Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsplypnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsplypnf 33859
Description: The quotient of a polynomial 𝐹 by a monic monomial of same degree 𝐺 converges to the highest coefficient of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsply0.d 𝐷 = (degβ€˜πΉ)
signsply0.c 𝐢 = (coeffβ€˜πΉ)
signsply0.b 𝐡 = (πΆβ€˜π·)
signsplypnf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝐷))
Assertion
Ref Expression
signsplypnf (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (𝐹 ∘f / 𝐺) β‡π‘Ÿ 𝐡)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem signsplypnf
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyf 25947 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
21ffnd 6717 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ 𝐹 Fn β„‚)
3 ovex 7444 . . . . . 6 (π‘₯↑𝐷) ∈ V
43rgenw 3063 . . . . 5 βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ (π‘₯↑𝐷) ∈ V
5 signsplypnf.g . . . . . 6 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝐷))
65fnmpt 6689 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ (π‘₯↑𝐷) ∈ V β†’ 𝐺 Fn ℝ+)
74, 6mp1i 13 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ 𝐺 Fn ℝ+)
8 cnex 11193 . . . . 5 β„‚ ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ β„‚ ∈ V)
10 reex 11203 . . . . . 6 ℝ ∈ V
11 rpssre 12985 . . . . . 6 ℝ+ βŠ† ℝ
1210, 11ssexi 5321 . . . . 5 ℝ+ ∈ V
1312a1i 11 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ ℝ+ ∈ V)
14 ax-resscn 11169 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
1511, 14sstri 3990 . . . . 5 ℝ+ βŠ† β„‚
16 sseqin2 4214 . . . . 5 (ℝ+ βŠ† β„‚ ↔ (β„‚ ∩ ℝ+) = ℝ+)
1715, 16mpbi 229 . . . 4 (β„‚ ∩ ℝ+) = ℝ+
18 signsply0.c . . . . 5 𝐢 = (coeffβ€˜πΉ)
19 signsply0.d . . . . 5 𝐷 = (degβ€˜πΉ)
2018, 19coeid2 25988 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐷)((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)))
215fvmpt2 7008 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯↑𝐷) ∈ V) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (π‘₯↑𝐷))
223, 21mpan2 687 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (π‘₯↑𝐷))
2322adantl 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (π‘₯↑𝐷))
242, 7, 9, 13, 17, 20, 23offval 7681 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (𝐹 ∘f / 𝐺) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐷)((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷))))
25 fzfid 13942 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (0...𝐷) ∈ Fin)
2615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ ℝ+ βŠ† β„‚)
2726sselda 3981 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
28 dgrcl 25982 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
2919, 28eqeltrid 2835 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
3029adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
3127, 30expcld 14115 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝐷) ∈ β„‚)
3218coef3 25981 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ 𝐢:β„•0βŸΆβ„‚)
3332ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐷)) β†’ 𝐢:β„•0βŸΆβ„‚)
34 elfznn0 13598 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0...𝐷) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3534adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐷)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3633, 35ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐷)) β†’ (πΆβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3727adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3837, 35expcld 14115 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐷)) β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
3936, 38mulcld 11238 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐷)) β†’ ((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
40 rpne0 12994 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ β‰  0)
4140adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ β‰  0)
4229nn0zd 12588 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ 𝐷 ∈ β„€)
4342adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ β„€)
4427, 41, 43expne0d 14121 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝐷) β‰  0)
4525, 31, 39, 44fsumdivc 15736 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐷)((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)))
46 fzosn 13707 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ β„€ β†’ (𝐷..^(𝐷 + 1)) = {𝐷})
4746ineq2d 4211 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ β„€ β†’ ((0..^𝐷) ∩ (𝐷..^(𝐷 + 1))) = ((0..^𝐷) ∩ {𝐷}))
48 fzodisj 13670 . . . . . . . 8 ((0..^𝐷) ∩ (𝐷..^(𝐷 + 1))) = βˆ…
4947, 48eqtr3di 2785 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ β„€ β†’ ((0..^𝐷) ∩ {𝐷}) = βˆ…)
5043, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((0..^𝐷) ∩ {𝐷}) = βˆ…)
51 fzval3 13705 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ β„€ β†’ (0...𝐷) = (0..^(𝐷 + 1)))
5242, 51syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (0...𝐷) = (0..^(𝐷 + 1)))
53 nn0uz 12868 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
5429, 53eleqtrdi 2841 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ 𝐷 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
