MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem6 24864
Description: Lemma for aaliou3 24867. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏)
aaliou3lem.e 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem6 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻𝐴) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aaliou3lem6
StepHypRef Expression
1 oveq2 7153 . . . . 5 (𝑐 = 𝐴 → (1...𝑐) = (1...𝐴))
21sumeq1d 15046 . . . 4 (𝑐 = 𝐴 → Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏))
3 aaliou3lem.e . . . 4 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
4 sumex 15032 . . . 4 Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) ∈ V
52, 3, 4fvmpt 6761 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻𝐴) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏))
65oveq1d 7160 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻𝐴) · (2↑(!‘𝐴))) = (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) · (2↑(!‘𝐴))))
7 fzfid 13329 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (1...𝐴) ∈ Fin)
8 2rp 12382 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
9 nnnn0 11892 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
109faccld 13632 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
1110nnzd 12074 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
12 rpexpcl 13436 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
138, 11, 12sylancr 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
1413rpcnd 12421 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(!‘𝐴)) ∈ ℂ)
15 elfznn 12924 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (1...𝐴) → 𝑏 ∈ ℕ)
16 fveq2 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑏 → (!‘𝑎) = (!‘𝑏))
1716negeqd 10868 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑏 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑏))
1817oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑏)))
19 aaliou3lem.c . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
20 ovex 7178 . . . . . . . 8 (2↑-(!‘𝑏)) ∈ V
2118, 19, 20fvmpt 6761 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
2215, 21syl 17 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (1...𝐴) → (𝐹𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
2322adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
2415adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ)
2524nnnn0d 11943 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
2625faccld 13632 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℕ)
2726nnzd 12074 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℤ)
2827znegcld 12077 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → -(!‘𝑏) ∈ ℤ)
29 rpexpcl 13436 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝑏) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
308, 28, 29sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
3130rpcnd 12421 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℂ)
3223, 31eqeltrd 2910 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
337, 14, 32fsummulc1 15128 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)((𝐹𝑏) · (2↑(!‘𝐴))))
3423oveq1d 7160 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((𝐹𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
3511adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
36 2cnne0 11835 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
37 expaddz 13461 . . . . . . . 8 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (-(!‘𝑏) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐴) ∈ ℤ)) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
3836, 37mpan 686 . . . . . . 7 ((-(!‘𝑏) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
3928, 35, 38syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
40 2z 12002 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
4128zcnd 12076 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → -(!‘𝑏) ∈ ℂ)
4235zcnd 12076 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℂ)
4341, 42addcomd 10830 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) = ((!‘𝐴) + -(!‘𝑏)))
4426nncnd 11642 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℂ)
4542, 44negsubd 10991 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((!‘𝐴) + -(!‘𝑏)) = ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)))
4643, 45eqtrd 2853 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) = ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)))
479adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
48 elfzle2 12899 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (1...𝐴) → 𝑏𝐴)
4948adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏𝐴)
50 facwordi 13637 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝑏𝐴) → (!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴))
5125, 47, 49, 50syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴))
5226nnnn0d 11943 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℕ0)
5347faccld 13632 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
5453nnnn0d 11943 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℕ0)
55 nn0sub 11935 . . . . . . . . . 10 (((!‘𝑏) ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝐴) ∈ ℕ0) → ((!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴) ↔ ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)) ∈ ℕ0))
5652, 54, 55syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴) ↔ ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)) ∈ ℕ0))
5751, 56mpbid 233 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)) ∈ ℕ0)
5846, 57eqeltrd 2910 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) ∈ ℕ0)
59 zexpcl 13432 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) ∈ ℕ0) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) ∈ ℤ)
6040, 58, 59sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) ∈ ℤ)
6139, 60eqeltrrd 2911 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
6234, 61eqeltrd 2910 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((𝐹𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
637, 62fsumzcl 15080 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)((𝐹𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
6433, 63eqeltrd 2910 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
656, 64eqeltrd 2910 1 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻𝐴) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  +crp 12377  ...cfz 12880  cexp 13417  !cfa 13621  Σcsu 15030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  24866
  Copyright terms: Public domain W3C validator