Theorem itg1val 24847

Description: The value of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1val	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Proof of Theorem itg1val

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rneq 5845	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ran 𝑓 = ran 𝐹)
2	1	difeq1d 4056	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (ran 𝑓 ∖ {0}) = (ran 𝐹 ∖ {0}))
3		cnveq 5782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡𝑓 = ◡𝐹)
4	3	imaeq1d 5968	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (◡𝑓 “ {𝑥}) = (◡𝐹 “ {𝑥}))
5	4	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥})) = (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
6	5	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑥 · (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥}))) = (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
7	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥}))) = (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
8	2, 7	sumeq12dv 15418	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → Σ𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥}))) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
9		df-itg1 24784	. . 3 ⊢ ∫1 = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝑔 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)} ↦ Σ𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥}))))
10		sumex 15399	. . 3 ⊢ Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ V
11	8, 9, 10	fvmpt 6875	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝑔 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)} → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
12		sumex 15399	. . 3 ⊢ Σ𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥}))) ∈ V
13	12, 9	dmmpti 6577	. 2 ⊢ dom ∫1 = {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝑔 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)}
14	11, 13	eleq2s 2857	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068   ∖ cdif 3884  {csn 4561  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589  ran crn 5590   “ cima 5592  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℝcr 10870  0cc0 10871   · cmul 10876  Σcsu 15397  volcvol 24627  MblFncmbf 24778  ∫₁citg1 24779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-sum 15398  df-itg1 24784

This theorem is referenced by:  itg1val2  24848  itg1cl  24849  itg1ge0  24850  itg10  24852  itg11  24855  itg1addlem5  24865  itg1mulc  24869  itg10a  24875  itg1ge0a  24876  itg1climres  24879