Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumlesge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumlesge0 45670
Description: Every finite subsum of nonnegative reals is less than or equal to the extended sum over the whole (possibly infinite) domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumlesge0.x (𝜑𝑋𝑉)
fsumlesge0.f (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
fsumlesge0.y (𝜑𝑌𝑋)
fsumlesge0.fi (𝜑𝑌 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
fsumlesge0 (𝜑 → Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) ≤ (Σ^𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem fsumlesge0
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumlesge0.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
21sge0rnre 45657 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)) ⊆ ℝ)
3 ressxr 11262 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
52, 4sstrd 3987 . . 3 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)) ⊆ ℝ*)
6 fsumlesge0.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑋)
7 fsumlesge0.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
87, 6ssexd 5317 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ V)
9 elpwg 4600 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝑋𝑌𝑋))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝒫 𝑋𝑌𝑋))
116, 10mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ 𝒫 𝑋)
12 fsumlesge0.fi . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ Fin)
1311, 12elind 4189 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
14 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
1514cbvsumv 15648 . . . . . 6 Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) = Σ𝑧𝑌 (𝐹𝑧)
1615a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) = Σ𝑧𝑌 (𝐹𝑧))
17 sumeq1 15641 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧) = Σ𝑧𝑌 (𝐹𝑧))
1817rspceeqv 3628 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) = Σ𝑧𝑌 (𝐹𝑧)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) = Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧))
1913, 16, 18syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) = Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧))
20 sumex 15640 . . . . . 6 Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) ∈ V
2120a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) ∈ V)
22 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧))
2322elrnmpt 5949 . . . . 5 𝑥𝑌 (𝐹𝑥) ∈ V → (Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) = Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)))
2421, 23syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) = Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)))
2519, 24mpbird 257 . . 3 (𝜑 → Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)))
26 supxrub 13309 . . 3 ((ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧))) → Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) ≤ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)), ℝ*, < ))
275, 25, 26syl2anc 583 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) ≤ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)), ℝ*, < ))
287, 1sge0reval 45665 . . 3 (𝜑 → (Σ^𝐹) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)), ℝ*, < ))
2928eqcomd 2732 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 (𝐹𝑧)), ℝ*, < ) = (Σ^𝐹))
3027, 29breqtrd 5167 1 (𝜑 → Σ𝑥𝑌 (𝐹𝑥) ≤ (Σ^𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3064  Vcvv 3468  cin 3942  wss 3943  𝒫 cpw 4597   class class class wbr 5141  cmpt 5224  ran crn 5670  wf 6533  cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  supcsup 9437  cr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253  [,)cico 13332  Σcsu 15638  Σ^csumge0 45655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-sumge0 45656
This theorem is referenced by:  sge0fsum  45680  sge0rnbnd  45686  sge0split  45702
  Copyright terms: Public domain W3C validator