Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsplypnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsplypnf 33561
Description: The quotient of a polynomial 𝐹 by a monic monomial of same degree 𝐺 converges to the highest coefficient of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsply0.d 𝐷 = (degβ€˜πΉ)
signsply0.c 𝐢 = (coeffβ€˜πΉ)
signsply0.b 𝐡 = (πΆβ€˜π·)
signsplypnf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝐷))
Assertion
Ref Expression
signsplypnf (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (𝐹 ∘f / 𝐺) β‡π‘Ÿ 𝐡)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem signsplypnf
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyf 25712 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
21ffnd 6719 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ 𝐹 Fn β„‚)
3 ovex 7442 . . . . . 6 (π‘₯↑𝐷) ∈ V
43rgenw 3066 . . . . 5 βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ (π‘₯↑𝐷) ∈ V
5 signsplypnf.g . . . . . 6 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝐷))
65fnmpt 6691 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ (π‘₯↑𝐷) ∈ V β†’ 𝐺 Fn ℝ+)
74, 6mp1i 13 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ 𝐺 Fn ℝ+)
8 cnex 11191 . . . . 5 β„‚ ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ β„‚ ∈ V)
10 reex 11201 . . . . . 6 ℝ ∈ V
11 rpssre 12981 . . . . . 6 ℝ+ βŠ† ℝ
1210, 11ssexi 5323 . . . . 5 ℝ+ ∈ V
1312a1i 11 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ ℝ+ ∈ V)
14 ax-resscn 11167 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
1511, 14sstri 3992 . . . . 5 ℝ+ βŠ† β„‚
16 sseqin2 4216 . . . . 5 (ℝ+ βŠ† β„‚ ↔ (β„‚ ∩ ℝ+) = ℝ+)
1715, 16mpbi 229 . . . 4 (β„‚ ∩ ℝ+) = ℝ+
18 signsply0.c . . . . 5 𝐢 = (coeffβ€˜πΉ)
19 signsply0.d . . . . 5 𝐷 = (degβ€˜πΉ)
2018, 19coeid2 25753 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐷)((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)))
215fvmpt2 7010 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯↑𝐷) ∈ V) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (π‘₯↑𝐷))
223, 21mpan2 690 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (π‘₯↑𝐷))
2322adantl 483 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (π‘₯↑𝐷))
242, 7, 9, 13, 17, 20, 23offval 7679 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (𝐹 ∘f / 𝐺) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐷)((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷))))
25 fzfid 13938 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (0...𝐷) ∈ Fin)
2615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ ℝ+ βŠ† β„‚)
2726sselda 3983 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
28 dgrcl 25747 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
2919, 28eqeltrid 2838 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
3029adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
3127, 30expcld 14111 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝐷) ∈ β„‚)
3218coef3 25746 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ 𝐢:β„•0βŸΆβ„‚)
3332ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐷)) β†’ 𝐢:β„•0βŸΆβ„‚)
34 elfznn0 13594 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0...𝐷) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3534adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐷)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3633, 35ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐷)) β†’ (πΆβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3727adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3837, 35expcld 14111 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐷)) β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
3936, 38mulcld 11234 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐷)) β†’ ((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
40 rpne0 12990 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ β‰  0)
4140adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ β‰  0)
4229nn0zd 12584 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ 𝐷 ∈ β„€)
4342adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ β„€)
4427, 41, 43expne0d 14117 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝐷) β‰  0)
4525, 31, 39, 44fsumdivc 15732 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐷)((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)))
46 fzosn 13703 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ β„€ β†’ (𝐷..^(𝐷 + 1)) = {𝐷})
4746ineq2d 4213 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ β„€ β†’ ((0..^𝐷) ∩ (𝐷..^(𝐷 + 1))) = ((0..^𝐷) ∩ {𝐷}))
48 fzodisj 13666 . . . . . . . 8 ((0..^𝐷) ∩ (𝐷..^(𝐷 + 1))) = βˆ…
4947, 48eqtr3di 2788 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ β„€ β†’ ((0..^𝐷) ∩ {𝐷}) = βˆ…)
5043, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((0..^𝐷) ∩ {𝐷}) = βˆ…)
51 fzval3 13701 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ β„€ β†’ (0...𝐷) = (0..^(𝐷 + 1)))
5242, 51syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (0...𝐷) = (0..^(𝐷 + 1)))
53 nn0uz 12864 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
5429, 53eleqtrdi 2844 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ 𝐷 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
55 fzosplitsn 13740 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (0..^(𝐷 + 1)) = ((0..^𝐷) βˆͺ {𝐷}))
