Theorem itg1val 23849

Description: The value of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1val	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Proof of Theorem itg1val

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rneq 5583	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ran 𝑓 = ran 𝐹)
2	1	difeq1d 3954	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (ran 𝑓 ∖ {0}) = (ran 𝐹 ∖ {0}))
3		cnveq 5528	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡𝑓 = ◡𝐹)
4	3	imaeq1d 5706	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (◡𝑓 “ {𝑥}) = (◡𝐹 “ {𝑥}))
5	4	fveq2d 6437	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥})) = (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
6	5	oveq2d 6921	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑥 · (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥}))) = (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
7	6	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥}))) = (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
8	2, 7	sumeq12dv 14814	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → Σ𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥}))) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
9		df-itg1 23786	. . 3 ⊢ ∫1 = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝑔 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)} ↦ Σ𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥}))))
10		sumex 14795	. . 3 ⊢ Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ V
11	8, 9, 10	fvmpt 6529	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝑔 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)} → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
12		sumex 14795	. . 3 ⊢ Σ𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥}))) ∈ V
13	12, 9	dmmpti 6256	. 2 ⊢ dom ∫1 = {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝑔 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)}
14	11, 13	eleq2s 2924	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  {crab 3121   ∖ cdif 3795  {csn 4397  ^◡ccnv 5341  dom cdm 5342  ran crn 5343   “ cima 5345  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Fincfn 8222  ℝcr 10251  0cc0 10252   · cmul 10257  Σcsu 14793  volcvol 23629  MblFncmbf 23780  ∫₁citg1 23781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-seq 13096  df-sum 14794  df-itg1 23786

This theorem is referenced by:  itg1val2  23850  itg1cl  23851  itg1ge0  23852  itg10  23854  itg11  23857  itg1addlem5  23866  itg1mulc  23870  itg10a  23876  itg1ge0a  23877  itg1climres  23880