Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvvfval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem signsvvfval 34078
Description: The value of 𝑉, which represents the number of times the sign changes in a word. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
signsv.w π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signsvvfval (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ (π‘‰β€˜πΉ) = Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,π‘Š,𝑖,𝑛   𝑓,𝑗,𝐹   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   𝐹(π‘Ž,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   π‘Š(𝑗,π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem signsvvfval
StepHypRef Expression
1 fveq2 6881 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ (β™―β€˜π‘“) = (β™―β€˜πΉ))
21oveq2d 7417 . . 3 (𝑓 = 𝐹 β†’ (1..^(β™―β€˜π‘“)) = (1..^(β™―β€˜πΉ)))
3 fveq2 6881 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘‡β€˜π‘“) = (π‘‡β€˜πΉ))
43fveq1d 6883 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘—))
53fveq1d 6883 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)))
64, 5neeq12d 2994 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ (((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) ↔ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
76ifbid 4543 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) = if(((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
87adantr 480 . . 3 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))) β†’ if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) = if(((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
92, 8sumeq12dv 15649 . 2 (𝑓 = 𝐹 β†’ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) = Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
10 signsv.v . 2 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
11 sumex 15631 . 2 Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) ∈ V
129, 10, 11fvmpt 6988 1 (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ (π‘‰β€˜πΉ) = Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  ifcif 4520  {cpr 4622  {ctp 4624  βŸ¨cop 4626   ↦ cmpt 5221  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   βˆ’ cmin 11441  -cneg 11442  ...cfz 13481  ..^cfzo 13624  β™―chash 14287  Word cword 14461  sgncsgn 15030  Ξ£csu 15629  ndxcnx 17125  Basecbs 17143  +gcplusg 17196   Ξ£g cgsu 17385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-seq 13964  df-sum 15630
This theorem is referenced by:  signsvf0  34080  signsvf1  34081  signsvfn  34082
  Copyright terms: Public domain W3C validator