Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumlesge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumlesge0 44704
Description: Every finite subsum of nonnegative reals is less than or equal to the extended sum over the whole (possibly infinite) domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumlesge0.x (𝜑𝑋𝑉)
fsumlesge0.f (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
fsumlesge0.y (𝜑𝑌𝑋)
fsumlesge0.fi (𝜑𝑌 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
fsumlesge0 (𝜑 → Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) ≤ (Σ^𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem fsumlesge0
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumlesge0.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
21sge0rnre 44691 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)) ⊆ ℝ)
3 ressxr 11204 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
52, 4sstrd 3955 . . 3 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)) ⊆ ℝ*)
6 fsumlesge0.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑋)
7 fsumlesge0.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
87, 6ssexd 5282 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ V)
9 elpwg 4564 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝑋𝑌𝑋))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝒫 𝑋𝑌𝑋))
116, 10mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ 𝒫 𝑋)
12 fsumlesge0.fi . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ Fin)
1311, 12elind 4155 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
14 fveq2 6843 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
1514cbvsumv 15586 . . . . . 6 Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) = Σ𝑧𝑌 (𝐹𝑧)
1615a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) = Σ𝑧𝑌 (𝐹𝑧))
17 sumeq1 15579 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧) = Σ𝑧𝑌 (𝐹𝑧))
1817rspceeqv 3596 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) = Σ𝑧𝑌 (𝐹𝑧)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) = Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧))
1913, 16, 18syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) = Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧))
20 sumex 15578 . . . . . 6 Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) ∈ V
2120a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) ∈ V)
22 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧))
2322elrnmpt 5912 . . . . 5 𝑥𝑌 (𝐹𝑥) ∈ V → (Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) = Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)))
2421, 23syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) = Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)))
2519, 24mpbird 257 . . 3 (𝜑 → Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)))
26 supxrub 13249 . . 3 ((ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧))) → Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) ≤ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)), ℝ*, < ))
275, 25, 26syl2anc 585 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) ≤ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)), ℝ*, < ))
287, 1sge0reval 44699 . . 3 (𝜑 → (Σ^𝐹) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)), ℝ*, < ))
2928eqcomd 2739 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)), ℝ*, < ) = (Σ^𝐹))
3027, 29breqtrd 5132 1 (𝜑 → Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) ≤ (Σ^𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3070  Vcvv 3444  cin 3910  wss 3911  𝒫 cpw 4561   class class class wbr 5106  cmpt 5189  ran crn 5635  wf 6493  cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  supcsup 9381  cr 11055  0cc0 11056  +∞cpnf 11191  *cxr 11193   < clt 11194  cle 11195  [,)cico 13272  Σcsu 15576  Σ^csumge0 44689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-sumge0 44690
This theorem is referenced by:  sge0fsum  44714  sge0rnbnd  44720  sge0split  44736
  Copyright terms: Public domain W3C validator