MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logsqvma2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logsqvma2 27046
Description: The MΓΆbius inverse of logsqvma 27045. Equation 10.4.8 of [Shapiro], p. 418. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logsqvma2 (𝑁 ∈ β„• β†’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑁 / 𝑑))↑2)) = (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑁 / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘))))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑑,𝑁

Proof of Theorem logsqvma2
Dummy variables 𝑖 𝑗 π‘˜ π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13938 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1...π‘˜) ∈ Fin)
2 dvdsssfz1 16261 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} βŠ† (1...π‘˜))
31, 2ssfid 9267 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ∈ Fin)
4 ssrab2 4078 . . . . . . . . . . . 12 {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} βŠ† β„•
5 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜}) β†’ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜})
64, 5sselid 3981 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜}) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
7 vmacl 26622 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜}) β†’ (Ξ›β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
9 dvdsdivcl 16259 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜}) β†’ (π‘˜ / 𝑑) ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜})
104, 9sselid 3981 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜}) β†’ (π‘˜ / 𝑑) ∈ β„•)
11 vmacl 26622 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ / 𝑑) ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑)) ∈ ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜}) β†’ (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑)) ∈ ℝ)
138, 12remulcld 11244 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜}) β†’ ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) ∈ ℝ)
143, 13fsumrecl 15680 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) ∈ ℝ)
15 vmacl 26622 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
16 nnrp 12985 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
1716relogcld 26131 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (logβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1815, 17remulcld 11244 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
1914, 18readdcld 11243 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
2019recnd 11242 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
2120adantl 483 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
2221fmpttd 7115 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜)))):β„•βŸΆβ„‚)
23 ssrab2 4078 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} βŠ† β„•
24 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})
2523, 24sselid 3981 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ π‘š ∈ β„•)
26 breq2 5153 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = π‘š β†’ (π‘₯ βˆ₯ π‘˜ ↔ π‘₯ βˆ₯ π‘š))
2726rabbidv 3441 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘š β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š})
28 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘š β†’ (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑)) = (Ξ›β€˜(π‘š / 𝑑)))
2928oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = π‘š β†’ ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) = ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘š / 𝑑))))
3029adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ = π‘š ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜}) β†’ ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) = ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘š / 𝑑))))
3127, 30sumeq12dv 15652 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = π‘š β†’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘š / 𝑑))))
32 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘š β†’ (Ξ›β€˜π‘˜) = (Ξ›β€˜π‘š))
33 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘š β†’ (logβ€˜π‘˜) = (logβ€˜π‘š))
3432, 33oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = π‘š β†’ ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜)) = ((Ξ›β€˜π‘š) Β· (logβ€˜π‘š)))
3531, 34oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘š β†’ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))) = (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘š / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘š) Β· (logβ€˜π‘š))))
36 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜)))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))))
37 ovex 7442 . . . . . . . . 9 (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))) ∈ V
3835, 36, 37fvmpt3i 7004 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))))β€˜π‘š) = (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘š / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘š) Β· (logβ€˜π‘š))))
3925, 38syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))))β€˜π‘š) = (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘š / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘š) Β· (logβ€˜π‘š))))
4039sumeq2dv 15649 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))))β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘š / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘š) Β· (logβ€˜π‘š))))
41 logsqvma 27045 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘š / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘š) Β· (logβ€˜π‘š))) = ((logβ€˜π‘›)↑2))
4241adantl 483 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘š / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘š) Β· (logβ€˜π‘š))) = ((logβ€˜π‘›)↑2))
4340, 42eqtr2d 2774 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((logβ€˜π‘›)↑2) = Ξ£π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))))β€˜π‘š))
4443mpteq2dva 5249 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((logβ€˜π‘›)↑2)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))))β€˜π‘š)))
