MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem6 26390
Description: Lemma for aaliou3 26393. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏)
aaliou3lem.e 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem6 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻𝐴) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aaliou3lem6
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑐 = 𝐴 → (1...𝑐) = (1...𝐴))
21sumeq1d 15736 . . . 4 (𝑐 = 𝐴 → Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏))
3 aaliou3lem.e . . . 4 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
4 sumex 15724 . . . 4 Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) ∈ V
52, 3, 4fvmpt 7016 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻𝐴) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏))
65oveq1d 7446 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻𝐴) · (2↑(!‘𝐴))) = (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) · (2↑(!‘𝐴))))
7 fzfid 14014 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (1...𝐴) ∈ Fin)
8 2rp 13039 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
9 nnnn0 12533 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
109faccld 14323 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
1110nnzd 12640 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
12 rpexpcl 14121 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
138, 11, 12sylancr 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
1413rpcnd 13079 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(!‘𝐴)) ∈ ℂ)
15 elfznn 13593 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (1...𝐴) → 𝑏 ∈ ℕ)
16 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑏 → (!‘𝑎) = (!‘𝑏))
1716negeqd 11502 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑏 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑏))
1817oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑏)))
19 aaliou3lem.c . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
20 ovex 7464 . . . . . . . 8 (2↑-(!‘𝑏)) ∈ V
2118, 19, 20fvmpt 7016 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
2215, 21syl 17 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (1...𝐴) → (𝐹𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
2322adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
2415adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ)
2524nnnn0d 12587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
2625faccld 14323 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℕ)
2726nnzd 12640 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℤ)
2827znegcld 12724 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → -(!‘𝑏) ∈ ℤ)
29 rpexpcl 14121 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝑏) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
308, 28, 29sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
3130rpcnd 13079 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℂ)
3223, 31eqeltrd 2841 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
337, 14, 32fsummulc1 15821 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)((𝐹𝑏) · (2↑(!‘𝐴))))
3423oveq1d 7446 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((𝐹𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
3511adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
36 2cnne0 12476 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
37 expaddz 14147 . . . . . . . 8 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (-(!‘𝑏) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐴) ∈ ℤ)) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
3836, 37mpan 690 . . . . . . 7 ((-(!‘𝑏) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
3928, 35, 38syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
40 2z 12649 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
4128zcnd 12723 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → -(!‘𝑏) ∈ ℂ)
4235zcnd 12723 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℂ)
4341, 42addcomd 11463 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) = ((!‘𝐴) + -(!‘𝑏)))
4426nncnd 12282 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℂ)
4542, 44negsubd 11626 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((!‘𝐴) + -(!‘𝑏)) = ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)))
4643, 45eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) = ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)))
479adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
48 elfzle2 13568 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (1...𝐴) → 𝑏𝐴)
4948adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏𝐴)
50 facwordi 14328 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝑏𝐴) → (!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴))
5125, 47, 49, 50syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴))
5226nnnn0d 12587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℕ0)
5347faccld 14323 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
5453nnnn0d 12587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℕ0)
55 nn0sub 12576 . . . . . . . . . 10 (((!‘𝑏) ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝐴) ∈ ℕ0) → ((!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴) ↔ ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)) ∈ ℕ0))
5652, 54, 55syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴) ↔ ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)) ∈ ℕ0))
5751, 56mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)) ∈ ℕ0)
5846, 57eqeltrd 2841 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) ∈ ℕ0)
59 zexpcl 14117 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) ∈ ℕ0) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) ∈ ℤ)
6040, 58, 59sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) ∈ ℤ)
6139, 60eqeltrrd 2842 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
6234, 61eqeltrd 2841 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((𝐹𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
637, 62fsumzcl 15771 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)((𝐹𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
6433, 63eqeltrd 2841 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
656, 64eqeltrd 2841 1 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻𝐴) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  +crp 13034  ...cfz 13547  cexp 14102  !cfa 14312  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  26392
  Copyright terms: Public domain W3C validator