MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem3 27043
Description: Lemma for basel 27050. Using the binomial theorem and de Moivre's formula, we have the identity e↑i𝑁π‘₯ / (sinπ‘₯)↑𝑛 = Ξ£π‘š ∈ (0...𝑁)(𝑁Cπ‘š)(iβ†‘π‘š)(cotπ‘₯)↑(𝑁 βˆ’ π‘š), so taking imaginary parts yields sin(𝑁π‘₯) / (sinπ‘₯)↑𝑁 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑁C2𝑗)(-1)↑(𝑀 βˆ’ 𝑗) (cotπ‘₯)↑(-2𝑗) = 𝑃((cotπ‘₯)↑2), where 𝑁 = 2𝑀 + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n 𝑁 = ((2 Β· 𝑀) + 1)
basel.p 𝑃 = (𝑑 ∈ β„‚ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (𝑑↑𝑗)))
Assertion
Ref Expression
basellem3 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (π‘ƒβ€˜((tanβ€˜π΄)↑-2)) = ((sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑗,𝐴   𝑗,𝑀,𝑑   𝑗,𝑁,𝑑
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑑,𝑗)

Proof of Theorem basellem3
Dummy variables π‘˜ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tanrpcl 26467 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (tanβ€˜π΄) ∈ ℝ+)
21adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (tanβ€˜π΄) ∈ ℝ+)
32rpreccld 13068 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (1 / (tanβ€˜π΄)) ∈ ℝ+)
43rpcnd 13060 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (1 / (tanβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
5 ax-icn 11207 . . . . . 6 i ∈ β„‚
65a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ i ∈ β„‚)
7 basel.n . . . . . . 7 𝑁 = ((2 Β· 𝑀) + 1)
8 2nn 12325 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•
9 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
10 nnmulcl 12276 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ β„•)
118, 9, 10sylancr 585 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ β„•)
1211peano2nnd 12269 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((2 Β· 𝑀) + 1) ∈ β„•)
137, 12eqeltrid 2833 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1413nnnn0d 12572 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
15 binom 15818 . . . . 5 (((1 / (tanβ€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((1 / (tanβ€˜π΄)) + i)↑𝑁) = Ξ£π‘š ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘š) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) Β· (iβ†‘π‘š))))
164, 6, 14, 15syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (((1 / (tanβ€˜π΄)) + i)↑𝑁) = Ξ£π‘š ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘š) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) Β· (iβ†‘π‘š))))
17 elioore 13396 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1817adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1918recoscld 16130 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2019recnd 11282 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
2118resincld 16129 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2221recnd 11282 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
23 mulcl 11232 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
245, 22, 23sylancr 585 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (i Β· (sinβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
2520, 24addcld 11273 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄))) ∈ β„‚)
26 sincosq1sgn 26461 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (0 < (sinβ€˜π΄) ∧ 0 < (cosβ€˜π΄)))
2726adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (0 < (sinβ€˜π΄) ∧ 0 < (cosβ€˜π΄)))
2827simpld 493 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄))
2928gt0ne0d 11818 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (sinβ€˜π΄) β‰  0)
3025, 22, 29, 14expdivd 14166 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄))) / (sinβ€˜π΄))↑𝑁) = ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑𝑁) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁)))
3120, 24, 22, 29divdird 12068 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄))) / (sinβ€˜π΄)) = (((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄)) + ((i Β· (sinβ€˜π΄)) / (sinβ€˜π΄))))
3218recnd 11282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3327simprd 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ 0 < (cosβ€˜π΄))
3433gt0ne0d 11818 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜π΄) β‰  0)
35 tanval 16114 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (tanβ€˜π΄) = ((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄)))
3632, 34, 35syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (tanβ€˜π΄) = ((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄)))
3736oveq2d 7442 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (1 / (tanβ€˜π΄)) = (1 / ((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄))))
3822, 20, 29, 34recdivd 12047 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (1 / ((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄))) = ((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄)))
3937, 38eqtr2d 2769 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄)) = (1 / (tanβ€˜π΄)))
406, 22, 29divcan4d 12036 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((i Β· (sinβ€˜π΄)) / (sinβ€˜π΄)) = i)
4139, 40oveq12d 7444 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (((cosβ€˜π΄) / (sinβ€˜π΄)) + ((i Β· (sinβ€˜π΄)) / (sinβ€˜π΄))) = ((1 / (tanβ€˜π΄)) + i))
4231, 41eqtrd 2768 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄))) / (sinβ€˜π΄)) = ((1 / (tanβ€˜π΄)) + i))
4342oveq1d 7441 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄))) / (sinβ€˜π΄))↑𝑁) = (((1 / (tanβ€˜π΄)) + i)↑𝑁))
4413nnzd 12625 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
45 demoivre 16186 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑𝑁) = ((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)))))
4632, 44, 45syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑𝑁) = ((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)))))
4746oveq1d 7441 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((((cosβ€˜π΄) + (i Β· (sinβ€˜π΄)))↑𝑁) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁)) = (((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)))) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁)))
4830, 43, 473eqtr3d 2776 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (((1 / (tanβ€˜π΄)) + i)↑𝑁) = (((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)))) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁)))
4913nnred 12267 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
5049, 18remulcld 11284 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (𝑁 Β· 𝐴) ∈ ℝ)
5150recoscld 16130 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) ∈ ℝ)
5251recnd 11282 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
5350resincld 16129 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) ∈ ℝ)
5453recnd 11282 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
