Theorem dvmptfsum 25484

Description: Function-builder for derivative, finite sums rule. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptfsum.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvmptfsum.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvmptfsum.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptfsum.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
dvmptfsum.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
dvmptfsum.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptfsum.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
dvmptfsum.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
dvmptfsum	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝐼 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝐼 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑖,𝐼   𝜑,𝑖,𝑥   𝑆,𝑖,𝑥   𝑖,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑖)   𝐵(𝑥,𝑖)   𝐽(𝑥,𝑖)   𝐾(𝑥,𝑖)

Proof of Theorem dvmptfsum

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 4004	. 2 ⊢ 𝐼 ⊆ 𝐼
2		dvmptfsum.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		sseq1 4007	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑎 ⊆ 𝐼 ↔ ∅ ⊆ 𝐼))
4		sumeq1 15632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ∅ → Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐴)
5	4	mpteq2dv 5250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐴))
6	5	oveq2d 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐴)))
7		sumeq1 15632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ∅ → Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐵 = Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐵)
8	7	mpteq2dv 5250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐵))
9	6, 8	eqeq12d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐵) ↔ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐵)))
10	3, 9	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑎 ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐵)) ↔ (∅ ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐵))))
11	10	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝜑 → (𝑎 ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐵))) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐵)))))
12		sseq1 4007	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ⊆ 𝐼 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐼))
13		sumeq1 15632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴 = Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)
14	13	mpteq2dv 5250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴))
15	14	oveq2d 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)))
16		sumeq1 15632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐵 = Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵)
17	16	mpteq2dv 5250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵))
18	15, 17	eqeq12d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐵) ↔ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵)))
19	12, 18	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐵)) ↔ (𝑏 ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵))))
20	19	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝜑 → (𝑎 ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐵))) ↔ (𝜑 → (𝑏 ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵)))))
21		sseq1 4007	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑎 ⊆ 𝐼 ↔ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼))
22		sumeq1 15632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴 = Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)
23	22	mpteq2dv 5250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴))
24	23	oveq2d 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)))
25		sumeq1 15632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐵 = Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵)
26	25	mpteq2dv 5250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵))
27	24, 26	eqeq12d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐵) ↔ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵)))
28	21, 27	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑎 ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐵)) ↔ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵))))
29	28	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝜑 → (𝑎 ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐵))) ↔ (𝜑 → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵)))))
30		sseq1 4007	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑎 ⊆ 𝐼 ↔ 𝐼 ⊆ 𝐼))
31		sumeq1 15632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴 = Σ𝑖 ∈ 𝐼 𝐴)
32	31	mpteq2dv 5250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝐼 𝐴))
33	32	oveq2d 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝐼 𝐴)))
34		sumeq1 15632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐵 = Σ𝑖 ∈ 𝐼 𝐵)
35	34	mpteq2dv 5250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝐼 𝐵))
36	33, 35	eqeq12d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐵) ↔ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝐼 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝐼 𝐵)))
37	30, 36	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝑎 ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐵)) ↔ (𝐼 ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝐼 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝐼 𝐵))))
38	37	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝜑 → (𝑎 ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑎 𝐵))) ↔ (𝜑 → (𝐼 ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝐼 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝐼 𝐵)))))
39		dvmptfsum.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
40		0cnd 11204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℂ)
41		0cnd 11204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
42	39, 41	dvmptc 25467	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))
43		dvmptfsum.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
44		dvmptfsum.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
45	44	cnfldtopon 24291	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
46		recnprss 25413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
47	39, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
48		resttopon 22657	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
49	45, 47, 48	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
50	43, 49	eqeltrid 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆))
51		dvmptfsum.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
52		toponss 22421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
53	50, 51, 52	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
54	39, 40, 40, 42, 53, 43, 44, 51	dvmptres 25472	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
55		sum0 15664	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐴 = 0
56	55	mpteq2i 5253	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
57	56	oveq2i 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
58		sum0 15664	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐵 = 0
59	58	mpteq2i 5253	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
60	54, 57, 59	3eqtr4g 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐵))
61	60	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐵)))
62		ssun1 4172	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
63		sstr 3990	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) → 𝑏 ⊆ 𝐼)
64	62, 63	mpan 689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → 𝑏 ⊆ 𝐼)
65	64	imim1i 63	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵)) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵)))
66		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵))) → 𝜑)
67	66, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
68	2	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → 𝐼 ∈ Fin)
69	64	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → 𝑏 ⊆ 𝐼)
70	68, 69	ssfid 9264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → 𝑏 ∈ Fin)
71		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ 𝑏) → 𝜑)
72	69	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ 𝑏) → 𝑖 ∈ 𝐼)
73		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ 𝑏) → 𝑎 ∈ 𝑋)
74		nfv 1918	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋)
75		nfcsb1v 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴
76	75	nfel1 2920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ
