Theorem fsumlesge0 47206

Description: Every finite subsum of nonnegative reals is less than or equal to the extended sum over the whole (possibly infinite) domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumlesge0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
fsumlesge0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
fsumlesge0.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
fsumlesge0.fi	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fsumlesge0	⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ≤ (Σ^‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem fsumlesge0

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumlesge0.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
2	1	sge0rnre 47193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) ⊆ ℝ)
3		ressxr 11278	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
5	2, 4	sstrd 3941	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) ⊆ ℝ*)
6		fsumlesge0.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
7		fsumlesge0.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8	7, 6	ssexd 5289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
9		elpwg 4560	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑌 ⊆ 𝑋))
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑌 ⊆ 𝑋))
11	6, 10	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋)
12		fsumlesge0.fi	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
13	11, 12	elind 4146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
14		fveq2 6879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
15	14	cbvsumv 15784	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑧)
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑧))
17		sumeq1 15777	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧) = Σ𝑧 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑧))
18	17	rspceeqv 3599	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑧)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧))
19	13, 16, 18	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧))
20		sumex 15776	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ V)
22		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧))
23	22	elrnmpt 5942	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ V → (Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)))
24	21, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)))
25	19, 24	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)))
26		supxrub 13377	. . 3 ⊢ ((ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧))) → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ≤ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)), ℝ*, < ))
27	5, 25, 26	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ≤ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)), ℝ*, < ))
28	7, 1	sge0reval 47201	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)), ℝ*, < ))
29	28	eqcomd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)), ℝ*, < ) = (Σ^‘𝐹))
30	27, 29	breqtrd 5131	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ≤ (Σ^‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5656  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  supcsup 9411  ℝcr 11124  0cc0 11125  +∞cpnf 11265  ℝ^*cxr 11267   < clt 11268   ≤ cle 11269  [,)cico 13401  Σcsu 15774  Σ^{^}csumge0 47191

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-ico 13405  df-icc 13406  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-exp 14127  df-hash 14396  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-clim 15576  df-sum 15775  df-sumge0 47192

This theorem is used by:  sge0fsum  47216  sge0rnbnd  47222  sge0split  47238