4522, 44muinv 26697 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜)))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((logβ€˜π‘›)↑2))β€˜(𝑖 / 𝑗)))))
4645fveq1d 6894 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))))β€˜π‘) = ((𝑖 ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((logβ€˜π‘›)↑2))β€˜(𝑖 / 𝑗))))β€˜π‘))
47 breq2 5153 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (π‘₯ βˆ₯ π‘˜ ↔ π‘₯ βˆ₯ 𝑁))
4847rabbidv 3441 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑁 β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁})
49 fvoveq1 7432 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑)) = (Ξ›β€˜(𝑁 / 𝑑)))
5049oveq2d 7425 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑁 β†’ ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) = ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑁 / 𝑑))))
5150adantr 482 . . . . 5 ((π‘˜ = 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜}) β†’ ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) = ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑁 / 𝑑))))
5248, 51sumeq12dv 15652 . . . 4 (π‘˜ = 𝑁 β†’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑁 / 𝑑))))
53 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (Ξ›β€˜π‘˜) = (Ξ›β€˜π‘))
54 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (logβ€˜π‘˜) = (logβ€˜π‘))
5553, 54oveq12d 7427 . . . 4 (π‘˜ = 𝑁 β†’ ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜)) = ((Ξ›β€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘)))
5652, 55oveq12d 7427 . . 3 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))) = (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑁 / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘))))
5756, 36, 37fvmpt3i 7004 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))))β€˜π‘) = (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑁 / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘))))
58 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑑 β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) = (ΞΌβ€˜π‘‘))
59 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑑 β†’ (𝑖 / 𝑗) = (𝑖 / 𝑑))
6059fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑑 β†’ (logβ€˜(𝑖 / 𝑗)) = (logβ€˜(𝑖 / 𝑑)))
6160oveq1d 7424 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑑 β†’ ((logβ€˜(𝑖 / 𝑗))↑2) = ((logβ€˜(𝑖 / 𝑑))↑2))
6258, 61oveq12d 7427 . . . . 5 (𝑗 = 𝑑 β†’ ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑗))↑2)) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑑))↑2)))
6362cbvsumv 15642 . . . 4 Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑗))↑2)) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑑))↑2))
64 breq2 5153 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑁 β†’ (π‘₯ βˆ₯ 𝑖 ↔ π‘₯ βˆ₯ 𝑁))
6564rabbidv 3441 . . . . 5 (𝑖 = 𝑁 β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁})
66 fvoveq1 7432 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑁 β†’ (logβ€˜(𝑖 / 𝑑)) = (logβ€˜(𝑁 / 𝑑)))
6766oveq1d 7424 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑁 β†’ ((logβ€˜(𝑖 / 𝑑))↑2) = ((logβ€˜(𝑁 / 𝑑))↑2))
6867oveq2d 7425 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑁 β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑑))↑2)) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑁 / 𝑑))↑2)))
6968adantr 482 . . . . 5 ((𝑖 = 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑑))↑2)) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑁 / 𝑑))↑2)))
7065, 69sumeq12dv 15652 . . . 4 (𝑖 = 𝑁 β†’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑑))↑2)) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑁 / 𝑑))↑2)))
7163, 70eqtrid 2785 . . 3 (𝑖 = 𝑁 β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑗))↑2)) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑁 / 𝑑))↑2)))
72 ssrab2 4078 . . . . . . . 8 {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} βŠ† β„•
73 dvdsdivcl 16259 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖}) β†’ (𝑖 / 𝑗) ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖})
7472, 73sselid 3981 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖}) β†’ (𝑖 / 𝑗) ∈ β„•)
75 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑖 / 𝑗) β†’ (logβ€˜π‘›) = (logβ€˜(𝑖 / 𝑗)))
7675oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑖 / 𝑗) β†’ ((logβ€˜π‘›)↑2) = ((logβ€˜(𝑖 / 𝑗))↑2))
77 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((logβ€˜π‘›)↑2)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((logβ€˜π‘›)↑2))
78 ovex 7442 . . . . . . . 8 ((logβ€˜π‘›)↑2) ∈ V
7976, 77, 78fvmpt3i 7004 . . . . . . 7 ((𝑖 / 𝑗) ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((logβ€˜π‘›)↑2))β€˜(𝑖 / 𝑗)) = ((logβ€˜(𝑖 / 𝑗))↑2))
8074, 79syl 17 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖}) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((logβ€˜π‘›)↑2))β€˜(𝑖 / 𝑗)) = ((logβ€˜(𝑖 / 𝑗))↑2))
8180oveq2d 7425 . . . . 5 ((𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((logβ€˜π‘›)↑2))β€˜(𝑖 / 𝑗))) = ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑗))↑2)))
8281sumeq2dv 15649 . . . 4 (𝑖 ∈ β„• β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((logβ€˜π‘›)↑2))β€˜(𝑖 / 𝑗))) = Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑗))↑2)))
8382mpteq2ia 5252 . . 3 (𝑖 ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((logβ€˜π‘›)↑2))β€˜(𝑖 / 𝑗)))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑗))↑2)))
84 sumex 15634 . . 3 Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑗))↑2)) ∈ V
8571, 83, 84fvmpt3i 7004 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((logβ€˜π‘›)↑2))β€˜(𝑖 / 𝑗))))β€˜π‘) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑁 / 𝑑))↑2)))
8646, 57, 853eqtr3rd 2782 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑁 / 𝑑))↑2)) = (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑁 / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  Ξ£csu 15632   βˆ₯ cdvds 16197  logclog 26063  Ξ›cvma 26596  ΞΌcmu 26599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-vma 26602  df-mu 26605
This theorem is referenced by:  selberg  27051
  Copyright terms: Public domain W3C validator