55 mulcl 11232 . . . . . . 7 ((i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
565, 54, 55sylancr 585 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
5721, 28elrpd 13055 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ ℝ+)
5857, 44rpexpcld 14251 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜π΄)↑𝑁) ∈ ℝ+)
5958rpcnd 13060 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜π΄)↑𝑁) ∈ β„‚)
6058rpne0d 13063 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜π΄)↑𝑁) β‰  0)
6152, 56, 59, 60divdird 12068 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) + (i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)))) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁)) = (((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁)) + ((i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴))) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁))))
626, 54, 59, 60divassd 12065 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴))) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁)) = (i Β· ((sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁))))
6362oveq2d 7442 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁)) + ((i Β· (sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴))) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁))) = (((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁)) + (i Β· ((sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁)))))
6448, 61, 633eqtrd 2772 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (((1 / (tanβ€˜π΄)) + i)↑𝑁) = (((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁)) + (i Β· ((sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁)))))
6516, 64eqtr3d 2770 . . 3 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘š) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) Β· (iβ†‘π‘š))) = (((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁)) + (i Β· ((sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁)))))
6665fveq2d 6906 . 2 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„‘β€˜Ξ£π‘š ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘š) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) Β· (iβ†‘π‘š)))) = (β„‘β€˜(((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁)) + (i Β· ((sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁))))))
67 oveq2 7434 . . . . . . 7 (π‘š = (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)) β†’ (𝑁Cπ‘š) = (𝑁C(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗))))
68 oveq2 7434 . . . . . . . . 9 (π‘š = (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)) β†’ (𝑁 βˆ’ π‘š) = (𝑁 βˆ’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗))))
6968oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (π‘š = (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)) β†’ ((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) = ((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))))
70 oveq2 7434 . . . . . . . 8 (π‘š = (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)) β†’ (iβ†‘π‘š) = (i↑(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗))))
7169, 70oveq12d 7444 . . . . . . 7 (π‘š = (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)) β†’ (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) Β· (iβ†‘π‘š)) = (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))) Β· (i↑(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))))
7267, 71oveq12d 7444 . . . . . 6 (π‘š = (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)) β†’ ((𝑁Cπ‘š) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) Β· (iβ†‘π‘š))) = ((𝑁C(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗))) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))) Β· (i↑(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗))))))
7372fveq2d 6906 . . . . 5 (π‘š = (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)) β†’ (β„‘β€˜((𝑁Cπ‘š) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) Β· (iβ†‘π‘š)))) = (β„‘β€˜((𝑁C(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗))) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))) Β· (i↑(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))))))
74 fzfid 13980 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
75 2nn0 12529 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•0
76 elfznn0 13636 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
7776adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
78 nn0mulcl 12548 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„•0)
7975, 77, 78sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„•0)
8079nn0red 12573 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ ℝ)
8111nnred 12267 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ ℝ)
8281adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ ℝ)
8349adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
84 elfzle2 13547 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) β†’ π‘˜ ≀ 𝑀)
8584adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘˜ ≀ 𝑀)
8677nn0red 12573 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
87 nnre 12259 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
8887ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
89 2re 12326 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
90 2pos 12355 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
9189, 90pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
93 lemul2 12107 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑀 ↔ (2 Β· π‘˜) ≀ (2 Β· 𝑀)))
9486, 88, 92, 93syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑀 ↔ (2 Β· π‘˜) ≀ (2 Β· 𝑀)))
9585, 94mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (2 Β· π‘˜) ≀ (2 Β· 𝑀))
9682lep1d 12185 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (2 Β· 𝑀) ≀ ((2 Β· 𝑀) + 1))
9796, 7breqtrrdi 5194 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (2 Β· 𝑀) ≀ 𝑁)
9880, 82, 83, 95, 97letrd 11411 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (2 Β· π‘˜) ≀ 𝑁)
99 nn0uz 12904 . . . . . . . . . . . 12 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
10079, 99eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
10144adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
102 elfz5 13535 . . . . . . . . . . 11 (((2 Β· π‘˜) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((2 Β· π‘˜) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 Β· π‘˜) ≀ 𝑁))
103100, 101, 102syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ ((2 Β· π‘˜) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 Β· π‘˜) ≀ 𝑁))
10498, 103mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ (0...𝑁))
105 fznn0sub2 13650 . . . . . . . . 9 ((2 Β· π‘˜) ∈ (0...𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)) ∈ (0...𝑁))
106104, 105syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)) ∈ (0...𝑁))
107106ex 411 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑀) β†’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)) ∈ (0...𝑁)))
