Theorem bitsinv 16450

Description: The inverse of the bits function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
bitsinv.k	⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bitsinv	⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2↑𝑘))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem bitsinv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 15695	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (2↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2↑𝑘))
2		bitsinv.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = ◡(bits ↾ ℕ0)
3		bitsf1ocnv 16446	. . . 4 ⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ◡(bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (2↑𝑘)))
4	3	simpri 484	. . 3 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (2↑𝑘))
5	2, 4	eqtri 2754	. 2 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (2↑𝑘))
6		sumex 15694	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2↑𝑘) ∈ V
7	1, 5, 6	fvmpt 7011	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2↑𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3946  𝒫 cpw 4607   ↦ cmpt 5238  ^◡ccnv 5683   ↾ cres 5686  –1-1-onto→wf1o 6555  ‘cfv 6556  (class class class)co 7426  Fincfn 8976  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ↑cexp 14083  Σcsu 15692  bitscbits 16421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-inf2 9686  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237  ax-pre-sup 11238

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-disj 5121  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-se 5640  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-isom 6565  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-2o 8499  df-oadd 8502  df-er 8736  df-map 8859  df-pm 8860  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9487  df-inf 9488  df-oi 9555  df-dju 9946  df-card 9984  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11924  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12599  df-z 12613  df-uz 12877  df-rp 13031  df-fz 13541  df-fzo 13684  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14024  df-exp 14084  df-hash 14350  df-cj 15106  df-re 15107  df-im 15108  df-sqrt 15242  df-abs 15243  df-clim 15492  df-sum 15693  df-dvds 16259  df-bits 16424

This theorem is referenced by:  bitsinvp1  16451