Theorem sge0reuzb 46729

Description: Value of the generalized sum of uniformly bounded nonnegative reals, when the domain is a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0reuzb.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0reuzb.p	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0reuzb.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sge0reuzb.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
sge0reuzb.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0reuzb.x	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
sge0reuzb	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛,𝑥   𝑘,𝑀,𝑛,𝑥   𝑘,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sge0reuzb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0reuzb.k	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0reuzb.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		sge0reuzb.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		sge0reuzb.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
5	1, 2, 3, 4	sge0reuz 46728	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ))
6		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
7		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
8		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑛 ∈ 𝑍
9	1, 8	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
10		fzfid 13898	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀...𝑛) ∈ Fin)
11		elfzuz 13438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
12	11, 3	eleqtrrdi 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘 ∈ 𝑍)
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
14		rge0ssre 13374	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
15	14, 4	sselid 3930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	13, 15	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	9, 10, 17	fsumreclf 45859	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ ℝ)
19	6, 7, 18	rnmptssd 45477	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ⊆ ℝ)
20		uzid 12768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
21	2, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22	21, 3	eleqtrrdi 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
23		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵)
24		oveq2 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
25	24	sumeq1d 15625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵)
26	25	rspceeqv 3598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
27	22, 23, 26	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
28		sumex 15613	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 ∈ V)
30	7, 27, 29	elrnmptd 5911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵))
31	30	ne0d 4293	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ≠ ∅)
32		sge0reuzb.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥)
33		sge0reuzb.p	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
34		vex 3443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑦 ∈ V
35	7	elrnmpt 5906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
37	36	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
39		nfv 1916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
40		nfra1 3259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥
41	39, 40	nfan 1901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥)
42		nfv 1916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑦 ≤ 𝑥
43		rspa 3224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥)
44		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
45		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥)
46	44, 45	eqbrtrd 5119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → 𝑦 ≤ 𝑥)
47	46	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → 𝑦 ≤ 𝑥))
48	43, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → 𝑦 ≤ 𝑥))
49	48	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 → (𝑛 ∈ 𝑍 → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → 𝑦 ≤ 𝑥)))
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥) → (𝑛 ∈ 𝑍 → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → 𝑦 ≤ 𝑥)))
51	41, 42, 50	rexlimd 3242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → 𝑦 ≤ 𝑥))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → 𝑦 ≤ 𝑥))
53	38, 52	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → 𝑦 ≤ 𝑥)
54	53	ralrimiva 3127	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦 ≤ 𝑥)
55	54	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦 ≤ 𝑥))
56	55	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦 ≤ 𝑥)))
57	33, 56	reximdai 3237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦 ≤ 𝑥))
58	32, 57	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦 ≤ 𝑥)
59		supxrre 13244	. . 3 ⊢ ((ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦 ≤ 𝑥) → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))
60	19, 31, 58, 59	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))
61	5, 60	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  Vcvv 3439   ⊆ wss 3900  ∅c0 4284   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ran crn 5624  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  supcsup 9345  ℝcr 11027  0cc0 11028  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12753  [,)cico 13265  ...cfz 13425  Σcsu 15611  Σ^{^}csumge0 46643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-sup 9347  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-sumge0 46644

This theorem is referenced by:  meaiuninclem  46761