Theorem aaliou3lem6 26585

Description: Lemma for aaliou3 26588. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d	⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
aaliou3lem.e	⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem6	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝐴) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎, 𝑏, 𝑐)   𝐿(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem aaliou3lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7422	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (1...𝑐) = (1...𝐴))
2	1	sumeq1d 15788	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏))
3		aaliou3lem.e	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))
4		sumex 15776	. . . 4 ⊢ Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6987	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻‘𝐴) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏))
6	5	oveq1d 7429	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝐴) · (2↑(!‘𝐴))) = (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) · (2↑(!‘𝐴))))
7		fzfid 14038	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1...𝐴) ∈ Fin)
8		2rp 13048	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
9		nnnn0 12536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
10	9	faccld 14349	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
11	10	nnzd 12642	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
12		rpexpcl 14145	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
13	8, 11, 12	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
14	13	rpcnd 13089	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(!‘𝐴)) ∈ ℂ)
15		elfznn 13609	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (1...𝐴) → 𝑏 ∈ ℕ)
16		fveq2 6879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (!‘𝑎) = (!‘𝑏))
17	16	negeqd 11476	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑏))
18	17	oveq2d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑏)))
19		aaliou3lem.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
20		ovex 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑-(!‘𝑏)) ∈ V
21	18, 19, 20	fvmpt 6987	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
22	15, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (1...𝐴) → (𝐹‘𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
23	22	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹‘𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
24	15	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ)
25	24	nnnn0d 12590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
26	25	faccld 14349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12642	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℤ)
28	27	znegcld 12728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → -(!‘𝑏) ∈ ℤ)
29		rpexpcl 14145	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝑏) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
30	8, 28, 29	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
31	30	rpcnd 13089	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℂ)
32	23, 31	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
33	7, 14, 32	fsummulc1 15872	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)((𝐹‘𝑏) · (2↑(!‘𝐴))))
34	23	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((𝐹‘𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
35	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
36		2cnne0 12478	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
37		expaddz 14171	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (-(!‘𝑏) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐴) ∈ ℤ)) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
38	36, 37	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ ((-(!‘𝑏) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
39	28, 35, 38	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
40		2z 12651	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
41	28	zcnd 12727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → -(!‘𝑏) ∈ ℂ)
42	35	zcnd 12727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℂ)
43	41, 42	addcomd 11437	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) = ((!‘𝐴) + -(!‘𝑏)))
44	26	nncnd 12274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℂ)
45	42, 44	negsubd 11600	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((!‘𝐴) + -(!‘𝑏)) = ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)))
46	43, 45	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) = ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)))
47	9	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
48		elfzle2 13583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (1...𝐴) → 𝑏 ≤ 𝐴)
49	48	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ≤ 𝐴)
50		facwordi 14354	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → (!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴))
51	25, 47, 49, 50	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴))
52	26	nnnn0d 12590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℕ0)
53	47	faccld 14349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
54	53	nnnn0d 12590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℕ0)
55		nn0sub 12579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((!‘𝑏) ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝐴) ∈ ℕ0) → ((!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴) ↔ ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)) ∈ ℕ0))
56	52, 54, 55	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴) ↔ ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)) ∈ ℕ0))
57	51, 56	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)) ∈ ℕ0)
58	46, 57	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) ∈ ℕ0)
59		zexpcl 14141	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) ∈ ℕ0) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) ∈ ℤ)
60	40, 58, 59	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) ∈ ℤ)
61	39, 60	eqeltrrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
62	34, 61	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((𝐹‘𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
63	7, 62	fsumzcl 15822	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)((𝐹‘𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
64	33, 63	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
65	6, 64	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝐴) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128   · cmul 11130   ≤ cle 11269   − cmin 11466  -cneg 11467  ℕcn 12258  2c2 12320  ℕ₀cn0 12529  ℤcz 12616  ℝ⁺crp 13043  ...cfz 13562  ↑cexp 14126  !cfa 14338  Σcsu 15774

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-exp 14127  df-fac 14339  df-hash 14396  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-clim 15576  df-sum 15775

This theorem is used by:  aaliou3lem9  26587