MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem7 25725
Description: Lemma for aaliou3 25727. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c ๐น = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)))
aaliou3lem.d ๐ฟ = ฮฃ๐‘ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘)
aaliou3lem.e ๐ป = (๐‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) โ‰  ๐ฟ โˆง (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด))) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))))
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘,๐‘   ๐น,๐‘,๐‘   ๐ฟ,๐‘   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘Ž)   ๐ป(๐‘Ž,๐‘,๐‘)   ๐ฟ(๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem aaliou3lem7
StepHypRef Expression
1 peano2nn 12172 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„•)
2 eqid 2737 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1)) โ†ฆ ((2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐ด + 1))))) = (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1)) โ†ฆ ((2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐ด + 1)))))
3 aaliou3lem.c . . . 4 ๐น = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)))
42, 3aaliou3lem3 25720 . . 3 ((๐ด + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (seq(๐ด + 1)( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ โˆง ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))))
5 3simpc 1151 . . 3 ((seq(๐ด + 1)( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ โˆง ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))) โ†’ (ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))))
61, 4, 53syl 18 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))))
7 nncn 12168 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
9 pncan 11414 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + 1) โˆ’ 1) = ๐ด)
107, 8, 9sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด + 1) โˆ’ 1) = ๐ด)
1110oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (1...((๐ด + 1) โˆ’ 1)) = (1...๐ด))
1211sumeq1d 15593 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...((๐ด + 1) โˆ’ 1))(๐นโ€˜๐‘) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘))
1312oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...((๐ด + 1) โˆ’ 1))(๐นโ€˜๐‘) + ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘)) = (ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘) + ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘)))
14 nnuz 12813 . . . . . . . . 9 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
15 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))
16 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘))
17 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘Ž) = (!โ€˜๐‘))
1817negeqd 11402 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ -(!โ€˜๐‘Ž) = -(!โ€˜๐‘))
1918oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)))
20 ovex 7395 . . . . . . . . . . . 12 (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ V
2119, 3, 20fvmpt 6953 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)))
22 2rp 12927 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„+
23 nnnn0 12427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
24 faccl 14190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2625nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
2726znegcld 12616 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
28 rpexpcl 13993 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง -(!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„+)
2922, 27, 28sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„+)
3029rpcnd 12966 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
3121, 30eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
3231adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
33 1nn 12171 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„•
34 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†ฆ ((2โ†‘-(!โ€˜1)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) = (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†ฆ ((2โ†‘-(!โ€˜1)) ยท ((1 / 2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
3534, 3aaliou3lem3 25720 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ โˆง ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)(๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜1)))))
3635simp1d 1143 . . . . . . . . . 10 (1 โˆˆ โ„• โ†’ seq1( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
3733, 36mp1i 13 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ seq1( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
3814, 15, 1, 16, 32, 37isumsplit 15732 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘) = (ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...((๐ด + 1) โˆ’ 1))(๐นโ€˜๐‘) + ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘)))
39 oveq2 7370 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐ด โ†’ (1...๐‘) = (1...๐ด))
4039sumeq1d 15593 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘))
41 aaliou3lem.e . . . . . . . . . 10 ๐ป = (๐‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘))
42 sumex 15579 . . . . . . . . . 10 ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ V
4340, 41, 42fvmpt 6953 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ปโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘))
4443oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) + ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘)) = (ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(๐นโ€˜๐‘) + ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘)))
4513, 38, 443eqtr4rd 2788 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) + ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘))
46 aaliou3lem.d . . . . . . 7 ๐ฟ = ฮฃ๐‘ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘)
4745, 46eqtr4di 2795 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) + ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘)) = ๐ฟ)
483, 46, 41aaliou3lem4 25722 . . . . . . . . 9 ๐ฟ โˆˆ โ„
4948recni 11176 . . . . . . . 8 ๐ฟ โˆˆ โ„‚
5049a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„‚)
513, 46, 41aaliou3lem5 25723 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ปโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
5251recnd 11190 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ปโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