77	74, 76	nfim 1900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
78		eleq1w 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑎 ∈ 𝑋))
79	78	3anbi3d 1443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋)))
80		csbeq1a 3907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → 𝐴 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
81	80	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ))
82	79, 81	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)))
83		dvmptfsum.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
84	77, 82, 83	chvarfv 2234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
85	71, 72, 73, 84	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ 𝑏) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
86	70, 85	fsumcl 15676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
87	86	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
88		sumex 15631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V)
90		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑎Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴
91		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥𝑏
92	91, 75	nfsum 15634	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴
93	80	sumeq2sdv 15647	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴 = Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
94	90, 92, 93	cbvmpt 5259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
95	94	oveq2i 7417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑆 D (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
96		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑎Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵
97		nfcsb1v 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵
98	91, 97	nfsum 15634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵
99		csbeq1a 3907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → 𝐵 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵)
100	99	sumeq2sdv 15647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵 = Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵)
101	96, 98, 100	cbvmpt 5259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵)
102	95, 101	eqeq12i 2751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵) ↔ (𝑆 D (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵))
103	102	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵) → (𝑆 D (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵))
104	103	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵))) → (𝑆 D (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵))
105		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → 𝜑)
106		ssun2 4173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
107		sstr 3990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) → {𝑐} ⊆ 𝐼)
108	106, 107	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → {𝑐} ⊆ 𝐼)
109		vex 3479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑐 ∈ V
110	109	snss 4789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐼 ↔ {𝑐} ⊆ 𝐼)
111	108, 110	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → 𝑐 ∈ 𝐼)
112	111	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → 𝑐 ∈ 𝐼)
113		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → 𝑎 ∈ 𝑋)
114	83	3expb 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
115	114	ancom2s 649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) → 𝐴 ∈ ℂ)
116	115	ralrimivva 3201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝐴 ∈ ℂ)
117		nfcsb1v 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴
118	117	nfel1 2920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ
119		csbeq1a 3907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
120	119	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → (⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ))
121	76, 118, 81, 120	rspc2 3620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝐴 ∈ ℂ → ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ))
122	121	ancoms 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝐴 ∈ ℂ → ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ))
123	116, 122	mpan9 508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋)) → ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
124	105, 112, 113, 123	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
125	124	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
126		dvmptfsum.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
127	126	3expb 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ ℂ)
128	127	ancom2s 649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) → 𝐵 ∈ ℂ)
129	128	ralrimivva 3201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝐵 ∈ ℂ)
130	97	nfel1 2920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ
131		nfcsb1v 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵
132	131	nfel1 2920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ
133	99	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ))
134		csbeq1a 3907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵)
135	134	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → (⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ))
136	130, 132, 133, 135	rspc2 3620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ))
137	136	ancoms 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ))
138	129, 137	mpan9 508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋)) → ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
139	105, 112, 113, 138	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
140	139	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
141	111	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵))) → 𝑐 ∈ 𝐼)
142		nfv 1918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼)
143		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑖𝑆
144		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑖 D
145		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑖𝑋
146		nfcsb1v 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐴
147	145, 146	nfmpt 5255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐴)
148	143, 144, 147	nfov 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐴))
149		nfcsb1v 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐵
150	145, 149	nfmpt 5255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐵)
151	148, 150	nfeq 2917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐵)
152	142, 151	nfim 1900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐵))
153		eleq1w 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ 𝑐 ∈ 𝐼))
154	153	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ↔ (𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼)))
155		csbeq1a 3907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → 𝐴 = ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐴)
156	155	mpteq2dv 5250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐴))
157	156	oveq2d 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐴)))
158		csbeq1a 3907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → 𝐵 = ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐵)
159	158	mpteq2dv 5250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐵))
160	157, 159	eqeq12d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↔ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐵)))
161	154, 160	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐵))))
162		dvmptfsum.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
163	152, 161, 162	chvarfv 2234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐵))
164		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑎⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐴
165		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥𝑐
166	165, 75	nfcsbw 3920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴
167	80	csbeq2dv 3900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐴 = ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
168	164, 166, 167	cbvmpt 5259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐴) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
169	168	oveq2i 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐴)) = (𝑆 D (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
170		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑎⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐵
171	165, 97	nfcsbw 3920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵
