Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0reuzb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0reuzb 45243
Description: Value of the generalized sum of uniformly bounded nonnegative reals, when the domain is a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0reuzb.k 𝑘𝜑
sge0reuzb.p 𝑥𝜑
sge0reuzb.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sge0reuzb.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
sge0reuzb.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0reuzb.x (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥)
Assertion
Ref Expression
sge0reuzb (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛,𝑥   𝑘,𝑀,𝑛,𝑥   𝑘,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sge0reuzb
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0reuzb.k . . 3 𝑘𝜑
2 sge0reuzb.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 sge0reuzb.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 sge0reuzb.b . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
51, 2, 3, 4sge0reuz 45242 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ))
6 nfv 1917 . . . 4 𝑛𝜑
7 eqid 2732 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) = (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
8 nfv 1917 . . . . . 6 𝑘 𝑛𝑍
91, 8nfan 1902 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑛𝑍)
10 fzfid 13940 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀...𝑛) ∈ Fin)
11 elfzuz 13499 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1211, 3eleqtrrdi 2844 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘𝑍)
1312adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝑘𝑍)
14 rge0ssre 13435 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
1514, 4sselid 3980 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
1613, 15syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1716adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
189, 10, 17fsumreclf 44371 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ ℝ)
196, 7, 18rnmptssd 43974 . . 3 (𝜑 → ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ⊆ ℝ)
20 uzid 12839 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
212, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2221, 3eleqtrrdi 2844 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝑍)
23 eqidd 2733 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵)
24 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
2524sumeq1d 15649 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵)
2625rspceeqv 3633 . . . . . 6 ((𝑀𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵) → ∃𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
2722, 23, 26syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
28 sumex 15636 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 ∈ V
2928a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 ∈ V)
307, 27, 29elrnmptd 5960 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵))
3130ne0d 4335 . . 3 (𝜑 → ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ≠ ∅)
32 sge0reuzb.x . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥)
33 sge0reuzb.p . . . . 5 𝑥𝜑
34 vex 3478 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
357elrnmpt 5955 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
3736biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → ∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
3837adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → ∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
39 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝜑𝑥 ∈ ℝ)
40 nfra1 3281 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥
4139, 40nfan 1902 . . . . . . . . . . 11 𝑛((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥)
42 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑦𝑥
43 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥𝑛𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥)
44 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
45 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥)
4644, 45eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → 𝑦𝑥)
4746ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥 → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦𝑥))
4843, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥𝑛𝑍) → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦𝑥))
4948ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥 → (𝑛𝑍 → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦𝑥)))
5049adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥) → (𝑛𝑍 → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦𝑥)))
5141, 42, 50rexlimd 3263 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥) → (∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦𝑥))
5251adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → (∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦𝑥))
5338, 52mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → 𝑦𝑥)
5453ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑥)
5554ex 413 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥 → ∀𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑥))
5655ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥 → ∀𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑥)))
5733, 56reximdai 3258 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑥))
5832, 57mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑥)
59 supxrre 13308 . . 3 ((ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑥) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))
6019, 31, 58, 59syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))
615, 60eqtrd 2772 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3474  wss 3948  c0 4322   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5677  cfv 6543  (class class class)co 7411  supcsup 9437  cr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11247  *cxr 11249   < clt 11250  cle 11251  cz 12560  cuz 12824  [,)cico 13328  ...cfz 13486  Σcsu 15634  Σ^csumge0 45157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-sumge0 45158
This theorem is referenced by:  meaiuninclem  45275
  Copyright terms: Public domain W3C validator