MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem7 26258
Description: Lemma for aaliou3 26260. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c ๐น = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)))
aaliou3lem.d ๐ฟ = ฮฃ๐‘ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘)
aaliou3lem.e ๐ป = (๐‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) โ‰  ๐ฟ โˆง (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด))) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))))
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘,๐‘   ๐น,๐‘,๐‘   ๐ฟ,๐‘   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘Ž)   ๐ป(๐‘Ž,๐‘,๐‘)   ๐ฟ(๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem aaliou3lem7
StepHypRef Expression
1 peano2nn 12240 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„•)
2 eqid 2727 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1)) โ†ฆ ((2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐ด + 1))))) = (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1)) โ†ฆ ((2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐ด + 1)))))
3 aaliou3lem.c . . . 4 ๐น = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)))
42, 3aaliou3lem3 26253 . . 3 ((๐ด + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (seq(๐ด + 1)( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ โˆง ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))))
5 3simpc 1148 . . 3 ((seq(๐ด + 1)( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ โˆง ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))) โ†’ (ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))))
61, 4, 53syl 18 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))))
7 nncn 12236 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8 ax-1cn 11182 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
9 pncan 11482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + 1) โˆ’ 1) = ๐ด)
107, 8, 9sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด + 1) โˆ’ 1) = ๐ด)
1110oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (1...((๐ด + 1) โˆ’ 1)) = (1...๐ด))
1211sumeq1d 15665 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...((๐ด + 1) โˆ’ 1))(๐นโ€˜๐‘) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘))
1312oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...((๐ด + 1) โˆ’ 1))(๐นโ€˜๐‘) + ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘)) = (ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘) + ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘)))
14 nnuz 12881 . . . . . . . . 9 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
15 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))
16 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘))
17 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘Ž) = (!โ€˜๐‘))
1817negeqd 11470 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ -(!โ€˜๐‘Ž) = -(!โ€˜๐‘))
1918oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)))
20 ovex 7447 . . . . . . . . . . . 12 (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ V
2119, 3, 20fvmpt 6999 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)))
22 2rp 12997 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„+
23 nnnn0 12495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
24 faccl 14260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2625nnzd 12601 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
2726znegcld 12684 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
28 rpexpcl 14063 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง -(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„+)
2922, 27, 28sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„+)
3029rpcnd 13036 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
3121, 30eqeltrd 2828 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
3231adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
33 1nn 12239 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„•
34 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†ฆ ((2โ†‘-(!โ€˜1)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) = (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†ฆ ((2โ†‘-(!โ€˜1)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
3534, 3aaliou3lem3 26253 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ โˆง ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)(๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜1)))))
3635simp1d 1140 . . . . . . . . . 10 (1 โˆˆ โ„• โ†’ seq1( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
3733, 36mp1i 13 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ seq1( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
3814, 15, 1, 16, 32, 37isumsplit 15804 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘) = (ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...((๐ด + 1) โˆ’ 1))(๐นโ€˜๐‘) + ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘)))
39 oveq2 7422 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐ด โ†’ (1...๐‘) = (1...๐ด))
4039sumeq1d 15665 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘))
41 aaliou3lem.e . . . . . . . . . 10 ๐ป = (๐‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘))
42 sumex 15652 . . . . . . . . . 10 ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ V
4340, 41, 42fvmpt 6999 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ปโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘))
4443oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) + ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘)) = (ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘) + ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘)))
4513, 38, 443eqtr4rd 2778 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) + ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘))
46 aaliou3lem.d . . . . . . 7 ๐ฟ = ฮฃ๐‘ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘)
4745, 46eqtr4di 2785 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) + ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘)) = ๐ฟ)
483, 46, 41aaliou3lem4 26255 . . . . . . . . 9 ๐ฟ โˆˆ โ„
4948recni 11244 . . . . . . . 8 ๐ฟ โˆˆ โ„‚
5049a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„‚)
513, 46, 41aaliou3lem5 26256 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ปโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
