MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logsqvma2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logsqvma2 27588
Description: The Möbius inverse of logsqvma 27587. Equation 10.4.8 of [Shapiro], p. 418. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logsqvma2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑑,𝑁

Proof of Theorem logsqvma2
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsfi 16827 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ∈ Fin)
2 ssrab2 4079 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ⊆ ℕ
3 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘}) → 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘})
42, 3sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘}) → 𝑑 ∈ ℕ)
5 vmacl 27162 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ ℕ → (Λ‘𝑑) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘}) → (Λ‘𝑑) ∈ ℝ)
7 dvdsdivcl 16354 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘}) → (𝑘 / 𝑑) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘})
82, 7sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘}) → (𝑘 / 𝑑) ∈ ℕ)
9 vmacl 27162 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 / 𝑑) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑘 / 𝑑)) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘}) → (Λ‘(𝑘 / 𝑑)) ∈ ℝ)
116, 10remulcld 11292 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘}) → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) ∈ ℝ)
121, 11fsumrecl 15771 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) ∈ ℝ)
13 vmacl 27162 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
14 nnrp 13047 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
1514relogcld 26666 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
1613, 15remulcld 11292 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
1712, 16readdcld 11291 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) ∈ ℝ)
1817recnd 11290 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) ∈ ℂ)
1918adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) ∈ ℂ)
2019fmpttd 7134 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)))):ℕ⟶ℂ)
21 ssrab2 4079 . . . . . . . . 9 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ⊆ ℕ
22 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})
2321, 22sselid 3980 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → 𝑚 ∈ ℕ)
24 breq2 5146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → (𝑥𝑘𝑥𝑚))
2524rabbidv 3443 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚})
26 fvoveq1 7455 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (Λ‘(𝑘 / 𝑑)) = (Λ‘(𝑚 / 𝑑)))
2726oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))))
2827adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 = 𝑚𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘}) → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))))
2925, 28sumeq12dv 15743 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))))
30 fveq2 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (Λ‘𝑘) = (Λ‘𝑚))
31 fveq2 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (log‘𝑘) = (log‘𝑚))
3230, 31oveq12d 7450 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)) = ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚)))
3329, 32oveq12d 7450 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))))
34 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))
35 ovex 7465 . . . . . . . . 9 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) ∈ V
3633, 34, 35fvmpt3i 7020 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))))
3723, 36syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))))
3837sumeq2dv 15739 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))))
39 logsqvma 27587 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))) = ((log‘𝑛)↑2))
4039adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))) = ((log‘𝑛)↑2))
4138, 40eqtr2d 2777 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((log‘𝑛)↑2) = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚))
4241mpteq2dva 5241 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚)))
4320, 42muinv 27237 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗)))))
4443fveq1d 6907 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑁) = ((𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗))))‘𝑁))
45 breq2 5146 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝑥𝑘𝑥𝑁))
4645rabbidv 3443 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
47 fvoveq1 7455 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (Λ‘(𝑘 / 𝑑)) = (Λ‘(𝑁 / 𝑑)))
4847oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))))
4948adantr 480 . . . . 5 ((𝑘 = 𝑁𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘}) → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))))
5046, 49sumeq12dv 15743 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))))
51 fveq2 6905 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (Λ‘𝑘) = (Λ‘𝑁))
52 fveq2 6905 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (log‘𝑘) = (log‘𝑁))
5351, 52oveq12d 7450 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)) = ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁)))
5450, 53oveq12d 7450 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁))))
5554, 34, 35fvmpt3i 7020 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑁) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁))))
56 fveq2 6905 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑑 → (μ‘𝑗) = (μ‘𝑑))
57 oveq2 7440 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑑 → (𝑖 / 𝑗) = (𝑖 / 𝑑))
5857fveq2d 6909 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑑 → (log‘(𝑖 / 𝑗)) = (log‘(𝑖 / 𝑑)))
5958oveq1d 7447 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑑 → ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2) = ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2))
6056, 59oveq12d 7450 . . . . 5 (𝑗 = 𝑑 → ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)) = ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2)))
6160cbvsumv 15733 . . . 4 Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2))
62 breq2 5146 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑁 → (𝑥𝑖𝑥𝑁))
6362rabbidv 3443 . . . . 5 (𝑖 = 𝑁 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
64 fvoveq1 7455 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑁 → (log‘(𝑖 / 𝑑)) = (log‘(𝑁 / 𝑑)))
6564oveq1d 7447 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑁 → ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2) = ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2))
6665oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑁 → ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2)) = ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
6766adantr 480 . . . . 5 ((𝑖 = 𝑁𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖}) → ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2)) = ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
6863, 67sumeq12dv 15743 . . . 4 (𝑖 = 𝑁 → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
6961, 68eqtrid 2788 . . 3 (𝑖 = 𝑁 → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
70 ssrab2 4079 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ⊆ ℕ
71 dvdsdivcl 16354 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖}) → (𝑖 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖})
7270, 71sselid 3980 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖}) → (𝑖 / 𝑗) ∈ ℕ)
73 fveq2 6905 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑖 / 𝑗) → (log‘𝑛) = (log‘(𝑖 / 𝑗)))
7473oveq1d 7447 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑖 / 𝑗) → ((log‘𝑛)↑2) = ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2))
75 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))
76 ovex 7465 . . . . . . . 8 ((log‘𝑛)↑2) ∈ V
7774, 75, 76fvmpt3i 7020 . . . . . . 7 ((𝑖 / 𝑗) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗)) = ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2))
7872, 77syl 17 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖}) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗)) = ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2))
7978oveq2d 7448 . . . . 5 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖}) → ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗))) = ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)))
8079sumeq2dv 15739 . . . 4 (𝑖 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗))) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)))
8180mpteq2ia 5244 . . 3 (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗)))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)))
82 sumex 15725 . . 3 Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)) ∈ V
8369, 81, 82fvmpt3i 7020 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗))))‘𝑁) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
8444, 55, 833eqtr3rd 2785 1 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  {crab 3435   class class class wbr 5142  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155   + caddc 11159   · cmul 11161   / cdiv 11921  cn 12267  2c2 12322  cexp 14103  Σcsu 15723  cdvds 16291  logclog 26597  Λcvma 27136  μcmu 27139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-pi 16109  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-pc 16876  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-log 26599  df-vma 27142  df-mu 27145
This theorem is referenced by:  selberg  27593
  Copyright terms: Public domain W3C validator