Theorem sgmval 27108

Description: The value of the divisor function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgmval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝑐𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑝,𝐴   𝐵,𝑘,𝑝

Proof of Theorem sgmval

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑛 = 𝐵) → 𝑛 = 𝐵)
2	1	breq2d 5110	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑛 = 𝐵) → (𝑝 ∥ 𝑛 ↔ 𝑝 ∥ 𝐵))
3	2	rabbidv 3406	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑛 = 𝐵) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} = {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})
4		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑛 = 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛}) → 𝑥 = 𝐴)
5	4	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑛 = 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛}) → (𝑘↑𝑐𝑥) = (𝑘↑𝑐𝐴))
6	3, 5	sumeq12dv 15629	. 2 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑛 = 𝐵) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} (𝑘↑𝑐𝑥) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝑐𝐴))
7		df-sgm 27068	. 2 ⊢ σ = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} (𝑘↑𝑐𝑥))
8		sumex 15611	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝑐𝐴) ∈ V
9	6, 7, 8	ovmpoa 7513	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝑐𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℕcn 12145  Σcsu 15609   ∥ cdvds 16179  ↑_𝑐ccxp 26520   σ csgm 27062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-seq 13925  df-sum 15610  df-sgm 27068

This theorem is referenced by:  sgmval2  27109  sgmppw  27164  sgmmul  27168  perfectlem2  27197  perfectALTVlem2  47968