MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgmval 25282
Description: The value of the divisor function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgmval ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝑐𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑝,𝐴   𝐵,𝑘,𝑝

Proof of Theorem sgmval
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . . 5 ((𝑥 = 𝐴𝑛 = 𝐵) → 𝑛 = 𝐵)
21breq2d 4886 . . . 4 ((𝑥 = 𝐴𝑛 = 𝐵) → (𝑝𝑛𝑝𝐵))
32rabbidv 3403 . . 3 ((𝑥 = 𝐴𝑛 = 𝐵) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑛} = {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵})
4 simpll 785 . . . 4 (((𝑥 = 𝐴𝑛 = 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑛}) → 𝑥 = 𝐴)
54oveq2d 6922 . . 3 (((𝑥 = 𝐴𝑛 = 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑛}) → (𝑘𝑐𝑥) = (𝑘𝑐𝐴))
63, 5sumeq12dv 14815 . 2 ((𝑥 = 𝐴𝑛 = 𝐵) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑛} (𝑘𝑐𝑥) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝑐𝐴))
7 df-sgm 25242 . 2 σ = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑛} (𝑘𝑐𝑥))
8 sumex 14796 . 2 Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝑐𝐴) ∈ V
96, 7, 8ovmpt2a 7052 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝑐𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  {crab 3122   class class class wbr 4874  (class class class)co 6906  cc 10251  cn 11351  Σcsu 14794  cdvds 15358  𝑐ccxp 24702   σ csgm 25236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-seq 13097  df-sum 14795  df-sgm 25242
This theorem is referenced by:  sgmval2  25283  sgmppw  25336  sgmmul  25340  perfectlem2  25369  perfectALTVlem2  42462
  Copyright terms: Public domain W3C validator