MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logsqvma2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logsqvma2 26907
Description: The MΓΆbius inverse of logsqvma 26906. Equation 10.4.8 of [Shapiro], p. 418. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logsqvma2 (𝑁 ∈ β„• β†’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑁 / 𝑑))↑2)) = (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑁 / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘))))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑑,𝑁

Proof of Theorem logsqvma2
Dummy variables 𝑖 𝑗 π‘˜ π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13885 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1...π‘˜) ∈ Fin)
2 dvdsssfz1 16207 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} βŠ† (1...π‘˜))
31, 2ssfid 9218 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ∈ Fin)
4 ssrab2 4042 . . . . . . . . . . . 12 {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} βŠ† β„•
5 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜}) β†’ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜})
64, 5sselid 3947 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜}) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
7 vmacl 26483 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜}) β†’ (Ξ›β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
9 dvdsdivcl 16205 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜}) β†’ (π‘˜ / 𝑑) ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜})
104, 9sselid 3947 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜}) β†’ (π‘˜ / 𝑑) ∈ β„•)
11 vmacl 26483 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ / 𝑑) ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑)) ∈ ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜}) β†’ (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑)) ∈ ℝ)
138, 12remulcld 11192 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜}) β†’ ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) ∈ ℝ)
143, 13fsumrecl 15626 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) ∈ ℝ)
15 vmacl 26483 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
16 nnrp 12933 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
1716relogcld 25994 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (logβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1815, 17remulcld 11192 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
1914, 18readdcld 11191 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
2019recnd 11190 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
2120adantl 483 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
2221fmpttd 7068 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜)))):β„•βŸΆβ„‚)
23 ssrab2 4042 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} βŠ† β„•
24 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛})
2523, 24sselid 3947 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ π‘š ∈ β„•)
26 breq2 5114 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = π‘š β†’ (π‘₯ βˆ₯ π‘˜ ↔ π‘₯ βˆ₯ π‘š))
2726rabbidv 3418 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘š β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š})
28 fvoveq1 7385 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘š β†’ (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑)) = (Ξ›β€˜(π‘š / 𝑑)))
2928oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = π‘š β†’ ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) = ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘š / 𝑑))))
3029adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ = π‘š ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜}) β†’ ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) = ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘š / 𝑑))))
3127, 30sumeq12dv 15598 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = π‘š β†’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘š / 𝑑))))
32 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘š β†’ (Ξ›β€˜π‘˜) = (Ξ›β€˜π‘š))
33 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘š β†’ (logβ€˜π‘˜) = (logβ€˜π‘š))
3432, 33oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = π‘š β†’ ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜)) = ((Ξ›β€˜π‘š) Β· (logβ€˜π‘š)))
3531, 34oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘š β†’ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))) = (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘š / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘š) Β· (logβ€˜π‘š))))
36 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜)))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))))
37 ovex 7395 . . . . . . . . 9 (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))) ∈ V
3835, 36, 37fvmpt3i 6958 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))))β€˜π‘š) = (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘š / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘š) Β· (logβ€˜π‘š))))
3925, 38syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛}) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))))β€˜π‘š) = (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘š / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘š) Β· (logβ€˜π‘š))))
4039sumeq2dv 15595 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))))β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘š / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘š) Β· (logβ€˜π‘š))))
41 logsqvma 26906 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘š / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘š) Β· (logβ€˜π‘š))) = ((logβ€˜π‘›)↑2))
4241adantl 483 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘š} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘š / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘š) Β· (logβ€˜π‘š))) = ((logβ€˜π‘›)↑2))
4340, 42eqtr2d 2778 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((logβ€˜π‘›)↑2) = Ξ£π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))))β€˜π‘š))
4443mpteq2dva 5210 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((logβ€˜π‘›)↑2)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘š ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑛} ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))))β€˜π‘š)))