172	99	csbeq2dv 3900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐵 = ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵)
173	170, 171, 172	cbvmpt 5259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌𝐵) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵)
174	163, 169, 173	3eqtr3g 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → (𝑆 D (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵))
175	66, 141, 174	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵))) → (𝑆 D (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵))
176	67, 87, 89, 104, 125, 140, 175	dvmptadd 25469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵))) → (𝑆 D (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 + ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴))) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵)))
177		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑎Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴
178		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑏 ∪ {𝑐})
179	178, 75	nfsum 15634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴
180	80	sumeq2sdv 15647	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴 = Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
181	177, 179, 180	cbvmpt 5259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
182		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → ¬ 𝑐 ∈ 𝑏)
183		disjsn 4715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅ ↔ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏)
184	182, 183	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → (𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅)
185		eqidd 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → (𝑏 ∪ {𝑐}) = (𝑏 ∪ {𝑐}))
186		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼)
187	68, 186	ssfid 9264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ Fin)
188		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})) → 𝜑)
189	186	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})) → 𝑖 ∈ 𝐼)
190		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})) → 𝑎 ∈ 𝑋)
191	188, 189, 190, 84	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
192	184, 185, 187, 191	fsumsplit 15684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = (Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 + Σ𝑖 ∈ {𝑐}⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
193		sumsns 15693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐 ∈ V ∧ ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ {𝑐}⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
194	109, 124, 193	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → Σ𝑖 ∈ {𝑐}⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
195	194	oveq2d 7422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → (Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 + Σ𝑖 ∈ {𝑐}⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = (Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 + ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
196	192, 195	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = (Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 + ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
197	196	mpteq2dva 5248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) → (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 + ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)))
198	181, 197	eqtrid 2785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 + ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)))
199	198	adantrr 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵))) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 + ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)))
200	199	oveq2d 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵))) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)) = (𝑆 D (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 + ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴))))
201		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑎Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵
202	178, 97	nfsum 15634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵
203	99	sumeq2sdv 15647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵 = Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵)
204	201, 202, 203	cbvmpt 5259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵)
205	74, 130	nfim 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
206	79, 133	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)))
207	205, 206, 126	chvarfv 2234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
208	188, 189, 190, 207	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
209	184, 185, 187, 208	fsumsplit 15684	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 = (Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 + Σ𝑖 ∈ {𝑐}⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵))
210		sumsns 15693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 ∈ V ∧ ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ {𝑐}⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵)
211	109, 139, 210	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → Σ𝑖 ∈ {𝑐}⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵)
212	211	oveq2d 7422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → (Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 + Σ𝑖 ∈ {𝑐}⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵) = (Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵))
213	209, 212	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 = (Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵))
214	213	mpteq2dva 5248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) → (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵)))
215	204, 214	eqtrid 2785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵)))
216	215	adantrr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵))) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (Σ𝑖 ∈ 𝑏 ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵 + ⦋𝑐 / 𝑖⦌⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐵)))
217	176, 200, 216	3eqtr4d 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵))) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵))
218	217	exp32 422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵))))
219	218	a2d 29	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) → (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵)) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵))))
220	65, 219	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) → ((𝑏 ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵)) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵))))
221	220	expcom 415	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑐 ∈ 𝑏 → (𝜑 → ((𝑏 ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵)) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵)))))
222	221	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) → (𝜑 → ((𝑏 ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵)) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵)))))
223	222	a2d 29	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏) → ((𝜑 → (𝑏 ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝑏 𝐵))) → (𝜑 → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵)))))
224	11, 20, 29, 38, 61, 223	findcard2s 9162	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐼 ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝐼 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝐼 𝐵))))
225	2, 224	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝐼 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝐼 𝐵)))
226	1, 225	mpi 20	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝐼 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ 𝐼 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  Vcvv 3475  ⦋csb 3893   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  {csn 4628  {cpr 4630   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  Fincfn 8936  ℂcc 11105  ℝcr 11106  0cc0 11107   + caddc 11110  Σcsu 15629   ↾_t crest 17363  TopOpenctopn 17364  ℂ_fldccnfld 20937  TopOnctopon 22404   D cdv 25372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376

This theorem is referenced by:  dvply1  25789  dvtaylp  25874  pserdvlem2  25932  advlogexp  26155  dvnmul  44646  dirkeritg  44805  etransclem2  44939