10813nncnd 12268 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
109108adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ π‘š ∈ (0...𝑀))) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
110 2cn 12327 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„‚
111 elfzelz 13543 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
112111zcnd 12707 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
113112ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ π‘š ∈ (0...𝑀))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
114 mulcl 11232 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„‚) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„‚)
115110, 113, 114sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ π‘š ∈ (0...𝑀))) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„‚)
116112ssriv 3986 . . . . . . . . . . . 12 (0...𝑀) βŠ† β„‚
117 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ π‘š ∈ (0...𝑀))) β†’ π‘š ∈ (0...𝑀))
118116, 117sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ π‘š ∈ (0...𝑀))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
119 mulcl 11232 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (2 Β· π‘š) ∈ β„‚)
120110, 118, 119sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ π‘š ∈ (0...𝑀))) β†’ (2 Β· π‘š) ∈ β„‚)
121109, 115, 120subcanad 11654 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ π‘š ∈ (0...𝑀))) β†’ ((𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)) = (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘š)) ↔ (2 Β· π‘˜) = (2 Β· π‘š)))
122 2cnne0 12462 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)
123122a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ π‘š ∈ (0...𝑀))) β†’ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0))
124 mulcan 11891 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚ ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)) β†’ ((2 Β· π‘˜) = (2 Β· π‘š) ↔ π‘˜ = π‘š))
125113, 118, 123, 124syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ π‘š ∈ (0...𝑀))) β†’ ((2 Β· π‘˜) = (2 Β· π‘š) ↔ π‘˜ = π‘š))
126121, 125bitrd 278 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ π‘š ∈ (0...𝑀))) β†’ ((𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)) = (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘š)) ↔ π‘˜ = π‘š))
127126ex 411 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ π‘š ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)) = (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘š)) ↔ π‘˜ = π‘š)))
128107, 127dom2lem 9021 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))):(0...𝑀)–1-1β†’(0...𝑁))
129 f1f1orn 6855 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))):(0...𝑀)–1-1β†’(0...𝑁) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))):(0...𝑀)–1-1-ontoβ†’ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))))
130128, 129syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))):(0...𝑀)–1-1-ontoβ†’ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))))
131 oveq2 7434 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (2 Β· π‘˜) = (2 Β· 𝑗))
132131oveq2d 7442 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)) = (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))
133 eqid 2728 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)))
134 ovex 7459 . . . . . . 7 (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)) ∈ V
135132, 133, 134fvmpt 7010 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ ((π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)))β€˜π‘—) = (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))
136135adantl 480 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)))β€˜π‘—) = (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))
137106fmpttd 7130 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))):(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
138137frnd 6735 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))) βŠ† (0...𝑁))
139138sselda 3982 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)))) β†’ π‘š ∈ (0...𝑁))
140 bccl2 14324 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (0...𝑁) β†’ (𝑁Cπ‘š) ∈ β„•)
141140adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑁Cπ‘š) ∈ β„•)
142141nncnd 12268 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑁Cπ‘š) ∈ β„‚)
1432rprecred 13069 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (1 / (tanβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
144 fznn0sub 13575 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (0...𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ π‘š) ∈ β„•0)
145 reexpcl 14085 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (tanβ€˜π΄)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 βˆ’ π‘š) ∈ β„•0) β†’ ((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) ∈ ℝ)
146143, 144, 145syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ (0...𝑁)) β†’ ((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) ∈ ℝ)
147146recnd 11282 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ (0...𝑁)) β†’ ((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) ∈ β„‚)
148 elfznn0 13636 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (0...𝑁) β†’ π‘š ∈ β„•0)
149148adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
150 expcl 14086 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (iβ†‘π‘š) ∈ β„‚)
1515, 149, 150sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ (0...𝑁)) β†’ (iβ†‘π‘š) ∈ β„‚)
152147, 151mulcld 11274 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ (0...𝑁)) β†’ (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) Β· (iβ†‘π‘š)) ∈ β„‚)
153142, 152mulcld 11274 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑁Cπ‘š) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) Β· (iβ†‘π‘š))) ∈ β„‚)
154139, 153syldan 589 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)))) β†’ ((𝑁Cπ‘š) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) Β· (iβ†‘π‘š))) ∈ β„‚)
155154imcld 15184 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)))) β†’ (β„‘β€˜((𝑁Cπ‘š) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) Β· (iβ†‘π‘š)))) ∈ ℝ)
156155recnd 11282 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)))) β†’ (β„‘β€˜((𝑁Cπ‘š) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) Β· (iβ†‘π‘š)))) ∈ β„‚)
15773, 74, 130, 136, 156fsumf1o 15711 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ Ξ£π‘š ∈ ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)))(β„‘β€˜((𝑁Cπ‘š) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) Β· (iβ†‘π‘š)))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(β„‘β€˜((𝑁C(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗))) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))) Β· (i↑(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))))))
