MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1val 25562
Description: The value of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1val (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐹

Proof of Theorem itg1val
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rneq 5928 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ ran 𝑓 = ran 𝐹)
21difeq1d 4116 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ (ran 𝑓 βˆ– {0}) = (ran 𝐹 βˆ– {0}))
3 cnveq 5866 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ ◑𝑓 = ◑𝐹)
43imaeq1d 6051 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ (◑𝑓 β€œ {π‘₯}) = (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))
54fveq2d 6888 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (volβ€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯})) = (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
65oveq2d 7420 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) = (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
76adantr 480 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) = (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
82, 7sumeq12dv 15655 . . 3 (𝑓 = 𝐹 β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
9 df-itg1 25499 . . 3 ∫1 = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝑔 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)} ↦ Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))))
10 sumex 15637 . . 3 Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ V
118, 9, 10fvmpt 6991 . 2 (𝐹 ∈ {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝑔 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)} β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
12 sumex 15637 . . 3 Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) ∈ V
1312, 9dmmpti 6687 . 2 dom ∫1 = {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝑔 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)}
1411, 13eleq2s 2845 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   βˆ– cdif 3940  {csn 4623  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669  ran crn 5670   β€œ cima 5672  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  β„cr 11108  0cc0 11109   Β· cmul 11114  Ξ£csu 15635  volcvol 25342  MblFncmbf 25493  βˆ«1citg1 25494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-seq 13970  df-sum 15636  df-itg1 25499
This theorem is referenced by:  itg1val2  25563  itg1cl  25564  itg1ge0  25565  itg10  25567  itg11  25570  itg1addlem5  25580  itg1mulc  25584  itg10a  25590  itg1ge0a  25591  itg1climres  25594
  Copyright terms: Public domain W3C validator