MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1val 25632
Description: The value of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1val (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐹

Proof of Theorem itg1val
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rneq 5942 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ ran 𝑓 = ran 𝐹)
21difeq1d 4121 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ (ran 𝑓 βˆ– {0}) = (ran 𝐹 βˆ– {0}))
3 cnveq 5880 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ ◑𝑓 = ◑𝐹)
43imaeq1d 6067 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ (◑𝑓 β€œ {π‘₯}) = (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))
54fveq2d 6906 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (volβ€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯})) = (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
65oveq2d 7442 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) = (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
76adantr 479 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) = (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
82, 7sumeq12dv 15692 . . 3 (𝑓 = 𝐹 β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
9 df-itg1 25569 . . 3 ∫1 = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝑔 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)} ↦ Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))))
10 sumex 15674 . . 3 Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ V
118, 9, 10fvmpt 7010 . 2 (𝐹 ∈ {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝑔 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)} β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
12 sumex 15674 . . 3 Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) ∈ V
1312, 9dmmpti 6704 . 2 dom ∫1 = {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝑔 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)}
1411, 13eleq2s 2847 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430   βˆ– cdif 3946  {csn 4632  β—‘ccnv 5681  dom cdm 5682  ran crn 5683   β€œ cima 5685  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  β„cr 11145  0cc0 11146   Β· cmul 11151  Ξ£csu 15672  volcvol 25412  MblFncmbf 25563  βˆ«1citg1 25564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007  df-sum 15673  df-itg1 25569
This theorem is referenced by:  itg1val2  25633  itg1cl  25634  itg1ge0  25635  itg10  25637  itg11  25640  itg1addlem5  25650  itg1mulc  25654  itg10a  25660  itg1ge0a  25661  itg1climres  25664
  Copyright terms: Public domain W3C validator