55 fzosplitsn 13744 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (0..^(𝐷 + 1)) = ((0..^𝐷) βˆͺ {𝐷}))
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (0..^(𝐷 + 1)) = ((0..^𝐷) βˆͺ {𝐷}))
5752, 56eqtrd 2770 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (0...𝐷) = ((0..^𝐷) βˆͺ {𝐷}))
5857adantr 479 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (0...𝐷) = ((0..^𝐷) βˆͺ {𝐷}))
5931adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐷)) β†’ (π‘₯↑𝐷) ∈ β„‚)
6041adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐷)) β†’ π‘₯ β‰  0)
6143adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ β„€)
6237, 60, 61expne0d 14121 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐷)) β†’ (π‘₯↑𝐷) β‰  0)
6339, 59, 62divcld 11994 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐷)) β†’ (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) ∈ β„‚)
6450, 58, 25, 63fsumsplit 15691 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) + Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷))))
6545, 64eqtrd 2770 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐷)((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) + Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷))))
6665mpteq2dva 5247 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐷)((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) + Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)))))
6724, 66eqtrd 2770 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (𝐹 ∘f / 𝐺) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) + Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)))))
68 sumex 15638 . . . . 5 Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) ∈ V
6968a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) ∈ V)
70 sumex 15638 . . . . 5 Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) ∈ V
7170a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) ∈ V)
7211a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
73 fzofi 13943 . . . . . . 7 (0..^𝐷) ∈ Fin
7473a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (0..^𝐷) ∈ Fin)
75 ovexd 7446 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷))) β†’ (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) ∈ V)
7632ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐢:β„•0βŸΆβ„‚)
77 elfzonn0 13681 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (0..^𝐷) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
7877ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
7976, 78ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (πΆβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8027adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
8180, 78expcld 14115 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
8231adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝐷) ∈ β„‚)
8340adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ β‰  0)
8443adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ β„€)
8580, 83, 84expne0d 14121 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝐷) β‰  0)
8679, 81, 82, 85divassd 12029 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) = ((πΆβ€˜π‘˜) Β· ((π‘₯β†‘π‘˜) / (π‘₯↑𝐷))))
8786mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((πΆβ€˜π‘˜) Β· ((π‘₯β†‘π‘˜) / (π‘₯↑𝐷)))))
88 fvexd 6905 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (πΆβ€˜π‘˜) ∈ V)
89 ovexd 7446 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯β†‘π‘˜) / (π‘₯↑𝐷)) ∈ V)
9032adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ 𝐢:β„•0βŸΆβ„‚)
9177adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
9290, 91ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ (πΆβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
93 rlimconst 15492 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ (πΆβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (πΆβ€˜π‘˜)) β‡π‘Ÿ (πΆβ€˜π‘˜))
9411, 92, 93sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (πΆβ€˜π‘˜)) β‡π‘Ÿ (πΆβ€˜π‘˜))
9578nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
9684, 95zsubcld 12675 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐷 βˆ’ π‘˜) ∈ β„€)
9780, 83, 96cxpexpzd 26455 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐(𝐷 βˆ’ π‘˜)) = (π‘₯↑(𝐷 βˆ’ π‘˜)))
9897oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (π‘₯↑𝑐(𝐷 βˆ’ π‘˜))) = (1 / (π‘₯↑(𝐷 βˆ’ π‘˜))))
9980, 83, 96expnegd 14122 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑-(𝐷 βˆ’ π‘˜)) = (1 / (π‘₯↑(𝐷 βˆ’ π‘˜))))
10084zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
10178nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
102100, 101negsubdi2d 11591 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ -(𝐷 βˆ’ π‘˜) = (π‘˜ βˆ’ 𝐷))
103102oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑-(𝐷 βˆ’ π‘˜)) = (π‘₯↑(π‘˜ βˆ’ 𝐷)))
10498, 99, 1033eqtr2d 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (π‘₯↑𝑐(𝐷 βˆ’ π‘˜))) = (π‘₯↑(π‘˜ βˆ’ 𝐷)))
10580, 83, 84, 95expsubd 14126 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑(π‘˜ βˆ’ 𝐷)) = ((π‘₯β†‘π‘˜) / (π‘₯↑𝐷)))
106104, 105eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (π‘₯↑𝑐(𝐷 βˆ’ π‘˜))) = ((π‘₯β†‘π‘˜) / (π‘₯↑𝐷)))
107106mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / (π‘₯↑𝑐(𝐷 βˆ’ π‘˜)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((π‘₯β†‘π‘˜) / (π‘₯↑𝐷))))