534simp2d 1144 . . . . . . . . 9 ((๐ด + 1) โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
541, 53syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
5554rpcnd 12966 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
5650, 52, 55subaddd 11537 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โ†” ((๐ปโ€˜๐ด) + ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘)) = ๐ฟ))
5747, 56mpbird 257 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘))
5857eqcomd 2743 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) = (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)))
59 eleq1 2826 . . . . 5 (ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) = (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ†’ (ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+ โ†” (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+))
60 breq1 5113 . . . . 5 (ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) = (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ†’ (ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))) โ†” (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))))
6159, 60anbi12d 632 . . . 4 (ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) = (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ†’ ((ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))) โ†” ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))))
6258, 61syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))) โ†” ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))))
6351adantr 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ (๐ปโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
64 simprl 770 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
65 difrp 12960 . . . . . . . 8 (((๐ปโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) < ๐ฟ โ†” (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+))
6663, 48, 65sylancl 587 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) < ๐ฟ โ†” (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+))
6764, 66mpbird 257 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ (๐ปโ€˜๐ด) < ๐ฟ)
6863, 67ltned 11298 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ (๐ปโ€˜๐ด) โ‰  ๐ฟ)
69 nnnn0 12427 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„•0)
70 faccl 14190 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐ด + 1)) โˆˆ โ„•)
711, 69, 703syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐ด + 1)) โˆˆ โ„•)
7271nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐ด + 1)) โˆˆ โ„ค)
7372znegcld 12616 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ -(!โ€˜(๐ด + 1)) โˆˆ โ„ค)
74 rpexpcl 13993 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง -(!โ€˜(๐ด + 1)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))) โˆˆ โ„+)
7522, 73, 74sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))) โˆˆ โ„+)
76 rpmulcl 12945 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))) โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))) โˆˆ โ„+)
7722, 75, 76sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))) โˆˆ โ„+)
7877adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))) โˆˆ โ„+)
7978rpred 12964 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))) โˆˆ โ„)
8063, 79resubcld 11590 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) โˆ’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))) โˆˆ โ„)
8148a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
8263, 78ltsubrpd 12996 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) โˆ’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))) < (๐ปโ€˜๐ด))
8380, 63, 81, 82, 67lttrd 11323 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) โˆ’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))) < ๐ฟ)
8480, 81, 83ltled 11310 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) โˆ’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))) โ‰ค ๐ฟ)
85 simprr 772 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))
8681, 63, 79lesubadd2d 11761 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))) โ†” ๐ฟ โ‰ค ((๐ปโ€˜๐ด) + (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))))
8785, 86mpbid 231 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ ๐ฟ โ‰ค ((๐ปโ€˜๐ด) + (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))))
8881, 63, 79absdifled 15326 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ ((absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด))) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))) โ†” (((๐ปโ€˜๐ด) โˆ’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))) โ‰ค ๐ฟ โˆง ๐ฟ โ‰ค ((๐ปโ€˜๐ด) + (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))))))
8984, 87, 88mpbir2and 712 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด))) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))
9068, 89jca 513 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))) โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) โ‰  ๐ฟ โˆง (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด))) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))))
9190ex 414 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (((๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด)) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))) โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) โ‰  ๐ฟ โˆง (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด))) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))))
9262, 91sylbid 239 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง ฮฃ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด + 1))(๐นโ€˜๐‘) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))) โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) โ‰  ๐ฟ โˆง (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด))) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1)))))))
936, 92mpd 15 1 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐ด) โ‰  ๐ฟ โˆง (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐ด))) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐ด + 1))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  dom cdm 5638  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ„+crp 12922  ...cfz 13431  seqcseq 13913  โ†‘cexp 13974  !cfa 14180  abscabs 15126   โ‡ cli 15373  ฮฃcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  25726
  Copyright terms: Public domain W3C validator