MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptfsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptfsum 24029
Description: Function-builder for derivative, finite sums rule. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptfsum.j 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
dvmptfsum.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvmptfsum.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptfsum.x (𝜑𝑋𝐽)
dvmptfsum.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
dvmptfsum.a ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptfsum.b ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
dvmptfsum.d ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
Assertion
Ref Expression
dvmptfsum (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝐼 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝐼 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑖,𝐼   𝜑,𝑖,𝑥   𝑆,𝑖,𝑥   𝑖,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑖)   𝐵(𝑥,𝑖)   𝐽(𝑥,𝑖)   𝐾(𝑥,𝑖)

Proof of Theorem dvmptfsum
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3783 . 2 𝐼𝐼
2 dvmptfsum.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
3 sseq1 3786 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → (𝑎𝐼 ↔ ∅ ⊆ 𝐼))
4 sumeq1 14704 . . . . . . . . 9 (𝑎 = ∅ → Σ𝑖𝑎 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐴)
54mpteq2dv 4904 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐴) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐴))
65oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐴)))
7 sumeq1 14704 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → Σ𝑖𝑎 𝐵 = Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐵)
87mpteq2dv 4904 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐵))
96, 8eqeq12d 2780 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐵) ↔ (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐵)))
103, 9imbi12d 335 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → ((𝑎𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐵)) ↔ (∅ ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐵))))
1110imbi2d 331 . . . 4 (𝑎 = ∅ → ((𝜑 → (𝑎𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐵))) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐵)))))
12 sseq1 3786 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎𝐼𝑏𝐼))
13 sumeq1 14704 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑏 → Σ𝑖𝑎 𝐴 = Σ𝑖𝑏 𝐴)
1413mpteq2dv 4904 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐴) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴))
1514oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)))
16 sumeq1 14704 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → Σ𝑖𝑎 𝐵 = Σ𝑖𝑏 𝐵)
1716mpteq2dv 4904 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵))
1815, 17eqeq12d 2780 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐵) ↔ (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵)))
1912, 18imbi12d 335 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐵)) ↔ (𝑏𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵))))
2019imbi2d 331 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((𝜑 → (𝑎𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐵))) ↔ (𝜑 → (𝑏𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵)))))
21 sseq1 3786 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑎𝐼 ↔ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼))
22 sumeq1 14704 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → Σ𝑖𝑎 𝐴 = Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)
2322mpteq2dv 4904 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐴) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴))
2423oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)))
25 sumeq1 14704 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → Σ𝑖𝑎 𝐵 = Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵)
2625mpteq2dv 4904 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵))
2724, 26eqeq12d 2780 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐵) ↔ (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵)))
2821, 27imbi12d 335 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑎𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐵)) ↔ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵))))
2928imbi2d 331 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝜑 → (𝑎𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐵))) ↔ (𝜑 → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵)))))
30 sseq1 3786 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐼 → (𝑎𝐼𝐼𝐼))
31 sumeq1 14704 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐼 → Σ𝑖𝑎 𝐴 = Σ𝑖𝐼 𝐴)
3231mpteq2dv 4904 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐼 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐴) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝐼 𝐴))
3332oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝐼 𝐴)))
34 sumeq1 14704 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐼 → Σ𝑖𝑎 𝐵 = Σ𝑖𝐼 𝐵)
3534mpteq2dv 4904 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐼 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝐼 𝐵))
3633, 35eqeq12d 2780 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐼 → ((𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐵) ↔ (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝐼 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝐼 𝐵)))
3730, 36imbi12d 335 . . . . 5 (𝑎 = 𝐼 → ((𝑎𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐵)) ↔ (𝐼𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝐼 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝐼 𝐵))))
3837imbi2d 331 . . . 4 (𝑎 = 𝐼 → ((𝜑 → (𝑎𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑎 𝐵))) ↔ (𝜑 → (𝐼𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝐼 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝐼 𝐵)))))
