Theorem logsqvma2 25801

Description: The Möbius inverse of logsqvma 25800. Equation 10.4.8 of [Shapiro], p. 418. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logsqvma2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑑,𝑁

Proof of Theorem logsqvma2

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1...𝑘) ∈ Fin)
2		dvdsssfz1 15501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ⊆ (1...𝑘))
3	1, 2	ssfid 8587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ∈ Fin)
4		ssrab2 3977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ⊆ ℕ
5		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘})
6	4, 5	sseldi 3887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → 𝑑 ∈ ℕ)
7		vmacl 25377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (Λ‘𝑑) ∈ ℝ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → (Λ‘𝑑) ∈ ℝ)
9		dvdsdivcl 15499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → (𝑘 / 𝑑) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘})
10	4, 9	sseldi 3887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → (𝑘 / 𝑑) ∈ ℕ)
11		vmacl 25377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 / 𝑑) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑘 / 𝑑)) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → (Λ‘(𝑘 / 𝑑)) ∈ ℝ)
13	8, 12	remulcld 10517	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) ∈ ℝ)
14	3, 13	fsumrecl 14924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) ∈ ℝ)
15		vmacl 25377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
16		nnrp 12250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
17	16	relogcld 24887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
18	15, 17	remulcld 10517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
19	14, 18	readdcld 10516	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) ∈ ℝ)
20	19	recnd 10515	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) ∈ ℂ)
21	20	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) ∈ ℂ)
22	21	fmpttd 6742	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)))):ℕ⟶ℂ)
23		ssrab2 3977	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ⊆ ℕ
24		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})
25	23, 24	sseldi 3887	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → 𝑚 ∈ ℕ)
26		breq2 4966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑥 ∥ 𝑘 ↔ 𝑥 ∥ 𝑚))
27	26	rabbidv 3425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
28		fvoveq1 7039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (Λ‘(𝑘 / 𝑑)) = (Λ‘(𝑚 / 𝑑)))
29	28	oveq2d 7032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))))
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 = 𝑚 ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))))
31	27, 30	sumeq12dv 14896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))))
32		fveq2 6538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (Λ‘𝑘) = (Λ‘𝑚))
33		fveq2 6538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (log‘𝑘) = (log‘𝑚))
34	32, 33	oveq12d 7034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)) = ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚)))
35	31, 34	oveq12d 7034	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))))
36		eqid 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))
37		ovex 7048	. . . . . . . . 9 ⊢ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) ∈ V
38	35, 36, 37	fvmpt3i 6640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))))
39	25, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))))
40	39	sumeq2dv 14893	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))))
41		logsqvma 25800	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))) = ((log‘𝑛)↑2))
42	41	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))) = ((log‘𝑛)↑2))
43	40, 42	eqtr2d 2832	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((log‘𝑛)↑2) = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚))
44	43	mpteq2dva 5055	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚)))
45	22, 44	muinv 25452	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗)))))
46	45	fveq1d 6540	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑁) = ((𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗))))‘𝑁))
47		breq2 4966	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑥 ∥ 𝑘 ↔ 𝑥 ∥ 𝑁))
48	47	rabbidv 3425	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
49		fvoveq1 7039	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (Λ‘(𝑘 / 𝑑)) = (Λ‘(𝑁 / 𝑑)))
50	49	oveq2d 7032	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))))
51	50	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))))
52	48, 51	sumeq12dv 14896	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))))
53		fveq2 6538	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (Λ‘𝑘) = (Λ‘𝑁))
54		fveq2 6538	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (log‘𝑘) = (log‘𝑁))
55	53, 54	oveq12d 7034	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)) = ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁)))
56	52, 55	oveq12d 7034	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁))))
57	56, 36, 37	fvmpt3i 6640	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑁) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁))))
58		fveq2 6538	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑑 → (μ‘𝑗) = (μ‘𝑑))
59		oveq2 7024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑑 → (𝑖 / 𝑗) = (𝑖 / 𝑑))
60	59	fveq2d 6542	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑑 → (log‘(𝑖 / 𝑗)) = (log‘(𝑖 / 𝑑)))
61	60	oveq1d 7031	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑑 → ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2) = ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2))
62	58, 61	oveq12d 7034	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑑 → ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)) = ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2)))
63	62	cbvsumv 14886	. . . 4 ⊢ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2))
64		breq2 4966	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑥 ∥ 𝑖 ↔ 𝑥 ∥ 𝑁))
65	64	rabbidv 3425	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
66		fvoveq1 7039	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (log‘(𝑖 / 𝑑)) = (log‘(𝑁 / 𝑑)))
67	66	oveq1d 7031	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2) = ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2))
68	67	oveq2d 7032	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2)) = ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
69	68	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖}) → ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2)) = ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
70	65, 69	sumeq12dv 14896	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
71	63, 70	syl5eq 2843	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
72		ssrab2 3977	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ⊆ ℕ
73		dvdsdivcl 15499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖}) → (𝑖 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖})
74	72, 73	sseldi 3887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖}) → (𝑖 / 𝑗) ∈ ℕ)
75		fveq2 6538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑖 / 𝑗) → (log‘𝑛) = (log‘(𝑖 / 𝑗)))
76	75	oveq1d 7031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑖 / 𝑗) → ((log‘𝑛)↑2) = ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2))
77		eqid 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))
78		ovex 7048	. . . . . . . 8 ⊢ ((log‘𝑛)↑2) ∈ V
79	76, 77, 78	fvmpt3i 6640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 / 𝑗) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗)) = ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2))
80	74, 79	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖}) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗)) = ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2))
81	80	oveq2d 7032	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖}) → ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗))) = ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)))
82	81	sumeq2dv 14893	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗))) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)))
83	82	mpteq2ia 5051	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗)))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)))
84		sumex 14878	. . 3 ⊢ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)) ∈ V
85	71, 83, 84	fvmpt3i 6640	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗))))‘𝑁) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
86	46, 57, 85	3eqtr3rd 2840	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  {crab 3109   class class class wbr 4962   ↦ cmpt 5041  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  ℂcc 10381  ℝcr 10382  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388   / cdiv 11145  ℕcn 11486  2c2 11540  ...cfz 12742  ↑cexp 13279  Σcsu 14876   ∥ cdvds 15440  logclog 24819  Λcvma 25351  μcmu 25354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-disj 4931  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-dju 9176  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-xnn0 11816  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-fac 13484  df-bc 13513  df-hash 13541  df-shft 14260  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-limsup 14662  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-ef 15254  df-sin 15256  df-cos 15257  df-pi 15259  df-dvds 15441  df-gcd 15677  df-prm 15845  df-pc 16003  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-lp 21428  df-perf 21429  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-haus 21607  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cncf 23169  df-limc 24147  df-dv 24148  df-log 24821  df-vma 25357  df-mu 25360

This theorem is referenced by:  selberg  25806