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (0..^(𝐷 + 1)) = ((0..^𝐷) βˆͺ {𝐷}))
5752, 56eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (0...𝐷) = ((0..^𝐷) βˆͺ {𝐷}))
5857adantr 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (0...𝐷) = ((0..^𝐷) βˆͺ {𝐷}))
5931adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐷)) β†’ (π‘₯↑𝐷) ∈ β„‚)
6041adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐷)) β†’ π‘₯ β‰  0)
6143adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ β„€)
6237, 60, 61expne0d 14117 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐷)) β†’ (π‘₯↑𝐷) β‰  0)
6339, 59, 62divcld 11990 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐷)) β†’ (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) ∈ β„‚)
6450, 58, 25, 63fsumsplit 15687 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) + Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷))))
6545, 64eqtrd 2773 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐷)((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) + Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷))))
6665mpteq2dva 5249 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐷)((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) + Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)))))
6724, 66eqtrd 2773 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (𝐹 ∘f / 𝐺) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) + Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)))))
68 sumex 15634 . . . . 5 Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) ∈ V
6968a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) ∈ V)
70 sumex 15634 . . . . 5 Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) ∈ V
7170a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) ∈ V)
7211a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
73 fzofi 13939 . . . . . . 7 (0..^𝐷) ∈ Fin
7473a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (0..^𝐷) ∈ Fin)
75 ovexd 7444 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷))) β†’ (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) ∈ V)
7632ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐢:β„•0βŸΆβ„‚)
77 elfzonn0 13677 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (0..^𝐷) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
7877ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
7976, 78ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (πΆβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8027adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
8180, 78expcld 14111 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
8231adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝐷) ∈ β„‚)
8340adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ β‰  0)
8443adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ β„€)
8580, 83, 84expne0d 14117 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝐷) β‰  0)
8679, 81, 82, 85divassd 12025 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) = ((πΆβ€˜π‘˜) Β· ((π‘₯β†‘π‘˜) / (π‘₯↑𝐷))))
8786mpteq2dva 5249 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((πΆβ€˜π‘˜) Β· ((π‘₯β†‘π‘˜) / (π‘₯↑𝐷)))))
88 fvexd 6907 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (πΆβ€˜π‘˜) ∈ V)
89 ovexd 7444 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯β†‘π‘˜) / (π‘₯↑𝐷)) ∈ V)
9032adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ 𝐢:β„•0βŸΆβ„‚)
9177adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
9290, 91ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ (πΆβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
93 rlimconst 15488 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ (πΆβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (πΆβ€˜π‘˜)) β‡π‘Ÿ (πΆβ€˜π‘˜))
9411, 92, 93sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (πΆβ€˜π‘˜)) β‡π‘Ÿ (πΆβ€˜π‘˜))
9578nn0zd 12584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
9684, 95zsubcld 12671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐷 βˆ’ π‘˜) ∈ β„€)
9780, 83, 96cxpexpzd 26219 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐(𝐷 βˆ’ π‘˜)) = (π‘₯↑(𝐷 βˆ’ π‘˜)))
9897oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (π‘₯↑𝑐(𝐷 βˆ’ π‘˜))) = (1 / (π‘₯↑(𝐷 βˆ’ π‘˜))))
9980, 83, 96expnegd 14118 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑-(𝐷 βˆ’ π‘˜)) = (1 / (π‘₯↑(𝐷 βˆ’ π‘˜))))
10084zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
10178nn0cnd 12534 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
102100, 101negsubdi2d 11587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ -(𝐷 βˆ’ π‘˜) = (π‘˜ βˆ’ 𝐷))
103102oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑-(𝐷 βˆ’ π‘˜)) = (π‘₯↑(π‘˜ βˆ’ 𝐷)))
10498, 99, 1033eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (π‘₯↑𝑐(𝐷 βˆ’ π‘˜))) = (π‘₯↑(π‘˜ βˆ’ 𝐷)))
10580, 83, 84, 95expsubd 14122 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑(π‘˜ βˆ’ 𝐷)) = ((π‘₯β†‘π‘˜) / (π‘₯↑𝐷)))
106104, 105eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (π‘₯↑𝑐(𝐷 βˆ’ π‘˜))) = ((π‘₯β†‘π‘˜) / (π‘₯↑𝐷)))
107106mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / (π‘₯↑𝑐(𝐷 βˆ’ π‘˜)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((π‘₯β†‘π‘˜) / (π‘₯↑𝐷))))
