Theorem cdlemk20 40898

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 22, p. 119 for the i=2, j=1 case. Note typo on line 22: f should be f_i. Our 𝐷, 𝐶, 𝑂, 𝑄, 𝑈, 𝑉 represent their f₁, f₂, k₁, k₂, sigma₁, sigma₂. (Contributed by NM, 5-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk1.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk1.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk1.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
cdlemk1.o	⊢ 𝑂 = (𝑆‘𝐷)
cdlemk1.u	⊢ 𝑈 = (𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ ((𝑂‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝐷))))))
cdlemk2a.q	⊢ 𝑄 = (𝑆‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cdlemk20	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑈‘𝐶)‘𝑃) = (𝑄‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖, ∧   ≤ ,𝑖   ∨ ,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝐷,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑇,𝑓,𝑖   𝑓,𝑊,𝑖   ∧ ,𝑒   ∨ ,𝑒   𝐷,𝑒,𝑗   𝑒,𝑂   𝑃,𝑒   𝑅,𝑒   𝑇,𝑒   𝑒,𝑊   ∧ ,𝑗   ≤ ,𝑗   ∨ ,𝑗   𝐴,𝑗   𝐷,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑗,𝑂   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,𝑊   𝑒,𝐹,𝑓,𝑖   𝐶,𝑒   𝑓,𝑗,𝐶,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑒,𝑓)   𝐵(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗)   𝑄(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗)   𝑆(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗)   𝑈(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗)   𝐻(𝑒,𝑓)   𝐾(𝑒,𝑓)   ≤ (𝑒,𝑓)   𝑁(𝑒)   𝑂(𝑓,𝑖)

Proof of Theorem cdlemk20

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1204	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp23 1209	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))
3		simp21r 1292	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝐶 ∈ 𝑇)
4		simp12 1205	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
5		simp13 1206	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝐷 ∈ 𝑇)
6		simp21l 1291	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝑁 ∈ 𝑇)
7		simp3r1 1282	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹))
8		simp3r3 1284	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷))
9	8	necomd 2988	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐶))
10	7, 9	jca 511	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐶)))
11		simp3l1 1279	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
12		simp3l3 1281	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))
13		simp3l2 1280	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵))
14	11, 12, 13	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
15		simp22 1208	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
16		cdlemk1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
17		cdlemk1.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
18		cdlemk1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
19		cdlemk1.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
20		cdlemk1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
21		cdlemk1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
22		cdlemk1.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
23		cdlemk1.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
24		cdlemk1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
25		cdlemk1.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑆‘𝐷)
26		cdlemk1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ ((𝑂‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝐷))))))
27	16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26	cdlemkuv2 40891	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑈‘𝐶)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑂‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐶 ∘ ◡𝐷)))))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 14, 15, 27	syl333anc 1404	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑈‘𝐶)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑂‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐶 ∘ ◡𝐷)))))
29	17, 18, 20, 21, 22, 23	trljat1 40190	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐶)) = (𝑃 ∨ (𝐶‘𝑃)))
30	1, 3, 15, 29	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐶)) = (𝑃 ∨ (𝐶‘𝑃)))
31	25	fveq1i 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑂‘𝑃) = ((𝑆‘𝐷)‘𝑃)
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑂‘𝑃) = ((𝑆‘𝐷)‘𝑃))
33	21, 22, 23	trlcocnv 40744	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐶 ∘ ◡𝐷)) = (𝑅‘(𝐷 ∘ ◡𝐶)))
34	1, 3, 5, 33	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑅‘(𝐶 ∘ ◡𝐷)) = (𝑅‘(𝐷 ∘ ◡𝐶)))
35	32, 34	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑂‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐶 ∘ ◡𝐷))) = (((𝑆‘𝐷)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐷 ∘ ◡𝐶))))
36	30, 35	oveq12d 7428	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑂‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐶 ∘ ◡𝐷)))) = ((𝑃 ∨ (𝐶‘𝑃)) ∧ (((𝑆‘𝐷)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐷 ∘ ◡𝐶)))))
37		cdlemk2a.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑆‘𝐶)
38	37	fveq1i 6882	. . 3 ⊢ (𝑄‘𝑃) = ((𝑆‘𝐶)‘𝑃)
39	6, 5	jca 511	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇))
40		simp3r2 1283	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹))
41	40, 7	jca 511	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)))
42	16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 19, 24	cdlemk12 40874	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷))) → ((𝑆‘𝐶)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝐶‘𝑃)) ∧ (((𝑆‘𝐷)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐷 ∘ ◡𝐶)))))
43	1, 4, 3, 39, 15, 2, 14, 41, 8, 42	syl333anc 1404	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑆‘𝐶)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝐶‘𝑃)) ∧ (((𝑆‘𝐷)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐷 ∘ ◡𝐶)))))
44	38, 43	eqtr2id 2784	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑃 ∨ (𝐶‘𝑃)) ∧ (((𝑆‘𝐷)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐷 ∘ ◡𝐶)))) = (𝑄‘𝑃))
45	28, 36, 44	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑈‘𝐶)‘𝑃) = (𝑄‘𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206   I cid 5552  ^◡ccnv 5658   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6536  ℩crio 7366  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  lecple 17283  joincjn 18328  meetcmee 18329  Atomscatm 39286  HLchlt 39373  LHypclh 40008  LTrncltrn 40125  trLctrl 40182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-riotaBAD 38976

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-undef 8277  df-map 8847  df-proset 18311  df-poset 18330  df-plt 18345  df-lub 18361  df-glb 18362  df-join 18363  df-meet 18364  df-p0 18440  df-p1 18441  df-lat 18447  df-clat 18514  df-oposet 39199  df-ol 39201  df-oml 39202  df-covers 39289  df-ats 39290  df-atl 39321  df-cvlat 39345  df-hlat 39374  df-llines 39522  df-lplanes 39523  df-lvols 39524  df-lines 39525  df-psubsp 39527  df-pmap 39528  df-padd 39820  df-lhyp 40012  df-laut 40013  df-ldil 40128  df-ltrn 40129  df-trl 40183

This theorem is referenced by:  cdlemk20-2N  40916  cdlemk22  40917