Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk21N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemk21N 40257
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Lines 26-27, p. 119 for i=0 and j=1. (Contributed by NM, 5-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk1.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk1.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk1.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk1.s 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
cdlemk1.o 𝑂 = (π‘†β€˜π·)
cdlemk1.u π‘ˆ = (𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (π‘—β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘’)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑒 ∘ ◑𝐷))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk21N ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ ((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) = ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖, ∧   ≀ ,𝑖   ∨ ,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝐷,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑇,𝑓,𝑖   𝑓,π‘Š,𝑖   ∧ ,𝑒   ∨ ,𝑒   𝐷,𝑒,𝑗   𝑒,𝐺,𝑗   𝑒,𝑂   𝑃,𝑒   𝑅,𝑒   𝑇,𝑒   𝑒,π‘Š   ∧ ,𝑗   ≀ ,𝑗   ∨ ,𝑗   𝐴,𝑗   𝐷,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑗,𝑂   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,π‘Š   𝑒,𝐹   𝑖,𝐺,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑒,𝑓)   𝐡(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗)   𝑆(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗)   π‘ˆ(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗)   𝐻(𝑒,𝑓)   𝐾(𝑒,𝑓)   ≀ (𝑒,𝑓)   𝑁(𝑒)   𝑂(𝑓,𝑖)
Proof of Theorem cdlemk21N
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp21r 1288 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
3 simp22 1204 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
4 cdlemk1.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
5 cdlemk1.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
6 cdlemk1.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 cdlemk1.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdlemk1.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 cdlemk1.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
104, 5, 6, 7, 8, 9trljat1 39550 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
111, 2, 3, 10syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
12 cdlemk1.o . . . . . 6 𝑂 = (π‘†β€˜π·)
1312fveq1i 6886 . . . . 5 (π‘‚β€˜π‘ƒ) = ((π‘†β€˜π·)β€˜π‘ƒ)
1413a1i 11 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ (π‘‚β€˜π‘ƒ) = ((π‘†β€˜π·)β€˜π‘ƒ))
15 simp13 1202 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑇)
167, 8, 9trlcocnv 40104 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = (π‘…β€˜(𝐷 ∘ ◑𝐺)))
171, 2, 15, 16syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = (π‘…β€˜(𝐷 ∘ ◑𝐺)))
1814, 17oveq12d 7423 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ ((π‘‚β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷))) = (((π‘†β€˜π·)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐷 ∘ ◑𝐺))))
1911, 18oveq12d 7423 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)))) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (((π‘†β€˜π·)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐷 ∘ ◑𝐺)))))
20 simp23 1205 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))
21 simp12 1201 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
22 simp21l 1287 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ 𝑁 ∈ 𝑇)
23 simp3r1 1278 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
24 simp3r2 1279 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))
2524necomd 2990 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
2623, 25jca 511 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))
27 simp3l1 1275 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
28 simp3l3 1277 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
29 simp3l2 1276 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
3027, 28, 293jca 1125 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
31 cdlemk1.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
32 cdlemk1.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
33 cdlemk1.s . . . 4 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
34 cdlemk1.u . . . 4 π‘ˆ = (𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (π‘—β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘’)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑒 ∘ ◑𝐷))))))
3531, 4, 5, 32, 6, 7, 8, 9, 33, 12, 34cdlemkuv2 40251 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)))))
361, 20, 2, 21, 15, 22, 26, 30, 3, 35syl333anc 1399 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)))))
3722, 15jca 511 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇))
38 simp3r3 1280 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
3938, 23jca 511 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))
4031, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 32, 33cdlemk12 40234 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))) β†’ ((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (((π‘†β€˜π·)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐷 ∘ ◑𝐺)))))
411, 21, 2, 37, 3, 20, 30, 39, 24, 40syl333anc 1399 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ ((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (((π‘†β€˜π·)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐷 ∘ ◑𝐺)))))
4219, 36, 413eqtr4rd 2777 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ ((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) = ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   I cid 5566  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6537  β„©crio 7360  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  trLctrl 39542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8259  df-map 8824  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543
This theorem is referenced by:  cdlemk21-2N  40275
  Copyright terms: Public domain W3C validator