Theorem logsqvma2 27053

Description: The Möbius inverse of logsqvma 27052. Equation 10.4.8 of [Shapiro], p. 418. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logsqvma2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑑,𝑁

Proof of Theorem logsqvma2

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1...𝑘) ∈ Fin)
2		dvdsssfz1 16263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ⊆ (1...𝑘))
3	1, 2	ssfid 9269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ∈ Fin)
4		ssrab2 4077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ⊆ ℕ
5		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘})
6	4, 5	sselid 3980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → 𝑑 ∈ ℕ)
7		vmacl 26629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (Λ‘𝑑) ∈ ℝ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → (Λ‘𝑑) ∈ ℝ)
9		dvdsdivcl 16261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → (𝑘 / 𝑑) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘})
10	4, 9	sselid 3980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → (𝑘 / 𝑑) ∈ ℕ)
11		vmacl 26629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 / 𝑑) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑘 / 𝑑)) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → (Λ‘(𝑘 / 𝑑)) ∈ ℝ)
13	8, 12	remulcld 11246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) ∈ ℝ)
14	3, 13	fsumrecl 15682	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) ∈ ℝ)
15		vmacl 26629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
16		nnrp 12987	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
17	16	relogcld 26138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
18	15, 17	remulcld 11246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
19	14, 18	readdcld 11245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11244	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) ∈ ℂ)
21	20	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) ∈ ℂ)
22	21	fmpttd 7116	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)))):ℕ⟶ℂ)
23		ssrab2 4077	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ⊆ ℕ
24		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})
25	23, 24	sselid 3980	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → 𝑚 ∈ ℕ)
26		breq2 5152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑥 ∥ 𝑘 ↔ 𝑥 ∥ 𝑚))
27	26	rabbidv 3440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚})
28		fvoveq1 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (Λ‘(𝑘 / 𝑑)) = (Λ‘(𝑚 / 𝑑)))
29	28	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))))
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 = 𝑚 ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))))
31	27, 30	sumeq12dv 15654	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))))
32		fveq2 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (Λ‘𝑘) = (Λ‘𝑚))
33		fveq2 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (log‘𝑘) = (log‘𝑚))
34	32, 33	oveq12d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)) = ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚)))
35	31, 34	oveq12d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))))
36		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))
37		ovex 7444	. . . . . . . . 9 ⊢ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) ∈ V
38	35, 36, 37	fvmpt3i 7003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))))
39	25, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))))
40	39	sumeq2dv 15651	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))))
41		logsqvma 27052	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))) = ((log‘𝑛)↑2))
42	41	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))) = ((log‘𝑛)↑2))
43	40, 42	eqtr2d 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((log‘𝑛)↑2) = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚))
44	43	mpteq2dva 5248	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚)))
45	22, 44	muinv 26704	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗)))))
46	45	fveq1d 6893	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑁) = ((𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗))))‘𝑁))
47		breq2 5152	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑥 ∥ 𝑘 ↔ 𝑥 ∥ 𝑁))
48	47	rabbidv 3440	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
49		fvoveq1 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (Λ‘(𝑘 / 𝑑)) = (Λ‘(𝑁 / 𝑑)))
50	49	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))))
51	50	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘}) → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))))
52	48, 51	sumeq12dv 15654	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))))
53		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (Λ‘𝑘) = (Λ‘𝑁))
54		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (log‘𝑘) = (log‘𝑁))
55	53, 54	oveq12d 7429	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)) = ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁)))
56	52, 55	oveq12d 7429	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁))))
57	56, 36, 37	fvmpt3i 7003	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑁) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁))))
58		fveq2 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑑 → (μ‘𝑗) = (μ‘𝑑))
59		oveq2 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑑 → (𝑖 / 𝑗) = (𝑖 / 𝑑))
60	59	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑑 → (log‘(𝑖 / 𝑗)) = (log‘(𝑖 / 𝑑)))
61	60	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑑 → ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2) = ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2))
62	58, 61	oveq12d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑑 → ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)) = ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2)))
63	62	cbvsumv 15644	. . . 4 ⊢ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2))
64		breq2 5152	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑥 ∥ 𝑖 ↔ 𝑥 ∥ 𝑁))
65	64	rabbidv 3440	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
66		fvoveq1 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (log‘(𝑖 / 𝑑)) = (log‘(𝑁 / 𝑑)))
67	66	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2) = ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2))
68	67	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2)) = ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
69	68	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖}) → ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2)) = ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
70	65, 69	sumeq12dv 15654	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
71	63, 70	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
72		ssrab2 4077	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ⊆ ℕ
73		dvdsdivcl 16261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖}) → (𝑖 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖})
74	72, 73	sselid 3980	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖}) → (𝑖 / 𝑗) ∈ ℕ)
75		fveq2 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑖 / 𝑗) → (log‘𝑛) = (log‘(𝑖 / 𝑗)))
76	75	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑖 / 𝑗) → ((log‘𝑛)↑2) = ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2))
77		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))
78		ovex 7444	. . . . . . . 8 ⊢ ((log‘𝑛)↑2) ∈ V
79	76, 77, 78	fvmpt3i 7003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 / 𝑗) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗)) = ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2))
80	74, 79	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖}) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗)) = ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2))
81	80	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖}) → ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗))) = ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)))
82	81	sumeq2dv 15651	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗))) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)))
83	82	mpteq2ia 5251	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗)))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)))
84		sumex 15636	. . 3 ⊢ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)) ∈ V
85	71, 83, 84	fvmpt3i 7003	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗))))‘𝑁) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
86	46, 57, 85	3eqtr3rd 2781	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   / cdiv 11873  ℕcn 12214  2c2 12269  ...cfz 13486  ↑cexp 14029  Σcsu 15634   ∥ cdvds 16199  logclog 26070  Λcvma 26603  μcmu 26606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-pc 16772  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-vma 26609  df-mu 26612

This theorem is referenced by:  selberg  27058