dgr 25504  df-log 25864  df-cxp 25865
This theorem is referenced by:  signsply0  32975
  Copyright terms: Public domain W3C validator