10891nn0red 12533 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
10929adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
110109nn0red 12533 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
111 elfzolt2 13641 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (0..^𝐷) β†’ π‘˜ < 𝐷)
112111adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ π‘˜ < 𝐷)
113 difrp 13012 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ < 𝐷 ↔ (𝐷 βˆ’ π‘˜) ∈ ℝ+))
114113biimpa 478 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ < 𝐷) β†’ (𝐷 βˆ’ π‘˜) ∈ ℝ+)
115108, 110, 112, 114syl21anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ (𝐷 βˆ’ π‘˜) ∈ ℝ+)
116 cxplim 26476 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 βˆ’ π‘˜) ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / (π‘₯↑𝑐(𝐷 βˆ’ π‘˜)))) β‡π‘Ÿ 0)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / (π‘₯↑𝑐(𝐷 βˆ’ π‘˜)))) β‡π‘Ÿ 0)
118107, 117eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((π‘₯β†‘π‘˜) / (π‘₯↑𝐷))) β‡π‘Ÿ 0)
11988, 89, 94, 118rlimmul 15590 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((πΆβ€˜π‘˜) Β· ((π‘₯β†‘π‘˜) / (π‘₯↑𝐷)))) β‡π‘Ÿ ((πΆβ€˜π‘˜) Β· 0))
12092mul01d 11413 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ ((πΆβ€˜π‘˜) Β· 0) = 0)
121119, 120breqtrd 5175 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((πΆβ€˜π‘˜) Β· ((π‘₯β†‘π‘˜) / (π‘₯↑𝐷)))) β‡π‘Ÿ 0)
12287, 121eqbrtrd 5171 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝐷)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷))) β‡π‘Ÿ 0)
12372, 74, 75, 122fsumrlim 15757 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷))) β‡π‘Ÿ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)0)
12474olcd 873 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ ((0..^𝐷) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ (0..^𝐷) ∈ Fin))
125 sumz 15668 . . . . . 6 (((0..^𝐷) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ (0..^𝐷) ∈ Fin) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)0 = 0)
126124, 125syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)0 = 0)
127123, 126breqtrd 5175 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷))) β‡π‘Ÿ 0)
12832, 29ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (πΆβ€˜π·) ∈ β„‚)
129128adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (πΆβ€˜π·) ∈ β„‚)
130129, 31mulcld 11234 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((πΆβ€˜π·) Β· (π‘₯↑𝐷)) ∈ β„‚)
131130, 31, 44divcld 11990 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((πΆβ€˜π·) Β· (π‘₯↑𝐷)) / (π‘₯↑𝐷)) ∈ β„‚)
132 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐷 β†’ (πΆβ€˜π‘˜) = (πΆβ€˜π·))
133 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐷 β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) = (π‘₯↑𝐷))
134132, 133oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐷 β†’ ((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) = ((πΆβ€˜π·) Β· (π‘₯↑𝐷)))
135134oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐷 β†’ (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) = (((πΆβ€˜π·) Β· (π‘₯↑𝐷)) / (π‘₯↑𝐷)))
136135sumsn 15692 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ β„•0 ∧ (((πΆβ€˜π·) Β· (π‘₯↑𝐷)) / (π‘₯↑𝐷)) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) = (((πΆβ€˜π·) Β· (π‘₯↑𝐷)) / (π‘₯↑𝐷)))
13730, 131, 136syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) = (((πΆβ€˜π·) Β· (π‘₯↑𝐷)) / (π‘₯↑𝐷)))
138129, 31, 44divcan4d 11996 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((πΆβ€˜π·) Β· (π‘₯↑𝐷)) / (π‘₯↑𝐷)) = (πΆβ€˜π·))
139137, 138eqtrd 2773 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) = (πΆβ€˜π·))
140139mpteq2dva 5249 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (πΆβ€˜π·)))
141 rlimconst 15488 . . . . . 6 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ (πΆβ€˜π·) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (πΆβ€˜π·)) β‡π‘Ÿ (πΆβ€˜π·))
14211, 128, 141sylancr 588 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (πΆβ€˜π·)) β‡π‘Ÿ (πΆβ€˜π·))
143140, 142eqbrtrd 5171 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷))) β‡π‘Ÿ (πΆβ€˜π·))
14469, 71, 127, 143rlimadd 15587 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) + Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)))) β‡π‘Ÿ (0 + (πΆβ€˜π·)))
145128addlidd 11415 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (0 + (πΆβ€˜π·)) = (πΆβ€˜π·))
146 signsply0.b . . . 4 𝐡 = (πΆβ€˜π·)
147145, 146eqtr4di 2791 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (0 + (πΆβ€˜π·)) = 𝐡)
148144, 147breqtrd 5175 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (0..^𝐷)(((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)) + Ξ£π‘˜ ∈ {𝐷} (((πΆβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) / (π‘₯↑𝐷)))) β‡π‘Ÿ 𝐡)
14967, 148eqbrtrd 5171 1 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (𝐹 ∘f / 𝐺) β‡π‘Ÿ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  β†‘cexp 14027   β‡π‘Ÿ crli 15429  Ξ£csu 15632  Polycply 25698  coeffccoe 25700  degcdgr 25701  β†‘𝑐ccxp 26064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-0p 25187  df-limc 25383  df-dv 25384  df-ply 25702  df-coe 25704  df-dgr 25705  df-log 26065  df-cxp 26066
This theorem is referenced by:  signsply0  33562
  Copyright terms: Public domain W3C validator