Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvvfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsvvfval 34424
Description: The value of 𝑉, which represents the number of times the sign changes in a word. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signsvvfval (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑉𝐹) = Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))if(((𝑇𝐹)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝐹)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑗,𝐹   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvvfval
StepHypRef Expression
1 fveq2 6901 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (♯‘𝑓) = (♯‘𝐹))
21oveq2d 7440 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (1..^(♯‘𝑓)) = (1..^(♯‘𝐹)))
3 fveq2 6901 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑇𝑓) = (𝑇𝐹))
43fveq1d 6903 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑇𝑓)‘𝑗) = ((𝑇𝐹)‘𝑗))
53fveq1d 6903 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)) = ((𝑇𝐹)‘(𝑗 − 1)))
64, 5neeq12d 2992 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)) ↔ ((𝑇𝐹)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝐹)‘(𝑗 − 1))))
76ifbid 4556 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0) = if(((𝑇𝐹)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝐹)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
87adantr 479 . . 3 ((𝑓 = 𝐹𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))) → if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0) = if(((𝑇𝐹)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝐹)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
92, 8sumeq12dv 15710 . 2 (𝑓 = 𝐹 → Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0) = Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))if(((𝑇𝐹)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝐹)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
10 signsv.v . 2 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
11 sumex 15692 . 2 Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))if(((𝑇𝐹)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝐹)‘(𝑗 − 1)), 1, 0) ∈ V
129, 10, 11fvmpt 7009 1 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑉𝐹) = Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))if(((𝑇𝐹)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝐹)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  ifcif 4533  {cpr 4635  {ctp 4637  cop 4639  cmpt 5236  cfv 6554  (class class class)co 7424  cmpo 7426  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159  cmin 11494  -cneg 11495  ...cfz 13538  ..^cfzo 13681  chash 14347  Word cword 14522  sgncsgn 15091  Σcsu 15690  ndxcnx 17195  Basecbs 17213  +gcplusg 17266   Σg cgsu 17455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-seq 14022  df-sum 15691
This theorem is referenced by:  signsvf0  34426  signsvf1  34427  signsvfn  34428
  Copyright terms: Public domain W3C validator