MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem6 25860
Description: Lemma for aaliou3 25863. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c ๐น = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)))
aaliou3lem.d ๐ฟ = ฮฃ๐‘ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘)
aaliou3lem.e ๐ป = (๐‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘,๐‘   ๐น,๐‘,๐‘   ๐ฟ,๐‘   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘Ž)   ๐ป(๐‘Ž,๐‘,๐‘)   ๐ฟ(๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem aaliou3lem6
StepHypRef Expression
1 oveq2 7416 . . . . 5 (๐‘ = ๐ด โ†’ (1...๐‘) = (1...๐ด))
21sumeq1d 15646 . . . 4 (๐‘ = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘))
3 aaliou3lem.e . . . 4 ๐ป = (๐‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘))
4 sumex 15633 . . . 4 ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ V
52, 3, 4fvmpt 6998 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ปโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘))
65oveq1d 7423 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) = (ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
7 fzfid 13937 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (1...๐ด) โˆˆ Fin)
8 2rp 12978 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„+
9 nnnn0 12478 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
109faccld 14243 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
1110nnzd 12584 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
12 rpexpcl 14045 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
138, 11, 12sylancr 587 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
1413rpcnd 13017 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
15 elfznn 13529 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
16 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘Ž) = (!โ€˜๐‘))
1716negeqd 11453 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ -(!โ€˜๐‘Ž) = -(!โ€˜๐‘))
1817oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)))
19 aaliou3lem.c . . . . . . . 8 ๐น = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)))
20 ovex 7441 . . . . . . . 8 (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ V
2118, 19, 20fvmpt 6998 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)))
2215, 21syl 17 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)))
2322adantl 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)))
2415adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2524nnnn0d 12531 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2625faccld 14243 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2726nnzd 12584 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
2827znegcld 12667 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ -(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
29 rpexpcl 14045 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง -(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„+)
308, 28, 29sylancr 587 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„+)
3130rpcnd 13017 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
3223, 31eqeltrd 2833 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
337, 14, 32fsummulc1 15730 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)((๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
3423oveq1d 7423 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
3511adantr 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
36 2cnne0 12421 . . . . . . . 8 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
37 expaddz 14071 . . . . . . . 8 (((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (-(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
3836, 37mpan 688 . . . . . . 7 ((-(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
3928, 35, 38syl2anc 584 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
40 2z 12593 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
4128zcnd 12666 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ -(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
4235zcnd 12666 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
4341, 42addcomd 11415 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด)) = ((!โ€˜๐ด) + -(!โ€˜๐‘)))
4426nncnd 12227 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
4542, 44negsubd 11576 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((!โ€˜๐ด) + -(!โ€˜๐‘)) = ((!โ€˜๐ด) โˆ’ (!โ€˜๐‘)))
4643, 45eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด)) = ((!โ€˜๐ด) โˆ’ (!โ€˜๐‘)))
479adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
48 elfzle2 13504 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐ด)
4948adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐ด)
50 facwordi 14248 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โ‰ค ๐ด) โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰ค (!โ€˜๐ด))
5125, 47, 49, 50syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰ค (!โ€˜๐ด))
5226nnnn0d 12531 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
5347faccld 14243 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
5453nnnn0d 12531 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
55 nn0sub 12521 . . . . . . . . . 10 (((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘) โ‰ค (!โ€˜๐ด) โ†” ((!โ€˜๐ด) โˆ’ (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•0))
5652, 54, 55syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((!โ€˜๐‘) โ‰ค (!โ€˜๐ด) โ†” ((!โ€˜๐ด) โˆ’ (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•0))
5751, 56mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((!โ€˜๐ด) โˆ’ (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•0)
5846, 57eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0)
59 zexpcl 14041 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง (-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
6040, 58, 59sylancr 587 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
6139, 60eqeltrrd 2834 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
6234, 61eqeltrd 2833 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
637, 62fsumzcl 15680 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)((๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
6433, 63eqeltrd 2833 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
656, 64eqeltrd 2833 1 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โ‰ค cle 11248   โˆ’ cmin 11443  -cneg 11444  โ„•cn 12211  2c2 12266  โ„•0cn0 12471  โ„คcz 12557  โ„+crp 12973  ...cfz 13483  โ†‘cexp 14026  !cfa 14232  ฮฃcsu 15631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  25862
  Copyright terms: Public domain W3C validator