Theorem pntsval 26720

Description: Define the "Selberg function", whose asymptotic behavior is the content of selberg 26696. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntsval.1	⊢ 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))

Assertion

Ref	Expression
pntsval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑛,𝐴   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (Λ‘𝑖) = (Λ‘𝑛))
2		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (log‘𝑖) = (log‘𝑛))
3		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑎 / 𝑖) = (𝑎 / 𝑛))
4	3	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (ψ‘(𝑎 / 𝑖)) = (ψ‘(𝑎 / 𝑛)))
5	2, 4	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖))) = ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑎 / 𝑛))))
6	1, 5	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))) = ((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑎 / 𝑛)))))
7	6	cbvsumv 15408	. . 3 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑎 / 𝑛))))
8		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (⌊‘𝑎) = (⌊‘𝐴))
9	8	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (1...(⌊‘𝑎)) = (1...(⌊‘𝐴)))
10		fvoveq1 7298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (ψ‘(𝑎 / 𝑛)) = (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))
11	10	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑎 / 𝑛))) = ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛))))
12	11	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑎 / 𝑛)))) = ((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
13	12	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑎))) → ((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑎 / 𝑛)))) = ((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
14	9, 13	sumeq12dv 15418	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑎 / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
15	7, 14	eqtrid 2790	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
16		pntsval.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
17		sumex 15399	. 2 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) ∈ V
18	15, 16, 17	fvmpt 6875	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   / cdiv 11632  ...cfz 13239  ⌊cfl 13510  Σcsu 15397  logclog 25710  Λcvma 26241  ψcchp 26242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-sum 15398

This theorem is referenced by:  selbergs  26722  selbergsb  26723  pntsval2  26724