Theorem xrs0 32727

Description: The zero of the extended real numbers. The extended real is not a group, as its addition is not associative. (cf. xaddass 13254 and df-xrs 17477), however it has a zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrs0	⊢ 0 = (0g‘ℝ*𝑠)

Proof of Theorem xrs0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsbas 21304	. . . 4 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠))
3		xrsadd 21305	. . . 4 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠))
5		0xr 11285	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
7		xaddlid 13247	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
9		xaddrid 13246	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
11	2, 4, 6, 8, 10	grpidd 18624	. 2 ⊢ (⊤ → 0 = (0g‘ℝ*𝑠))
12	11	mptru 1541	1 ⊢ 0 = (0g‘ℝ*𝑠)

Syntax hints:   = wceq 1534  ⊤wtru 1535   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  ℝ^*cxr 11271   +_𝑒 cxad 13116  Basecbs 17173  +_gcplusg 17226  0_gc0g 17414  ℝ^*_𝑠cxrs 17475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-xadd 13119  df-fz 13511  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-0g 17416  df-xrs 17477

This theorem is referenced by:  xrsinvgval  32729  xrsmulgzz  32730  xrge0mulgnn0  32739  pnfinf  32885  xrnarchi  32886