MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1val 25063
Description: The value of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1val (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐹

Proof of Theorem itg1val
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rneq 5896 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ ran 𝑓 = ran 𝐹)
21difeq1d 4086 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ (ran 𝑓 βˆ– {0}) = (ran 𝐹 βˆ– {0}))
3 cnveq 5834 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ ◑𝑓 = ◑𝐹)
43imaeq1d 6017 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ (◑𝑓 β€œ {π‘₯}) = (◑𝐹 β€œ {π‘₯}))
54fveq2d 6851 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (volβ€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯})) = (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
65oveq2d 7378 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) = (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
76adantr 482 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) = (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
82, 7sumeq12dv 15598 . . 3 (𝑓 = 𝐹 β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
9 df-itg1 25000 . . 3 ∫1 = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝑔 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)} ↦ Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))))
10 sumex 15579 . . 3 Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ V
118, 9, 10fvmpt 6953 . 2 (𝐹 ∈ {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝑔 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)} β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
12 sumex 15579 . . 3 Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) ∈ V
1312, 9dmmpti 6650 . 2 dom ∫1 = {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝑔 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)}
1411, 13eleq2s 2856 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3410   βˆ– cdif 3912  {csn 4591  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   β€œ cima 5641  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„cr 11057  0cc0 11058   Β· cmul 11063  Ξ£csu 15577  volcvol 24843  MblFncmbf 24994  βˆ«1citg1 24995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-seq 13914  df-sum 15578  df-itg1 25000
This theorem is referenced by:  itg1val2  25064  itg1cl  25065  itg1ge0  25066  itg10  25068  itg11  25071  itg1addlem5  25081  itg1mulc  25085  itg10a  25091  itg1ge0a  25092  itg1climres  25095
  Copyright terms: Public domain W3C validator