4522, 44muinv 26558 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜)))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((logβ€˜π‘›)↑2))β€˜(𝑖 / 𝑗)))))
4645fveq1d 6849 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))))β€˜π‘) = ((𝑖 ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((logβ€˜π‘›)↑2))β€˜(𝑖 / 𝑗))))β€˜π‘))
47 breq2 5114 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (π‘₯ βˆ₯ π‘˜ ↔ π‘₯ βˆ₯ 𝑁))
4847rabbidv 3418 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑁 β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁})
49 fvoveq1 7385 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑)) = (Ξ›β€˜(𝑁 / 𝑑)))
5049oveq2d 7378 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑁 β†’ ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) = ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑁 / 𝑑))))
5150adantr 482 . . . . 5 ((π‘˜ = 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜}) β†’ ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) = ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑁 / 𝑑))))
5248, 51sumeq12dv 15598 . . . 4 (π‘˜ = 𝑁 β†’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑁 / 𝑑))))
53 fveq2 6847 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (Ξ›β€˜π‘˜) = (Ξ›β€˜π‘))
54 fveq2 6847 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (logβ€˜π‘˜) = (logβ€˜π‘))
5553, 54oveq12d 7380 . . . 4 (π‘˜ = 𝑁 β†’ ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜)) = ((Ξ›β€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘)))
5652, 55oveq12d 7380 . . 3 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))) = (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑁 / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘))))
5756, 36, 37fvmpt3i 6958 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ π‘˜} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(π‘˜ / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘˜) Β· (logβ€˜π‘˜))))β€˜π‘) = (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑁 / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘))))
58 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑑 β†’ (ΞΌβ€˜π‘—) = (ΞΌβ€˜π‘‘))
59 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑑 β†’ (𝑖 / 𝑗) = (𝑖 / 𝑑))
6059fveq2d 6851 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑑 β†’ (logβ€˜(𝑖 / 𝑗)) = (logβ€˜(𝑖 / 𝑑)))
6160oveq1d 7377 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑑 β†’ ((logβ€˜(𝑖 / 𝑗))↑2) = ((logβ€˜(𝑖 / 𝑑))↑2))
6258, 61oveq12d 7380 . . . . 5 (𝑗 = 𝑑 β†’ ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑗))↑2)) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑑))↑2)))
6362cbvsumv 15588 . . . 4 Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑗))↑2)) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑑))↑2))
64 breq2 5114 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑁 β†’ (π‘₯ βˆ₯ 𝑖 ↔ π‘₯ βˆ₯ 𝑁))
6564rabbidv 3418 . . . . 5 (𝑖 = 𝑁 β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁})
66 fvoveq1 7385 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑁 β†’ (logβ€˜(𝑖 / 𝑑)) = (logβ€˜(𝑁 / 𝑑)))
6766oveq1d 7377 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑁 β†’ ((logβ€˜(𝑖 / 𝑑))↑2) = ((logβ€˜(𝑁 / 𝑑))↑2))
6867oveq2d 7378 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑁 β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑑))↑2)) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑁 / 𝑑))↑2)))
6968adantr 482 . . . . 5 ((𝑖 = 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑑))↑2)) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑁 / 𝑑))↑2)))
7065, 69sumeq12dv 15598 . . . 4 (𝑖 = 𝑁 β†’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑑))↑2)) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑁 / 𝑑))↑2)))
7163, 70eqtrid 2789 . . 3 (𝑖 = 𝑁 β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑗))↑2)) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑁 / 𝑑))↑2)))
72 ssrab2 4042 . . . . . . . 8 {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} βŠ† β„•
73 dvdsdivcl 16205 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖}) β†’ (𝑖 / 𝑗) ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖})
7472, 73sselid 3947 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖}) β†’ (𝑖 / 𝑗) ∈ β„•)
75 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑖 / 𝑗) β†’ (logβ€˜π‘›) = (logβ€˜(𝑖 / 𝑗)))
7675oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑖 / 𝑗) β†’ ((logβ€˜π‘›)↑2) = ((logβ€˜(𝑖 / 𝑗))↑2))
77 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((logβ€˜π‘›)↑2)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((logβ€˜π‘›)↑2))
78 ovex 7395 . . . . . . . 8 ((logβ€˜π‘›)↑2) ∈ V
7976, 77, 78fvmpt3i 6958 . . . . . . 7 ((𝑖 / 𝑗) ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((logβ€˜π‘›)↑2))β€˜(𝑖 / 𝑗)) = ((logβ€˜(𝑖 / 𝑗))↑2))
8074, 79syl 17 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖}) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((logβ€˜π‘›)↑2))β€˜(𝑖 / 𝑗)) = ((logβ€˜(𝑖 / 𝑗))↑2))
8180oveq2d 7378 . . . . 5 ((𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((logβ€˜π‘›)↑2))β€˜(𝑖 / 𝑗))) = ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑗))↑2)))
8281sumeq2dv 15595 . . . 4 (𝑖 ∈ β„• β†’ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((logβ€˜π‘›)↑2))β€˜(𝑖 / 𝑗))) = Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑗))↑2)))
8382mpteq2ia 5213 . . 3 (𝑖 ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((logβ€˜π‘›)↑2))β€˜(𝑖 / 𝑗)))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑗))↑2)))
84 sumex 15579 . . 3 Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((logβ€˜(𝑖 / 𝑗))↑2)) ∈ V
8571, 83, 84fvmpt3i 6958 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑖} ((ΞΌβ€˜π‘—) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((logβ€˜π‘›)↑2))β€˜(𝑖 / 𝑗))))β€˜π‘) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑁 / 𝑑))↑2)))
8646, 57, 853eqtr3rd 2786 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑁 / 𝑑))↑2)) = (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑁 / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3410   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  ...cfz 13431  β†‘cexp 13974  Ξ£csu 15577   βˆ₯ cdvds 16143  logclog 25926  Ξ›cvma 26457  ΞΌcmu 26460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-vma 26463  df-mu 26466
This theorem is referenced by:  selberg  26912
  Copyright terms: Public domain W3C validator