39 dvmptfsum.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
40 0cnd 10286 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 0 ∈ ℂ)
41 0cnd 10286 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
4239, 41dvmptc 24012 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑆 ↦ 0)) = (𝑥𝑆 ↦ 0))
43 dvmptfsum.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
44 dvmptfsum.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
4544cnfldtopon 22865 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
46 recnprss 23959 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
4739, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
48 resttopon 21245 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
4945, 47, 48sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
5043, 49syl5eqel 2848 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆))
51 dvmptfsum.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐽)
52 toponss 21011 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) ∧ 𝑋𝐽) → 𝑋𝑆)
5350, 51, 52syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑆)
5439, 40, 40, 42, 53, 43, 44, 51dvmptres 24017 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
55 sum0 14737 . . . . . . . 8 Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐴 = 0
5655mpteq2i 4900 . . . . . . 7 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐴) = (𝑥𝑋 ↦ 0)
5756oveq2i 6853 . . . . . 6 (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0))
58 sum0 14737 . . . . . . 7 Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐵 = 0
5958mpteq2i 4900 . . . . . 6 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ 0)
6054, 57, 593eqtr4g 2824 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐵))
6160a1d 25 . . . 4 (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ ∅ 𝐵)))
62 ssun1 3938 . . . . . . . . . 10 𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
63 sstr 3769 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) → 𝑏𝐼)
6462, 63mpan 681 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼𝑏𝐼)
6564imim1i 63 . . . . . . . 8 ((𝑏𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵)) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵)))
66 simpll 783 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵))) → 𝜑)
6766, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
682ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) → 𝐼 ∈ Fin)
6964ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) → 𝑏𝐼)
70 ssfi 8387 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑏𝐼) → 𝑏 ∈ Fin)
7168, 69, 70syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) → 𝑏 ∈ Fin)
72 simp-4l 801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) ∧ 𝑖𝑏) → 𝜑)
7369sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) ∧ 𝑖𝑏) → 𝑖𝐼)
74 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) ∧ 𝑖𝑏) → 𝑎𝑋)
75 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥(𝜑𝑖𝐼𝑎𝑋)
76 nfcsb1v 3707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥𝑎 / 𝑥𝐴
7776nfel1 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ
7875, 77nfim 1995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥((𝜑𝑖𝐼𝑎𝑋) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
79 eleq1w 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥𝑋𝑎𝑋))
80793anbi3d 1566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) ↔ (𝜑𝑖𝐼𝑎𝑋)))
81 csbeq1a 3700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑎𝐴 = 𝑎 / 𝑥𝐴)
8281eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑎 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
8380, 82imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑖𝐼𝑎𝑋) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)))
84 dvmptfsum.a . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
8578, 83, 84chvar 2368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐼𝑎𝑋) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
8672, 73, 74, 85syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) ∧ 𝑖𝑏) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
8771, 86fsumcl 14749 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) → Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
8887adantlrr 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵))) ∧ 𝑎𝑋) → Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
89 sumex 14703 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐵 ∈ V
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵))) ∧ 𝑎𝑋) → Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐵 ∈ V)
91 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑎Σ𝑖𝑏 𝐴
92 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥𝑏
9392, 76nfsum 14706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐴
9481sumeq2sdv 14720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑎 → Σ𝑖𝑏 𝐴 = Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐴)
9591, 93, 94cbvmpt 4908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴) = (𝑎𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐴)
9695oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑆 D (𝑎𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐴))
97 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑎Σ𝑖𝑏 𝐵
98 nfcsb1v 3707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑎 / 𝑥𝐵
9992, 98nfsum 14706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐵
100 csbeq1a 3700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑎𝐵 = 𝑎 / 𝑥𝐵)
101100sumeq2sdv 14720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎 → Σ𝑖𝑏 𝐵 = Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐵)
10297, 99, 101cbvmpt 4908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵) = (𝑎𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐵)
10396, 102eqeq12i 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵) ↔ (𝑆 D (𝑎𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐴)) = (𝑎𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐵))
