MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem7 24941
Description: Lemma for aaliou3 24943. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏)
aaliou3lem.e 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem7 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻𝐴) ≠ 𝐿 ∧ (abs‘(𝐿 − (𝐻𝐴))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aaliou3lem7
StepHypRef Expression
1 peano2nn 11653 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
2 eqid 2824 . . . 4 (𝑐 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) ↦ ((2↑-(!‘(𝐴 + 1))) · ((1 / 2)↑(𝑐 − (𝐴 + 1))))) = (𝑐 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) ↦ ((2↑-(!‘(𝐴 + 1))) · ((1 / 2)↑(𝑐 − (𝐴 + 1)))))
3 aaliou3lem.c . . . 4 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
42, 3aaliou3lem3 24936 . . 3 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → (seq(𝐴 + 1)( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))))
5 3simpc 1146 . . 3 ((seq(𝐴 + 1)( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) → (Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))))
61, 4, 53syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))))
7 nncn 11649 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
8 ax-1cn 10598 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
9 pncan 10895 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
107, 8, 9sylancl 588 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
1110oveq2d 7175 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → (1...((𝐴 + 1) − 1)) = (1...𝐴))
1211sumeq1d 15061 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (1...((𝐴 + 1) − 1))(𝐹𝑏) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏))
1312oveq1d 7174 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → (Σ𝑏 ∈ (1...((𝐴 + 1) − 1))(𝐹𝑏) + Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏)) = (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) + Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏)))
14 nnuz 12284 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
15 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (ℤ‘(𝐴 + 1)) = (ℤ‘(𝐴 + 1))
16 eqidd 2825 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑏))
17 fveq2 6673 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑏 → (!‘𝑎) = (!‘𝑏))
1817negeqd 10883 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑏 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑏))
1918oveq2d 7175 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑏)))
20 ovex 7192 . . . . . . . . . . . 12 (2↑-(!‘𝑏)) ∈ V
2119, 3, 20fvmpt 6771 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
22 2rp 12397 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
23 nnnn0 11907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
24 faccl 13646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ ℕ0 → (!‘𝑏) ∈ ℕ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ ℕ → (!‘𝑏) ∈ ℕ)
2625nnzd 12089 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ℕ → (!‘𝑏) ∈ ℤ)
2726znegcld 12092 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℕ → -(!‘𝑏) ∈ ℤ)
28 rpexpcl 13451 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝑏) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
2922, 27, 28sylancr 589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
3029rpcnd 12436 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℂ)
3121, 30eqeltrd 2916 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
3231adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
33 1nn 11652 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
34 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ (ℤ‘1) ↦ ((2↑-(!‘1)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 1)))) = (𝑐 ∈ (ℤ‘1) ↦ ((2↑-(!‘1)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 1))))
3534, 3aaliou3lem3 24936 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℕ → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘1)))))
3635simp1d 1138 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3733, 36mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3814, 15, 1, 16, 32, 37isumsplit 15198 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏) = (Σ𝑏 ∈ (1...((𝐴 + 1) − 1))(𝐹𝑏) + Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏)))
39 oveq2 7167 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐴 → (1...𝑐) = (1...𝐴))
4039sumeq1d 15061 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐴 → Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏))
41 aaliou3lem.e . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
42 sumex 15047 . . . . . . . . . 10 Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) ∈ V
4340, 41, 42fvmpt 6771 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻𝐴) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏))
4443oveq1d 7174 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻𝐴) + Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏)) = (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) + Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏)))
4513, 38, 443eqtr4rd 2870 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻𝐴) + Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏)) = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏))
46 aaliou3lem.d . . . . . . 7 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏)
4745, 46syl6eqr 2877 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻𝐴) + Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏)) = 𝐿)
483, 46, 41aaliou3lem4 24938 . . . . . . . . 9 𝐿 ∈ ℝ
4948recni 10658 . . . . . . . 8 𝐿 ∈ ℂ
5049a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐿 ∈ ℂ)
513, 46, 41aaliou3lem5 24939 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻𝐴) ∈ ℝ)
5251recnd 10672 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻𝐴) ∈ ℂ)
534simp2d 1139 . . . . . . . . 9 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ∈ ℝ+)
