Theorem itg1val 25917

Description: The value of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1val	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Proof of Theorem itg1val

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rneq 5924	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ran 𝑓 = ran 𝐹)
2	1	difeq1d 4076	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (ran 𝑓 ∖ {0}) = (ran 𝐹 ∖ {0}))
3		cnveq 5857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡𝑓 = ◡𝐹)
4	3	imaeq1d 6059	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (◡𝑓 “ {𝑥}) = (◡𝐹 “ {𝑥}))
5	4	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥})) = (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
6	5	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑥 · (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥}))) = (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥}))) = (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
8	2, 7	sumeq12dv 15796	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → Σ𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥}))) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
9		df-itg1 25854	. . 3 ⊢ ∫1 = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝑔 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)} ↦ Σ𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥}))))
10		sumex 15779	. . 3 ⊢ Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ V
11	8, 9, 10	fvmpt 6990	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝑔 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)} → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
12		sumex 15779	. . 3 ⊢ Σ𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥}))) ∈ V
13	12, 9	dmmpti 6680	. 2 ⊢ dom ∫1 = {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝑔 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)}
14	11, 13	eleq2s 2880	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414   ∖ cdif 3899  {csn 4587  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659  ran crn 5660   “ cima 5662  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Fincfn 8956  ℝcr 11127  0cc0 11128   · cmul 11133  Σcsu 15777  volcvol 25697  MblFncmbf 25848  ∫₁citg1 25849

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-seq 14070  df-sum 15778  df-itg1 25854

This theorem is used by:  itg1val2  25918  itg1cl  25919  itg1ge0  25920  itg10  25922  itg11  25925  itg1addlem5  25934  itg1mulc  25938  itg10a  25944  itg1ge0a  25945  itg1climres  25948