Theorem fsumlesge0 46951

Description: Every finite subsum of nonnegative reals is less than or equal to the extended sum over the whole (possibly infinite) domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumlesge0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
fsumlesge0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
fsumlesge0.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
fsumlesge0.fi	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fsumlesge0	⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ≤ (Σ^‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem fsumlesge0

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumlesge0.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
2	1	sge0rnre 46938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) ⊆ ℝ)
3		ressxr 11226	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
5	2, 4	sstrd 3946	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) ⊆ ℝ*)
6		fsumlesge0.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
7		fsumlesge0.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8	7, 6	ssexd 5280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
9		elpwg 4558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑌 ⊆ 𝑋))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑌 ⊆ 𝑋))
11	6, 10	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋)
12		fsumlesge0.fi	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
13	11, 12	elind 4152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
14		fveq2 6867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
15	14	cbvsumv 15723	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑧)
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑧))
17		sumeq1 15716	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧) = Σ𝑧 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑧))
18	17	rspceeqv 3604	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑧)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧))
19	13, 16, 18	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧))
20		sumex 15715	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ V)
22		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧))
23	22	elrnmpt 5934	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ V → (Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)))
24	21, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)))
25	19, 24	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)))
26		supxrub 13327	. . 3 ⊢ ((ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧))) → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ≤ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)), ℝ*, < ))
27	5, 25, 26	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ≤ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)), ℝ*, < ))
28	7, 1	sge0reval 46946	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)), ℝ*, < ))
29	28	eqcomd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)), ℝ*, < ) = (Σ^‘𝐹))
30	27, 29	breqtrd 5126	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ≤ (Σ^‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3086  Vcvv 3454   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4555   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ran crn 5648  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  supcsup 9386  ℝcr 11072  0cc0 11073  +∞cpnf 11213  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   ≤ cle 11217  [,)cico 13351  Σcsu 15713  Σ^{^}csumge0 46936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-sum 15714  df-sumge0 46937

This theorem is referenced by:  sge0fsum  46961  sge0rnbnd  46967  sge0split  46983