Theorem bitsinv 15505

Description: The inverse of the bits function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
bitsinv.k	⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bitsinv	⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2↑𝑘))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem bitsinv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 14760	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (2↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2↑𝑘))
2		bitsinv.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)
3		bitsf1ocnv 15501	. . . 4 ⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ◡(bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (2↑𝑘)))
4	3	simpri 480	. . 3 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (2↑𝑘))
5	2, 4	eqtri 2821	. 2 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (2↑𝑘))
6		sumex 14759	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2↑𝑘) ∈ V
7	1, 5, 6	fvmpt 6507	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2↑𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ∩ cin 3768  𝒫 cpw 4349   ↦ cmpt 4922  ^◡ccnv 5311   ↾ cres 5314  –1-1-onto→wf1o 6100  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  Fincfn 8195  2c2 11368  ℕ₀cn0 11580  ↑cexp 13114  Σcsu 14757  bitscbits 15476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-disj 4812  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-mod 12924  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-sum 14758  df-dvds 15320  df-bits 15479

This theorem is referenced by:  bitsinvp1  15506