MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem6 25724
Description: Lemma for aaliou3 25727. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c ๐น = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)))
aaliou3lem.d ๐ฟ = ฮฃ๐‘ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘)
aaliou3lem.e ๐ป = (๐‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘,๐‘   ๐น,๐‘,๐‘   ๐ฟ,๐‘   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘Ž)   ๐ป(๐‘Ž,๐‘,๐‘)   ๐ฟ(๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem aaliou3lem6
StepHypRef Expression
1 oveq2 7370 . . . . 5 (๐‘ = ๐ด โ†’ (1...๐‘) = (1...๐ด))
21sumeq1d 15593 . . . 4 (๐‘ = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘))
3 aaliou3lem.e . . . 4 ๐ป = (๐‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘))
4 sumex 15579 . . . 4 ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ V
52, 3, 4fvmpt 6953 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ปโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘))
65oveq1d 7377 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) = (ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
7 fzfid 13885 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (1...๐ด) โˆˆ Fin)
8 2rp 12927 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„+
9 nnnn0 12427 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
109faccld 14191 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
1110nnzd 12533 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
12 rpexpcl 13993 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
138, 11, 12sylancr 588 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
1413rpcnd 12966 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
15 elfznn 13477 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
16 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘Ž) = (!โ€˜๐‘))
1716negeqd 11402 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ -(!โ€˜๐‘Ž) = -(!โ€˜๐‘))
1817oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)))
19 aaliou3lem.c . . . . . . . 8 ๐น = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)))
20 ovex 7395 . . . . . . . 8 (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ V
2118, 19, 20fvmpt 6953 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)))
2215, 21syl 17 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)))
2322adantl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)))
2415adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2524nnnn0d 12480 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2625faccld 14191 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2726nnzd 12533 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
2827znegcld 12616 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ -(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
29 rpexpcl 13993 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง -(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„+)
308, 28, 29sylancr 588 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„+)
3130rpcnd 12966 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
3223, 31eqeltrd 2838 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
337, 14, 32fsummulc1 15677 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)((๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
3423oveq1d 7377 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
3511adantr 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
36 2cnne0 12370 . . . . . . . 8 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
37 expaddz 14019 . . . . . . . 8 (((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (-(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
3836, 37mpan 689 . . . . . . 7 ((-(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
3928, 35, 38syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
40 2z 12542 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
4128zcnd 12615 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ -(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
4235zcnd 12615 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
4341, 42addcomd 11364 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด)) = ((!โ€˜๐ด) + -(!โ€˜๐‘)))
4426nncnd 12176 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
4542, 44negsubd 11525 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((!โ€˜๐ด) + -(!โ€˜๐‘)) = ((!โ€˜๐ด) โˆ’ (!โ€˜๐‘)))
4643, 45eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด)) = ((!โ€˜๐ด) โˆ’ (!โ€˜๐‘)))
479adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
48 elfzle2 13452 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐ด)
4948adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐ด)
50 facwordi 14196 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โ‰ค ๐ด) โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰ค (!โ€˜๐ด))
5125, 47, 49, 50syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰ค (!โ€˜๐ด))
5226nnnn0d 12480 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
5347faccld 14191 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
5453nnnn0d 12480 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
55 nn0sub 12470 . . . . . . . . . 10 (((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘) โ‰ค (!โ€˜๐ด) โ†” ((!โ€˜๐ด) โˆ’ (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•0))
5652, 54, 55syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((!โ€˜๐‘) โ‰ค (!โ€˜๐ด) โ†” ((!โ€˜๐ด) โˆ’ (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•0))
5751, 56mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((!โ€˜๐ด) โˆ’ (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•0)
5846, 57eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0)
59 zexpcl 13989 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง (-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
6040, 58, 59sylancr 588 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
6139, 60eqeltrrd 2839 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
6234, 61eqeltrd 2838 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
637, 62fsumzcl 15627 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)((๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
6433, 63eqeltrd 2838 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
656, 64eqeltrd 2838 1 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„+crp 12922  ...cfz 13431  โ†‘cexp 13974  !cfa 14180  ฮฃcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  25726
  Copyright terms: Public domain W3C validator