158 eldifi 4127 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ ((0...𝑁) βˆ– ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)))) β†’ π‘š ∈ (0...𝑁))
159141nnred 12267 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑁Cπ‘š) ∈ ℝ)
160158, 159sylan2 591 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ ((0...𝑁) βˆ– ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))))) β†’ (𝑁Cπ‘š) ∈ ℝ)
161158, 146sylan2 591 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ ((0...𝑁) βˆ– ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))))) β†’ ((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) ∈ ℝ)
162 eldif 3959 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ ((0...𝑁) βˆ– ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)))) ↔ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ Β¬ π‘š ∈ ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)))))
163 elfzelz 13543 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (0...𝑁) β†’ π‘š ∈ β„€)
164163adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘š ∈ β„€)
165 zeo 12688 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ β„€ β†’ ((π‘š / 2) ∈ β„€ ∨ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€))
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π‘š / 2) ∈ β„€ ∨ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€))
167 i2 14207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i↑2) = -1
168167oveq1i 7436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i↑2)↑(π‘š / 2)) = (-1↑(π‘š / 2))
169 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ (π‘š / 2) ∈ β„€)) β†’ (π‘š / 2) ∈ β„€)
170148ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ (π‘š / 2) ∈ β„€)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
171 nn0re 12521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘š ∈ β„•0 β†’ π‘š ∈ ℝ)
172 nn0ge0 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘š ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ π‘š)
173 divge0 12123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘š ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘š) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ 0 ≀ (π‘š / 2))
17489, 90, 173mpanr12 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘š ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘š) β†’ 0 ≀ (π‘š / 2))
175171, 172, 174syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘š ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ (π‘š / 2))
176170, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ (π‘š / 2) ∈ β„€)) β†’ 0 ≀ (π‘š / 2))
177 elnn0z 12611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘š / 2) ∈ β„•0 ↔ ((π‘š / 2) ∈ β„€ ∧ 0 ≀ (π‘š / 2)))
178169, 176, 177sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ (π‘š / 2) ∈ β„€)) β†’ (π‘š / 2) ∈ β„•0)
179 expmul 14114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((i ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„•0 ∧ (π‘š / 2) ∈ β„•0) β†’ (i↑(2 Β· (π‘š / 2))) = ((i↑2)↑(π‘š / 2)))
1805, 75, 178, 179mp3an12i 1461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ (π‘š / 2) ∈ β„€)) β†’ (i↑(2 Β· (π‘š / 2))) = ((i↑2)↑(π‘š / 2)))
181170nn0cnd 12574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ (π‘š / 2) ∈ β„€)) β†’ π‘š ∈ β„‚)
182 2ne0 12356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 β‰  0
183 divcan2 11920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘š ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ (2 Β· (π‘š / 2)) = π‘š)
184110, 182, 183mp3an23 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š ∈ β„‚ β†’ (2 Β· (π‘š / 2)) = π‘š)
185181, 184syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ (π‘š / 2) ∈ β„€)) β†’ (2 Β· (π‘š / 2)) = π‘š)
186185oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ (π‘š / 2) ∈ β„€)) β†’ (i↑(2 Β· (π‘š / 2))) = (iβ†‘π‘š))
187180, 186eqtr3d 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ (π‘š / 2) ∈ β„€)) β†’ ((i↑2)↑(π‘š / 2)) = (iβ†‘π‘š))
188168, 187eqtr3id 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ (π‘š / 2) ∈ β„€)) β†’ (-1↑(π‘š / 2)) = (iβ†‘π‘š))
189 neg1rr 12367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -1 ∈ ℝ
190 reexpcl 14085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-1 ∈ ℝ ∧ (π‘š / 2) ∈ β„•0) β†’ (-1↑(π‘š / 2)) ∈ ℝ)
191189, 178, 190sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ (π‘š / 2) ∈ β„€)) β†’ (-1↑(π‘š / 2)) ∈ ℝ)
192188, 191eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ (π‘š / 2) ∈ β„€)) β†’ (iβ†‘π‘š) ∈ ℝ)
193192expr 455 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π‘š / 2) ∈ β„€ β†’ (iβ†‘π‘š) ∈ ℝ))
194 0zd 12610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ 0 ∈ β„€)
195 nnz 12619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„€)
196195ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
197108adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
198148ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
199198nn0cnd 12574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ π‘š ∈ β„‚)
200 1cnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ 1 ∈ β„‚)
201197, 199, 200pnpcan2d 11649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ (π‘š + 1)) = (𝑁 βˆ’ π‘š))
202 2t1e2 12415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (2 Β· 1) = 2
203 df-2 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 = (1 + 1)
204202, 203eqtr2i 2757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 + 1) = (2 Β· 1)
205204oveq2i 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((2 Β· 𝑀) + (1 + 1)) = ((2 Β· 𝑀) + (2 Β· 1))
2067oveq1i 7436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 + 1) = (((2 Β· 𝑀) + 1) + 1)
20711nncnd 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ β„‚)
208207adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ β„‚)
209208, 200, 200addassd 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (((2 Β· 𝑀) + 1) + 1) = ((2 Β· 𝑀) + (1 + 1)))
210206, 209eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (𝑁 + 1) = ((2 Β· 𝑀) + (1 + 1)))
211 2cnd 12330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ 2 ∈ β„‚)
212 nncn 12260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
213212ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
214211, 213, 200adddid 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (2 Β· (𝑀 + 1)) = ((2 Β· 𝑀) + (2 Β· 1)))
215205, 210, 2143eqtr4a 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (𝑁 + 1) = (2 Β· (𝑀 + 1)))
216215oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ (π‘š + 1)) = ((2 Β· (𝑀 + 1)) βˆ’ (π‘š + 1)))
217201, 216eqtr3d 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (𝑁 βˆ’ π‘š) = ((2 Β· (𝑀 + 1)) βˆ’ (π‘š + 1)))
218217oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2) = (((2 Β· (𝑀 + 1)) βˆ’ (π‘š + 1)) / 2))
219196peano2zd 12709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„€)