104103biimpi 207 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵) → (𝑆 D (𝑎𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐴)) = (𝑎𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐵))
105104ad2antll 720 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵))) → (𝑆 D (𝑎𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐴)) = (𝑎𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐵))
106 simplll 791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) → 𝜑)
107 ssun2 3939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
108 sstr 3769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) → {𝑐} ⊆ 𝐼)
109107, 108mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → {𝑐} ⊆ 𝐼)
110 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑐 ∈ V
111110snss 4470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐𝐼 ↔ {𝑐} ⊆ 𝐼)
112109, 111sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼𝑐𝐼)
113112ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) → 𝑐𝐼)
114 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) → 𝑎𝑋)
115843expb 1149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑥𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
116115ancom2s 640 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑖𝐼)) → 𝐴 ∈ ℂ)
117116ralrimivva 3118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑖𝐼 𝐴 ∈ ℂ)
118 nfcsb1v 3707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑖𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴
119118nfel1 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑖𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ
120 csbeq1a 3700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑐𝑎 / 𝑥𝐴 = 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴)
121120eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑐 → (𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
12277, 119, 82, 121rspc2 3472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎𝑋𝑐𝐼) → (∀𝑥𝑋𝑖𝐼 𝐴 ∈ ℂ → 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
123122ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐𝐼𝑎𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑖𝐼 𝐴 ∈ ℂ → 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
124117, 123mpan9 502 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐼𝑎𝑋)) → 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
125106, 113, 114, 124syl12anc 865 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) → 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
126125adantlrr 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵))) ∧ 𝑎𝑋) → 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
127 dvmptfsum.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
1281273expb 1149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑖𝐼𝑥𝑋)) → 𝐵 ∈ ℂ)
129128ancom2s 640 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑖𝐼)) → 𝐵 ∈ ℂ)
130129ralrimivva 3118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑖𝐼 𝐵 ∈ ℂ)
13198nfel1 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑎 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ
132 nfcsb1v 3707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑖𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵
133132nfel1 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑖𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ
134100eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑎 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑎 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
135 csbeq1a 3700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑐𝑎 / 𝑥𝐵 = 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵)
136135eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑐 → (𝑎 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
137131, 133, 134, 136rspc2 3472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎𝑋𝑐𝐼) → (∀𝑥𝑋𝑖𝐼 𝐵 ∈ ℂ → 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
138137ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐𝐼𝑎𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑖𝐼 𝐵 ∈ ℂ → 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
139130, 138mpan9 502 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐼𝑎𝑋)) → 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
140106, 113, 114, 139syl12anc 865 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) → 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
141140adantlrr 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵))) ∧ 𝑎𝑋) → 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
142112ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵))) → 𝑐𝐼)
143 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑖(𝜑𝑐𝐼)
144 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑖𝑆
145 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑖 D
146 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑖𝑋
147 nfcsb1v 3707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑖𝑐 / 𝑖𝐴
148146, 147nfmpt 4905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑖(𝑥𝑋𝑐 / 𝑖𝐴)
149144, 145, 148nfov 6872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑖(𝑆 D (𝑥𝑋𝑐 / 𝑖𝐴))
150 nfcsb1v 3707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑖𝑐 / 𝑖𝐵
151146, 150nfmpt 4905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑖(𝑥𝑋𝑐 / 𝑖𝐵)
152149, 151nfeq 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑖(𝑆 D (𝑥𝑋𝑐 / 𝑖𝐴)) = (𝑥𝑋𝑐 / 𝑖𝐵)
153143, 152nfim 1995 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑖((𝜑𝑐𝐼) → (𝑆 D (𝑥𝑋𝑐 / 𝑖𝐴)) = (𝑥𝑋𝑐 / 𝑖𝐵))
154 eleq1w 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑐 → (𝑖𝐼𝑐𝐼))
155154anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑐 → ((𝜑𝑖𝐼) ↔ (𝜑𝑐𝐼)))
156 csbeq1a 3700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑐𝐴 = 𝑐 / 𝑖𝐴)
