Theorem fsumlesge0 43016

Description: Every finite subsum of nonnegative reals is less than or equal to the extended sum over the whole (possibly infinite) domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumlesge0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
fsumlesge0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
fsumlesge0.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
fsumlesge0.fi	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fsumlesge0	⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ≤ (Σ^‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem fsumlesge0

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumlesge0.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
2	1	sge0rnre 43003	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) ⊆ ℝ)
3		ressxr 10674	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
5	2, 4	sstrd 3925	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) ⊆ ℝ*)
6		fsumlesge0.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
7		fsumlesge0.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8	7, 6	ssexd 5192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
9		elpwg 4500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑌 ⊆ 𝑋))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑌 ⊆ 𝑋))
11	6, 10	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋)
12		fsumlesge0.fi	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
13	11, 12	elind 4121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
14		fveq2 6645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
15	14	cbvsumv 15045	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑧)
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑧))
17		sumeq1 15037	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧) = Σ𝑧 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑧))
18	17	rspceeqv 3586	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑧)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧))
19	13, 16, 18	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧))
20		sumex 15036	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ V)
22		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧))
23	22	elrnmpt 5792	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ V → (Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)))
24	21, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)))
25	19, 24	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)))
26		supxrub 12705	. . 3 ⊢ ((ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧))) → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ≤ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)), ℝ*, < ))
27	5, 25, 26	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ≤ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)), ℝ*, < ))
28	7, 1	sge0reval 43011	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)), ℝ*, < ))
29	28	eqcomd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)), ℝ*, < ) = (Σ^‘𝐹))
30	27, 29	breqtrd 5056	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ≤ (Σ^‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ran crn 5520  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  supcsup 8888  ℝcr 10525  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  [,)cico 12728  Σcsu 15034  Σ^{^}csumge0 43001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-sumge0 43002

This theorem is referenced by:  sge0fsum  43026  sge0rnbnd  43032  sge0split  43048