220219zcnd 12707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„‚)
221 mulcl 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ β„‚ ∧ (𝑀 + 1) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (𝑀 + 1)) ∈ β„‚)
222110, 220, 221sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (2 Β· (𝑀 + 1)) ∈ β„‚)
223 peano2cn 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘š ∈ β„‚ β†’ (π‘š + 1) ∈ β„‚)
224199, 223syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (π‘š + 1) ∈ β„‚)
225122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0))
226 divsubdir 11948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((2 Β· (𝑀 + 1)) ∈ β„‚ ∧ (π‘š + 1) ∈ β„‚ ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)) β†’ (((2 Β· (𝑀 + 1)) βˆ’ (π‘š + 1)) / 2) = (((2 Β· (𝑀 + 1)) / 2) βˆ’ ((π‘š + 1) / 2)))
227222, 224, 225, 226syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (((2 Β· (𝑀 + 1)) βˆ’ (π‘š + 1)) / 2) = (((2 Β· (𝑀 + 1)) / 2) βˆ’ ((π‘š + 1) / 2)))
228182a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ 2 β‰  0)
229220, 211, 228divcan3d 12035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ ((2 Β· (𝑀 + 1)) / 2) = (𝑀 + 1))
230229oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (((2 Β· (𝑀 + 1)) / 2) βˆ’ ((π‘š + 1) / 2)) = ((𝑀 + 1) βˆ’ ((π‘š + 1) / 2)))
231218, 227, 2303eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2) = ((𝑀 + 1) βˆ’ ((π‘š + 1) / 2)))
232 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)
233219, 232zsubcld 12711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ ((𝑀 + 1) βˆ’ ((π‘š + 1) / 2)) ∈ β„€)
234231, 233eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2) ∈ β„€)
235144ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (𝑁 βˆ’ π‘š) ∈ β„•0)
236 nn0re 12521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 βˆ’ π‘š) ∈ β„•0 β†’ (𝑁 βˆ’ π‘š) ∈ ℝ)
237 nn0ge0 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 βˆ’ π‘š) ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ (𝑁 βˆ’ π‘š))
238 divge0 12123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 βˆ’ π‘š) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑁 βˆ’ π‘š)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ 0 ≀ ((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2))
23989, 90, 238mpanr12 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 βˆ’ π‘š) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑁 βˆ’ π‘š)) β†’ 0 ≀ ((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2))
240236, 237, 239syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 βˆ’ π‘š) ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ ((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2))
241235, 240syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ 0 ≀ ((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2))
242235nn0red 12573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (𝑁 βˆ’ π‘š) ∈ ℝ)
24349adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
244 peano2re 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
245243, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
246198, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ 0 ≀ π‘š)
247198nn0red 12573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ π‘š ∈ ℝ)
248243, 247subge02d 11846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (0 ≀ π‘š ↔ (𝑁 βˆ’ π‘š) ≀ 𝑁))
249246, 248mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (𝑁 βˆ’ π‘š) ≀ 𝑁)
250243ltp1d 12184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ 𝑁 < (𝑁 + 1))
251242, 243, 245, 249, 250lelttrd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (𝑁 βˆ’ π‘š) < (𝑁 + 1))
252251, 215breqtrd 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (𝑁 βˆ’ π‘š) < (2 Β· (𝑀 + 1)))
253219zred 12706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
25491a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
255 ltdivmul 12129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 βˆ’ π‘š) ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2) < (𝑀 + 1) ↔ (𝑁 βˆ’ π‘š) < (2 Β· (𝑀 + 1))))
256242, 253, 254, 255syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2) < (𝑀 + 1) ↔ (𝑁 βˆ’ π‘š) < (2 Β· (𝑀 + 1))))
257252, 256mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2) < (𝑀 + 1))
258 zleltp1 12653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2) ≀ 𝑀 ↔ ((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2) < (𝑀 + 1)))
259234, 196, 258syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2) ≀ 𝑀 ↔ ((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2) < (𝑀 + 1)))
260257, 259mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2) ≀ 𝑀)
261194, 196, 234, 241, 260elfzd 13534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2) ∈ (0...𝑀))
262 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = ((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2) β†’ (2 Β· π‘˜) = (2 Β· ((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2)))
263262oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = ((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2) β†’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)) = (𝑁 βˆ’ (2 Β· ((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2))))
264 ovex 7459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 βˆ’ (2 Β· ((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2))) ∈ V
265263, 133, 264fvmpt 7010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2) ∈ (0...𝑀) β†’ ((π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)))β€˜((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2)) = (𝑁 βˆ’ (2 Β· ((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2))))
266261, 265syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)))β€˜((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2)) = (𝑁 βˆ’ (2 Β· ((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2))))
267235nn0cnd 12574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (𝑁 βˆ’ π‘š) ∈ β„‚)
268267, 211, 228divcan2d 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (2 Β· ((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2)) = (𝑁 βˆ’ π‘š))
269268oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· ((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2))) = (𝑁 βˆ’ (𝑁 βˆ’ π‘š)))
270197, 199nncand 11616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (𝑁 βˆ’ (𝑁 βˆ’ π‘š)) = π‘š)
271266, 269, 2703eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)))β€˜((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2)) = π‘š)
272137ffnd 6728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))) Fn (0...𝑀))
273 fnfvelrn 7095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))) Fn (0...𝑀) ∧ ((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2) ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)))β€˜((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2)) ∈ ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))))
