MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem6 25861
Description: Lemma for aaliou3 25864. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c ๐น = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)))
aaliou3lem.d ๐ฟ = ฮฃ๐‘ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘)
aaliou3lem.e ๐ป = (๐‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘,๐‘   ๐น,๐‘,๐‘   ๐ฟ,๐‘   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘Ž)   ๐ป(๐‘Ž,๐‘,๐‘)   ๐ฟ(๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem aaliou3lem6
StepHypRef Expression
1 oveq2 7417 . . . . 5 (๐‘ = ๐ด โ†’ (1...๐‘) = (1...๐ด))
21sumeq1d 15647 . . . 4 (๐‘ = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘))
3 aaliou3lem.e . . . 4 ๐ป = (๐‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘))
4 sumex 15634 . . . 4 ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ V
52, 3, 4fvmpt 6999 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ปโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘))
65oveq1d 7424 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) = (ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
7 fzfid 13938 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (1...๐ด) โˆˆ Fin)
8 2rp 12979 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„+
9 nnnn0 12479 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
109faccld 14244 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
1110nnzd 12585 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
12 rpexpcl 14046 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
138, 11, 12sylancr 588 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
1413rpcnd 13018 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
15 elfznn 13530 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
16 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘Ž) = (!โ€˜๐‘))
1716negeqd 11454 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ -(!โ€˜๐‘Ž) = -(!โ€˜๐‘))
1817oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)))
19 aaliou3lem.c . . . . . . . 8 ๐น = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)))
20 ovex 7442 . . . . . . . 8 (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ V
2118, 19, 20fvmpt 6999 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)))
2215, 21syl 17 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)))
2322adantl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)))
2415adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2524nnnn0d 12532 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2625faccld 14244 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2726nnzd 12585 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
2827znegcld 12668 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ -(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
29 rpexpcl 14046 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง -(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„+)
308, 28, 29sylancr 588 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„+)
3130rpcnd 13018 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
3223, 31eqeltrd 2834 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
337, 14, 32fsummulc1 15731 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)((๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
3423oveq1d 7424 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
3511adantr 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
36 2cnne0 12422 . . . . . . . 8 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
37 expaddz 14072 . . . . . . . 8 (((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (-(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
3836, 37mpan 689 . . . . . . 7 ((-(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
3928, 35, 38syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด))) = ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))))
40 2z 12594 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
4128zcnd 12667 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ -(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
4235zcnd 12667 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
4341, 42addcomd 11416 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด)) = ((!โ€˜๐ด) + -(!โ€˜๐‘)))
4426nncnd 12228 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
4542, 44negsubd 11577 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((!โ€˜๐ด) + -(!โ€˜๐‘)) = ((!โ€˜๐ด) โˆ’ (!โ€˜๐‘)))
4643, 45eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด)) = ((!โ€˜๐ด) โˆ’ (!โ€˜๐‘)))
479adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
48 elfzle2 13505 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐ด)
4948adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐ด)
50 facwordi 14249 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โ‰ค ๐ด) โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰ค (!โ€˜๐ด))
5125, 47, 49, 50syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰ค (!โ€˜๐ด))
5226nnnn0d 12532 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
5347faccld 14244 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
5453nnnn0d 12532 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
55 nn0sub 12522 . . . . . . . . . 10 (((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘) โ‰ค (!โ€˜๐ด) โ†” ((!โ€˜๐ด) โˆ’ (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•0))
5652, 54, 55syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((!โ€˜๐‘) โ‰ค (!โ€˜๐ด) โ†” ((!โ€˜๐ด) โˆ’ (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•0))
5751, 56mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((!โ€˜๐ด) โˆ’ (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•0)
5846, 57eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0)
59 zexpcl 14042 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง (-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
6040, 58, 59sylancr 588 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (2โ†‘(-(!โ€˜๐‘) + (!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
6139, 60eqeltrrd 2835 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
6234, 61eqeltrd 2834 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
637, 62fsumzcl 15681 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)((๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
6433, 63eqeltrd 2834 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
656, 64eqeltrd 2834 1 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„+crp 12974  ...cfz 13484  โ†‘cexp 14027  !cfa 14233  ฮฃcsu 15632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  25863
  Copyright terms: Public domain W3C validator