MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1val 24199
Description: The value of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1val (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Proof of Theorem itg1val
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rneq 5805 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ran 𝑓 = ran 𝐹)
21difeq1d 4102 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (ran 𝑓 ∖ {0}) = (ran 𝐹 ∖ {0}))
3 cnveq 5743 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹𝑓 = 𝐹)
43imaeq1d 5926 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 “ {𝑥}) = (𝐹 “ {𝑥}))
54fveq2d 6671 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (vol‘(𝑓 “ {𝑥})) = (vol‘(𝐹 “ {𝑥})))
65oveq2d 7164 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑥 · (vol‘(𝑓 “ {𝑥}))) = (𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
76adantr 481 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(𝑓 “ {𝑥}))) = (𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
82, 7sumeq12dv 15053 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → Σ𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝑓 “ {𝑥}))) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
9 df-itg1 24136 . . 3 1 = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝑔 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)} ↦ Σ𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝑓 “ {𝑥}))))
10 sumex 15034 . . 3 Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ V
118, 9, 10fvmpt 6765 . 2 (𝐹 ∈ {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝑔 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)} → (∫1𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
12 sumex 15034 . . 3 Σ𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝑓 “ {𝑥}))) ∈ V
1312, 9dmmpti 6489 . 2 dom ∫1 = {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝑔 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)}
1411, 13eleq2s 2936 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  {crab 3147  cdif 3937  {csn 4564  ccnv 5553  dom cdm 5554  ran crn 5555  cima 5557  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  Fincfn 8498  cr 10525  0cc0 10526   · cmul 10531  Σcsu 15032  volcvol 23979  MblFncmbf 24130  1citg1 24131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-seq 13360  df-sum 15033  df-itg1 24136
This theorem is referenced by:  itg1val2  24200  itg1cl  24201  itg1ge0  24202  itg10  24204  itg11  24207  itg1addlem5  24216  itg1mulc  24220  itg10a  24226  itg1ge0a  24227  itg1climres  24230
  Copyright terms: Public domain W3C validator