157156mpteq2dv 4904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑐 → (𝑥𝑋𝐴) = (𝑥𝑋𝑐 / 𝑖𝐴))
158157oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑐 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝑐 / 𝑖𝐴)))
159 csbeq1a 3700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑐𝐵 = 𝑐 / 𝑖𝐵)
160159mpteq2dv 4904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑐 → (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝑐 / 𝑖𝐵))
161158, 160eqeq12d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑐 → ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵) ↔ (𝑆 D (𝑥𝑋𝑐 / 𝑖𝐴)) = (𝑥𝑋𝑐 / 𝑖𝐵)))
162155, 161imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑐 → (((𝜑𝑖𝐼) → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵)) ↔ ((𝜑𝑐𝐼) → (𝑆 D (𝑥𝑋𝑐 / 𝑖𝐴)) = (𝑥𝑋𝑐 / 𝑖𝐵))))
163 dvmptfsum.d . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
164153, 162, 163chvar 2368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝑆 D (𝑥𝑋𝑐 / 𝑖𝐴)) = (𝑥𝑋𝑐 / 𝑖𝐵))
165 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑎𝑐 / 𝑖𝐴
166 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑐
167166, 76nfcsb 3709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴
16881csbeq2dv 4153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎𝑐 / 𝑖𝐴 = 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴)
169165, 167, 168cbvmpt 4908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝑋𝑐 / 𝑖𝐴) = (𝑎𝑋𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴)
170169oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 D (𝑥𝑋𝑐 / 𝑖𝐴)) = (𝑆 D (𝑎𝑋𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴))
171 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑎𝑐 / 𝑖𝐵
172166, 98nfcsb 3709 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵
173100csbeq2dv 4153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎𝑐 / 𝑖𝐵 = 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵)
174171, 172, 173cbvmpt 4908 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋𝑐 / 𝑖𝐵) = (𝑎𝑋𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵)
175164, 170, 1743eqtr3g 2822 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝑆 D (𝑎𝑋𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴)) = (𝑎𝑋𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵))
17666, 142, 175syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵))) → (𝑆 D (𝑎𝑋𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴)) = (𝑎𝑋𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵))
17767, 88, 90, 105, 126, 141, 176dvmptadd 24014 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵))) → (𝑆 D (𝑎𝑋 ↦ (Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐴 + 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴))) = (𝑎𝑋 ↦ (Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐵 + 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵)))
178 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑎Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴
179 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥(𝑏 ∪ {𝑐})
180179, 76nfsum 14706 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑎 / 𝑥𝐴
18181sumeq2sdv 14720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴 = Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑎 / 𝑥𝐴)
182178, 180, 181cbvmpt 4908 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴) = (𝑎𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑎 / 𝑥𝐴)
183 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) → ¬ 𝑐𝑏)
184 disjsn 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅ ↔ ¬ 𝑐𝑏)
185183, 184sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) → (𝑏 ∩ {𝑐}) = ∅)
186 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) → (𝑏 ∪ {𝑐}) = (𝑏 ∪ {𝑐}))
187 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼)
188 ssfi 8387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ Fin)
18968, 187, 188syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ Fin)
190 simp-4l 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})) → 𝜑)
191187sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})) → 𝑖𝐼)
192 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})) → 𝑎𝑋)
193190, 191, 192, 85syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
194185, 186, 189, 193fsumsplit 14756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) → Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑎 / 𝑥𝐴 = (Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐴 + Σ𝑖 ∈ {𝑐}𝑎 / 𝑥𝐴))
195 sumsns 14764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐 ∈ V ∧ 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ {𝑐}𝑎 / 𝑥𝐴 = 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴)
196110, 125, 195sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) → Σ𝑖 ∈ {𝑐}𝑎 / 𝑥𝐴 = 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴)
197196oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) → (Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐴 + Σ𝑖 ∈ {𝑐}𝑎 / 𝑥𝐴) = (Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐴 + 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴))
198194, 197eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) → Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑎 / 𝑥𝐴 = (Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐴 + 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴))
199198mpteq2dva 4903 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) → (𝑎𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑎 / 𝑥𝐴) = (𝑎𝑋 ↦ (Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐴 + 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴)))
200182, 199syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴) = (𝑎𝑋 ↦ (Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐴 + 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴)))
