MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem6 26097
Description: Lemma for aaliou3 26100. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c ๐น = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)))
aaliou3lem.d ๐ฟ = ฮฃ๐‘ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘)
aaliou3lem.e ๐ป = (๐‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘,๐‘   ๐น,๐‘,๐‘   ๐ฟ,๐‘   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘Ž)   ๐ป(๐‘Ž,๐‘,๐‘)   ๐ฟ(๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem aaliou3lem6
StepHypRef Expression
1 oveq2 7419 . . . . 5 (๐‘ = ๐ด โ†’ (1...๐‘) = (1...๐ด))
21sumeq1d 15651 . . . 4 (๐‘ = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘))
3 aaliou3lem.e . . . 4 ๐ป = (๐‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘))
4 sumex 15638 . . . 4 ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ V
52, 3, 4fvmpt 6997 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ปโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘))
65oveq1d 7426 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) = (ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
7 fzfid 13942 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (1...๐ด) โˆˆ Fin)
8 2rp 12983 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„+
9 nnnn0 12483 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
109faccld 14248 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
1110nnzd 12589 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
12 rpexpcl 14050 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
138, 11, 12sylancr 585 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
1413rpcnd 13022 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
15 elfznn 13534 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
16 fveq2 6890 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘Ž) = (!โ€˜๐‘))
1716negeqd 11458 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ -(!โ€˜๐‘Ž) = -(!โ€˜๐‘))
1817oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)))
19 aaliou3lem.c . . . . . . . 8 ๐น = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)))
20 ovex 7444 . . . . . . . 8 (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ V
2118, 19, 20fvmpt 6997 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)))
2215, 21syl 17 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)))
2322adantl 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)))
2415adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2524nnnn0d 12536 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2625faccld 14248 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2726nnzd 12589 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
2827znegcld 12672 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ -(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
29 rpexpcl 14050 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง -(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„+)
308, 28, 29sylancr 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„+)
3130rpcnd 13022 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
3223, 31eqeltrd 2831 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
337, 14, 32fsummulc1 15735 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)((๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
3423oveq1d 7426 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
3511adantr 479 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
36 2cnne0 12426 . . . . . . . 8 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
37 expaddz 14076 . . . . . . . 8 (((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (-(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
3836, 37mpan 686 . . . . . . 7 ((-(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
3928, 35, 38syl2anc 582 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
40 2z 12598 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
4128zcnd 12671 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ -(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
4235zcnd 12671 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
4341, 42addcomd 11420 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด)) = ((!โ€˜๐ด) + -(!โ€˜๐‘)))
4426nncnd 12232 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
4542, 44negsubd 11581 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((!โ€˜๐ด) + -(!โ€˜๐‘)) = ((!โ€˜๐ด) โˆ’ (!โ€˜๐‘)))
4643, 45eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด)) = ((!โ€˜๐ด) โˆ’ (!โ€˜๐‘)))
479adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
48 elfzle2 13509 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐ด)
4948adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐ด)
50 facwordi 14253 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โ‰ค ๐ด) โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰ค (!โ€˜๐ด))
5125, 47, 49, 50syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰ค (!โ€˜๐ด))
5226nnnn0d 12536 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
5347faccld 14248 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
5453nnnn0d 12536 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
55 nn0sub 12526 . . . . . . . . . 10 (((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘) โ‰ค (!โ€˜๐ด) โ†” ((!โ€˜๐ด) โˆ’ (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•0))
5652, 54, 55syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((!โ€˜๐‘) โ‰ค (!โ€˜๐ด) โ†” ((!โ€˜๐ด) โˆ’ (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•0))
5751, 56mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((!โ€˜๐ด) โˆ’ (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•0)
5846, 57eqeltrd 2831 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0)
59 zexpcl 14046 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง (-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
6040, 58, 59sylancr 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
6139, 60eqeltrrd 2832 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
6234, 61eqeltrd 2831 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
637, 62fsumzcl 15685 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)((๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
6433, 63eqeltrd 2831 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
656, 64eqeltrd 2831 1 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„+crp 12978  ...cfz 13488  โ†‘cexp 14031  !cfa 14237  ฮฃcsu 15636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  26099
  Copyright terms: Public domain W3C validator