10891nn0red 12537 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
10929adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
110109nn0red 12537 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
111 elfzolt2 13645 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (0..^𝐷) β†’ π‘˜ < 𝐷)
112111adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ π‘˜ < 𝐷)
113 difrp 13016 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ < 𝐷 ↔ (𝐷 βˆ’ π‘˜) ∈ ℝ+))
114113biimpa 475 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ < 𝐷) β†’ (𝐷 βˆ’ π‘˜) ∈ ℝ+)
115108, 110, 112, 114syl21anc 834 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ (𝐷 βˆ’ π‘˜) ∈ ℝ+)
116 cxplim 26712 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 βˆ’ π‘˜) ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / (π‘₯↑𝑐(𝐷 βˆ’ π‘˜)))) β‡π‘Ÿ 0)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / (π‘₯↑𝑐(𝐷 βˆ’ π‘˜)))) β‡π‘Ÿ 0)
118107, 117eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((π‘₯β†‘π‘˜) / (π‘₯↑𝐷))) β‡π‘Ÿ 0)
11988, 89, 94, 118rlimmul 15594 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((πΆβ€˜π‘˜) Β· ((π‘₯β†‘π‘˜) / (π‘₯↑𝐷)))) β‡π‘Ÿ ((πΆβ€˜π‘˜) Β· 0))
12092mul01d 11417 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ ((πΆβ€˜π‘˜) Β· 0) = 0)
121119, 120breqtrd 5173 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((πΆβ€˜π‘˜) Β· ((π‘₯β†‘π‘˜) / (π‘₯↑𝐷)))) β‡π‘Ÿ 0)
12287, 121eqbrtrd 5169 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷))) β‡π‘Ÿ 0)
12372, 74, 75, 122fsumrlim 15761 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷))) β‡π‘Ÿ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)0)
12474olcd 870 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ ((0..^𝐷) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ (0..^𝐷) ∈ Fin))
125 sumz 15672 . . . . . 6 (((0..^𝐷) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ (0..^𝐷) ∈ Fin) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)0 = 0)
126124, 125syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)0 = 0)
127123, 126breqtrd 5173 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷))) β‡π‘Ÿ 0)
12832, 29ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (πΆβ€˜π·) ∈ β„‚)
129128adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (πΆβ€˜π·) ∈ β„‚)
130129, 31mulcld 11238 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((πΆβ€˜π·) Β· (π‘₯↑𝐷)) ∈ β„‚)
131130, 31, 44divcld 11994 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((πΆβ€˜π·) Β· (π‘₯↑𝐷)) / (π‘₯↑𝐷)) ∈ β„‚)
132 fveq2 6890 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐷 β†’ (πΆβ€˜π‘˜) = (πΆβ€˜π·))
133 oveq2 7419 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐷 β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) = (π‘₯↑𝐷))
134132, 133oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐷 β†’ ((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) = ((πΆβ€˜π·) Β· (π‘₯↑𝐷)))
135134oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐷 β†’ (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) = (((πΆβ€˜π·) Β· (π‘₯↑𝐷)) / (π‘₯↑𝐷)))
136135sumsn 15696 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ β„•0 ∧ (((πΆβ€˜π·) Β· (π‘₯↑𝐷)) / (π‘₯↑𝐷)) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) = (((πΆβ€˜π·) Β· (π‘₯↑𝐷)) / (π‘₯↑𝐷)))
13730, 131, 136syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) = (((πΆβ€˜π·) Β· (π‘₯↑𝐷)) / (π‘₯↑𝐷)))
138129, 31, 44divcan4d 12000 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((πΆβ€˜π·) Β· (π‘₯↑𝐷)) / (π‘₯↑𝐷)) = (πΆβ€˜π·))
139137, 138eqtrd 2770 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) = (πΆβ€˜π·))
140139mpteq2dva 5247 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (πΆβ€˜π·)))
141 rlimconst 15492 . . . . . 6 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ (πΆβ€˜π·) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (πΆβ€˜π·)) β‡π‘Ÿ (πΆβ€˜π·))
14211, 128, 141sylancr 585 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (πΆβ€˜π·)) β‡π‘Ÿ (πΆβ€˜π·))
143140, 142eqbrtrd 5169 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷))) β‡π‘Ÿ (πΆβ€˜π·))
14469, 71, 127, 143rlimadd 15591 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) + Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)))) β‡π‘Ÿ (0 + (πΆβ€˜π·)))
145128addlidd 11419 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (0 + (πΆβ€˜π·)) = (πΆβ€˜π·))
146 signsply0.b . . . 4 𝐡 = (πΆβ€˜π·)
147145, 146eqtr4di 2788 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (0 + (πΆβ€˜π·)) = 𝐡)
148144, 147breqtrd 5173 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) + Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)))) β‡π‘Ÿ 𝐡)
14967, 148eqbrtrd 5169 1 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (𝐹 ∘f / 𝐺) β‡π‘Ÿ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12978  ...cfz 13488  ..^cfzo 13631  β†‘cexp 14031   β‡π‘Ÿ crli 15433  Ξ£csu 15636  Polycply 25933  coeffccoe 25935  degcdgr 25936  β†‘𝑐ccxp 26300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-0p 25419  df-limc 25615  df-dv 25616  df-ply 25937  df-coe 25939  df-dgr 25940  df-log 26301  df-cxp 26302
This theorem is referenced by:  signsply0  33860
  Copyright terms: Public domain W3C validator