201200adantrr 708 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵))) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴) = (𝑎𝑋 ↦ (Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐴 + 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴)))
202201oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵))) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)) = (𝑆 D (𝑎𝑋 ↦ (Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐴 + 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐴))))
203 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑎Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵
204179, 98nfsum 14706 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑎 / 𝑥𝐵
205100sumeq2sdv 14720 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵 = Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑎 / 𝑥𝐵)
206203, 204, 205cbvmpt 4908 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵) = (𝑎𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑎 / 𝑥𝐵)
20775, 131nfim 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥((𝜑𝑖𝐼𝑎𝑋) → 𝑎 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
20880, 134imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑖𝐼𝑎𝑋) → 𝑎 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)))
209207, 208, 127chvar 2368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝐼𝑎𝑋) → 𝑎 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
210190, 191, 192, 209syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})) → 𝑎 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
211185, 186, 189, 210fsumsplit 14756 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) → Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑎 / 𝑥𝐵 = (Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐵 + Σ𝑖 ∈ {𝑐}𝑎 / 𝑥𝐵))
212 sumsns 14764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ V ∧ 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ {𝑐}𝑎 / 𝑥𝐵 = 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵)
213110, 140, 212sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) → Σ𝑖 ∈ {𝑐}𝑎 / 𝑥𝐵 = 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵)
214213oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) → (Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐵 + Σ𝑖 ∈ {𝑐}𝑎 / 𝑥𝐵) = (Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐵 + 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵))
215211, 214eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑎𝑋) → Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑎 / 𝑥𝐵 = (Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐵 + 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵))
216215mpteq2dva 4903 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) → (𝑎𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑎 / 𝑥𝐵) = (𝑎𝑋 ↦ (Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐵 + 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵)))
217206, 216syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵) = (𝑎𝑋 ↦ (Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐵 + 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵)))
218217adantrr 708 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵))) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵) = (𝑎𝑋 ↦ (Σ𝑖𝑏 𝑎 / 𝑥𝐵 + 𝑐 / 𝑖𝑎 / 𝑥𝐵)))
219177, 202, 2183eqtr4d 2809 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) ∧ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 ∧ (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵))) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵))
220219exp32 411 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → ((𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵))))
221220a2d 29 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) → (((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵)) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵))))
22265, 221syl5 34 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑐𝑏) → ((𝑏𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵)) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵))))
223222expcom 402 . . . . . 6 𝑐𝑏 → (𝜑 → ((𝑏𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵)) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵)))))
224223adantl 473 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) → (𝜑 → ((𝑏𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵)) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵)))))
225224a2d 29 . . . 4 ((𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐𝑏) → ((𝜑 → (𝑏𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝑏 𝐵))) → (𝜑 → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝐵)))))
22611, 20, 29, 38, 61, 225findcard2s 8408 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐼𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝐼 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝐼 𝐵))))
2272, 226mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝐼𝐼 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝐼 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝐼 𝐵)))
2281, 227mpi 20 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝐼 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑖𝐼 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  Vcvv 3350  csb 3691  cun 3730  cin 3731  wss 3732  c0 4079  {csn 4334  {cpr 4336  cmpt 4888  cfv 6068  (class class class)co 6842  Fincfn 8160  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189   + caddc 10192  Σcsu 14701  t crest 16347  TopOpenctopn 16348  fldccnfld 20019  TopOnctopon 20994   D cdv 23918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-sum 14702  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922
This theorem is referenced by:  dvply1  24330  dvtaylp  24415  pserdvlem2  24473  advlogexp  24692  dvnmul  40796  dirkeritg  40956  etransclem2  41090
  Copyright terms: Public domain W3C validator