541, 53syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ∈ ℝ+)
5554rpcnd 12436 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ∈ ℂ)
5650, 52, 55subaddd 11018 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐿 − (𝐻𝐴)) = Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ↔ ((𝐻𝐴) + Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏)) = 𝐿))
5747, 56mpbird 259 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐿 − (𝐻𝐴)) = Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏))
5857eqcomd 2830 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) = (𝐿 − (𝐻𝐴)))
59 eleq1 2903 . . . . 5 𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) = (𝐿 − (𝐻𝐴)) → (Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ↔ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+))
60 breq1 5072 . . . . 5 𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) = (𝐿 − (𝐻𝐴)) → (Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))) ↔ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))))
6159, 60anbi12d 632 . . . 4 𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) = (𝐿 − (𝐻𝐴)) → ((Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) ↔ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))))
6258, 61syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ((Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) ↔ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))))
6351adantr 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (𝐻𝐴) ∈ ℝ)
64 simprl 769 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+)
65 difrp 12430 . . . . . . . 8 (((𝐻𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝐻𝐴) < 𝐿 ↔ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+))
6663, 48, 65sylancl 588 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((𝐻𝐴) < 𝐿 ↔ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+))
6764, 66mpbird 259 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (𝐻𝐴) < 𝐿)
6863, 67ltned 10779 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (𝐻𝐴) ≠ 𝐿)
69 nnnn0 11907 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
70 faccl 13646 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
711, 69, 703syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
7271nnzd 12089 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘(𝐴 + 1)) ∈ ℤ)
7372znegcld 12092 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → -(!‘(𝐴 + 1)) ∈ ℤ)
74 rpexpcl 13451 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘(𝐴 + 1)) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘(𝐴 + 1))) ∈ ℝ+)
7522, 73, 74sylancr 589 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘(𝐴 + 1))) ∈ ℝ+)
76 rpmulcl 12415 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑-(!‘(𝐴 + 1))) ∈ ℝ+) → (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))) ∈ ℝ+)
7722, 75, 76sylancr 589 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))) ∈ ℝ+)
7877adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))) ∈ ℝ+)
7978rpred 12434 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))) ∈ ℝ)
8063, 79resubcld 11071 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((𝐻𝐴) − (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) ∈ ℝ)
8148a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
8263, 78ltsubrpd 12466 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((𝐻𝐴) − (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) < (𝐻𝐴))
8380, 63, 81, 82, 67lttrd 10804 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((𝐻𝐴) − (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) < 𝐿)
8480, 81, 83ltled 10791 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((𝐻𝐴) − (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) ≤ 𝐿)
85 simprr 771 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))
8681, 63, 79lesubadd2d 11242 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))) ↔ 𝐿 ≤ ((𝐻𝐴) + (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))))
8785, 86mpbid 234 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → 𝐿 ≤ ((𝐻𝐴) + (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))))
8881, 63, 79absdifled 14797 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((abs‘(𝐿 − (𝐻𝐴))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))) ↔ (((𝐻𝐴) − (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) ≤ 𝐿𝐿 ≤ ((𝐻𝐴) + (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))))))
8984, 87, 88mpbir2and 711 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (abs‘(𝐿 − (𝐻𝐴))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))
9068, 89jca 514 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((𝐻𝐴) ≠ 𝐿 ∧ (abs‘(𝐿 − (𝐻𝐴))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))))
9190ex 415 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) → ((𝐻𝐴) ≠ 𝐿 ∧ (abs‘(𝐿 − (𝐻𝐴))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))))
9262, 91sylbid 242 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → ((Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) → ((𝐻𝐴) ≠ 𝐿 ∧ (abs‘(𝐿 − (𝐻𝐴))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))))
936, 92mpd 15 1 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻𝐴) ≠ 𝐿 ∧ (abs‘(𝐿 − (𝐻𝐴))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1536  wcel 2113  wne 3019   class class class wbr 5069  cmpt 5149  dom cdm 5558  cfv 6358  (class class class)co 7159  cc 10538  cr 10539  1c1 10541   + caddc 10543   · cmul 10545   < clt 10678  cle 10679  cmin 10873  -cneg 10874   / cdiv 11300  cn 11641  2c2 11695  0cn0 11900  cz 11984  cuz 12246  +crp 12392  ...cfz 12895  seqcseq 13372  cexp 13432  !cfa 13636  abscabs 14596  cli 14844  Σcsu 15045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-pm 8412  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-hash 13694  df-shft 14429  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-limsup 14831  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  24942
  Copyright terms: Public domain W3C validator