Theorem logsqvma2 27035

Description: The Möbius inverse of logsqvma 27034. Equation 10.4.8 of [Shapiro], p. 418. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logsqvma2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑑,𝑁

Proof of Theorem logsqvma2

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1...𝑘) ∈ Fin)
2		dvdsssfz1 16257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ⊆ (1...𝑘))
3	1, 2	ssfid 9263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ∈ Fin)
4		ssrab2 4076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ⊆ ℕ
5		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘})
6	4, 5	sselid 3979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → 𝑑 ∈ ℕ)
7		vmacl 26611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (Λ‘𝑑) ∈ ℝ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → (Λ‘𝑑) ∈ ℝ)
9		dvdsdivcl 16255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → (𝑘 / 𝑑) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘})
10	4, 9	sselid 3979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → (𝑘 / 𝑑) ∈ ℕ)
11		vmacl 26611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 / 𝑑) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑘 / 𝑑)) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → (Λ‘(𝑘 / 𝑑)) ∈ ℝ)
13	8, 12	remulcld 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) ∈ ℝ)
14	3, 13	fsumrecl 15676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) ∈ ℝ)
15		vmacl 26611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
16		nnrp 12981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
17	16	relogcld 26122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
18	15, 17	remulcld 11240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
19	14, 18	readdcld 11239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11238	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) ∈ ℂ)
21	20	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) ∈ ℂ)
22	21	fmpttd 7111	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)))):ℕ⟶ℂ)
23		ssrab2 4076	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ⊆ ℕ
24		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})
25	23, 24	sselid 3979	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → 𝑚 ∈ ℕ)
26		breq2 5151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑥 ∥ 𝑘 ↔ 𝑥 ∥ 𝑚))
27	26	rabbidv 3440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
28		fvoveq1 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (Λ‘(𝑘 / 𝑑)) = (Λ‘(𝑚 / 𝑑)))
29	28	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))))
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 = 𝑚 ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))))
31	27, 30	sumeq12dv 15648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))))
32		fveq2 6888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (Λ‘𝑘) = (Λ‘𝑚))
33		fveq2 6888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (log‘𝑘) = (log‘𝑚))
34	32, 33	oveq12d 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)) = ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚)))
35	31, 34	oveq12d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))))
36		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))
37		ovex 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) ∈ V
38	35, 36, 37	fvmpt3i 7000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))))
39	25, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))))
40	39	sumeq2dv 15645	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))))
41		logsqvma 27034	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))) = ((log‘𝑛)↑2))
42	41	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))) = ((log‘𝑛)↑2))
43	40, 42	eqtr2d 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((log‘𝑛)↑2) = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚))
44	43	mpteq2dva 5247	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚)))
45	22, 44	muinv 26686	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗)))))
46	45	fveq1d 6890	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑁) = ((𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗))))‘𝑁))
47		breq2 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑥 ∥ 𝑘 ↔ 𝑥 ∥ 𝑁))
48	47	rabbidv 3440	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
49		fvoveq1 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (Λ‘(𝑘 / 𝑑)) = (Λ‘(𝑁 / 𝑑)))
50	49	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))))
51	50	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))))
52	48, 51	sumeq12dv 15648	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))))
53		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (Λ‘𝑘) = (Λ‘𝑁))
54		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (log‘𝑘) = (log‘𝑁))
55	53, 54	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)) = ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁)))
56	52, 55	oveq12d 7423	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁))))
57	56, 36, 37	fvmpt3i 7000	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑁) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁))))
58		fveq2 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑑 → (μ‘𝑗) = (μ‘𝑑))
59		oveq2 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑑 → (𝑖 / 𝑗) = (𝑖 / 𝑑))
60	59	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑑 → (log‘(𝑖 / 𝑗)) = (log‘(𝑖 / 𝑑)))
61	60	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑑 → ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2) = ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2))
62	58, 61	oveq12d 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑑 → ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)) = ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2)))
63	62	cbvsumv 15638	. . . 4 ⊢ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2))
64		breq2 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑥 ∥ 𝑖 ↔ 𝑥 ∥ 𝑁))
65	64	rabbidv 3440	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
66		fvoveq1 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (log‘(𝑖 / 𝑑)) = (log‘(𝑁 / 𝑑)))
67	66	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2) = ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2))
68	67	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2)) = ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
69	68	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖}) → ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2)) = ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
70	65, 69	sumeq12dv 15648	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
71	63, 70	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
72		ssrab2 4076	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ⊆ ℕ
73		dvdsdivcl 16255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖}) → (𝑖 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖})
74	72, 73	sselid 3979	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖}) → (𝑖 / 𝑗) ∈ ℕ)
75		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑖 / 𝑗) → (log‘𝑛) = (log‘(𝑖 / 𝑗)))
76	75	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑖 / 𝑗) → ((log‘𝑛)↑2) = ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2))
77		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))
78		ovex 7438	. . . . . . . 8 ⊢ ((log‘𝑛)↑2) ∈ V
79	76, 77, 78	fvmpt3i 7000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 / 𝑗) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗)) = ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2))
80	74, 79	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖}) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗)) = ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2))
81	80	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖}) → ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗))) = ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)))
82	81	sumeq2dv 15645	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗))) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)))
83	82	mpteq2ia 5250	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗)))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)))
84		sumex 15630	. . 3 ⊢ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)) ∈ V
85	71, 83, 84	fvmpt3i 7000	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗))))‘𝑁) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
86	46, 57, 85	3eqtr3rd 2781	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   / cdiv 11867  ℕcn 12208  2c2 12263  ...cfz 13480  ↑cexp 14023  Σcsu 15628   ∥ cdvds 16193  logclog 26054  Λcvma 26585  μcmu 26588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-pc 16766  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-vma 26591  df-mu 26594

This theorem is referenced by:  selberg  27040