Theorem aaliou3lem6 26332

Description: Lemma for aaliou3 26335. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d	⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
aaliou3lem.e	⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem6	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝐴) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aaliou3lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (1...𝑐) = (1...𝐴))
2	1	sumeq1d 15653	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏))
3		aaliou3lem.e	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))
4		sumex 15641	. . . 4 ⊢ Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6935	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻‘𝐴) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏))
6	5	oveq1d 7371	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝐴) · (2↑(!‘𝐴))) = (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) · (2↑(!‘𝐴))))
7		fzfid 13926	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1...𝐴) ∈ Fin)
8		2rp 12938	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
9		nnnn0 12435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
10	9	faccld 14237	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
11	10	nnzd 12541	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
12		rpexpcl 14033	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
13	8, 11, 12	sylancr 593	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
14	13	rpcnd 12979	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(!‘𝐴)) ∈ ℂ)
15		elfznn 13498	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (1...𝐴) → 𝑏 ∈ ℕ)
16		fveq2 6827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (!‘𝑎) = (!‘𝑏))
17	16	negeqd 11378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑏))
18	17	oveq2d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑏)))
19		aaliou3lem.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
20		ovex 7389	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑-(!‘𝑏)) ∈ V
21	18, 19, 20	fvmpt 6935	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
22	15, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (1...𝐴) → (𝐹‘𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
23	22	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹‘𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
24	15	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ)
25	24	nnnn0d 12489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
26	25	faccld 14237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12541	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℤ)
28	27	znegcld 12626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → -(!‘𝑏) ∈ ℤ)
29		rpexpcl 14033	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝑏) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
30	8, 28, 29	sylancr 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
31	30	rpcnd 12979	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℂ)
32	23, 31	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
33	7, 14, 32	fsummulc1 15738	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)((𝐹‘𝑏) · (2↑(!‘𝐴))))
34	23	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((𝐹‘𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
35	11	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
36		2cnne0 12377	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
37		expaddz 14059	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (-(!‘𝑏) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐴) ∈ ℤ)) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
38	36, 37	mpan 696	. . . . . . 7 ⊢ ((-(!‘𝑏) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
39	28, 35, 38	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
40		2z 12550	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
41	28	zcnd 12625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → -(!‘𝑏) ∈ ℂ)
42	35	zcnd 12625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℂ)
43	41, 42	addcomd 11339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) = ((!‘𝐴) + -(!‘𝑏)))
44	26	nncnd 12181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℂ)
45	42, 44	negsubd 11502	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((!‘𝐴) + -(!‘𝑏)) = ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)))
46	43, 45	eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) = ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)))
47	9	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
48		elfzle2 13473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (1...𝐴) → 𝑏 ≤ 𝐴)
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ≤ 𝐴)
50		facwordi 14242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → (!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴))
51	25, 47, 49, 50	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴))
52	26	nnnn0d 12489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℕ0)
53	47	faccld 14237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
54	53	nnnn0d 12489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℕ0)
55		nn0sub 12478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((!‘𝑏) ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝐴) ∈ ℕ0) → ((!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴) ↔ ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)) ∈ ℕ0))
56	52, 54, 55	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴) ↔ ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)) ∈ ℕ0))
57	51, 56	mpbid 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)) ∈ ℕ0)
58	46, 57	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) ∈ ℕ0)
59		zexpcl 14029	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) ∈ ℕ0) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) ∈ ℤ)
60	40, 58, 59	sylancr 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) ∈ ℤ)
61	39, 60	eqeltrrd 2840	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
62	34, 61	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((𝐹‘𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
63	7, 62	fsumzcl 15688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)((𝐹‘𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
64	33, 63	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
65	6, 64	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝐴) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℝ⁺crp 12933  ...cfz 13452  ↑cexp 14014  !cfa 14226  Σcsu 15639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640

This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  26334