Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvvfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsvvfval 31856
 Description: The value of 𝑉, which represents the number of times the sign changes in a word. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signsvvfval (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑉𝐹) = Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))if(((𝑇𝐹)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝐹)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑗,𝐹   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvvfval
StepHypRef Expression
1 fveq2 6646 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (♯‘𝑓) = (♯‘𝐹))
21oveq2d 7149 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (1..^(♯‘𝑓)) = (1..^(♯‘𝐹)))
3 fveq2 6646 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑇𝑓) = (𝑇𝐹))
43fveq1d 6648 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑇𝑓)‘𝑗) = ((𝑇𝐹)‘𝑗))
53fveq1d 6648 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)) = ((𝑇𝐹)‘(𝑗 − 1)))
64, 5neeq12d 3067 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)) ↔ ((𝑇𝐹)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝐹)‘(𝑗 − 1))))
76ifbid 4465 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0) = if(((𝑇𝐹)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝐹)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
87adantr 483 . . 3 ((𝑓 = 𝐹𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))) → if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0) = if(((𝑇𝐹)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝐹)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
92, 8sumeq12dv 15043 . 2 (𝑓 = 𝐹 → Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0) = Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))if(((𝑇𝐹)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝐹)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
10 signsv.v . 2 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
11 sumex 15024 . 2 Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))if(((𝑇𝐹)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝐹)‘(𝑗 − 1)), 1, 0) ∈ V
129, 10, 11fvmpt 6744 1 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑉𝐹) = Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))if(((𝑇𝐹)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝐹)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006  ifcif 4443  {cpr 4545  {ctp 4547  ⟨cop 4549   ↦ cmpt 5122  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133   ∈ cmpo 7135  ℝcr 10514  0cc0 10515  1c1 10516   − cmin 10848  -cneg 10849  ...cfz 12876  ..^cfzo 13017  ♯chash 13675  Word cword 13846  sgncsgn 14425  Σcsu 15022  ndxcnx 16459  Basecbs 16462  +gcplusg 16544   Σg cgsu 16693 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-fz 12877  df-seq 13354  df-sum 15023 This theorem is referenced by:  signsvf0  31858  signsvf1  31859  signsvfn  31860
 Copyright terms: Public domain W3C validator