MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1val 23741
Description: The value of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1val (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Proof of Theorem itg1val
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rneq 5519 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ran 𝑓 = ran 𝐹)
21difeq1d 3889 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (ran 𝑓 ∖ {0}) = (ran 𝐹 ∖ {0}))
3 cnveq 5464 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹𝑓 = 𝐹)
43imaeq1d 5647 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 “ {𝑥}) = (𝐹 “ {𝑥}))
54fveq2d 6379 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (vol‘(𝑓 “ {𝑥})) = (vol‘(𝐹 “ {𝑥})))
65oveq2d 6858 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑥 · (vol‘(𝑓 “ {𝑥}))) = (𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
76adantr 472 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(𝑓 “ {𝑥}))) = (𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
82, 7sumeq12dv 14724 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → Σ𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝑓 “ {𝑥}))) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
9 df-itg1 23678 . . 3 1 = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝑔 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)} ↦ Σ𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝑓 “ {𝑥}))))
10 sumex 14705 . . 3 Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ V
118, 9, 10fvmpt 6471 . 2 (𝐹 ∈ {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝑔 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)} → (∫1𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
12 sumex 14705 . . 3 Σ𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝑓 “ {𝑥}))) ∈ V
1312, 9dmmpti 6201 . 2 dom ∫1 = {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝑔 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)}
1411, 13eleq2s 2862 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  {crab 3059  cdif 3729  {csn 4334  ccnv 5276  dom cdm 5277  ran crn 5278  cima 5280  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  Fincfn 8160  cr 10188  0cc0 10189   · cmul 10194  Σcsu 14703  volcvol 23521  MblFncmbf 23672  1citg1 23673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-seq 13009  df-sum 14704  df-itg1 23678
This theorem is referenced by:  itg1val2  23742  itg1cl  23743  itg1ge0  23744  itg10  23746  itg11  23749  itg1addlem5  23758  itg1mulc  23762  itg10a  23768  itg1ge0a  23769  itg1climres  23772
  Copyright terms: Public domain W3C validator