Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsplypnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsplypnf 31707
Description: The quotient of a polynomial 𝐹 by a monic monomial of same degree 𝐺 converges to the highest coefficient of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsply0.d 𝐷 = (deg‘𝐹)
signsply0.c 𝐶 = (coeff‘𝐹)
signsply0.b 𝐵 = (𝐶𝐷)
signsplypnf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))
Assertion
Ref Expression
signsplypnf (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹f / 𝐺) ⇝𝑟 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem signsplypnf
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyf 24703 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
21ffnd 6511 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹 Fn ℂ)
3 ovex 7184 . . . . . 6 (𝑥𝐷) ∈ V
43rgenw 3154 . . . . 5 𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥𝐷) ∈ V
5 signsplypnf.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))
65fnmpt 6484 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥𝐷) ∈ V → 𝐺 Fn ℝ+)
74, 6mp1i 13 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐺 Fn ℝ+)
8 cnex 10610 . . . . 5 ℂ ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℂ ∈ V)
10 reex 10620 . . . . . 6 ℝ ∈ V
11 rpssre 12389 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
1210, 11ssexi 5222 . . . . 5 + ∈ V
1312a1i 11 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℝ+ ∈ V)
14 ax-resscn 10586 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
1511, 14sstri 3979 . . . . 5 + ⊆ ℂ
16 sseqin2 4195 . . . . 5 (ℝ+ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ+) = ℝ+)
1715, 16mpbi 231 . . . 4 (ℂ ∩ ℝ+) = ℝ+
18 signsply0.c . . . . 5 𝐶 = (coeff‘𝐹)
19 signsply0.d . . . . 5 𝐷 = (deg‘𝐹)
2018, 19coeid2 24744 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹𝑥) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)))
215fvmpt2 6774 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝐷) ∈ V) → (𝐺𝑥) = (𝑥𝐷))
223, 21mpan2 687 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝐺𝑥) = (𝑥𝐷))
2322adantl 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑥) = (𝑥𝐷))
242, 7, 9, 13, 17, 20, 23offval 7409 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹f / 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))))
25 fzfid 13334 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0...𝐷) ∈ Fin)
2615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℝ+ ⊆ ℂ)
2726sselda 3970 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
28 dgrcl 24738 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
2919, 28eqeltrid 2921 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐷 ∈ ℕ0)
3029adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
3127, 30expcld 13503 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝐷) ∈ ℂ)
3218coef3 24737 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐶:ℕ0⟶ℂ)
3332ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → 𝐶:ℕ0⟶ℂ)
34 elfznn0 12993 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝐷) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3534adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3633, 35ffvelrnd 6847 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
3727adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3837, 35expcld 13503 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
3936, 38mulcld 10653 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → ((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) ∈ ℂ)
40 rpne0 12398 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
4140adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
4229nn0zd 12077 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐷 ∈ ℤ)
4342adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
4427, 41, 43expne0d 13509 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝐷) ≠ 0)
4525, 31, 39, 44fsumdivc 15133 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)))
46 fzodisj 13064 . . . . . . . 8 ((0..^𝐷) ∩ (𝐷..^(𝐷 + 1))) = ∅
47 fzosn 13101 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷..^(𝐷 + 1)) = {𝐷})
4847ineq2d 4192 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → ((0..^𝐷) ∩ (𝐷..^(𝐷 + 1))) = ((0..^𝐷) ∩ {𝐷}))
4946, 48syl5reqr 2875 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → ((0..^𝐷) ∩ {𝐷}) = ∅)
5043, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((0..^𝐷) ∩ {𝐷}) = ∅)
51 fzval3 13099 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℤ → (0...𝐷) = (0..^(𝐷 + 1)))
5242, 51syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0...𝐷) = (0..^(𝐷 + 1)))
53 nn0uz 12272 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
5429, 53syl6eleq 2927 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐷 ∈ (ℤ‘0))
55 fzosplitsn 13138 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(𝐷 + 1)) = ((0..^𝐷) ∪ {𝐷}))
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0..^(𝐷 + 1)) = ((0..^𝐷) ∪ {𝐷}))
5752, 56eqtrd 2860 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0...𝐷) = ((0..^𝐷) ∪ {𝐷}))
5857adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0...𝐷) = ((0..^𝐷) ∪ {𝐷}))
5931adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → (𝑥𝐷) ∈ ℂ)
6041adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → 𝑥 ≠ 0)
6143adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
6237, 60, 61expne0d 13509 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → (𝑥𝐷) ≠ 0)
6339, 59, 62divcld 11408 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ ℂ)
6450, 58, 25, 63fsumsplit 15089 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))))
6545, 64eqtrd 2860 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))))
6665mpteq2dva 5157 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)))))
6724, 66eqtrd 2860 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹f / 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)))))
68 sumex 15037 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ V
6968a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ V)
70 sumex 15037 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ V
7170a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ V)
7211a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℝ+ ⊆ ℝ)
73 fzofi 13335 . . . . . . 7 (0..^𝐷) ∈ Fin
7473a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0..^𝐷) ∈ Fin)
75 ovexd 7186 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ (0..^𝐷))) → (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ V)
7632ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶:ℕ0⟶ℂ)
77 elfzonn0 13075 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^𝐷) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7877ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7976, 78ffvelrnd 6847 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
8027adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
8180, 78expcld 13503 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
8231adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝐷) ∈ ℂ)
8340adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
8443adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
8580, 83, 84expne0d 13509 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝐷) ≠ 0)
8679, 81, 82, 85divassd 11443 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = ((𝐶𝑘) · ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷))))
