Theorem sgmval 27526

Description: The value of the divisor function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgmval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝑐𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑝,𝐴   𝐵,𝑘,𝑝

Proof of Theorem sgmval

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑛 = 𝐵) → 𝑛 = 𝐵)
2	1	breq2d 5120	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑛 = 𝐵) → (𝑝 ∥ 𝑛 ↔ 𝑝 ∥ 𝐵))
3	2	rabbidv 3423	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑛 = 𝐵) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} = {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})
4		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑛 = 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛}) → 𝑥 = 𝐴)
5	4	oveq2d 7467	. . 3 ⊢ (((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑛 = 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛}) → (𝑘↑𝑐𝑥) = (𝑘↑𝑐𝐴))
6	3, 5	sumeq12dv 15916	. 2 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑛 = 𝐵) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} (𝑘↑𝑐𝑥) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝑐𝐴))
7		df-sgm 27486	. 2 ⊢ σ = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝑛} (𝑘↑𝑐𝑥))
8		sumex 15899	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝑐𝐴) ∈ V
9	6, 7, 8	ovmpoa 7607	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝑐𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℕcn 12375  Σcsu 15897   ∥ cdvds 16466  ↑_𝑐ccxp 26940   σ csgm 27480

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-seq 14185  df-sum 15898  df-sgm 27486

This theorem is used by:  sgmval2  27527  sgmppw  27581  sgmmul  27585  perfectlem2  27614  perfectALTVlem2  49093