Theorem sge0reuzb 47020

Description: Value of the generalized sum of uniformly bounded nonnegative reals, when the domain is a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0reuzb.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0reuzb.p	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0reuzb.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sge0reuzb.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
sge0reuzb.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0reuzb.x	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
sge0reuzb	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛,𝑥   𝑘,𝑀,𝑛,𝑥   𝑘,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sge0reuzb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0reuzb.k	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0reuzb.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		sge0reuzb.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		sge0reuzb.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
5	1, 2, 3, 4	sge0reuz 47019	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ))
6		nfv 1937	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
7		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
8		nfv 1937	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑛 ∈ 𝑍
9	1, 8	nfan 1922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
10		fzfid 14000	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑀...𝑛) ∈ Fin)
11		elfzuz 13539	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
12	11, 3	eleqtrrdi 2876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘 ∈ 𝑍)
13	12	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
14		rge0ssre 13474	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
15	14, 4	sselid 3937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	13, 15	syldan 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	9, 10, 17	fsumreclf 46150	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ ℝ)
19	6, 7, 18	rnmptssd 7109	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ⊆ ℝ)
20		uzid 12868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
21	2, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22	21, 3	eleqtrrdi 2876	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
23		eqidd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵)
24		oveq2 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
25	24	sumeq1d 15741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵)
26	25	rspceeqv 3607	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
27	22, 23, 26	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
28		sumex 15729	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 ∈ V)
30	7, 27, 29	elrnmptd 5944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵))
31	30	ne0d 4297	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ≠ ∅)
32		sge0reuzb.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥)
33		sge0reuzb.p	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
34		vex 3461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
35	7	elrnmpt 5939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
37	36	bilani 509	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
38		nfv 1937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
39		nfra1 3289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥
40	38, 39	nfan 1922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥)
41		nfv 1937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑦 ≤ 𝑥
42		rspa 3254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥)
43		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
44		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥)
45	43, 44	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → 𝑦 ≤ 𝑥)
46	45	ex 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → 𝑦 ≤ 𝑥))
47	42, 46	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → 𝑦 ≤ 𝑥))
48	47	ex 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 → (𝑛 ∈ 𝑍 → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → 𝑦 ≤ 𝑥)))
49	48	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥) → (𝑛 ∈ 𝑍 → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → 𝑦 ≤ 𝑥)))
50	40, 41, 49	rexlimd 3272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → 𝑦 ≤ 𝑥))
51	50	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → 𝑦 ≤ 𝑥))
52	37, 51	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → 𝑦 ≤ 𝑥)
53	52	ralrimiva 3157	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦 ≤ 𝑥)
54	53	ex 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦 ≤ 𝑥))
55	54	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦 ≤ 𝑥)))
56	33, 55	reximdai 3267	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦 ≤ 𝑥))
57	32, 56	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦 ≤ 𝑥)
58		supxrre 13344	. . 3 ⊢ ((ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦 ≤ 𝑥) → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))
59	19, 31, 57, 58	syl3anc 1394	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))
60	5, 59	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563  Ⅎwnf 1806   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  ran crn 5653  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  supcsup 9388  ℝcr 11087  0cc0 11088  +∞cpnf 11228  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  [,)cico 13365  ...cfz 13526  Σcsu 15727  Σ^{^}csumge0 46934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-sum 15728  df-sumge0 46935

This theorem is referenced by:  meaiuninclem  47052