Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsplypnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsplypnf 31010
Description: The quotient of a polynomial 𝐹 by a monic monomial of same degree 𝐺 converges to the highest coefficient of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsply0.d 𝐷 = (deg‘𝐹)
signsply0.c 𝐶 = (coeff‘𝐹)
signsply0.b 𝐵 = (𝐶𝐷)
signsplypnf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))
Assertion
Ref Expression
signsplypnf (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹𝑓 / 𝐺) ⇝𝑟 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem signsplypnf
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyf 24245 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
21ffnd 6224 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹 Fn ℂ)
3 ovex 6874 . . . . . 6 (𝑥𝐷) ∈ V
43rgenw 3071 . . . . 5 𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥𝐷) ∈ V
5 signsplypnf.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))
65fnmpt 6198 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥𝐷) ∈ V → 𝐺 Fn ℝ+)
74, 6mp1i 13 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐺 Fn ℝ+)
8 cnex 10270 . . . . 5 ℂ ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℂ ∈ V)
10 reex 10280 . . . . . 6 ℝ ∈ V
11 rpssre 12035 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
1210, 11ssexi 4964 . . . . 5 + ∈ V
1312a1i 11 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℝ+ ∈ V)
14 ax-resscn 10246 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
1511, 14sstri 3770 . . . . 5 + ⊆ ℂ
16 sseqin2 3979 . . . . 5 (ℝ+ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ+) = ℝ+)
1715, 16mpbi 221 . . . 4 (ℂ ∩ ℝ+) = ℝ+
18 signsply0.c . . . . 5 𝐶 = (coeff‘𝐹)
19 signsply0.d . . . . 5 𝐷 = (deg‘𝐹)
2018, 19coeid2 24286 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹𝑥) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)))
215fvmpt2 6480 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝐷) ∈ V) → (𝐺𝑥) = (𝑥𝐷))
223, 21mpan2 682 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝐺𝑥) = (𝑥𝐷))
2322adantl 473 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑥) = (𝑥𝐷))
242, 7, 9, 13, 17, 20, 23offval 7102 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹𝑓 / 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))))
25 fzfid 12980 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0...𝐷) ∈ Fin)
2615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℝ+ ⊆ ℂ)
2726sselda 3761 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
28 dgrcl 24280 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
2919, 28syl5eqel 2848 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐷 ∈ ℕ0)
3029adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
3127, 30expcld 13215 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝐷) ∈ ℂ)
3218coef3 24279 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐶:ℕ0⟶ℂ)
3332ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → 𝐶:ℕ0⟶ℂ)
34 elfznn0 12640 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝐷) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3534adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3633, 35ffvelrnd 6550 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
3727adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3837, 35expcld 13215 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
3936, 38mulcld 10314 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → ((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) ∈ ℂ)
40 rpne0 12046 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
4140adantl 473 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
4229nn0zd 11727 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐷 ∈ ℤ)
4342adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
4427, 41, 43expne0d 13221 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝐷) ≠ 0)
4525, 31, 39, 44fsumdivc 14804 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)))
46 fzodisj 12710 . . . . . . . 8 ((0..^𝐷) ∩ (𝐷..^(𝐷 + 1))) = ∅
47 fzosn 12747 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷..^(𝐷 + 1)) = {𝐷})
4847ineq2d 3976 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → ((0..^𝐷) ∩ (𝐷..^(𝐷 + 1))) = ((0..^𝐷) ∩ {𝐷}))
4946, 48syl5reqr 2814 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → ((0..^𝐷) ∩ {𝐷}) = ∅)
5043, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((0..^𝐷) ∩ {𝐷}) = ∅)
51 fzval3 12745 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℤ → (0...𝐷) = (0..^(𝐷 + 1)))
5242, 51syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0...𝐷) = (0..^(𝐷 + 1)))
53 nn0uz 11922 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
5429, 53syl6eleq 2854 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐷 ∈ (ℤ‘0))
55 fzosplitsn 12784 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(𝐷 + 1)) = ((0..^𝐷) ∪ {𝐷}))
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0..^(𝐷 + 1)) = ((0..^𝐷) ∪ {𝐷}))
5752, 56eqtrd 2799 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0...𝐷) = ((0..^𝐷) ∪ {𝐷}))
5857adantr 472 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0...𝐷) = ((0..^𝐷) ∪ {𝐷}))
5931adantr 472 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → (𝑥𝐷) ∈ ℂ)
6041adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → 𝑥 ≠ 0)
6143adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
6237, 60, 61expne0d 13221 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → (𝑥𝐷) ≠ 0)
6339, 59, 62divcld 11055 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ ℂ)
6450, 58, 25, 63fsumsplit 14758 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))))
6545, 64eqtrd 2799 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))))
6665mpteq2dva 4903 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)))))
6724, 66eqtrd 2799 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹𝑓 / 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)))))
68 sumex 14705 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ V
6968a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ V)
70 sumex 14705 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ V
7170a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ V)
7211a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℝ+ ⊆ ℝ)
73 fzofi 12981 . . . . . . 7 (0..^𝐷) ∈ Fin
7473a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0..^𝐷) ∈ Fin)
75 ovexd 6876 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ (0..^𝐷))) → (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ V)
7632ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶:ℕ0⟶ℂ)
77 elfzonn0 12721 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^𝐷) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7877ad2antlr 718 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7976, 78ffvelrnd 6550 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
8027adantlr 706 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
8180, 78expcld 13215 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
8231adantlr 706 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝐷) ∈ ℂ)
8340adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
8443adantlr 706 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
8580, 83, 84expne0d 13221 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝐷) ≠ 0)
8679, 81, 82, 85divassd 11090 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = ((𝐶𝑘) · ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷))))
8786mpteq2dva 4903 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐶𝑘) · ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)))))
88 fvexd 6390 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶𝑘) ∈ V)
89 ovexd 6876 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)) ∈ V)
9032adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝐶:ℕ0⟶ℂ)
9177adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9290, 91ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
93 rlimconst 14562 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶𝑘)) ⇝𝑟 (𝐶𝑘))
9411, 92, 93sylancr 581 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶𝑘)) ⇝𝑟 (𝐶𝑘))
9578nn0zd 11727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℤ)
9684, 95zsubcld 11734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐷𝑘) ∈ ℤ)
9780, 83, 96cxpexpzd 24748 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(𝐷𝑘)) = (𝑥↑(𝐷𝑘)))
9897oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘))) = (1 / (𝑥↑(𝐷𝑘))))
9980, 83, 96expnegd 13222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑-(𝐷𝑘)) = (1 / (𝑥↑(𝐷𝑘))))
10084zcnd 11730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
10178nn0cnd 11600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℂ)
102100, 101negsubdi2d 10662 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → -(𝐷𝑘) = (𝑘𝐷))
103102oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑-(𝐷𝑘)) = (𝑥↑(𝑘𝐷)))
10498, 99, 1033eqtr2d 2805 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘))) = (𝑥↑(𝑘𝐷)))
10580, 83, 84, 95expsubd 13226 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑(𝑘𝐷)) = ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)))
106104, 105eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘))) = ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)))
107106mpteq2dva 4903 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷))))
10891nn0red 11599 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝑘 ∈ ℝ)
10929adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
110109nn0red 11599 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
111 elfzolt2 12687 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0..^𝐷) → 𝑘 < 𝐷)
112111adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝑘 < 𝐷)
113 difrp 12066 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝑘 < 𝐷 ↔ (𝐷𝑘) ∈ ℝ+))
114113biimpa 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 < 𝐷) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ+)
115108, 110, 112, 114syl21anc 866 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ+)
116 cxplim 24989 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷𝑘) ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘)))) ⇝𝑟 0)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘)))) ⇝𝑟 0)
118107, 117eqbrtrrd 4833 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 0)
11988, 89, 94, 118rlimmul 14662 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐶𝑘) · ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)))) ⇝𝑟 ((𝐶𝑘) · 0))
12092mul01d 10489 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → ((𝐶𝑘) · 0) = 0)
121119, 120breqtrd 4835 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐶𝑘) · ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)))) ⇝𝑟 0)
12287, 121eqbrtrd 4831 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 0)
12372, 74, 75, 122fsumrlim 14829 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)0)
12474olcd 900 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ((0..^𝐷) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0..^𝐷) ∈ Fin))
125 sumz 14740 . . . . . 6 (((0..^𝐷) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0..^𝐷) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)0 = 0)
126124, 125syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)0 = 0)
127123, 126breqtrd 4835 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 0)
12832, 29ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐶𝐷) ∈ ℂ)
129128adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶𝐷) ∈ ℂ)
130129, 31mulcld 10314 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) ∈ ℂ)
131130, 31, 44divcld 11055 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)) ∈ ℂ)
132 fveq2 6375 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐷 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝐷))
133 oveq2 6850 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐷 → (𝑥𝑘) = (𝑥𝐷))
134132, 133oveq12d 6860 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐷 → ((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) = ((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)))
135134oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐷 → (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)))
136135sumsn 14762 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℕ0 ∧ (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)))
13730, 131, 136syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)))
138129, 31, 44divcan4d 11061 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)) = (𝐶𝐷))
139137, 138eqtrd 2799 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (𝐶𝐷))
140139mpteq2dva 4903 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶𝐷)))
141 rlimconst 14562 . . . . . 6 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (𝐶𝐷) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶𝐷)) ⇝𝑟 (𝐶𝐷))
14211, 128, 141sylancr 581 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶𝐷)) ⇝𝑟 (𝐶𝐷))
143140, 142eqbrtrd 4831 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 (𝐶𝐷))
14469, 71, 127, 143rlimadd 14660 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)))) ⇝𝑟 (0 + (𝐶𝐷)))
145128addid2d 10491 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0 + (𝐶𝐷)) = (𝐶𝐷))
146 signsply0.b . . . 4 𝐵 = (𝐶𝐷)
147145, 146syl6eqr 2817 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0 + (𝐶𝐷)) = 𝐵)
148144, 147breqtrd 4835 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)))) ⇝𝑟 𝐵)
14967, 148eqbrtrd 4831 1 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹𝑓 / 𝐺) ⇝𝑟 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  Vcvv 3350  cun 3730  cin 3731  wss 3732  c0 4079  {csn 4334   class class class wbr 4809  cmpt 4888   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑓 cof 7093  Fincfn 8160  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  +crp 12028  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  cexp 13067  𝑟 crli 14503  Σcsu 14703  Polycply 24231  coeffccoe 24233  degcdgr 24234  𝑐ccxp 24593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14094  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-limsup 14489  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-ef 15082  df-sin 15084  df-cos 15085  df-pi 15087  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-mulg 17810  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-0p 23728  df-limc 23921  df-dv 23922  df-ply 24235  df-coe 24237  df-dgr 24238  df-log 24594  df-cxp 24595
This theorem is referenced by:  signsply0  31011
  Copyright terms: Public domain W3C validator