8786mpteq2dva 5157 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐶𝑘) · ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)))))
88 fvexd 6681 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶𝑘) ∈ V)
89 ovexd 7186 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)) ∈ V)
9032adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝐶:ℕ0⟶ℂ)
9177adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9290, 91ffvelrnd 6847 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
93 rlimconst 14894 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶𝑘)) ⇝𝑟 (𝐶𝑘))
9411, 92, 93sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶𝑘)) ⇝𝑟 (𝐶𝑘))
9578nn0zd 12077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℤ)
9684, 95zsubcld 12084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐷𝑘) ∈ ℤ)
9780, 83, 96cxpexpzd 25207 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(𝐷𝑘)) = (𝑥↑(𝐷𝑘)))
9897oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘))) = (1 / (𝑥↑(𝐷𝑘))))
9980, 83, 96expnegd 13510 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑-(𝐷𝑘)) = (1 / (𝑥↑(𝐷𝑘))))
10084zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
10178nn0cnd 11949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℂ)
102100, 101negsubdi2d 11005 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → -(𝐷𝑘) = (𝑘𝐷))
103102oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑-(𝐷𝑘)) = (𝑥↑(𝑘𝐷)))
10498, 99, 1033eqtr2d 2866 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘))) = (𝑥↑(𝑘𝐷)))
10580, 83, 84, 95expsubd 13514 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑(𝑘𝐷)) = ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)))
106104, 105eqtrd 2860 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘))) = ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)))
107106mpteq2dva 5157 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷))))
10891nn0red 11948 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝑘 ∈ ℝ)
10929adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
110109nn0red 11948 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
111 elfzolt2 13040 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0..^𝐷) → 𝑘 < 𝐷)
112111adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝑘 < 𝐷)
113 difrp 12420 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝑘 < 𝐷 ↔ (𝐷𝑘) ∈ ℝ+))
114113biimpa 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 < 𝐷) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ+)
115108, 110, 112, 114syl21anc 835 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ+)
116 cxplim 25463 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷𝑘) ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘)))) ⇝𝑟 0)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘)))) ⇝𝑟 0)
118107, 117eqbrtrrd 5086 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 0)
11988, 89, 94, 118rlimmul 14994 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐶𝑘) · ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)))) ⇝𝑟 ((𝐶𝑘) · 0))
12092mul01d 10831 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → ((𝐶𝑘) · 0) = 0)
121119, 120breqtrd 5088 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐶𝑘) · ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)))) ⇝𝑟 0)
12287, 121eqbrtrd 5084 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 0)
12372, 74, 75, 122fsumrlim 15158 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)0)
12474olcd 872 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ((0..^𝐷) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0..^𝐷) ∈ Fin))
125 sumz 15071 . . . . . 6 (((0..^𝐷) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0..^𝐷) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)0 = 0)
126124, 125syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)0 = 0)
127123, 126breqtrd 5088 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 0)
12832, 29ffvelrnd 6847 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐶𝐷) ∈ ℂ)
129128adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶𝐷) ∈ ℂ)
130129, 31mulcld 10653 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) ∈ ℂ)
131130, 31, 44divcld 11408 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)) ∈ ℂ)
132 fveq2 6666 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐷 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝐷))
133 oveq2 7159 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐷 → (𝑥𝑘) = (𝑥𝐷))
134132, 133oveq12d 7169 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐷 → ((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) = ((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)))
135134oveq1d 7166 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐷 → (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)))
136135sumsn 15093 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℕ0 ∧ (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)))
13730, 131, 136syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)))
138129, 31, 44divcan4d 11414 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)) = (𝐶𝐷))
139137, 138eqtrd 2860 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (𝐶𝐷))
140139mpteq2dva 5157 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶𝐷)))
141 rlimconst 14894 . . . . . 6 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (𝐶𝐷) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶𝐷)) ⇝𝑟 (𝐶𝐷))
14211, 128, 141sylancr 587 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶𝐷)) ⇝𝑟 (𝐶𝐷))
143140, 142eqbrtrd 5084 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 (𝐶𝐷))
14469, 71, 127, 143rlimadd 14992 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)))) ⇝𝑟 (0 + (𝐶𝐷)))
145128addid2d 10833 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0 + (𝐶𝐷)) = (𝐶𝐷))
146 signsply0.b . . . 4 𝐵 = (𝐶𝐷)
147145, 146syl6eqr 2878 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0 + (𝐶𝐷)) = 𝐵)
148144, 147breqtrd 5088 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)))) ⇝𝑟 𝐵)
14967, 148eqbrtrd 5084 1 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹f / 𝐺) ⇝𝑟 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wcel 2106  wne 3020  wral 3142  Vcvv 3499  cun 3937  cin 3938  wss 3939  c0 4294  {csn 4563   class class class wbr 5062  cmpt 5142   Fn wfn 6346  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  f cof 7400  Fincfn 8501  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667  cmin 10862  -cneg 10863   / cdiv 11289  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  +crp 12382  ...cfz 12885  ..^cfzo 13026  cexp 13422  𝑟 crli 14835  Σcsu 15035  Polycply 24689  coeffccoe 24691  degcdgr 24692  𝑐ccxp 25052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ioc 12736  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423  df-fac 13627  df-bc 13656  df-hash 13684  df-shft 14419  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-limsup 14821  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-mulg 18157  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-lp 21660  df-perf 21661  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-haus 21839  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cncf 23401  df-0p 24186  df-limc 24379  df-dv 24380  df-ply 24693  df-coe 24695  df-dgr 24696  df-log 25053  df-cxp 25054
This theorem is referenced by:  signsply0  31708
  Copyright terms: Public domain W3C validator