Proof of Theorem aaliou3lem7
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | peano2nn 11740 |
. . 3
⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈
ℕ) |
2 | | eqid 2739 |
. . . 4
⊢ (𝑐 ∈
(ℤ≥‘(𝐴 + 1)) ↦ ((2↑-(!‘(𝐴 + 1))) · ((1 /
2)↑(𝑐 − (𝐴 + 1))))) = (𝑐 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1)) ↦
((2↑-(!‘(𝐴 +
1))) · ((1 / 2)↑(𝑐 − (𝐴 + 1))))) |
3 | | aaliou3lem.c |
. . . 4
⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦
(2↑-(!‘𝑎))) |
4 | 2, 3 | aaliou3lem3 25104 |
. . 3
⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℕ →
(seq(𝐴 + 1)( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧
Σ𝑏 ∈
(ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧
Σ𝑏 ∈
(ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) |
5 | | 3simpc 1151 |
. . 3
⊢
((seq(𝐴 + 1)( + ,
𝐹) ∈ dom ⇝ ∧
Σ𝑏 ∈
(ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧
Σ𝑏 ∈
(ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) → (Σ𝑏 ∈
(ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧
Σ𝑏 ∈
(ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) |
6 | 1, 4, 5 | 3syl 18 |
. 2
⊢ (𝐴 ∈ ℕ →
(Σ𝑏 ∈
(ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧
Σ𝑏 ∈
(ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) |
7 | | nncn 11736 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈
ℂ) |
8 | | ax-1cn 10685 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 1 ∈
ℂ |
9 | | pncan 10982 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) → ((𝐴 + 1)
− 1) = 𝐴) |
10 | 7, 8, 9 | sylancl 589 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴) |
11 | 10 | oveq2d 7198 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℕ →
(1...((𝐴 + 1) − 1)) =
(1...𝐴)) |
12 | 11 | sumeq1d 15163 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℕ →
Σ𝑏 ∈
(1...((𝐴 + 1) −
1))(𝐹‘𝑏) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏)) |
13 | 12 | oveq1d 7197 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℕ →
(Σ𝑏 ∈
(1...((𝐴 + 1) −
1))(𝐹‘𝑏) + Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏)) = (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) + Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏))) |
14 | | nnuz 12375 |
. . . . . . . . 9
⊢ ℕ =
(ℤ≥‘1) |
15 | | eqid 2739 |
. . . . . . . . 9
⊢
(ℤ≥‘(𝐴 + 1)) =
(ℤ≥‘(𝐴 + 1)) |
16 | | eqidd 2740 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑏)) |
17 | | fveq2 6686 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑎 = 𝑏 → (!‘𝑎) = (!‘𝑏)) |
18 | 17 | negeqd 10970 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑎 = 𝑏 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑏)) |
19 | 18 | oveq2d 7198 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑎 = 𝑏 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑏))) |
20 | | ovex 7215 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(2↑-(!‘𝑏)) ∈ V |
21 | 19, 3, 20 | fvmpt 6787 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑏) = (2↑-(!‘𝑏))) |
22 | | 2rp 12489 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
23 | | nnnn0 11995 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈
ℕ0) |
24 | | faccl 13747 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑏 ∈ ℕ0
→ (!‘𝑏) ∈
ℕ) |
25 | 23, 24 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑏 ∈ ℕ →
(!‘𝑏) ∈
ℕ) |
26 | 25 | nnzd 12179 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑏 ∈ ℕ →
(!‘𝑏) ∈
ℤ) |
27 | 26 | znegcld 12182 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑏 ∈ ℕ →
-(!‘𝑏) ∈
ℤ) |
28 | | rpexpcl 13552 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((2
∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝑏) ∈ ℤ) →
(2↑-(!‘𝑏))
∈ ℝ+) |
29 | 22, 27, 28 | sylancr 590 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑏 ∈ ℕ →
(2↑-(!‘𝑏))
∈ ℝ+) |
30 | 29 | rpcnd 12528 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑏 ∈ ℕ →
(2↑-(!‘𝑏))
∈ ℂ) |
31 | 21, 30 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ) |
32 | 31 | adantl 485 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ) |
33 | | 1nn 11739 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 1 ∈
ℕ |
34 | | eqid 2739 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑐 ∈
(ℤ≥‘1) ↦ ((2↑-(!‘1)) · ((1 /
2)↑(𝑐 − 1)))) =
(𝑐 ∈
(ℤ≥‘1) ↦ ((2↑-(!‘1)) · ((1 /
2)↑(𝑐 −
1)))) |
35 | 34, 3 | aaliou3lem3 25104 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (1 ∈