274272, 261, 273syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)))β€˜((𝑁 βˆ’ π‘š) / 2)) ∈ ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))))
275271, 274eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ π‘š ∈ ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))))
276275expr 455 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ (0...𝑁)) β†’ (((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€ β†’ π‘š ∈ ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)))))
277193, 276orim12d 962 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ (0...𝑁)) β†’ (((π‘š / 2) ∈ β„€ ∨ ((π‘š + 1) / 2) ∈ β„€) β†’ ((iβ†‘π‘š) ∈ ℝ ∨ π‘š ∈ ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))))))
278166, 277mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ (0...𝑁)) β†’ ((iβ†‘π‘š) ∈ ℝ ∨ π‘š ∈ ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)))))
279278orcomd 869 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘š ∈ ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))) ∨ (iβ†‘π‘š) ∈ ℝ))
280279ord 862 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ (0...𝑁)) β†’ (Β¬ π‘š ∈ ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))) β†’ (iβ†‘π‘š) ∈ ℝ))
281280impr 453 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ Β¬ π‘š ∈ ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))))) β†’ (iβ†‘π‘š) ∈ ℝ)
282162, 281sylan2b 592 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ ((0...𝑁) βˆ– ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))))) β†’ (iβ†‘π‘š) ∈ ℝ)
283161, 282remulcld 11284 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ ((0...𝑁) βˆ– ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))))) β†’ (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) Β· (iβ†‘π‘š)) ∈ ℝ)
284160, 283remulcld 11284 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ ((0...𝑁) βˆ– ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))))) β†’ ((𝑁Cπ‘š) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) Β· (iβ†‘π‘š))) ∈ ℝ)
285284reim0d 15214 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ π‘š ∈ ((0...𝑁) βˆ– ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜))))) β†’ (β„‘β€˜((𝑁Cπ‘š) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) Β· (iβ†‘π‘š)))) = 0)
286 fzfid 13980 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (0...𝑁) ∈ Fin)
287138, 156, 285, 286fsumss 15713 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ Ξ£π‘š ∈ ran (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑁 βˆ’ (2 Β· π‘˜)))(β„‘β€˜((𝑁Cπ‘š) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) Β· (iβ†‘π‘š)))) = Ξ£π‘š ∈ (0...𝑁)(β„‘β€˜((𝑁Cπ‘š) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) Β· (iβ†‘π‘š)))))
288 elfznn0 13636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
289288adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
290 nn0mulcl 12548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ β„•0 ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝑗) ∈ β„•0)
29175, 289, 290sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (2 Β· 𝑗) ∈ β„•0)
292291nn0zd 12624 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (2 Β· 𝑗) ∈ β„€)
293 bccl 14323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (2 Β· 𝑗) ∈ β„€) β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑗)) ∈ β„•0)
29414, 292, 293syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑗)) ∈ β„•0)
295294nn0red 12573 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑗)) ∈ ℝ)
296 fznn0sub 13575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑗) ∈ β„•0)
297296adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑗) ∈ β„•0)
298 reexpcl 14085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-1 ∈ ℝ ∧ (𝑀 βˆ’ 𝑗) ∈ β„•0) β†’ (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)) ∈ ℝ)
299189, 297, 298sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)) ∈ ℝ)
300295, 299remulcld 11284 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) ∈ ℝ)
301 2z 12634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ β„€
302 znegcl 12637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ β„€ β†’ -2 ∈ β„€)
303301, 302ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 -2 ∈ β„€
304 rpexpcl 14087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((tanβ€˜π΄) ∈ ℝ+ ∧ -2 ∈ β„€) β†’ ((tanβ€˜π΄)↑-2) ∈ ℝ+)
3052, 303, 304sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((tanβ€˜π΄)↑-2) ∈ ℝ+)
306305rpred 13058 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((tanβ€˜π΄)↑-2) ∈ ℝ)
307 reexpcl 14085 . . . . . . . . . . . . 13 ((((tanβ€˜π΄)↑-2) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗) ∈ ℝ)
308306, 288, 307syl2an 594 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗) ∈ ℝ)
309300, 308remulcld 11284 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)) ∈ ℝ)
310309recnd 11282 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)) ∈ β„‚)
311 mulcl 11232 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ β„‚ ∧ (((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗))) ∈ β„‚)
3125, 310, 311sylancr 585 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (i Β· (((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗))) ∈ β„‚)
313312addlidd 11455 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (0 + (i Β· (((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)))) = (i Β· (((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗))))
314294nn0cnd 12574 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑗)) ∈ β„‚)
315299recnd 11282 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)) ∈ β„‚)
316308recnd 11282 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗) ∈ β„‚)
317314, 315, 316mulassd 11277 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)) = ((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· ((-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗))))
318317oveq2d 7442 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (i Β· (((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗))) = (i Β· ((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· ((-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)))))
3195a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ i ∈ β„‚)
320315, 316mulcld 11274 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)) ∈ β„‚)
321319, 314, 320mul12d 11463 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (i Β· ((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· ((-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)))) = ((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (i Β· ((-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)))))
322318, 321eqtrd 2768 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (i Β· (((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗))) = ((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (i Β· ((-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)))))
