Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0reuzb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0reuzb 44775
Description: Value of the generalized sum of uniformly bounded nonnegative reals, when the domain is a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0reuzb.k 𝑘𝜑
sge0reuzb.p 𝑥𝜑
sge0reuzb.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sge0reuzb.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
sge0reuzb.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0reuzb.x (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥)
Assertion
Ref Expression
sge0reuzb (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛,𝑥   𝑘,𝑀,𝑛,𝑥   𝑘,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sge0reuzb
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0reuzb.k . . 3 𝑘𝜑
2 sge0reuzb.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 sge0reuzb.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 sge0reuzb.b . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
51, 2, 3, 4sge0reuz 44774 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ))
6 nfv 1918 . . . 4 𝑛𝜑
7 eqid 2733 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) = (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
8 nfv 1918 . . . . . 6 𝑘 𝑛𝑍
91, 8nfan 1903 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑛𝑍)
10 fzfid 13884 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀...𝑛) ∈ Fin)
11 elfzuz 13443 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1211, 3eleqtrrdi 2845 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘𝑍)
1312adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝑘𝑍)
14 rge0ssre 13379 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
1514, 4sselid 3943 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
1613, 15syldan 592 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1716adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
189, 10, 17fsumreclf 43903 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ ℝ)
196, 7, 18rnmptssd 43504 . . 3 (𝜑 → ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ⊆ ℝ)
20 uzid 12783 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
212, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2221, 3eleqtrrdi 2845 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝑍)
23 eqidd 2734 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵)
24 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
2524sumeq1d 15591 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵)
2625rspceeqv 3596 . . . . . 6 ((𝑀𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵) → ∃𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
2722, 23, 26syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
28 sumex 15578 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 ∈ V
2928a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 ∈ V)
307, 27, 29elrnmptd 5917 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵))
3130ne0d 4296 . . 3 (𝜑 → ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ≠ ∅)
32 sge0reuzb.x . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥)
33 sge0reuzb.p . . . . 5 𝑥𝜑
34 vex 3448 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
357elrnmpt 5912 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
3736biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → ∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
3837adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → ∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
39 nfv 1918 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝜑𝑥 ∈ ℝ)
40 nfra1 3266 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥
4139, 40nfan 1903 . . . . . . . . . . 11 𝑛((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥)
42 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑦𝑥
43 rspa 3230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥𝑛𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥)
44 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
45 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥)
4644, 45eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → 𝑦𝑥)
4746ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥 → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦𝑥))
4843, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥𝑛𝑍) → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦𝑥))
4948ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥 → (𝑛𝑍 → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦𝑥)))
5049adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥) → (𝑛𝑍 → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦𝑥)))
5141, 42, 50rexlimd 3248 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥) → (∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦𝑥))
5251adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → (∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦𝑥))
5338, 52mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → 𝑦𝑥)
5453ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑥)
5554ex 414 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥 → ∀𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑥))
5655ex 414 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥 → ∀𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑥)))
5733, 56reximdai 3243 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑥))
5832, 57mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑥)
59 supxrre 13252 . . 3 ((ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑥) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))
6019, 31, 58, 59syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))
615, 60eqtrd 2773 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3444  wss 3911  c0 4283   class class class wbr 5106  cmpt 5189  ran crn 5635  cfv 6497  (class class class)co 7358  supcsup 9381  cr 11055  0cc0 11056  +∞cpnf 11191  *cxr 11193   < clt 11194  cle 11195  cz 12504  cuz 12768  [,)cico 13272  ...cfz 13430  Σcsu 15576  Σ^csumge0 44689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-sumge0 44690
This theorem is referenced by:  meaiuninclem  44807
  Copyright terms: Public domain W3C validator