ℕ → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈
(ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧
Σ𝑏 ∈
(ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏) ≤ (2 ·
(2↑-(!‘1))))) |
36 | 35 | simp1d 1143 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (1 ∈
ℕ → seq1( + , 𝐹)
∈ dom ⇝ ) |
37 | 33, 36 | mp1i 13 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℕ → seq1( + ,
𝐹) ∈ dom ⇝
) |
38 | 14, 15, 1, 16, 32, 37 | isumsplit 15300 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℕ →
Σ𝑏 ∈ ℕ
(𝐹‘𝑏) = (Σ𝑏 ∈ (1...((𝐴 + 1) − 1))(𝐹‘𝑏) + Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏))) |
39 | | oveq2 7190 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑐 = 𝐴 → (1...𝑐) = (1...𝐴)) |
40 | 39 | sumeq1d 15163 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑐 = 𝐴 → Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏)) |
41 | | aaliou3lem.e |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏)) |
42 | | sumex 15149 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Σ𝑏 ∈
(1...𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ V |
43 | 40, 41, 42 | fvmpt 6787 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻‘𝐴) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏)) |
44 | 43 | oveq1d 7197 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝐴) + Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏)) = (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) + Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏))) |
45 | 13, 38, 44 | 3eqtr4rd 2785 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝐴) + Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏)) = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)) |
46 | | aaliou3lem.d |
. . . . . . 7
⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏) |
47 | 45, 46 | eqtr4di 2792 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝐴) + Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏)) = 𝐿) |
48 | 3, 46, 41 | aaliou3lem4 25106 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐿 ∈ ℝ |
49 | 48 | recni 10745 |
. . . . . . . 8
⊢ 𝐿 ∈ ℂ |
50 | 49 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐿 ∈
ℂ) |
51 | 3, 46, 41 | aaliou3lem5 25107 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻‘𝐴) ∈ ℝ) |
52 | 51 | recnd 10759 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻‘𝐴) ∈ ℂ) |
53 | 4 | simp2d 1144 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℕ →
Σ𝑏 ∈
(ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) ∈
ℝ+) |
54 | 1, 53 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℕ →
Σ𝑏 ∈
(ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) ∈
ℝ+) |
55 | 54 | rpcnd 12528 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℕ →
Σ𝑏 ∈
(ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) ∈ ℂ) |
56 | 50, 52, 55 | subaddd 11105 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) = Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) ↔ ((𝐻‘𝐴) + Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏)) = 𝐿)) |
57 | 47, 56 | mpbird 260 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) = Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏)) |
58 | 57 | eqcomd 2745 |
. . . 4
⊢ (𝐴 ∈ ℕ →
Σ𝑏 ∈
(ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) = (𝐿 − (𝐻‘𝐴))) |
59 | | eleq1 2821 |
. . . . 5
⊢
(Σ𝑏 ∈
(ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) = (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) → (Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ ↔ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈
ℝ+)) |
60 | | breq1 5043 |
. . . . 5
⊢
(Σ𝑏 ∈
(ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) = (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) → (Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))) ↔ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) |
61 | 59, 60 | anbi12d 634 |
. . . 4
⊢
(Σ𝑏 ∈
(ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) = (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) → ((Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧
Σ𝑏 ∈
(ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) ↔ ((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))))) |
62 | 58, 61 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝐴 ∈ ℕ →
((Σ𝑏 ∈
(ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧
Σ𝑏 ∈
(ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) ↔ ((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))))) |
63 | 51 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (𝐻‘𝐴) ∈ ℝ) |
64 | | simprl 771 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈
ℝ+) |
65 | | difrp 12522 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐻‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝐻‘𝐴) < 𝐿 ↔ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈
ℝ+)) |
66 | 63, 48, 65 | sylancl 589 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((𝐻‘𝐴) < 𝐿 ↔ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈
ℝ+)) |
67 | 64, 66 | mpbird 260 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (𝐻‘𝐴) < 𝐿) |
68 | 63, 67 | ltned 10866 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (𝐻‘𝐴) ≠ 𝐿) |
69 | | nnnn0 11995 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℕ →
(𝐴 + 1) ∈
ℕ0) |
70 | | faccl 13747 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℕ0
→ (!‘(𝐴 + 1))
∈ ℕ) |
71 | 1, 69, 70 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∈ ℕ →
(!‘(𝐴 + 1)) ∈
ℕ) |
72 | 71 | nnzd 12179 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ ℕ →
(!‘(𝐴 + 1)) ∈
ℤ) |
73 | 72 | znegcld 12182 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℕ →
-(!‘(𝐴 + 1)) ∈
ℤ) |
74 | | rpexpcl 13552 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((2
∈ ℝ+ ∧ -(!‘(𝐴 + 1)) ∈ ℤ) →
(2↑-(!‘(𝐴 + 1)))
∈ ℝ+) |
75 | 22, 73, 74 | sylancr 590 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℕ →
(2↑-(!‘(𝐴 + 1)))
∈ ℝ+) |
76 | | rpmulcl 12507 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((2
∈ ℝ+ ∧ (2↑-(!‘(𝐴 + 1))) ∈ ℝ+) →
(2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))) ∈
ℝ+) |
77 | 22, 75, 76 | sylancr 590 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2
· (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))) ∈
ℝ+) |
78 | 77 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (2 ·
(2↑-(!‘(𝐴 +
1)))) ∈ ℝ+) |
79 | 78 | rpred 12526 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (2 ·
(2↑-(!‘(𝐴 +
1)))) ∈ ℝ) |
80 | 63, 79 | resubcld 11158 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((𝐻‘𝐴) − (2 ·
(2↑-(!‘(𝐴 +
1))))) ∈ ℝ) |
81 | 48 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → 𝐿 ∈
ℝ) |
82 | 63, 78 | ltsubrpd 12558 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((𝐻‘𝐴) − (2 ·
(2↑-(!‘(𝐴 +
1))))) < (𝐻‘𝐴)) |
83 | 80, 63, 81, 82, 67 | lttrd 10891 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((𝐻‘𝐴) − (2 ·
(2↑-(!‘(𝐴 +
1))))) < 𝐿) |
84 | 80, 81, 83 | ltled 10878 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((𝐻‘𝐴) − (2 ·
(2↑-(!‘(𝐴 +
1))))) ≤ 𝐿) |
85 | | simprr 773 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) |
86 | 81, 63, 79 | lesubadd2d 11329 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))) ↔ 𝐿 ≤ ((𝐻‘𝐴) + (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))))) |
87 | 85, 86 | mpbid 235 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → 𝐿 ≤ ((𝐻‘𝐴) + (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) |
88 | 81, 63, 79 | absdifled 14896 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) →
((abs‘(𝐿 −
(𝐻‘𝐴))) ≤ (2 ·
(2↑-(!‘(𝐴 +
1)))) ↔ (((𝐻‘𝐴) − (2 ·
(2↑-(!‘(𝐴 +
1))))) ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ ((𝐻‘𝐴) + (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))))) |
89 | 84, 87, 88 | mpbir2and 713 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) →
(abs‘(𝐿 −
(𝐻‘𝐴))) ≤ (2 ·
(2↑-(!‘(𝐴 +
1))))) |
90 | 68, 89 | jca 515 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((𝐻‘𝐴) ≠ 𝐿 ∧ (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝐴))) ≤ (2 ·
(2↑-(!‘(𝐴 +
1)))))) |
91 | 90 | ex 416 |
. . 3
⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻‘𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) → ((𝐻‘𝐴) ≠ 𝐿 ∧ (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝐴))) ≤ (2 ·
(2↑-(!‘(𝐴 +
1))))))) |
92 | 62, 91 | sylbid 243 |
. 2
⊢ (𝐴 ∈ ℕ →
((Σ𝑏 ∈
(ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧
Σ𝑏 ∈
(ℤ≥‘(𝐴 + 1))(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) → ((𝐻‘𝐴) ≠ 𝐿 ∧ (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝐴))) ≤ (2 ·
(2↑-(!‘(𝐴 +
1))))))) |
93 | 6, 92 | mpd 15 |
1
⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝐴) ≠ 𝐿 ∧ (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝐴))) ≤ (2 ·
(2↑-(!‘(𝐴 +
1)))))) |