323 bccmpl 14310 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (2 Β· 𝑗) ∈ β„€) β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑗)) = (𝑁C(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗))))
32414, 292, 323syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑁C(2 Β· 𝑗)) = (𝑁C(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗))))
325108adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
326291nn0cnd 12574 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (2 Β· 𝑗) ∈ β„‚)
327325, 326nncand 11616 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑁 βˆ’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗))) = (2 Β· 𝑗))
328327oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))) = ((1 / (tanβ€˜π΄))↑(2 Β· 𝑗)))
3292adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (tanβ€˜π΄) ∈ ℝ+)
330329rpcnd 13060 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (tanβ€˜π΄) ∈ β„‚)
331 expneg 14076 . . . . . . . . . . . . . 14 (((tanβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (2 Β· 𝑗) ∈ β„•0) β†’ ((tanβ€˜π΄)↑-(2 Β· 𝑗)) = (1 / ((tanβ€˜π΄)↑(2 Β· 𝑗))))
332330, 291, 331syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((tanβ€˜π΄)↑-(2 Β· 𝑗)) = (1 / ((tanβ€˜π΄)↑(2 Β· 𝑗))))
333289nn0cnd 12574 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
334 mulneg1 11690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„‚) β†’ (-2 Β· 𝑗) = -(2 Β· 𝑗))
335110, 333, 334sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (-2 Β· 𝑗) = -(2 Β· 𝑗))
336335oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((tanβ€˜π΄)↑(-2 Β· 𝑗)) = ((tanβ€˜π΄)↑-(2 Β· 𝑗)))
337329rpne0d 13063 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (tanβ€˜π΄) β‰  0)
338330, 337, 292exprecd 14160 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((1 / (tanβ€˜π΄))↑(2 Β· 𝑗)) = (1 / ((tanβ€˜π΄)↑(2 Β· 𝑗))))
339332, 336, 3383eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((tanβ€˜π΄)↑(-2 Β· 𝑗)) = ((1 / (tanβ€˜π΄))↑(2 Β· 𝑗)))
340303a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ -2 ∈ β„€)
341289nn0zd 12624 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
342 expmulz 14115 . . . . . . . . . . . . 13 ((((tanβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (tanβ€˜π΄) β‰  0) ∧ (-2 ∈ β„€ ∧ 𝑗 ∈ β„€)) β†’ ((tanβ€˜π΄)↑(-2 Β· 𝑗)) = (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗))
343330, 337, 340, 341, 342syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((tanβ€˜π΄)↑(-2 Β· 𝑗)) = (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗))
344328, 339, 3433eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))) = (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗))
3457oveq1i 7436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)) = (((2 Β· 𝑀) + 1) βˆ’ (2 Β· 𝑗))
34611adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ β„•)
347346nncnd 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ β„‚)
348 1cnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 1 ∈ β„‚)
349347, 348, 326addsubd 11632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((2 Β· 𝑀) + 1) βˆ’ (2 Β· 𝑗)) = (((2 Β· 𝑀) βˆ’ (2 Β· 𝑗)) + 1))
350 2cnd 12330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 2 ∈ β„‚)
351212ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
352350, 351, 333subdid 11710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (2 Β· (𝑀 βˆ’ 𝑗)) = ((2 Β· 𝑀) βˆ’ (2 Β· 𝑗)))
353352oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((2 Β· (𝑀 βˆ’ 𝑗)) + 1) = (((2 Β· 𝑀) βˆ’ (2 Β· 𝑗)) + 1))
354349, 353eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((2 Β· 𝑀) + 1) βˆ’ (2 Β· 𝑗)) = ((2 Β· (𝑀 βˆ’ 𝑗)) + 1))
355345, 354eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)) = ((2 Β· (𝑀 βˆ’ 𝑗)) + 1))
356355oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (i↑(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗))) = (i↑((2 Β· (𝑀 βˆ’ 𝑗)) + 1)))
357 nn0mulcl 12548 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 βˆ’ 𝑗) ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (𝑀 βˆ’ 𝑗)) ∈ β„•0)
35875, 297, 357sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (2 Β· (𝑀 βˆ’ 𝑗)) ∈ β„•0)
359 expp1 14075 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ β„‚ ∧ (2 Β· (𝑀 βˆ’ 𝑗)) ∈ β„•0) β†’ (i↑((2 Β· (𝑀 βˆ’ 𝑗)) + 1)) = ((i↑(2 Β· (𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· i))
3605, 358, 359sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (i↑((2 Β· (𝑀 βˆ’ 𝑗)) + 1)) = ((i↑(2 Β· (𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· i))
36175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 2 ∈ β„•0)
362319, 297, 361expmuld 14155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (i↑(2 Β· (𝑀 βˆ’ 𝑗))) = ((i↑2)↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)))
363167oveq1i 7436 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i↑2)↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)) = (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))
364362, 363eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (i↑(2 Β· (𝑀 βˆ’ 𝑗))) = (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)))
365364oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((i↑(2 Β· (𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· i) = ((-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)) Β· i))
366356, 360, 3653eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (i↑(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗))) = ((-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)) Β· i))
367 mulcom 11234 . . . . . . . . . . . . 13 (((-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)) ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ ((-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)) Β· i) = (i Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))))
368315, 5, 367sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)) Β· i) = (i Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))))
369366, 368eqtrd 2768 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (i↑(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗))) = (i Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))))
370344, 369oveq12d 7444 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))) Β· (i↑(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))) = ((((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗) Β· (i Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)))))
371 mulcl 11232 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ β„‚ ∧ (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) ∈ β„‚)
3725, 315, 371sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (i Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) ∈ β„‚)
373372, 316mulcomd 11275 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((i Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)) = ((((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗) Β· (i Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)))))
