Theorem sge0reuzb 46463

Description: Value of the generalized sum of uniformly bounded nonnegative reals, when the domain is a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0reuzb.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0reuzb.p	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0reuzb.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sge0reuzb.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
sge0reuzb.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0reuzb.x	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
sge0reuzb	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛,𝑥   𝑘,𝑀,𝑛,𝑥   𝑘,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sge0reuzb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0reuzb.k	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0reuzb.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		sge0reuzb.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		sge0reuzb.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
5	1, 2, 3, 4	sge0reuz 46462	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ))
6		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
8		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑛 ∈ 𝑍
9	1, 8	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
10		fzfid 14014	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀...𝑛) ∈ Fin)
11		elfzuz 13560	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
12	11, 3	eleqtrrdi 2852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘 ∈ 𝑍)
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
14		rge0ssre 13496	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
15	14, 4	sselid 3981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	13, 15	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	9, 10, 17	fsumreclf 45591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ ℝ)
19	6, 7, 18	rnmptssd 45201	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ⊆ ℝ)
20		uzid 12893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
21	2, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22	21, 3	eleqtrrdi 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
23		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵)
24		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
25	24	sumeq1d 15736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵)
26	25	rspceeqv 3645	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
27	22, 23, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
28		sumex 15724	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 ∈ V)
30	7, 27, 29	elrnmptd 5974	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵))
31	30	ne0d 4342	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ≠ ∅)
32		sge0reuzb.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥)
33		sge0reuzb.p	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
34		vex 3484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑦 ∈ V
35	7	elrnmpt 5969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
37	36	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
39		nfv 1914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
40		nfra1 3284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥
41	39, 40	nfan 1899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥)
42		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑦 ≤ 𝑥
43		rspa 3248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥)
44		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
45		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥)
46	44, 45	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → 𝑦 ≤ 𝑥)
47	46	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → 𝑦 ≤ 𝑥))
48	43, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → 𝑦 ≤ 𝑥))
49	48	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 → (𝑛 ∈ 𝑍 → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → 𝑦 ≤ 𝑥)))
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥) → (𝑛 ∈ 𝑍 → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → 𝑦 ≤ 𝑥)))
51	41, 42, 50	rexlimd 3266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → 𝑦 ≤ 𝑥))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → 𝑦 ≤ 𝑥))
53	38, 52	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → 𝑦 ≤ 𝑥)
54	53	ralrimiva 3146	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦 ≤ 𝑥)
55	54	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦 ≤ 𝑥))
56	55	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦 ≤ 𝑥)))
57	33, 56	reximdai 3261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦 ≤ 𝑥))
58	32, 57	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦 ≤ 𝑥)
59		supxrre 13369	. . 3 ⊢ ((ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦 ≤ 𝑥) → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))
60	19, 31, 58, 59	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))
61	5, 60	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ran crn 5686  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  ℝcr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  [,)cico 13389  ...cfz 13547  Σcsu 15722  Σ^{^}csumge0 46377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-sumge0 46378

This theorem is referenced by:  meaiuninclem  46495