Theorem pntsval 26156

Description: Define the "Selberg function", whose asymptotic behavior is the content of selberg 26132. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntsval.1	⊢ 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))

Assertion

Ref	Expression
pntsval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑛,𝐴   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6645	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (Λ‘𝑖) = (Λ‘𝑛))
2		fveq2 6645	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (log‘𝑖) = (log‘𝑛))
3		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑎 / 𝑖) = (𝑎 / 𝑛))
4	3	fveq2d 6649	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (ψ‘(𝑎 / 𝑖)) = (ψ‘(𝑎 / 𝑛)))
5	2, 4	oveq12d 7153	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖))) = ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑎 / 𝑛))))
6	1, 5	oveq12d 7153	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))) = ((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑎 / 𝑛)))))
7	6	cbvsumv 15045	. . 3 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑎 / 𝑛))))
8		fveq2 6645	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (⌊‘𝑎) = (⌊‘𝐴))
9	8	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (1...(⌊‘𝑎)) = (1...(⌊‘𝐴)))
10		fvoveq1 7158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (ψ‘(𝑎 / 𝑛)) = (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))
11	10	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑎 / 𝑛))) = ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛))))
12	11	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑎 / 𝑛)))) = ((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
13	12	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑎))) → ((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑎 / 𝑛)))) = ((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
14	9, 13	sumeq12dv 15055	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑎 / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
15	7, 14	syl5eq 2845	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
16		pntsval.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
17		sumex 15036	. 2 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) ∈ V
18	15, 16, 17	fvmpt 6745	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   / cdiv 11286  ...cfz 12885  ⌊cfl 13155  Σcsu 15034  logclog 25146  Λcvma 25677  ψcchp 25678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-sum 15035

This theorem is referenced by:  selbergs  26158  selbergsb  26159  pntsval2  26160