MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntsval 27409
Description: Define the "Selberg function", whose asymptotic behavior is the content of selberg 27385. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntsval.1 ๐‘† = (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†ฆ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘Ž))((ฮ›โ€˜๐‘–) ยท ((logโ€˜๐‘–) + (ฯˆโ€˜(๐‘Ž / ๐‘–)))))
Assertion
Ref Expression
pntsval (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘†โ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘Ž,๐‘›,๐ด   ๐‘†,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘–,๐‘Ž)

Proof of Theorem pntsval
StepHypRef Expression
1 fveq2 6881 . . . . 5 (๐‘– = ๐‘› โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘–) = (ฮ›โ€˜๐‘›))
2 fveq2 6881 . . . . . 6 (๐‘– = ๐‘› โ†’ (logโ€˜๐‘–) = (logโ€˜๐‘›))
3 oveq2 7409 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘› โ†’ (๐‘Ž / ๐‘–) = (๐‘Ž / ๐‘›))
43fveq2d 6885 . . . . . 6 (๐‘– = ๐‘› โ†’ (ฯˆโ€˜(๐‘Ž / ๐‘–)) = (ฯˆโ€˜(๐‘Ž / ๐‘›)))
52, 4oveq12d 7419 . . . . 5 (๐‘– = ๐‘› โ†’ ((logโ€˜๐‘–) + (ฯˆโ€˜(๐‘Ž / ๐‘–))) = ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘Ž / ๐‘›))))
61, 5oveq12d 7419 . . . 4 (๐‘– = ๐‘› โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘–) ยท ((logโ€˜๐‘–) + (ฯˆโ€˜(๐‘Ž / ๐‘–)))) = ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘Ž / ๐‘›)))))
76cbvsumv 15638 . . 3 ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘Ž))((ฮ›โ€˜๐‘–) ยท ((logโ€˜๐‘–) + (ฯˆโ€˜(๐‘Ž / ๐‘–)))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘Ž))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘Ž / ๐‘›))))
8 fveq2 6881 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Ž) = (โŒŠโ€˜๐ด))
98oveq2d 7417 . . . 4 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘Ž)) = (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
10 fvoveq1 7424 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (ฯˆโ€˜(๐‘Ž / ๐‘›)) = (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))
1110oveq2d 7417 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘Ž / ๐‘›))) = ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›))))
1211oveq2d 7417 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘Ž / ๐‘›)))) = ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))))
1312adantr 480 . . . 4 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘Ž))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘Ž / ๐‘›)))) = ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))))
149, 13sumeq12dv 15648 . . 3 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘Ž))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐‘Ž / ๐‘›)))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))))
157, 14eqtrid 2776 . 2 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘Ž))((ฮ›โ€˜๐‘–) ยท ((logโ€˜๐‘–) + (ฯˆโ€˜(๐‘Ž / ๐‘–)))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))))
16 pntsval.1 . 2 ๐‘† = (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†ฆ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘Ž))((ฮ›โ€˜๐‘–) ยท ((logโ€˜๐‘–) + (ฯˆโ€˜(๐‘Ž / ๐‘–)))))
17 sumex 15630 . 2 ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))) โˆˆ V
1815, 16, 17fvmpt 6988 1 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘†โ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ†ฆ cmpt 5221  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  โ„cr 11104  1c1 11106   + caddc 11108   ยท cmul 11110   / cdiv 11867  ...cfz 13480  โŒŠcfl 13751  ฮฃcsu 15628  logclog 26393  ฮ›cvma 26928  ฯˆcchp 26929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-sum 15629
This theorem is referenced by:  selbergs  27411  selbergsb  27412  pntsval2  27413
  Copyright terms: Public domain W3C validator