MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgmval 26507
Description: The value of the divisor function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgmval ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝑐𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑝,𝐴   𝐵,𝑘,𝑝

Proof of Theorem sgmval
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . 5 ((𝑥 = 𝐴𝑛 = 𝐵) → 𝑛 = 𝐵)
21breq2d 5122 . . . 4 ((𝑥 = 𝐴𝑛 = 𝐵) → (𝑝𝑛𝑝𝐵))
32rabbidv 3418 . . 3 ((𝑥 = 𝐴𝑛 = 𝐵) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑛} = {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵})
4 simpll 766 . . . 4 (((𝑥 = 𝐴𝑛 = 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑛}) → 𝑥 = 𝐴)
54oveq2d 7378 . . 3 (((𝑥 = 𝐴𝑛 = 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑛}) → (𝑘𝑐𝑥) = (𝑘𝑐𝐴))
63, 5sumeq12dv 15598 . 2 ((𝑥 = 𝐴𝑛 = 𝐵) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑛} (𝑘𝑐𝑥) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝑐𝐴))
7 df-sgm 26467 . 2 σ = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑛} (𝑘𝑐𝑥))
8 sumex 15579 . 2 Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝑐𝐴) ∈ V
96, 7, 8ovmpoa 7515 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝑐𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3410   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  cc 11056  cn 12160  Σcsu 15577  cdvds 16143  𝑐ccxp 25927   σ csgm 26461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-seq 13914  df-sum 15578  df-sgm 26467
This theorem is referenced by:  sgmval2  26508  sgmppw  26561  sgmmul  26565  perfectlem2  26594  perfectALTVlem2  45988
  Copyright terms: Public domain W3C validator