5251recnd 11258 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ปโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
534simp2d 1141 . . . . . . . . 9 ((๐ด + 1) โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
541, 53syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
5554rpcnd 13036 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
5650, 52, 55subaddd 11605 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โ†” ((๐ปโ€˜๐ด) + ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘)) = ๐ฟ))
5747, 56mpbird 257 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘))
5857eqcomd 2733 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) = (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)))
59 eleq1 2816 . . . . 5 (ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) = (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ†’ (ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+ โ†” (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+))
60 breq1 5145 . . . . 5 (ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) = (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ†’ (ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))) โ†” (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))))
6159, 60anbi12d 630 . . . 4 (ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) = (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ†’ ((ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))) โ†” ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))))
6258, 61syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))) โ†” ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))))
6351adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ (๐ปโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
64 simprl 770 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
65 difrp 13030 . . . . . . . 8 (((๐ปโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) < ๐ฟ โ†” (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+))
6663, 48, 65sylancl 585 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) < ๐ฟ โ†” (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+))
6764, 66mpbird 257 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ (๐ปโ€˜๐ด) < ๐ฟ)
6863, 67ltned 11366 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ (๐ปโ€˜๐ด) โ‰  ๐ฟ)
69 nnnn0 12495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„•0)
70 faccl 14260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐ด + 1)) โˆˆ โ„•)
711, 69, 703syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐ด + 1)) โˆˆ โ„•)
7271nnzd 12601 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐ด + 1)) โˆˆ โ„ค)
7372znegcld 12684 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ -(!โ€˜(๐ด + 1)) โˆˆ โ„ค)
74 rpexpcl 14063 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง -(!โ€˜(๐ด + 1)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))) โˆˆ โ„+)
7522, 73, 74sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))) โˆˆ โ„+)
76 rpmulcl 13015 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))) โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))) โˆˆ โ„+)
7722, 75, 76sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))) โˆˆ โ„+)
7877adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))) โˆˆ โ„+)
7978rpred 13034 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))) โˆˆ โ„)
8063, 79resubcld 11658 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) โˆ’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))) โˆˆ โ„)
8148a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
8263, 78ltsubrpd 13066 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) โˆ’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))) < (๐ปโ€˜๐ด))
8380, 63, 81, 82, 67lttrd 11391 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) โˆ’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))) < ๐ฟ)
8480, 81, 83ltled 11378 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) โˆ’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))) โ‰ค ๐ฟ)
85 simprr 772 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))
8681, 63, 79lesubadd2d 11829 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))) โ†” ๐ฟ โ‰ค ((๐ปโ€˜๐ด) + (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))))
8785, 86mpbid 231 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ ๐ฟ โ‰ค ((๐ปโ€˜๐ด) + (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))))
8881, 63, 79absdifled 15399 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ ((absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด))) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))) โ†” (((๐ปโ€˜๐ด) โˆ’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))) โ‰ค ๐ฟ โˆง ๐ฟ โ‰ค ((๐ปโ€˜๐ด) + (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))))))
8984, 87, 88mpbir2and 712 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด))) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))
9068, 89jca 511 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) โ‰  ๐ฟ โˆง (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด))) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))))
9190ex 412 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))) โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) โ‰  ๐ฟ โˆง (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด))) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))))
9262, 91sylbid 239 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))) โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) โ‰  ๐ฟ โˆง (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด))) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))))
936, 92mpd 15 1 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) โ‰  ๐ฟ โˆง (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด))) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  dom cdm 5672  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11122  โ„cr 11123  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   < clt 11264   โ‰ค cle 11265   โˆ’ cmin 11460  -cneg 11461   / cdiv 11887  โ„•cn 12228  2c2 12283  โ„•0cn0 12488  โ„คcz 12574  โ„คโ‰ฅcuz 12838  โ„+crp 12992  ...cfz 13502  seqcseq 13984  โ†‘cexp 14044  !cfa 14250  abscabs 15199   โ‡ cli 15446  ฮฃcsu 15650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-hash 14308  df-shft 15032  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  26259
  Copyright terms: Public domain W3C validator