374319, 315, 316mulassd 11277 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((i Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)) = (i Β· ((-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗))))
375370, 373, 3743eqtr2rd 2775 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (i Β· ((-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗))) = (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))) Β· (i↑(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))))
376324, 375oveq12d 7444 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (i Β· ((-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗)) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)))) = ((𝑁C(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗))) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))) Β· (i↑(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗))))))
377313, 322, 3763eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (0 + (i Β· (((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)))) = ((𝑁C(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗))) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))) Β· (i↑(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗))))))
378377fveq2d 6906 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (β„‘β€˜(0 + (i Β· (((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗))))) = (β„‘β€˜((𝑁C(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗))) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))) Β· (i↑(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))))))
379 0re 11256 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
380 crim 15104 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ (((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)) ∈ ℝ) β†’ (β„‘β€˜(0 + (i Β· (((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗))))) = (((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)))
381379, 309, 380sylancr 585 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (β„‘β€˜(0 + (i Β· (((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗))))) = (((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)))
382378, 381eqtr3d 2770 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (β„‘β€˜((𝑁C(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗))) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))) Β· (i↑(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))))) = (((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)))
383382sumeq2dv 15691 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(β„‘β€˜((𝑁C(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗))) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ (𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))) Β· (i↑(𝑁 βˆ’ (2 Β· 𝑗)))))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)))
384157, 287, 3833eqtr3d 2776 . . 3 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑁)(β„‘β€˜((𝑁Cπ‘š) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) Β· (iβ†‘π‘š)))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)))
385286, 153fsumim 15797 . . 3 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„‘β€˜Ξ£π‘š ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘š) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) Β· (iβ†‘π‘š)))) = Ξ£π‘š ∈ (0...𝑁)(β„‘β€˜((𝑁Cπ‘š) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) Β· (iβ†‘π‘š)))))
386305rpcnd 13060 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((tanβ€˜π΄)↑-2) ∈ β„‚)
387 oveq1 7433 . . . . . . 7 (𝑑 = ((tanβ€˜π΄)↑-2) β†’ (𝑑↑𝑗) = (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗))
388387oveq2d 7442 . . . . . 6 (𝑑 = ((tanβ€˜π΄)↑-2) β†’ (((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (𝑑↑𝑗)) = (((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)))
389388sumeq2sdv 15692 . . . . 5 (𝑑 = ((tanβ€˜π΄)↑-2) β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (𝑑↑𝑗)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)))
390 basel.p . . . . 5 𝑃 = (𝑑 ∈ β„‚ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (𝑑↑𝑗)))
391 sumex 15676 . . . . 5 Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)) ∈ V
392389, 390, 391fvmpt 7010 . . . 4 (((tanβ€˜π΄)↑-2) ∈ β„‚ β†’ (π‘ƒβ€˜((tanβ€˜π΄)↑-2)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)))
393386, 392syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (π‘ƒβ€˜((tanβ€˜π΄)↑-2)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (((tanβ€˜π΄)↑-2)↑𝑗)))
394384, 385, 3933eqtr4d 2778 . 2 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„‘β€˜Ξ£π‘š ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘š) Β· (((1 / (tanβ€˜π΄))↑(𝑁 βˆ’ π‘š)) Β· (iβ†‘π‘š)))) = (π‘ƒβ€˜((tanβ€˜π΄)↑-2)))
39551, 58rerpdivcld 13089 . . 3 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁)) ∈ ℝ)
39653, 58rerpdivcld 13089 . . 3 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁)) ∈ ℝ)
397395, 396crimd 15221 . 2 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (β„‘β€˜(((cosβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁)) + (i Β· ((sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁))))) = ((sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁)))
39866, 394, 3973eqtr3d 2776 1 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2))) β†’ (π‘ƒβ€˜((tanβ€˜π΄)↑-2)) = ((sinβ€˜(𝑁 Β· 𝐴)) / ((sinβ€˜π΄)↑𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   βˆ– cdif 3946   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  ran crn 5683   Fn wfn 6548  β€“1-1β†’wf1 6550  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6552  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11146  β„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149  ici 11150   + caddc 11151   Β· cmul 11153   < clt 11288   ≀ cle 11289   βˆ’ cmin 11484  -cneg 11485   / cdiv 11911  β„•cn 12252  2c2 12307  β„•0cn0 12512  β„€cz 12598  β„€β‰₯cuz 12862  β„+crp 13016  (,)cioo 13366  ...cfz 13526  β†‘cexp 14068  Ccbc 14303  β„‘cim 15087  Ξ£csu 15674  sincsin 16049  cosccos 16050  tanctan 16051  Ο€cpi 16052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ioc 13371  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14275  df-bc 14304  df-hash 14332  df-shft 15056  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-limsup 15457  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-ef 16053  df-sin 16055  df-cos 16056  df-tan 16057  df-pi 16058  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-mulg 19038  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-lp 23068  df-perf 23069  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-haus 23247  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-cncf 24826  df-limc 25823  df-dv 25824
This theorem is referenced by:  basellem4  27044
  Copyright terms: Public domain W3C validator