Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0reuzb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0reuzb 45164
Description: Value of the generalized sum of uniformly bounded nonnegative reals, when the domain is a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0reuzb.k 𝑘𝜑
sge0reuzb.p 𝑥𝜑
sge0reuzb.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sge0reuzb.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
sge0reuzb.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0reuzb.x (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥)
Assertion
Ref Expression
sge0reuzb (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛,𝑥   𝑘,𝑀,𝑛,𝑥   𝑘,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sge0reuzb
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0reuzb.k . . 3 𝑘𝜑
2 sge0reuzb.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 sge0reuzb.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 sge0reuzb.b . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
51, 2, 3, 4sge0reuz 45163 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ))
6 nfv 1918 . . . 4 𝑛𝜑
7 eqid 2733 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) = (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
8 nfv 1918 . . . . . 6 𝑘 𝑛𝑍
91, 8nfan 1903 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑛𝑍)
10 fzfid 13938 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀...𝑛) ∈ Fin)
11 elfzuz 13497 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1211, 3eleqtrrdi 2845 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘𝑍)
1312adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝑘𝑍)
14 rge0ssre 13433 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
1514, 4sselid 3981 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
1613, 15syldan 592 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1716adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
189, 10, 17fsumreclf 44292 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ ℝ)
196, 7, 18rnmptssd 43895 . . 3 (𝜑 → ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ⊆ ℝ)
20 uzid 12837 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
212, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2221, 3eleqtrrdi 2845 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝑍)
23 eqidd 2734 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵)
24 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
2524sumeq1d 15647 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵)
2625rspceeqv 3634 . . . . . 6 ((𝑀𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵) → ∃𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
2722, 23, 26syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
28 sumex 15634 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 ∈ V
2928a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 ∈ V)
307, 27, 29elrnmptd 5961 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐵 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵))
3130ne0d 4336 . . 3 (𝜑 → ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ≠ ∅)
32 sge0reuzb.x . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥)
33 sge0reuzb.p . . . . 5 𝑥𝜑
34 vex 3479 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
357elrnmpt 5956 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
3736biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → ∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
3837adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → ∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
39 nfv 1918 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝜑𝑥 ∈ ℝ)
40 nfra1 3282 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥
4139, 40nfan 1903 . . . . . . . . . . 11 𝑛((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥)
42 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑦𝑥
43 rspa 3246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥𝑛𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥)
44 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
45 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥)
4644, 45eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → 𝑦𝑥)
4746ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥 → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦𝑥))
4843, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥𝑛𝑍) → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦𝑥))
4948ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥 → (𝑛𝑍 → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦𝑥)))
5049adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥) → (𝑛𝑍 → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦𝑥)))
5141, 42, 50rexlimd 3264 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥) → (∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦𝑥))
5251adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → (∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦𝑥))
5338, 52mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → 𝑦𝑥)
5453ralrimiva 3147 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑥)
5554ex 414 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥 → ∀𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑥))
5655ex 414 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥 → ∀𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑥)))
5733, 56reximdai 3259 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑥))
5832, 57mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑥)
59 supxrre 13306 . . 3 ((ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑥) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))
6019, 31, 58, 59syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))
615, 60eqtrd 2773 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  wss 3949  c0 4323   class class class wbr 5149  cmpt 5232  ran crn 5678  cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  cr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  *cxr 11247   < clt 11248  cle 11249  cz 12558  cuz 12822  [,)cico 13326  ...cfz 13484  Σcsu 15632  Σ^csumge0 45078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-sumge0 45079
This theorem is referenced by:  meaiuninclem  45196
  Copyright terms: Public domain W3C validator